pełny tekst

ZESZYTY NAUKOWE WSOWL
Nr 3 (157) 2010
ISSN 1731-8157
Sławomir BIRUK
Piotr JAŚKOWSKI
HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ
WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ REALIZACJĄ PROCESÓW
NA DZIAŁKACH ROBOCZYCH
W artykule jest rozważany problem zapewnienia ciągłości robót na frontach (działkach)
roboczych przy projektowaniu realizacji przedsięwzięć wieloobiektowych. Szybka realizacja
zadań na obiektach i równomierne wykorzystanie (czy zużycie zasobów) są możliwe do uzyskania dzięki zastosowaniu potokowych metod organizacji, stanowiących rozwinięcie klasycznej
metody pracy równomiernej. Brygady realizujące poszczególne procesy realizują je na wydzielonych frontach roboczych. Kolejność realizacji niejednorodnych obiektów lub ich części –
ustalona w sposób jednakowy dla wszystkich wykonawców – wpływa na czas realizacji przedsięwzięcia. Problem ustalenia optymalnej kolejności powierzania frontów robót brygadom zalicza się do klasy permutacyjnych problemów szeregowania zadań. W artykule przedstawiono
sposoby modelowania dodatkowych ograniczeń – charakterystycznych również dla działań
w warunkach kryzysowych – umożliwiające zastosowanie w harmonogramowaniu algorytmów
opracowanych do rozwiązania problemu komiwojażera.
Słowa kluczowe: szeregowanie zadań, harmonogramowanie, ciągłość realizacji robót na
działkach roboczych, potokowe metody organizacji, przedsięwzięcia budowlane wieloobiektowe
Sporządzając harmonogram robót, można stosować dwa podejścia: predyktywne
zwane też proaktywnym, w którym tworzy się harmonogram odporny na zakłócenia
(ang. robust schedule), oraz reaktywne, które polega na aktualizacji harmonogramu, jako reakcji na wpływ zjawisk losowych. Sytuacje kryzysowe mogą powodować konieczność weryfikacji istniejących planów lub opracowywania nowych. Stosowane metody harmonogramowania, w odpowiedzi na pojawiające się zaburzenia, powinny dawać możliwość dostosowania planów do nowych warunków realizacyjnych. Zaktuali-
-
-
WPROWADZENIE
-
-
-

