Praca Dyplomowa

Transkrypt

Praca Dyplomowa

POLITECHNIKA POZNAŃSKA
WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA
INSTYTUT KONSTRUCJI BUDOWLANYCH
BUDYNEK WYSOKI DI-WANG TOWER: OBLICZENIA STATYCZNE,
OBLICZENIA DYNAMICZNE I KONSTRUOWANIE
79 – STOREY DI-WANG TOWER BUILDING: STATIC AND DYNAMIC
ANALYSIS, DESIGN OF STRUCTURE
AUTOR:
PIOTR ANTECKI
KIERUJĄCY PRACĄ:
DR INZ. JACEK
POZNAŃ 2007
WDOWICKI
2
Spis treści
1. WSTĘP...................................................................................................................................... ............6
2. CEL PRACY........................................................................................................................... ...............8
3. OPIS TECHNICZNY BUDYNKU .................................................................................... ......................9
3.1. DANE OGÓLNE...................................................................................................................................................... ...9
3.2. OPIS KONSTRUKCJI...................................................................................................................................... ...........12
4. OBCIĄŻENIA............................................................................................................. .........................19
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
ZEBRANIE OBCIĄŻEŃ DLA POWIERZCHNI BIUROWYCH.........................................................................................................20
ZEBRANIE OBCIĄŻEŃ DLA POWIERZCHNI KOMUNIKACYJNYCH................................................................................................21
ZEBRANIE OBCIĄŻEŃ DLA POWIERZCHNI POMIESZCZEŃ TECHNICZNYCH...................................................................................22
ZEBRANIE OBCIĄŻEŃ DLA POWIERZCHNI KONDYGNACJI PODZIEMNYCH....................................................................................23
ZEBRANIE OBCIĄŻEŃ DLA DACHU........................................................................................................................... ......24
WARTOŚCI OBCIĄŻENIA WIATREM PRZYJĘTE DO OBLICZEŃ..................................................................................................25
OBCIĄŻENIE ŚNIEGIEM....................................................................................................................... ......................27
5. OPIS WYKORZYSTYWANYCH PROGRAMÓW KOMPUTEROWYCH.............................................28
5.1. BW DLA WINDOWS........................................................................................................................................ ........28
5.2. ROBOT MILLENNIUM ......................................................................................................................... .....................31
6. PRZYGOTOWANIE MODELU CYFROWEGO KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ.......................36
6.1. WSTĘPNE DOBRANIE PRZEKROJÓW ............................................................................................................................36
6.2. PRZYGOTOWANIE MODELU CYFROWEGO KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ DLA PROGRAMU BW DLA WINDOWS.................................40
6.3. PRZYGOTOWANIE MODELU CYFROWEGO KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ DLA PROGRAMU ROBOT MILLENNIUM.................................50
7. WYNIKI ANALIZY STATYCZNEJ KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ BUDYNKU O
ZMIENNYM PRZEKROJU W PROGRAMIE BW DLA WINDOWS.............................................. .............60
7.1. WARTOŚCI
7.2. WARTOŚCI
7.3. WARTOŚCI
PRZEMIESZCZEŃ.................................................................................................................................... ..60
NAPRĘŻEŃ W TRZONIE
.............................................................................................................................63
SIŁ W NADPROŻACH.................................................................................................................................65
8. WYNIKI ANALIZY STATYCZNEJ KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ BUDYNKU W PROGRAMIE
ROBOT MILLENNIUM........................................................................................................ ......................66
8.1. WARTOŚCI PRZEMIESZCZEŃ DLA MODELU 1 ................................................................................................................66
8.5. WARTOŚCI NAPRĘŻEŃ DLA MODELU 1 .......................................................................................................................75
8.6. WARTOŚCI NAPRĘŻEŃ DLA MODELU 3........................................................................................................................78
8.7. WARTOŚCI NAPRĘŻEŃ DLA MODELU 4........................................................................................................................79
8.8. WARTOŚCI SIŁY POPRZECZNEJ W TRZONIE OD OBCIĄŻENIA WIATREM DLA MODELU 1...............................................................81
8.9. WARTOŚCI SIŁY POPRZECZNEJ W TRZONIE OD OBCIĄŻENIA WIATREM DLA MODELU 4...............................................................81
8.10. WARTOŚCI SIŁ W NADPROŻACH DLA MODELU 1............................................................................................................81
8.11. WARTOŚCI SIŁ W NADPROŻACH DLA MODELU 4...........................................................................................................81
9. WYNIKI ANALIZY DYNAMICZNEJ BUDYNKU W PROGRAMIE BW DLA WINDOWS....................82
9.1. WYNIKI ANALIZY MODALNEJ...................................................................................................................... .................82
9.2. WYNIKI ANALIZY SEJSMICZNEJ.......................................................................................................................... ..........83
10. WYNIKI ANALIZY DYNAMICZNEJ BUDYNKU W PROGRAMIE ROBOT MILLENNIUM...............85
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
WYNIKI ANALIZY MODALNEJ DLA MODELU 1.................................................................................................................85
WYNIKI ANALIZY MODALNEJ DLA MODELU 4.................................................................................................................85
WYNIKI ANALIZY SEJSMICZNEJ DLA MODELU 1.............................................................................................................89
WYNIKI ANALIZY SEJSMICZNEJ DLA MODELU 4.............................................................................................................89
11. WYMIAROWANIE WYBRANYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ: ŚCIAN I
NADPROŻY.............................................................................................................................................. .90
11.1. ŚCIANY ................................................................................................................................................... ..........90
11.2. NADPROŻA ...................................................................................................................................................... .124
3
12. PODSUMOWANIE.............................................................................................. ............................153
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
12.7.
