modelowanie propagacji fal w płytach kompozytowych

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
32, s. 323-330, Gliwice 2006
ISNN 1896-771X
MODELOWANIE PROPAGACJI FAL W PŁYTACH
KOMPOZYTOWYCH
PAWEŁ KUDELA
Instytut Maszyn Przepływowych PAN w Gdańsku
WIESŁAW OSTACHOWICZ
Instytut Maszyn Przepływowych PAN w Gdańsku
Wydział Nawigacyjny, Akademia Morska w Gdyni
Streszczenie. W pracy przedstawiano wyniki symulacji propagacji poprzecznej
fali sprężystej w płycie kompozytowej. Zagadnienie to rozwiązywane jest za
pomocą zaproponowanych w pracy modeli zbudowanych na podstawie metody
spektralnych elementów skończonych. Badano wpływ kąta ułożenia włókien
wzmacniających oraz ich procentowej zawartości na propagację fali. Zwrócono
uwagę na możliwości wykorzystania zmian w propagującej się fali do wykrywania
uszkodzeń w płytach.
1. WSTĘP
W ostatnich dwóch dekadach obserwuje się stały wzrost zainteresowania zastosowaniem
materiałów kompozytowych w różnych elementach konstrukcyjnych. Spowodowane to jest
faktem, iż materiały kompozytowe cechują znakomite własności mechaniczne. Podobnie jak w
przypadku materiałów izotropowych, elementy konstrukcyjne wykonane z materiałów
kompozytowych narażone są na różnego rodzaju uszkodzenia (delaminacja, pęknięcie włókien,
etc.). Ważnym zagadnieniem jest relatywnie szybkie i trafne wykrycie ewentualnych defektów.
W tym celu wykorzystuje się zmiany różnorodnych wielkości fizycznych określających stan
konstrukcji. Najnowsze metody wykrywania uszkodzeń wykorzystują zmiany w propagującej
się fali sprężystej.
Aby poprawnie zamodelować zachowanie propagującej się fali sprężystej, istotne jest
zbudowanie dokładnego modelu numerycznego. Z uwagi na stosunkowe wysokie
częstotliwości propagujących się fal oraz ich na duże prędkości propagacji istotną trudność
stanowi dyskretyzacja modelu numerycznego. Oczywistym jest, że siatka klasycznych
elementów skończonych musi być w takim przypadku bardzo gęsta, a czas obliczeń bardzo
długi. Alternatywą jest zastosowanie metody spektralnych elementów skończonych [1–3],
która, dzięki odpowiedniemu doborowi funkcji bazowych i punktów całkowania
numerycznego, pozwala rozprzęgnąć równania i znacznie skrócić czas symulacji.
Obliczenia numeryczne przeprowadzono dla różnych parametrów materiału
kompozytowego. Jako materiał przyjęto żywicę epoksydową wzmacnianą włóknami szklanymi
lub grafitowymi. W pierwszej kolejności analizowano płytę jednowarstwową. Z obliczeń
324
P. KUDELA, W. OSTACHOWICZ
numerycznych wynika, że prędkość oraz kierunek propagacji fali są funkcjami orientacji
włókien oraz ich względnej zawartości. W przypadku wielowarstwowych płyt kompozytowych
zachowanie propagującej fali jest bardziej skomplikowane niż dla jednowarstwowej płyty
kompozytowej. W płycie wielowarstwowej kształt propagującej fali stanowi wynik
superpozycji, rozumianej w sensie homogenizacji fal wytworzonych przez poszczególne
warstwy kompozytu.
2. PŁYTOWY SPEKTRALNY ELEMENT SKOŃCZONY
2.1. Zdefiniowanie węzłów elementu
Węzły płytowego spektralnego elementu skończonego zdefiniowane są w lokalnym układzie
współrzędnych elementu ξη jako pierwiastki następującego wyrażenia:
(1 − ξ ) 2 PN′ (ξ ) = 0

2
(1 − η ) PN′ (η ) = 0
(1)
gdzie ξ, η∈[–1, 1], P’N oznacza pierwszą pochodną wielomianu Legendre’a rzędu N. W ten
sposób węzły elementu mogą zostać określone w lokalnym układzie współrzędnych elementu.
W bieżącym sformułowaniu wybrano wielomian Legendre’a 5 rzędu. Stąd można otrzymać 36
węzłów w układzie współrzędnych ξη jako:
(ξ m ,η n ), m, n = 1, 2, ..., 6
ξ m,η n ∈ {−1,−
1
3
+ 3 27 ,−
1
3
− 3 27 ,
1
3
− 3 27 ,
1
3
+ 3 2 7 , 1}
(2)
Na rysunku 1 można zauważyć, że wynikiem takiej definicji węzłów elementu jest ich
nierównomierny rozkład wewnątrz elementu.