dr inż. Sławomir BIRUK, dr inż. Piotr JAŚKOWSKI – Wydział Budownictwa i Architektury Politechniki
Lubelskiej
HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ…
zowany harmonogram powinien spełniać pierwotne założenia, jak np. ciągłość realizacji
obiektów budowlanych, dotrzymanie terminu dyrektywnego.
Obiekty, a także ich części (działki robocze), w wielu przypadkach, mogą być
wykonywane w dowolnej kolejności, np. budowa osiedla domków jednorodzinnych,
rozbudowa sieci dróg czy prowadzenie prac remontowych lub realizacja zleceń dla różnych inwestorów.
Problem ustalania optymalnej kolejności realizacji obiektów budowlanych dla
różnych funkcji celu i ograniczeń był przedmiotem badań m.in. w Politechnice Wrocławskiej (J. Mrozowicz [20], Z. Hejducki [12] – model macierzowy, sprzężenia czasowe, minimalizacja czasu) oraz w Wojskowej Akademii Technicznej (R. Marcinkowski [17] – kryteria czasowo-kosztowe; różna kolejność zajmowania obiektów przez poszczególne brygady). Autorską metodę rozwiązania analizowanego problemu, bazującą
na metodzie podziału i ograniczeń, przedstawił J. Mrozowicz [20], określając ciągłą realizację procesów na działkach roboczych mianem metody organizacji budowy z zerowymi sprzężeniami między frontami robót.
Analiza dokonana przez M. Podolskiego [22] wskazuje na istotny związek zagadnień harmonogramowania robót budowlanych z teorią szeregowania zadań. Modeluje ona funkcjonowanie rzeczywistych systemów wytwarzania i produkcji przemysłowej.
Problemy szeregowania zadań znajdują się w obszarze zagadnień poruszanych w ramach badań operacyjnych, optymalizacji dyskretnej, programowania kombinatorycznego.
Analizowany problem w teorii szeregowania zadań jest określany mianem permutacyjnego problemu przepływowego z ograniczeniem „no-wait” (bez czekania). Do
jego rozwiązania opracowano wiele specjalizowanych algorytmów dokładnych, wykorzystujących schemat podziału i ograniczeń oraz algorytmy heurystyczne i metaheurystyczne. Problem ten jest również rozwiązywany za pomocą algorytmów opracowanych
dla zagadnienia komiwojażera [2]. Podejście to stanowiło podstawę dalszych badań –
budowy modelu zagadnienia ustalania minimalnego czasu realizacji przedsięwzięcia
z uwzględnieniem dodatkowych warunków w postaci ustalonej kolejności dla wybranych obiektów czy działek oraz ograniczeń czasowych ciągłej realizacji procesów na
działkach.
1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
-
-
-
-
-
Przedsięwzięcie obejmuje realizację złożonego procesu budowlanego na n niejednorodnych działkach roboczych. Złożony proces budowlany podzielono na procesy
prostsze powierzane do wykonania brygadom roboczym (o niezmiennym składzie kwalifikacyjnym i liczebności) zajmującym w ustalonej kolejności poszczególne działki robocze (wydzielone fronty robót na obiektach).
Pomiędzy wielkością działek a pracochłonnością robót na działkach roboczych
(a tym samym czasami wykonania procesów na działkach roboczych) brakuje zależności wprost proporcjonalnej lub – jeżeli taka zależność istnieje – jest ona różna dla poszczególnych procesów.
Celem projektowania jest harmonogram z minimalnym cyklem realizacji przedsięwzięcia. Na czas realizacji wpływa kolejność zajmowania działek roboczych przez
brygady, a także czas realizacji poszczególnych procesów przez brygady. Szybka reali341
Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI
zacja zadań na działkach roboczych wymaga maksymalnego stopnia wykorzystania dostępnych frontów robót. Liczebność poszczególnych brygad – zgodnie z zasadami projektowania pracy równomiernej [14] – należy ustalać jako maksymalne tak, aby długości ich frontów pracy były równe długości frontów robót na działkach o najmniejszych
pracochłonnościach.
Na każdej działce i ( i  I , I  1, 2, ..., n) musi być zrealizowany ciąg procesów
j ( j  J , J  1, 2, ..., m) w tej samej, ustalonej kolejności technologicznej. Czas wykonania robót przez brygadę j na działce i wynosi ti , j . Termin rozpoczęcia pierwszego
procesu na pierwszej działce jest równy 0 ( t1r,1  0 ) (rysunek 1).
brygada / proces
t1,m
m
t1,m-1
t2,m
t2,m-1
t3,m
t3,m-1
tn-2,m
tn-2,m-1
tn-1,m-1
tn-1,m
tn,m
tn,m-1
m-1
.
.
.
2
t1,2
t1,1
t2,2
t2,1
t3,2
t3,1
tn-2,2
tn-2,1
tn-1,2
tn-1,1
tn,2
tn,1
1
d1,2
d2,3
…
d n-2,n-1
dn-1,n
czas
Rys. 1. Cyklogram dla ciągłej realizacji procesów na działkach roboczych
Źródło: Opracowanie własne
Ciągła realizacja procesów na działkach roboczych oznacza rozpoczynanie kolejnego procesu w ciągu technologicznym na poszczególnych działkach bezpośrednio
po zakończeniu procesu poprzedzającego. Warunek ciągłości można zapisać w postaci
następującej zależności:
tiz, j  tir, j 1, i  I  j  J \ m,
(1)
gdzie: tir, j , tiz, j – odpowiednio termin rozpoczęcia i zakończenia procesu realizowanego
przez brygadę j na działce i.
Pomiędzy terminem rozpoczęcia i zakończenia procesu istnieje zależność:
tiz, j  tir, j  ti, j , i  I  j  J .
(2)
Każda brygada może rozpocząć wykonanie procesu na kolejnej działce, po jego
zakończeniu na działce poprzedniej:
-
-
-
-
-
tir1, j  tiz, j , i  I \ 1  j  J .
(3)
Warunki (1)–(3) determinują minimalny okres du, v v  u  1 pomiędzy rozpoczynaniem pierwszego procesu w ciągu technologicznym przez pierwszą brygadę na
342
HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ…
kolejnych działkach u i v. Minimalny okres d u , v można obliczyć na podstawie zależności [20]:
du,v
tu ,1