POZIOME PRZEMIESZCZENIA SZCZYTU BUDYNKU..........................................................................................................153
NAPRĘŻENIA W ŚCIANACH TRZONU..........................................................................................................................155
WYNIKI ANALIZY MODALNEJ................................................................................................................... ................156
WYNIKI ANALIZY SEJSMICZNEJ...................................................................................................................... ..........160
WARTOŚCI SIŁ W NADPROŻACH..............................................................................................................................160
OBLICZONE ZBROJENIE.................................................................................................................... ....................161
PORÓWNANIE PROGRAMÓW OBLICZENIOWYCH............................................................................................................161
13. ZAKOŃCZENIE..................................................................................................................... ..........163
LITERATURA........................................................................................................................... ...............165
ZESTAWIENIE OPROGRAMOWANIA................................................................................................... .168
PODZIĘKOWANIA .............................................................................................................. ...................168
ZAŁĄCZNIKI......................................................................................................................... ..................169
A. WPROWADZENIE DO PROBLEMATYKI OBCIĄŻEŃ SEJSMICZNYCH BUDOWLI. ...................170
A.1.
A.2.
A.3.
A.4.
CO TO JEST TRZĘSIENIE ZIEMI .................................................................................................................................170
ZNISZCZENIA WYWOŁANE TRZĘSIENIAMI ZIEMI................................................................................................................171
OBCIĄŻENIA WYWOŁYWANE PRZEZ TRZĘSIENIA ZIEMI.......................................................................................................172
METODA SPEKTRUM ODPOWIEDZI DLA UKŁADÓW O JEDNYM STOPNIU SWOBODY. ....................................................................175
B. PODSTAWY TEORETYCZNE OBLICZEŃ STATYCZNYCH W PROGRAMIE BW DLA WINDOWS
............................................................................................................................................................... ..180
B.1. METODA CIĄGŁYCH POŁĄCZEŃ DLA PŁASKIEGO UKŁADU DWÓCH ŚCIAN USZTYWNIAJĄCYCH ........................................................180
B.2. OBLICZENIA STATYCZNE WG METODY CIĄGŁYCH POŁĄCZEŃ – SFORMUŁOWANIE OGÓLNE WYKORZYSTANE W BW ...........................193
C. PODSTAWY TEORETYCZNE OBLICZEŃ DYNAMICZNYCH W PROGRAMIE BW DLA WINDOWS
............................................................................................................................................................... ..207
C.1. MODEL DYNAMICZNY BUDYNKU ................................................................................................................................207
C.2. DRGANIA WŁASNE ................................................................................................................................. ...............210
C.3. DRGANIA BUDYNKU PRZY WYMUSZENIACH SEJSMICZNYCH – METODA SPEKTRUM ODPOWIEDZI DLA UKŁADÓW DYSKRETNYCH...............211
D. PODSTAWY TEORETYCZNE OBLICZEŃ STATYCZNYCH W PROGRAMIE ROBOT MILLENNIUM
............................................................................................................................................................... ..215
D.1. RÓWNANIA ROZWIĄZYWANE PODCZAS OBLICZEŃ KONSTRUKCJI...........................................................................................215
D.2. ANALIZA STATYCZNA ......................................................................................................................................... .....215
E. PODSTAWY TEORETYCZNE OBLICZEŃ DYNAMICZNYCH W PROGRAMIE ROBOT
MILLENNIUM........................................................................................................................ ..................217
E.1. ANALIZA MODALNA........................................................................................................................................... ......217
E.2. ANALIZA SEJSMICZNA.................................................................................................................... .........................217
F. OUTRIGGERY...................................................................................................................... .............219
F.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O OURIGGERACH................................................................................................................219
F.2. WPŁYW OUTRIGGERÓW NA PRACĘ BUDYNKU DI-WANGTOWER..........................................................................................220