η=1
η
ξ
ξ=-1
ξ=1
η=-1
Rys. 1. Rozkład węzłów w lokalnym układzie współrzędnych elementu
MODELOWANIE PROPAGACJI FAL W PŁYTACH KOMPOZYTOWYCH
325
2.2. Funkcje kształtu w elemencie
Na podstawie tak zdefiniowanych węzłów można zbudować zbiór funkcji kształtu
aproksymujących poprzeczne i kątowe przemieszczenia wewnątrz elementu. W tym celu
zastosowano dyskretnie ortogonalną aproksymację Lagrange’a opartą na węzłach elementu.
2.3. Macierze sztywności i mas
Kompozytowy element płytowy opracowano na podstawie teorii Mindlina [4, 5].
Umożliwia to dokładne modelowanie zjawiska propagacji fali (w przeciwieństwie do
klasycznej teorii płyt laminowanych). Obliczenie charakterystycznych macierzy sztywności [K]
i bezwładności [M] skończonego płytowego elementu spektralnego przebiega w sposób
identyczny z klasycznym sformułowaniem metody elementów skończonych. Proces ten może
być opisany w postaci związków:
[M ] = ρ ∫
+1 +1
∫
−1 −1
[K ] = ∫
6
[ N ] [ N ] det[ J ] dη dξ = ρ ∑∑ wm wn [ N mn ]T [ N mn ] det[J mn ]
(3)
m=1 n =1
6 6
+1 +1
∫
6
T
[ B]T [ D][ B] det[J ] dη dξ = ∑∑ wm wn [ Bmn ]T [ D][ Bmn ] det[J mn ]
−1 −1
(4)
m =1 n =1
gdzie [N] jest macierzą funkcji kształtu, [J] jest macierzą Jakobianów, [D] oznacza macierz
stałych sprężystości materiału kompozytowego, natomiast wm i wn są wagami Gaussa–
Lobatto, które obliczono w węzłach elementu m i n za pomocą wzoru [6]:
wm,n =
1
, m, n = 1, K, 6 .
15 P5 (ξ m,n )
(5)
Z uwagi na ortogonalność funkcji kształtu i zastosowanie reguły całkowania Gaussa–Lobatto
macierz bezwładności elementu [M] jest diagonalna. Własność ta wynika bezpośrednio z
definicji. W przypadku techniki skupiania mas można również otrzymać diagonalną macierz
bezwładności. Wówczas jednak w rozwiązaniu równań ruchu pojawiają znaczące błędy, [7].
2.4. Rozwiązanie równań ruchu
W przypadku braku tłumienia równania ruchu można zapisać w postaci macierzowej:
[M ]{q&&}t + [ K ]{q}t = {F }t
(6)
gdzie symbol t oznacza czas {F} jest wektorem sił wzbudzających, symbol {q} oraz {q&&}
oznaczają wektory węzłowych przemieszczeń oraz przyspieszeń. Ponieważ globalna macierz
bezwładności [M] w równaniu ruchu przyjmuje postać diagonalną, równanie (6) można dalej
uprościć i rozwiązać, stosując bardzo szybką i efektywną metodę całkowania opartą na
schemacie różnic centralnych [8]. Ponadto macierz sztywności jest stosunkowo rzadka
(zawiera około 35% elementów niezerowych), a więc wymagane są mniejsze zasoby pamięci
niż w przypadku klasycznej metody elementów skończonych.
326
P. KUDELA, W. OSTACHOWICZ
3. OBLICZENIA NUMERYCZNE
3.1. Geometria płyty i dane materiałowe
Do obliczeń przyjęto płytę kompozytową o wymiarach: długość (100 cm), szerokość (100
cm). Przyjęto założenie, że płyta została wykonana z żywicy epoksydowej wzmacnianej
włóknami szklanymi lub grafitowymi. Własności materiałowe zostały zestawione w tabeli 1.
Przeprowadzono badania płyt kompozytowych jednowarstwowych o całkowitej grubości
równej 1 cm. W dalszej kolejności badano płyty dziesięciowarstwowe o tej samej grubości.
Tabela 1. Własności materiałowe
Moduł Younga [GPa]
Współczynnik Poissona
Gęstość [kg/m3]
Żywica
Włókna szklane
Włókna grafitowe
3.43
0.35
1200
66.5
0.23
2250
275.6
0.20
1900
3.2. Wpływ objętościowej zawartości włókien wzmacniających na propagację fali
Prędkość grupowa cg fali poprzecznej jest funkcją względnej objętościowej zawartości
włókien wzmacniających, kierunku propagacji fali oraz częstotliwości sygnału wzbudzenia [9].