tu ,1  tu , 2  tv,1

 max 
, u  I \ n, v  I .
m
m 1
  tu , j   t v , j
 j 1
j 1
(4)
Analizowany problem polega na wyznaczeniu optymalnej permutacji działek,
dla której czas realizacji przedsięwzięcia jest minimalny. Czas realizacji wszystkich
procesów na wszystkich działkach roboczych można wyznaczyć ze wzoru:
n 1
m
u 1
j 1
T   du , v   tn, j , v  u  1 .
(5)
2. MODEL MATEMATYCZNY PROBLEMU
Analizowany problem można modelować, stosując analogiczne podejście, jak
w zagadnieniu komiwojażera.
Niech G  V , A oznacza graf skierowany, w którym V  1, 2, ..., n jest zbiorem wierzchołków grafu (tożsamym ze zbiorem działek roboczych),
a A  V  V  u, v | u, v  1, 2, ..., n  1 jest zbiorem łuków łączących wierzchołki grafu.
Dla każdej możliwej kombinacji par obiektów ustalamy cu , v – przyrost czasu
realizacji przedsięwzięcia przy realizacji procesów w pierwszej kolejności na działce u,
następnie na działce v:
m
m
r 1
r 1
cu , v  du , v   tv, r   tu , r u, v  V .
(6)
Wartości te można zestawić w macierzy kwadratowej, odpowiadającej macierzy
odległości (czasu) w zagadnieniu komiwojażera:
 
C  cu,v , u, v V .
(7)
Zagadnienie minimalizacji łącznego czasu bezczynności brygad z zachowaniem
ciągłości pracy na obiektach możemy sprowadzić do problemu komiwojażera (poszukiwania minimalnego cyklu Hamiltona), wprowadzając fikcyjny obiekt (wierzchołek
n+1) połączony łukami u, n  1, n  1, u  u V ), dla których:
-
m
cn 1, v   tv, j , v  V , cu , n 1  0, u  V .
(8)
Zadanie ustalenia optymalnej kolejności realizacji obiektów można zapisać
w następującej postaci:
-
-
-
-
j 1
343
Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI
n 1 n 1
min : T    cu ,v xu ,v
(9)
u 1 v 1
n 1
 xu,v  1, u V  n  1
(10)
 xu,v  1, v V  n  1
(11)
  xu,v  S  1, S  V  n  1, S  2 ,
(12)
u 1
n 1
v 1
n 1 n 1
u 1 v 1
gdzie:
1, jeżeli obiekt v jest realizowany bezpośrednio po u
xu , v  
, u, v  V  n  1
0, w przeciwnymprzypadku
Warunki (10)–(11) zapewniają uzyskanie zamkniętej drogi przechodzącej przez
wszystkie wierzchołki grafu (łącznie z fikcyjnym), natomiast warunek (12) – że droga
ta zawiera tylko jeden cykl.
3. METODY ROZWIĄZANIA PROBLEMU Z DODATKOWYMI OGRANICZENIAMI
Problem komiwojażera (ATSP – Assymetric Travel Salesman Problem) jest
przykładem problemu NP-trudnego. Do rozwiązania tego problemu opracowano wiele
algorytmów dokładnych i przybliżonych. Metody dokładne bazują na metodzie podziału i ograniczeń (m.in. metoda Little’a [16], D.L. Millera i J.F. Pekny’ego [18]). Model
matematyczny problemu bez ograniczenia (12) jest tożsamy z modelem zagadnienia
rozmieszczenia, do rozwiązania którego można zastosować m.in. algorytm R. L. Ackoffa i M. Sasieniego R. L. (tzw. węgierski) oraz J. Munkresa [11, 13, 23]. Eliminacja
subcykli może być dokonana za pomocą procedury zaproponowanej przez W.L. Eastmana [10]. Ze względu na przestrzeń rozwiązań dopuszczalnych o liczebności n!, złożoność obliczeniowa algorytmów dokładnych ogranicza możliwość ich zastosowania do
rozwiązywania dużych zagadnień praktycznych. Z tego powodu są tworzone algorytmy
heurystyczne, m.in. J. Bresta i J. Zerovnika [5], J. Cirasella [8], H. Kaplana [15],
T. Zhanga [24] oraz są stosowane metaheurystyki [25]. Przykłady zastosowania wybranych algorytmów do rozwiązania problemu harmonogramowania przedstawiono w pracy [4].
Konieczność realizacji robót w pierwszej kolejności na ustalonym froncie i*  V
wynika zazwyczaj ze względów ekonomicznych (przyspieszenie obrotu środków finansowych poprzez realizację zlecenia najbardziej dochodowego, zachowanie płynności
finansowej przedsiębiorstwa) lub z pilnej potrzeby zaspokojenia oczekiwań społecznych (np. przy działaniu w sytuacji kryzysowej). Ustalona działka będzie realizowana
-
-
-
-
-
Zastosowany sposób modelowania rozważanego problemu harmonogramowania
umożliwia w prosty sposób uwzględnienie dodatkowych ograniczeń. Poprzez zmianę
parametrów modelu można ustalać m.in. numer działki, która musi być zrealizowana
w pierwszej kolejności, lub kolejność realizacji podzbioru działek.
344
HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ…
w pierwszej kolejności, gdy zmodyfikowane zostaną niektóre dane w macierzy
C w sposób następujący:

cn 1, v  , v V \ i* .
(13)
Konieczność realizacji zbioru działek V *  V w ustalonej kolejności
i*p  i*p 1  ...  ik* może wynikać ze względów konstrukcyjnych (np. w budynkach wielokondygnacyjnych, gdzie działkę stanowi kondygnacja obiektu) lub użytkowych
(przekazywanie obiektów do użytkowania zgodnie z ustalonymi etapami). Dane w macierzy C dla takich ograniczeń realizacyjnych należy zmodyfikować w sposób następujący:
a)
usunąć z macierzy wiersze i kolumny o numerach i*p 1, i*p  2 , ..., ik* 1 ;
b) pozostałe
c*
i p ,v
wartości

zmienić
 , v V \ ik* oraz c *
ik , i *p
następująco:
c
u , ik*

 , u V \ i*p ,
 .
W obu przypadkach do rozwiązania zadań można zastosować opisane wyżej algorytmy opracowane dla ATSP.
Bardziej złożonym zagadnieniem jest problem harmonogramowania przedsięwzięć z ustalonymi przedziałami czasu ciągłej realizacji działek. W warunkach deterministycznych, gdy znany jest czas realizacji wszystkich procesów na poszczególnych
działkach roboczych, ograniczenia czasowe można odnieść do terminów zakończenia
robót na działkach roboczych. W modelu problemu komiwojażera są one tożsame
z podaniem przedziałów czasu, w których muszą odbyć się „wizyty” w poszczególnych
„miejscowościach” (wierzchołkach grafu).
Taka modyfikacja zagadnienia jest znana w literaturze jako problem komiwojażera z ograniczeniami czasowymi (ATSPTW – Assymetric Travel Salesman Problem
with Time Windows). Do jego rozwiązania stworzono szereg algorytmów dokładnych,
heurystycznych i metaheurystycznych, m.in. [1, 3, 9, 19, 21], również dla warunków
niedeterministycznych [6,7].
4. PRZYKŁAD
Dana jest macierz czasów wykonania czterech procesów na pięciu działkach:
t 
7 6 4
2 7 5
4 2 4 .

2 8 2
7 1 3
Na podstawie zależności (4) obliczono wzajemne opóźnienia d u , v :
-
-
-
-
-
i, j
5
3

 1

3
6
345
Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI
du,v 
 13 15 13 8 
 3  10 7 3 


 1 2  2 1 .