G. WYZNACZENIE WARTOŚCI OBCIĄŻENIA WIATREM................................................................ ...223
G.1. APROKSYMACJA WYKRESU SIŁ POPRZECZNYCH ............................................................................................................223
G.2. WYZNACZENIE ROZKŁADU OBCIĄŻENIA WIATREM............................................................................................................225
H. PORÓWNANIE MAS WYBRANYCH ELEMENTÓW MODELI Z PROGRAMU BW I ROBOT
MILLENNIUM....................................................................................................................... ...................226
I. 100 NAJWYŻSZYCH BUDYNKÓW ŚWIATA W 2007 WG COUNCIL ON TALL BUILDINGS AND
URBAN HABITAT (CTBUH) .............................................................................................................. .....227
J. ZDJĘCIA BUDYNKU DI-WANG TOWER......................................................................................... .233
K. DANE DO OBLICZEŃ STATYCZNYCH PRZY UŻYCIU PROGRAMU BW DLA WINDOWS..........237
L. WYNIKI OBLICZEŃ STATYCZNYCH PRZY UŻYCIU PROGRAMU BW DLA WINDOWS..............238
M. DANE DO OBLICZEŃ DYNAMICZNYCH PRZY UŻYCIU PROGRAMU BW DLA WINDOWS.......239
4
N. WYNIKI OBLICZEŃ DYNAMICZNYCH PRZY UŻYCIU PROGRAMU BW DLA WINDOWS...........240
O. WYBRANE DANE DO OBLICZEŃ STATYCZNYCH I DYNAMICZNYCH PRZY UŻYCIU
PROGRAMU ROBOT MILLENNIUM....................................................................................... ...............241
P. WYBRANE WYNIKI Z OBLICZEŃ STATYCZNYCH I DYNAMICZNYCH PRZY UŻYCIU PROGRAMU
ROBOT MILLENNIUM...................................................................................................... ......................242
Q. SPIS RYSUNKÓW ZWYMIAROWANYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI TRZONU....................243
RYS_1 – POZ. 1.1 ELEMENT 2 TRZONU GR. 75 CM SKALA 1:20.......................................................................................243
RYS_2– POZ. 1.2 ELEMENT 2 TRZONU GR. 60 CM SKALA 1:20........................................................................................243
RYS_3 – POZ. 2.1.1 NADPROŻE ŻELBETOWE
SKALA 1:20...............................................................................................243
RYS_4 – POZ. 2.1.2 NADPROŻE ŻELBETOWE ZE ZBROJENIEM
DIAGONALNYM
SKALA 1:20..............................................243
RYS_5– POZ. 2.1.3 NADPROŻE STALOWE SKALA 1:20....................................................................................................243
RYS_6 – POZ. 2.2.1 NADPROŻE ŻELBETOWE
SKALA 1:20...............................................................................................243
RYS_7– POZ. 2.2.2 NADPROŻE ŻELBETOWE ZE ZBROJENIEM
DIAGONALNYM
SKALA 1:20...............................................243
RYS_8 – POZ. 2.2.3 NADPROŻE STALOWE SKALA 1:20...................................................................................................243
5
1. Wstęp
Historia budynków wysokich zaczęła się ponad 130 lat temu. Miejscem ich narodzin
jest Chicago, gdzie pod koniec XIX wieku powstała pierwsza szkoła budownictwa wysokiego.
Niewątpliwym impulsem do rozwoju budownictwa wysokiego było wynalezienie w 1853 roku
przez Elishę Otisa windy, a następnie zainstalowanie w niej w 1880 roku napędu
elektrycznego. Od samego początku wieżowce poza funkcjami użytkowymi i estetycznymi
(urozmaicanie przestrzeni miast) były symbolem prestiżu inwestora. Doprowadziło to do
rozpoczęcia na początku XX wieku pościgu za rekordami wysokości.
Jednym z
najciekawszych owoców początków tej rywalizacji jest wybudowany w 1931 roku w Nowym
Jorku Empire State Building. Przez ponad 40 lat był najwyższym budynkiem świata, a dziś po
ponad 70 latach znajduje się wśród dziesięciu najwyższych.
Rozwój technologii (szczególnie betonu) pozwolił nie tylko na wznoszenie coraz wyższych
wieżowców, ale także na urozmaicanie ich formy i kształtów. Widać to szczególnie w
budynkach wysokich z ostatnich dwudziestu lat. Współczesne projekty burzą stereotypy
wysokościowców w postaci przeszklonych prostopadłościanów i zaskakują skomplikowanymi
formami nawiązującymi do historii, tradycji a nawet religii. Przykładem takiego obiektu są
Petronas Towers w Kuala Lumpur. Dwie bliźniacze wieże, których rzuty bazują na planie
islamskiej gwiazdy, stanowią symboliczną bramę miasta i całej Malezji.
Wieżowce sprzyjają rozwojowi nowatorskich rozwiązań nie tylko w zakresie konstrukcji, ale
także w dziedzinach komunikacji pionowej, ograniczenia zużycia energii, poprawienia komfortu
przebywania człowieka w budynku, czy też bezpieczeństwa przebywających w nim ludzi.
Organizacja działania i nowoczesne wyposażenie budynków wysokich sprawia, że zaliczane
są one do kategorii „budynków inteligentnych”. [Paw06], [Paw04], [Kap03]
Projektowanie budynków wysokich o skomplikowanych formach ułatwił rozwój technologii
komputerowych. Większa moc obliczeniowa komputerów pozwala na tworzenie bardziej
zaawansowanych programów inżynierskich, które umożliwiają budowanie modeli coraz lepiej
odwzorowujących rzeczywiste konstrukcje. Jednak rozwój programów
inżynierskich (np.
stosowanie nowych rozwiązań obliczeniowych z innych dziedzin takich jak mechanika i
inżynieria kosmiczna) do projektowania konstrukcji jest ograniczony. Szczególnie dotyczy to
obliczeń dynamicznych – zachowania się budynków podczas trzęsień ziemi i huraganów.