Prędkość ta może zostać obliczona analitycznie, w wyniku czego otrzymujemy profile
prędkości pokazane na rysunkach 2a i 2b. Założono, że kąt ułożenia włókien jest stały i wynosi
0˚. W tym też kierunku wartości prędkości grupowych są największe.
a)
b)
Rys. 2. Profile prędkości grupowych w jednowarstwowej płycie kompozytowej wzmacnianej
włóknami a) szklanymi, b) grafitowymi, dla zawartości włókien 0, 20, 40, 60, 80, 100%
Wraz ze wzrostem zawartości włókien wzmacniających prędkość fali w kompozycie
wzrasta, przy jednoczesnej zmianie kształtu profilu prędkości. Okręgi na rysunkach 2a i 2b
odnoszą się do przypadków izotropowych, kiedy prędkość fali w każdym kierunku jest
jednakowa.
MODELOWANIE PROPAGACJI FAL W PŁYTACH KOMPOZYTOWYCH
327
Zależnie od zastosowanego materiału włókien kształty profili prędkości różnią się. Z uwagi
na znacznie wyższy moduł Younga włókien grafitowych od modułu Younga włókien szklanych
prędkość fali na rysunku 2b jest wyższa, a kształty profili prędkości są mniej gładkie.
3.3. Wpływ kąta ułożenia włókien na propagację fali
Prędkość grupowa fali zależy również od kąta ułożenia włókien wzmacniających.
Przeprowadzono teoretyczne i numeryczne obliczenia dla płyty kompozytowej o stałej
zawartości włókien wzmacniających. Wyniki wskazują, że kształt frontu propagującej fali jest
zachowany, podczas gdy eliptyczne wydłużenie obrócone jest zgodnie z zadaną orientacją
włókien wzmacniających.
3.4. Propagacja fali w płycie wielowarstwowej
W tym przypadku zachowanie propagującej fali jest bardziej skomplikowane niż
obserwowane w przypadku pojedynczej warstwy kompozytu. Kształty profili prędkości
grupowych zależą od objętościowej zawartości włókien wzmacniających, jak i od ich orientacji
w poszczególnych warstwach. Można założyć, że propagująca fala stanowi wynik superpozycji
(rozumianej w sensie homogenizacji) fal z poszczególnych warstw kompozytu.
Rysunek 3 przedstawia fragmenty symulacji numerycznych dla dwóch przykładowych płyt
kompozytowych. W obu przypadkach założono, że płyta składa się z 10 warstw, zawartość
włókien wzmacniających w każdej z nich jest jednakowa i wynosi 25%. W lewej kolumnie
symulacja dotyczy płyty wykonanej z żywicy epoksydowej wzmacnianej włóknami
grafitowymi, a w kolumnie po prawej stronie płyty wykonanej z żywicy epoksydowej
wzmacnianej włóknami szklanymi. Różne układy orientacji włókien w poszczególnych
warstwach wpływają na kształt propagującej się fali. Znajomość rozkładu prędkości w
zależności od kierunku propagacji jest niezwykle istotna z uwagi na zastosowanie do detekcji
uszkodzeń.
Na szczególną uwagę zasługuje dobór odpowiedniej częstotliwości sygnału wzbudzającego.
Wiąże się to z efektem dyspersji, czyli zależności prędkości fali od częstotliwości. Rysunek 4
przedstawia przykładowe krzywe dyspersji dla płyty kompozytowej o układzie warstw
θ=[+60o/–60o]5 i grubości każdej z warstw 1 mm. Dyspersja powoduje deformacje sygnału
wymuszającego, co z kolei pociąga za sobą błędy w szacowaniu prędkości fali. Tradycyjnie do
detekcji uszkodzeń stosowane są sygnały wymuszające w postaci sygnału typu sinusoidalnego,
modulowanego za pomocą okna (hanning, trójkąt), które tworzą tzw. paczki [10]. Efekt
dyspersji można zminimalizować poprzez stosowanie tego typu sygnałów wejściowych o
wąskim zakresie częstotliwości i przez skupienie energii wejściowej w punkcie na krzywej
dyspersji, gdzie dyspersja jest niska, [11]. Na rysunku 4 miejsce takie stanowi zakres
częstotliwości od około 15 kHz do około 50 kHz, gdzie krzywa jest najbardziej płaska.