3 8 8  3
 8 10 12 10  
Elementy macierzy C (przyrosty czasu realizacji przedsięwzięcia przy realizacji
procesów w pierwszej kolejności na działce u, następnie na działce v) ustalono na podstawie zależności (8)–(9); przyjmują one następujące wartości:
cu,v 
 8 4 6 3 0
 8  4 5 3 0


12 8  6 7 0 

.
10 10 4  5 0 
13 10 6 8  0 


22 17 11 15 17  
Przykład rozwiązano za pomocą algorytmu heurystycznego [5], stosując gotowe
oprogramowanie dostępne na stronie http://hagaregn.org.uk/npsudoku/tsp.html.
Optymalna kolejność działek (po odrzuceniu z optymalnego cyklu działki fikcyjnej o numerze 6) jest następująca: 3  2  4  1  5 .
Harmonogram robót realizowanych na działkach w optymalnej kolejności
przedstawiono na rysunku 2 (czas realizacji 37 dni, krótszy o 8 dni w stosunku do kolejności działek zgodnej z ich numeracją).
-
Najdłuższy czas realizacji przedsięwzięcia jest równy 50 dni, przy realizacji
działek w odwrotnej kolejności: 5  1  4  2  3 .
-
Rys. 2. Harmonogram realizacji przedsięwzięcia dla optymalnej kolejności działek roboczych
-
-
-
Źródło: Opracowanie własne
346
HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ…
PODSUMOWANIE
Opracowanie (lub aktualizacja) harmonogramu realizacji robót budowlanych,
zapewniającego ciągłość pracy na działkach roboczych (czy obiektach), przy jednoczesnym skróceniu czasu realizacji, może być jednym z kluczowych czynników zwiększenia efektywności działania przedsiębiorstwa budowlanego, poprzez skracanie cykli realizacji obiektów i okresu zamrażania środków obrotowych.
Proponowana metoda optymalizacji harmonogramu z zapewnieniem ciągłości
pracy na działkach roboczych, która sprowadza permutacyjny problem szeregowania
zadań do – powszechnie znanego i dobrze opisanego w literaturze badań operacyjnych
– problemu komiwojażera ma tę zaletę, że można wykorzystać gotowe, łatwo dostępne
oprogramowanie. W prosty sposób można – modyfikując parametry modelu – uwzględniać dodatkowe ograniczenia (np. numer działki realizowanej w pierwszej kolejności),
istotne do uwzględnienia w sytuacjach kryzysowych. Rozwiązanie zadania z ograniczeniami czasowymi jest możliwe przy zastosowaniu gotowych algorytmów opracowanych
dla problemu ATSPTW.
Praca została sfinansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego
(grant nr N N506 254637).
LITERATURA
[1] Ascheuer N., Fischetti M., M. Grötschel M., Solving asymmetric travelling salesman problem with time windows by branch-and-cut, [in:] “Mathematical Programming”, 90 (2001), pp. 475-506.
[2] Bagchi T.P., Gupta J.N.D., Sriskandarajah Ch., A review of TSP based approaches
for flowshop scheduling, [in:] “European Journal of Operational Research”, 169(3)
(2006), pp. 816-854.
[3] Bianco L., Mingozzi A., Ricciardelli S., Dynamic programming strategies and reduction techniques for the travelling salesman problem with tie windows and precedence constraints, [in:] “Operations Research”, 45 (1997), pp. 365-377.
[4] Biruk S., Jaśkowki P., Analiza algorytmów minimalizacji przestoju brygad roboczych przy ciągłej realizacji obiektów budowlanych, [w:] „Przegląd Budowlany”, 11
(2005), s. 37 – 40.
[5] Brest J., Žerovnik J., An approximation algorithm for the asymmetric traveling
salesman problem, [in:] “Ricerca Operativa”, 28 (1999), pp. 59–67.
[6] Campbell A.M., Thomas B.W., Runtime reduction techniques for the probabilistic
traveling salesman problem with deadlines, [in:] “Computers & Operations Research”, 36(4) (2009), pp. 1231-1248.
[8] Cirasella J., Johnson D.S., McGeoch L.A., Zhang W., The asymmetric traveling
salesman problem: Algorithms, instance generators, and tests, [in:] “Lecture Notes
in Computer Science”, 2153 (2001), pp. 32-59.
-
-
-
-
-
[7] Chang T.-S., Wan Y.-W., OOI W.T., A stochastic dynamic traveling salesman
problem with hard time windows, [in:] “European Journal of Operational Research”,
198(3) (2009), pp. 748-759.
347
Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI
[9] Dumas Y., Desrosiers J., Gelinas E., Solomon M.M., An optimal algorithm for the