Ograniczenie to wynika z niewielkiej liczby badań i pomiarów zachowania się rzeczywistych
budynków i uniemożliwia weryfikacje dokładności obliczeń. Niewielu naukowców może
pozwolić sobie na udoskonalanie modeli na podstawie pomiarów na rzeczywistych
6
konstrukcjach. Nowoczesna aparatura pomiarowa pozwalająca mierzyć wychylenia budynków
i przyspieszenia zainstalowana jest w niewielu budynkach. [Li04]
Jednym z obiektów wyposażonych w systemy pomiarowe jest Di-Wang Tower. Zlokalizowany
w centrum Shenzhen w południowych Chinach, ok. 2 km od granicy z Hongkongiem. Oddany
do użytku w 1996 roku budynek ma 79 kondygnacji i 325 metrów wysokości (od poziomu
terenu do poziomu dachu). Zastosowano w nim konstrukcję składającą się z wewnętrznego
żelbetowego trzonu i zewnętrznych stalowych słupów połączonych z żelbetowym trzonem za
pomocą kratownicowych outriggerów (wysięgników) rozmieszczonych na 4 poziomach wzdłuż
wysokości budynku. Budynek zaprojektowano zgodnie z przepisami chińskich norm oraz na
podstawie badań w tunelu aerodynamicznym Boundry Layer Wind Tunnel Laboratory na
uniwersytecie Western Ontario. [BLWTL], [Kim95], [Li04], [Xu03] W skład apartury pomiarowej
zainstalowanej w budynku wchodzą między innymi umieszczone na masztach na wysokości
348 m anenometry (do pomiaru kierunku i prędkości wiatru), zainstalowane na 69 kondygnacji
na wysokości 298 m akcelerometry oraz urządzenia do pomiaru przemieszczeń [Xu03]. Dzięki
tym urządzeniem udało się zarejestrować zachowanie budynku w czasie dwóch tajfunów: Sally
we wrześniu 1996 roku oraz Dujuan we wrześniu 2003 roku [Li03], [Xui03c]. Uzyskane
pomiary posłużyły do wielu badań, przede wszystkim Q.S. Li, który analizował odpowiedź
dynamiczna budynku w czasie tajfunów [Li02], a także porównywał wyniki obliczeń
dynamicznych z wynikami pomiarów [Li04].
Rys. 1.1 Widok budynku Di Wang Tower
7
2. Cel pracy
Celem niniejszej pracy jest zbudowanie cyfrowego modelu, wykonanie obliczeń statycznych,
dynamicznych i sejsmicznych budynku Di-Wang Tower w dwóch programach obliczeniowych:
BW dla Windows oraz Robot Millennium. Następnie na podstawie uzyskanych wartości sił
wewnętrznych zwymiarowanie wybranych elementów wewnętrznego trzonu. Informacje o
konstrukcji budynku zaczerpnięto z publikacji [Kim95], [Li04] oraz [Xu03].
8
3. Opis techniczny budynku
3.1. Dane ogólne
3.1.1. Lokalizacja
Ukończony w 1996 roku Di-Wang Tower (Shun Hing Square) zlokalizowany jest w Shenzhen.
Miasto to leży w południowo-wschodnich Chinach w prowincji Guangdong ok. 2 km od granicy
z Hongkongiem. Ze względu na położenie w strefie przybrzeżnej często występują
tam
tropikalne cyklony oraz monsunowe wiatry. Shenzhen uzyskało prawa miejskie w 1979 roku.
Rok później utworzono tam specjalną strefę ekonomiczną. Dzięki temu w ciągu dwudziestu lat
z niewielkiej rybackiej wioski, przerodziło się w wielomilionową nowoczesną metropolię.
Obecnie jest wielkim ośrodkiem przemysłowym i naukowo – technicznym z sektorem
zaawansowanych technologii.
Od 30 lipca 1993 roku Sheznhen jest miastem partnerskim Poznania. Miasta współpracują w
zakresie gospodarki, handlu, nauki, techniki,edukacji ochrony zdrowia i lecznictwa. [I2]
Adres budynku : Shun Hing Square - Di Wang Tower, 5002 Shen Nan Road East, Shenzhen,
GD China
Rys. 3.1 Lokalizacja miasta Shenzhen
9
3.1.2. Opis budynku
79 kondygnacyjny budynek biurowy Di-Wang Tower wraz z 33 kondygnacyjnym budynkiem
apartamentowym i 4 kondygnacyjnym
centrum handlowym tworzą kompleks Di-Wang
Development, Zaprojektowane przez K.Y. Cheung Design Associates obiekty zostały oddane
do użytku w 1996 roku.
Łączna powierzchnia zabudowy wynosi 6 772 m2.
Tablica 3.1. Zestawienie danych o budynkach kompleksu Di-Wang Development [Kim95, Li04]
Budynek
Liczba
kondygnacji
Funkcje
Powierzchnia
użytkowa
Wysokość budynku
Biurowiec
79
Biurowe (68 kond.)
Techniczne (11 kond.)
138 075 m2
325 m
Apartamentowiec
33
Apartamenty
43 125 m2
114 m
Centrum handlowe
4
Centrum handlowe
22 013 m2
21 m
Wszystkie budynki posiadają 3 kondygnacje podziemne
Zasadnicza część budynku Di-Wang Tower ma 324,95 m wysokości, na jego szczycie
zainstalowane są dwa 59 metrowe maszty, które sięgają 383,95 m (od poziomu terenu). Rzut
budynku składa się z części prostokątnej o wymiarach 43,5 x 35,5 m, oraz dwóch bocznych
półkoli o promieniu 12,5 m. Górna część budynku (od 290 m) zakończona jest dwoma
okrągłymi wieżami.