Jednocześnie w zakresie tym propaguje tylko jeden mod, dzięki temu łatwiej analizować sygnał
wyjściowy.
328
P. KUDELA, W. OSTACHOWICZ
w. grafitowe, θ=[+60o/–60o]5, vol=25%
w. szklane, θ=[0o/90o]5, vol=25%
t=0.24 ms
t=0.24 ms
t=0.36 ms
t=0.36 ms
t=0.48 ms
t=0.48 ms
Rys. 3. Symulacje numeryczne propagującej fali poprzecznej w wielowarstwowych płytach
kompozytowych
MODELOWANIE PROPAGACJI FAL W PŁYTACH KOMPOZYTOWYCH
329
Prędkość grupowa [km/s]
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
25
50
75
100
125
Częstotliwość [kHz]
150
175
200
Rys. 4. Przykładowe krzywe dyspersji dla wielowarstwowej płyty kompozytowej
4. WNIOSKI
Metoda spektralnych elementów skończonych stanowi efektywne i dokładne narzędzie do
modelowania zjawiska propagacji fal w płytach kompozytowych. Przeprowadzone symulacje
numeryczne pozwalają obserwować zachowanie propagującej fali i dostarczają cennych
informacji, szczególnie w kontekście detekcji uszkodzeń.
W płytach kompozytowych fala propaguje w każdym kierunku z inną prędkością. Dlatego
też w rzeczywistych systemach detekcji uszkodzeń bazujących na czujnikach
piezoelektrycznych preferowane będą układy koncentryczne (np. czujniki rozmieszczone w
układzie zegarowym). Wtedy istnieje możliwość zmierzenia odpowiednich czasów propagacji
fali i uwzględnienia kształtu profilu prędkości (w pewnym przybliżeniu).
Pokazano, że na przebieg propagującej fali wpływają również czynniki takie jak:
objętościowa zawartość włókien wzmacniających, rodzaj zastosowanych włókien, układ
warstw. Szczególną uwagę należy zwrócić na dobór odpowiedniej częstotliwości sygnału
wymuszającego, w celu zminimalizowania efektu dyspersji.
PODZIĘKOWANIA
Autorzy niniejszej pracy pragną wyrazić podziękowania za wsparcie finansowe
prowadzonych przez nich badań w ramach projektu ARTIMA (Aircraft Reliability Through
Intelligent Materials Application – numer referencyjny 502725), prowadzonego w ramach 6
Programu Ramowego Unii Europejskiej, jak również pragną podziękować Ministerstwu
Edukacji i Nauki za dodatkowe wsparcie finansowe tego projektu w postaci projektu SPUB–
ARTIMA).
330
P. KUDELA, W. OSTACHOWICZ
LITERATURA
1. Patera A.T.: A spectral element method for fluid dynamics: Laminar flow in a channel
expansion. Journal of Computational Physics, 54, 1984, p. 468–488.
2. Boyd J.P.: Cheybyshev and Fourier: Spectral Methods. Springer 1989.
3. Pozrikidis C.: Introduction to Finite and Spectral Element Methods using MATLAB®.
Chapman & Hall/CRC, 2005.
4. Ochoa O.O., Reddy J.N.: Finite element analysis of composite laminates. Kluwer Academic
Publishers, 1992.
5. Vinson J.R., Sierakowski R.L.: Behavior of structures composed of composite materials.
Martinus–Nijhoff Inc, 1989.
6. http://mathworld.wolfram.com/LobattoQuadrature.html
7. Dauksher W., Emery A.F.: Accuracy in modeling the acoustic wave equation with Chebyshev
spectral finite elements. Finite Elements in Analysis and Design, 26, 1997, p. 115–128.
8. Kleiber M.: Incremental finite element modelling in non–linear solid mechanics. J. Wiley &
Sons, New York, 1989.
9. Liu G.R., Xi Z.C.: Elastic Waves in Anisotropic Laminates, CRC Press, 2002.
10. Doyle J.F.: Wave Propagation in Structures. Springer–Verlag, 1997.
11. Wilcox P., Lowe M., Cawley P.: The effect of dispersion on long–range inspection using
ultrasonic guided waves. NDT&E Int., 34, 2001, p. 1–9.
WAVE PROPAGATION MODELLING
IN COMPOSITE PLATES
Summary. This paper presents results of numerical simulation of the propagation
of a transverse elastic wave in a composite plate. The problem is solved by the use
of proposed algorithm formulated on the base of the Spectral Finite Element
Method. The influence of orientations of reinforcing fibres and their volume
fraction on wave propagation has been investigated. It has been paying attention to
application of changes in propagating waves on damage detection in structures.