travelig salesman problem with time windows, [in:] “Operations Research”, 4(2)
(1995), pp. 367-371.
[10] Filipowicz B., Badania operacyjne, [w:] Wybrane metody obliczeniowe i algorytmy, cz. 1, F.H.U Poldex, Kraków 1997.
[11] Goddard L., S., Metody matematyczne w badaniach operacyjnych, Państwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966.
[12] Hejducki Z., Sprzężenia czasowe w metodach organizacji złożonych procesów
budowlanych, [w:] Prace Naukowe Instytutu Budownictwa Politechniki Wrocławskiej, Monografie nr 34, 2000.
[13] Ignasiak E., Badania operacyjne, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa
2001.
[14] Jaworski K.M., Metodologia projektowania budowy, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 1999.
[15] Kaplan H., Lewenstein M., Nira S., Sviridenko M., A 2/3 Aproximation For Maximum Asymmetric TSP Be Decomposing Directed Regular Multigraphs, Foundations
of Computer Science (FOCS) (2003), pp. 56-67.
[16] Little J.D.C., Murty K.G., Sweeney D.W., Karel C., An Algorithm for the Traveling Salesman Problem, [in:] “Operations Research”, 11(6) (1963), pp. 972-989.
[17] Marcinkowski R., Metody rozdziału zasobów realizatora w działalności inżynieryjno - budowlanej, WAT, Warszawa 2002.
[18] Miller D.L., Pekny J.F., Exact Solution of Large Asymmetric Traveling Salesman
Problems, [in:] “Science”, 251(4995) (1991), pp. 754 - 761.
[19] Mingozzi A., Bianco L., Ricciardelli S., Dynamic programming strategies for the
travelling salesman problem with time windows and precedence constraints, [in:]
“Operations Research”, 45 (1997), pp. 365-377.
[20] Mrozowicz J., Metody organizacji procesów budowlanych uwzględniające sprzężenia czasowe, Dolnośląskie Wydawnictwa Edukacyjne, Wrocław 1997.
[21] Pesant G., Gendreau M., Potvin J.-Y., Rousseau J.M., 1998. An exact constraint
logic programming algorithm for the travelling salesman problem with time windows, Transportation Science 32 (1998), pp. 12-29.
[22] Podolski M., Analiza nowych zastosowań teorii szeregowania zadań w organizacji robot budowlanych, Praca doktorska, Wrocław 2008.
[24] Zhang T., Li W., Li J., An improved approximation algorithm for the ATSP with parameterized triangle inequality, [in:] “Journal of Algorithms”, 64 (2-3) (2009), pp. 74-78.
[25] Xing L.-N., Chen Y.-W, Yang K.-W., Hou F., Shen X.-S., Cai H.-P., A hybrid approach combining an improved genetic algorithm and optimization strategies for the
-
-
-
-
-
[23] Stark R. M., Nicholls R.L., Matematyczne podstawy projektowania inżynierskiego, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
348
HARMONOGRAMOWANIE PRZEDSIĘWZIĘĆ WIELOOBIEKTOWYCH Z CIĄGŁĄ…
asymmetric traveling salesman problem, Engineering Applications of Artificial Intelligence 21(8) (2008), pp. 1370-1380.
SCHEDULING CONSTRUCTION OF MULTI-OBJECT PROJECTS:
PROBLEM OF WORKS CONTINUITY IN CONSECUTIVE UNITS
Summary
The paper investigates the problem of works continuity in consecutive units (sections) the whole
scope of works of a multi-object project has been divided into. Rapid completion of tasks is
possible to achieve owing to a classic Line-of-Balance approach being the extension of
planning methods used for repetitive production processes. Crews of workers responsible for
particular processes complete their tasks related to the units. The problem described in the
paper concerns a situation when the units are non-uniform in terms of workload, and the order
in which the crews move from unit to unit is fixed and the same for all crews. This order is the
key factor affecting the project makespan. The problem of finding the optimal order of units can
be classified as a permutation flowshop sequencing problem. The paper presents a modeling
method that facilitates the application of the “travelling salesman problem” algorithm to
solving scheduling problems with additional constraints.
Key words: sequencing of tasks, scheduling, works continuity in consecutive units, stream
methods of work organization, multi-object projects
-
-
-
-
-
Artykuł recenzował: płk dr hab. inż. Dariusz SKORUPKA, prof. nadzw. WSOWL
349