W budynku występują dwa rodzaje zagospodarowania powierzchni :
●
●
open space – umożliwiający dowolną aranżacje całej kondygnacji (Rys. 3.2)
Powierzchnia kondygnacji
2161.00 m2
Powierzchnia publiczna
308.00 m2
Powierzchnia użytkowa
1853.00 m2
z podziałem na pomieszczenia o powierzchniach od 87 m2 do 140 m2 (Rys. 3.3)
Powierzchnia kondygnacji
2161.00 m2
Powierzchnia publiczna
739.00 m2
Powierzchnia użytkowa
1422.00 m2
10
Rys. 3.2 Zagospodarowanie powierzchni typu open space [Kim95]
Rys. 3.3 Zagospodarowanie powierzchni z podziałem na pomieszczenia [Kim95]
Na podstawie Rys. 5 z publikacji [Li04] przyjęto wysokości i rzędne kondygnacji. Przekrój
pionowy przez budynek przedstawia Rys. 3.8.
11
Tablica 3.2. Opis kondygnacji
Nr
Wysokość Rzędna
Nr
Wysokość
Rzędna
Nr
Wysokość
Rzędna
Nr Wysokość Rzędna
-3
3,50
-14,00
21
3,75
91,95
41
3,75
170,70
61
3,75
249,40
-2
3,50
-10,50
22
3,75
95,70
42
3,75
174,45
62
3,75
253,15
-1
7,00
-7,00
23
3,75
99,45
43
4,10
178,20
63
3,75
256,90
1
6,00
0,00
24
3,75
103,20
44
4,10
182,30
64
3,75
260,65
2
6,00
6,00
25
3,83
106,95
45
6,75
186,40
65
3,75
264,40
3
5,00
12,00
26
7,42
110,78
46
3,75
193,15
66
3,75
268,15
4
7,48
17,00
27
3,75
118,20
47
3,75
196,90
67
3,75
271,90
5
7,48
24,48
28
3,75
121,95
48
3,75
200,65
68
3,75
275,65
6
7,50
31,95
29
3,75
125,70
49
3,75
204,40
69
3,83
279,40
7
3,75
39,45
30
3,75
129,45
50
3,75
208,15
70
7,42
283,23
8
3,75
43,20
31
3,75
133,20
51
3,75
211,90
71
3,65
290,65
9
3,75
46,95
32
3,75
136,95
52
3,75
215,65
72
3,65
294,30
10
3,75
50,70
33
3,75
140,70
53
3,75
219,40
73
4,00
297,95
11
3,75
54,45
34
3,75
144,45
54
3,75
223,15
74
4,00
301,95
12
3,75
58,20
35
3,75
148,20
55
3,75
226,90
75
4,00
305,95
13
3,75
61,95
36
3,75
151,95
56
3,75
230,65
76
3,75
309,95
14
3,75
65,70
37
3,75
155,70
57
3,75
234,40
77
3,75
313,70
15
3,75
69,45
38
3,75
159,45
58
3,75
238,15
78
3,75
317,45
16
3,75
73,20
39
3,75
163,20
59
3,75
241,90
79
3,75
321,20
17
3,75
76,95
40
3,75
166,95
60
3,75
245,65
Dach
324,95
3.2. Opis konstrukcji
Konstrukcja budynku Di-Wang Tower składa się z wewnętrznego żelbetowego trzonu oraz
zewnętrznej stalowej ramy. Oba elementy połączone są ze sobą za pomocą outriggerów
(wysięgników) na czterech kondygnacjach. Pomiędzy słupami w osiach B i G zastosowano
pionowe stężenie biegnące wzdłuż wysokości budynku. Typowy widok konstrukcji przedstawia
Rys. 3.4. Szczegółowy opis elementów konstrukcji przedstawiono poniżej.
3.2.1. Trzon
Symetryczny żelbetowy trzon umieszczony jest centralnie na planie budynku i zajmuje ok. 20%
powierzchni rzutu. Składa się on z 6 żelbetowych elementów (dwa ceowe na brzegach i cztery
dwuteowe w środku) połączonych stalowymi belkami nadprożowymi (Rys. 3.4). W pracy
dyplomowej przyjęto nadproża ze stali 18G2A, o przekroju dwuteowym HE 1000x584 i
wymiarach: 1000x314x35,5x64 (wys. przekroju x szer. półki x gr. środnika x gr. półki [mm] ) (p.
6.1.3). Trzon sięga do 72 kondygnacji. Grubość jego ścian zmienia się na wysokości, do 45
kondygnacji wynosi 750 mm, od 46 do 72 kondygnacji – 600 mm. Nadproża połączone są
sztywno z trzonem [Li04, s.1314]. W publikacji [Li04] podano, że trzon wykonany był z betonu
C55. Według Polskiej Normy [N5] odpowiada to betonowi C45/55, i taki beton przyjęto w
obliczeniach w pracy dyplomowej. Przyjęto zbrojenie stalą AIIIN.
12
Rys. 3.4 Opis elementów konstrukcji dla powtarzalnych kondygnacji
3.2.2. Rama zewnętrzna
Stalowe słupy wraz z łączącymi je stalowymi ryglami tworzą zewnętrzną ramę. Słupy wykonane
są z przekrojów skrzynkowych. Do 62 kondygnacji wypełnione są betonem klasy C45/55 w celu
zwiększenia ich sztywności. Przekroje poprzeczne mają wymiary od 1600 x 1500 mm do 600 x
600 mm. Zestawienie wszystkich przekrojów zamieszczono w Tablicy 3.3
połączone są sztywno ze słupami [Li04]. Przyjęto rygle o
Stalowe rygle
przekrojach dwuteowych wg
japońskiej normy JIS G 3192 (1994): H 500 x 300 x 11 x 15 (wys. przekroju x szer. półki x gr.
środnika x gr. półki
[mm] ) o w= 2418 cm3
(p. 6.1.2). Podczas projektowania w pracy
dyplomowej rygla ramy zewnętrznej przyjęto stal 18G2A.
Wzdłuż osi B i G (Rys. 3.5) znajdują się dwa pionowe pasma stężeń łączących słupy 1 i 4.
Sięgają one 70 kondygnacji. W zależności od wysokości wykonane są one z różnych profili.
Listę profili przedstawiono w Tablicy 3.4, a ich rozmieszczenie wzdłuż wysokości budynku
ilustruje rysunek 3.6
13
Rys. 3.5 Oznaczenia elementów ramy zewnętrznej
Tablica 3.3. Przekroje słupów zewnętrznych (powyżej 62 kondygnacji profile stalowe bez wypełnienia betonem)
Przekrój stalowy
Nr
słupa
Wypełnienie betonem
h
b
tw
tf
Ix
Iy
As
hb
bb
Ixb
Iyb
Ab
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
[cm 4]
[cm2]
[cm2]
[mm]
[mm]
[cm 4]
[cm 4]
[cm2]
1*
1500
1600
36
40
8 540 799
8 983 992
2302,40
1420
1528
36 459 200 42 216 008 21 697,6
2**
1500
1100
36
36
5 991 754
3 709 650
1573,44
1452
1028
24 950 000 12 930 000 14 926,6
3**
1300
1000
36
36
3 987 713
2 655 071
1381,44
1252
928
14 320 000
8 178 263
11 618,6
4*
1000
1000
24
24
1 488 442
1 488 442
936,96
952
952
6 844 891
6 844 891
9 063,0
5**
600
600
14
14
187 922
187 922
328,16
572
572
892 078
892 078
3 271,8
* - źródło [Li04]
** - domysły
Tablica 3.4. Profile stężeń stalowych w osiach B i G
Nr kondygnacji
Oznaczenie profilu
h
[mm]
b
[mm]
tw
[mm]
tf
[mm]
3 – 21
H 900 x 300 x 22 x 55
900
300
22
55
23 – 38
H 900 x 300 x 16 x 32
900
300
16
32
39 – 40
H 900 x 300 x 22 x 65
900
300
22
65
42 – 66
RH 800 x 300 x 14 x 26
800
300
14
26
14
Rys. 3.6 Rozmieszczenie stężeń pionowych w budynku [Li04].
3.2.3. Stropy
W części nadziemnej stropy składają się ze stalowych belek zamocowanych przegubowo z
jednej strony do żelbetowego trzonu, z drugiej do stalowej ramy. W prostokątnej części
budynku rozpiętość belek wynosi ok. 12 m, natomiast w bocznych półkolach od 6 do 12,5 m.
W pracy dyplomowej przyjęto przekroje dwuteowe wg japońskiej normy JIS G 3192 (1994): H
500 x 300 x 11 x 15 (wys. przekroju x szer. półki x gr. środnika x gr. półki [mm] ) ze stali
18G2A (p. 6.1.1). Na belkach ułożona jest płyta żelbetowa grubości 10 cm wykonana na
pomostach z blach profilowanych [Li04].
W części podziemnej przyjęto stropy żelbetowe płytowo żebrowe. Grubość płyty 20 cm oraz
belki o żelbetowe o wymiarach 70 x 40 cm. Przyjęto beton klasy C45/55, stal zbrojeniową AIIIN
– patrz punkt 6.1.4 .
15
3.2.4. Outriggery
Na 6, 26, 45 oraz 70 kondygnacji znajdują się outriggery - wysięgniki. Są to stalowe
wiązary łączące słupy ramy zewnętrznej z żelbetowym trzonem. Połączenia te są
połączeniami sztywnymi. Na każdej kondygnacji znajduje się 12 outriggerów rozmieszczonych
wzdłuż osi od B do G (Rys. 3.). W pracy dyplomowej przyjęto że outriggery wykonane są ze
stali 18G2A.
Wysokości wiązarów na poszczególnych kondygnacjach wynoszą:
•
na 2 kondygnacji – 7,50 m
•
•
•
Rozwiązanie konstrukcyjnie outriggera na kondygnacji 45 przedstawiona Rys. 3.7 [Li04,
s.1316],
(Uwaga: w publikacji [Li04, s.1315] podano błędnie, że rysunek przedstawia
outrigger na kondygnacji 26 Błąd sprostowano na podstawie porównania wymiarów
kształtowników stalowych stężeń pionowych pokazanych na rysunkach 4 i 5 tej publikacji) .
Wpływ outriggerów na prace budynku opisano w załączniku F.
Rys. 3.7 Widok outriggera na kondygnacji 45 [Li04]
16
Rys. 3.8 Rozmieszczenie outriggerów: (a) na wysokości, (b) na rzucie
Tablica 3.5. Przyjęte przekroje elementów outriggera
Elementy outriggera
Oznaczenie profilu
h
[mm]
b
[mm]
tw
[mm]
tf
[mm]
Pasy
500x300x80x16
500
300
80
16
Skratowanie
1500x300x80x16
1500
300
80
16
Oznaczenia jak w Tablicy 3.2
17
3.2.5. Stężenie portalowe
Symbolem Di-Wang Tower jest portalowe wejście do budynku. Składa się ono z dwóch bardzo
grubych ścian żelbetowych oraz stalowego stężenia w kształcie litery A (Rys. 3.9). Na
podstawie [Kim95] i Rys H.2 przyjęto że ściana portalu ma 300 cm grubości i wykonana jest z
betonu klasy C45/55. Przekroje stężenia przyjęto na podstawie rysunku na stronie 248 [Kim95]
ze stali 18G2A. Wymiary przekrojów zestawiono w Tablicy 3.6.
Rys. 3.9 Portalowe wejście do budynku (oznaczenia jak w Tablicy 3.6)
Tablica 3.6. Przyjęte przekroje elementów stężenia portalowego
Elementy stężenia
portalowego
Oznaczenie profilu
h
[mm]
b
[mm]
tw
[mm]
tf
[mm]
1
1700x1200x60x20
1700
1200
60
20
2
500x500x25x25
500
500
25
25
3
1200x1200x25x25
1200
1200
25
25
Oznaczenia elementów Rys. 3.9
Oznaczenia wymiarów jak w Tablicy 3.2
3.2.6. Fundamenty
Budynek posadowiony jest na kesonach [Kim95].
18
4. Obciążenia
Do projektowania rzeczywistej konstrukcji przyjmowano obciążenia zgodnie z przepisami
chińskich norm GBJ 9-87. Chińskie przepisy nie wymagają analizy sejsmicznej dla budynków
w mieście Shenzhen, ale władze miasta nakazują wykonanie takich badań dla budynków
wysokich. Analizę sejsmiczną dla budynku Di-Wang Tower przeprowadzono zgodnie z
przepisami GBJ 11-89 dla VII strefy aktywności sejsmicznej w skali MM i kategorii gruntu SC II
przy 3% tłumieniu [Li04].
Do obliczeń w pracy zebranie obciążeń wykonano zgodnie z przepisami zawartymi w
Eurocodach dotyczących oddziaływań na konstrukcje [N1]. Obciążenie wiatrem przyjęto na
podstawie [Kim95] (szczegółowy opis w p. 4.6 i Załącznik G). Szczegóły rozwiązań warstw
stropów zaczerpnięto z istniejącego budynku biurowego BTA Office Center zlokalizowanego w
Warszawie przy ulicy Rzymowskiego 34 [I4].
19
4.1. Zebranie obciążeń dla powierzchni biurowych
Wartość
Charakterystyczna
[kN/m2]
Rodzaj obciążenia
Współczynnik
częściowy γ
Wartość
Obliczeniowa
[kN/m2]
Obciążenia stałe
Wykładzina podłogowa
0,07 kN/m2
0,07
1,35
0,09
Warstwa wyrównawcza z zap. cem. 3 cm
23,00 kN/m3 * 0,03 m
0,69
1,35
0,93
Folia izolacyjna
0,05 kN/m2
0,05
1,35
0,07
Wełna mineralna – Stroprock 5 cm [I5]
1,61 kN/m3 * 0,05 m
0,08
1,35
0,11
Płyta żelbetowa 10 cm
24,00 kN/m3 * 0,10 m
2,40
1,35
3,24
Blacha fałdowa
0,18 kN/m2
0,18
1,35
0,24
Stalowe belki stropowe (H 600x30x12x20)
1,47 kN/m / 2,18 m
0,67
1,35
0,90
0,01
1,35
0,14
4,24
1,35
5,72
3,00
1,50
4,50
Sufit podwieszany
0,01 kN/m2
Suma
Obciążenia użytkowe
Powierzchnia użytkowa kategorii B (1)
3,00 kN/m2
Obciążenie ściankami działowymi
1,20 kN/m2
(2)
1,20
1,50
1,80
Suma
4,20
1,50
6,30
Razem
8,44
(1) Powierzchnia użytkowa kategorii B – Powierzchnia biurowa [N2, Tab. 6.1]
(2) Ścianki działowe o ciężarze własnym
≤
3,0 kN/m [N2, pkt. 6.3.1.2]
20
12,02
4.2. Zebranie obciążeń dla powierzchni komunikacyjnych
Wartość
Charakterystyczna
[kN/m2]
Rodzaj obciążenia
Współczynnik
częściowy γ
Wartość
Obliczeniowa
[kN/m2]
Obciążenia stałe
Płytki granitowe 4 cm
30,00 kN/m3 * 0,04 m
1,20
1,35
1,62
23,00 kN/m3 * 0,03 m
0,69
1,35
0,93
Folia izolacyjna
0,05 kN/m2
0,05
1,35
0,07
Wełna mineralna – Stroprock 5 cm
1,61 kN/m3 * 0,05 m
0,08
1,35
0,11
24,00 kN/m3 * 0,10 m
2,40
1,35
3,24
Blacha fałdowa
0,18 kN/m2
0,18
1,35
0,24
1,47 kN/m / 2,18 m
0,67
1,35
0,90
Sufit podwieszany
0,01 kN/m2
0,01
1,35
0,14
5,35
1,35
7,23
5,00
1,50
7,50
Suma
5,00
1,50
7,50
Razem
10,35
Suma
Powierzchnia użytkowa kategorii C3 (1)
5,00 kN/m2
(1) Powierzchnia użytkowa kategorii C3– Powierzchnie, na których mogą gromadzić się ludzie
[N2, Tab. 6.1]
21
14,73
4.3. Zebranie obciążeń dla powierzchni pomieszczeń technicznych
Wartość
Charakterystyczna
[kN/m2]
Rodzaj obciążenia
Współczynnik
częściowy γ
Wartość
Obliczeniowa
[kN/m2]
Obciążenia stałe
23,00 kN/m3 * 0,05 m
1,15
1,35
1,55
Folia izolacyjna
0,05 kN/m2
0,05
1,35
0,07
1,61 kN/m3 * 0,05 m
0,08
1,35
0,11
24,00 kN/m3 * 0,10 m
2,40
1,35
3,24
Blacha fałdowa
0,18 kN/m2
0,18
1,35
0,24
1,47 kN/m / 2,18 m
0,67
1,35
0,90
Sufit podwieszany
0,01 kN/m2
0,01
1,35
0,14
4,61
1,35
6,23
5,00
1,50
7,50
Suma
5,00
1,50
7,50
Razem
9,61
Suma
Obciążenie użytkowe
5,00 kN/m2
(1)
(1) Wartość tą przyjęto na podstawie ciężarów przykładowych urządzeń technicznych :
Centrala klimatyzacyjna firmy Menerga: Q = 23,0 kN, q = 3,0 kN/m2 [I6]
Rozdzielnica prądowa firmy Transforma: Q = 6,0 kN, q = 5,0 kN/m2 [I7]
22
13,73
4.4. Zebranie obciążeń dla powierzchni kondygnacji podziemnych
Wartość
Charakterystyczna
[kN/m2]
Rodzaj obciążenia
Współczynnik
częściowy γ
Wartość
Obliczeniowa
[kN/m2]
Obciążenia stałe
Posadzka cementowa zbrojona 10 cm
24,00 kN/m3 * 0,10 m
2,40
1,35
3,24
Folia izolacyjna
0,05 kN/m2
0,05
1,35
0,07
1,61 kN/m3 * 0,05 m
0,08
1,35
0,11
24,00 kN/m3 * 0,20 m
4,80
1,35
6,48
Belka żelbetowa (70x40 cm)
24,00 kN/m3 * 0,70m *0,40 m / 2,18 m
3,08
1,35
4,16
10,41
1,35
14,05
Suma
Kategoria powierzchni ruchu F (1)
2,50 kN/m2
2,50
1,50
3,75
Suma
2,50
1,50
3,75
Razem
12,91
(1) Kategoria powierzchni ruchu F – ciężar całkowity pojazdu < 30 kN[N2, Tab. 6.8]
23
17,80
4.5. Zebranie obciążeń dla dachu
Wartość
Charakterystyczna
[kN/m2]
Rodzaj obciążenia
Współczynnik
częściowy γ
Wartość
Obliczeniowa
[kN/m2]
Obciążenia stałe
Żwir gruby 10 cm
18,00 kN/m3 * 0,10 m
1,80
1,35
2,43
Papa wierzchnia (termozgrzewalna)
0,10 kN/m2
0,10
1,35
0,14
Papa podkładowa (mocowana mech)
0,10 kN/m2
0,10
1,35
0,14
Wełna mineralna – Monrock Max 18 cm
1,30 kN/m3 * 0,18 m
0,23
1,35
0,32
24,00 kN/m3 * 0,10 m
2,40
1,35
3,24
Blacha fałdowa
0,18 kN/m2
0,18
1,35
0,24
0,67
1,35
0,90
5,48
1,35
7,40
1,00
1,50
1,50
Suma
1,00
1,50
1,50
Razem
6,48
1,47 kN/m / 2,18 m
Suma
Kategoria obciążenia pow. dachu H (1)
1,00 kN/m2
8,90
(1) Kategoria obciążenia powierzchni dachu H – Dach bez dostępu z wyjątkiem zwykłego utrzymania i napraw [N2,
Tab. 6.9]
24
4.6. Wartości obciążenia wiatrem przyjęte do obliczeń
Podczas projektowania budynku obciążenie wiatrem wyznaczano na podstawie: obliczeń
według normy chińskiej [N7] i badań w tunelu aerodynamicznym Boundry Layer Wind Tunnel
Laboratory na uniwersytecie Western Ontario [Cro93, BLWTL]. Wartości sił poprzecznych
obliczone dla obciążenia wiatrem wg [N7], BLWTL oraz przyjętych do projektowania
przedstawiono na rysunku 4.1. [Kim95, Li04]
Rys. 4.1 Siły poprzeczne wywołane wiatrem po kierunku Y [Kim95]
Rys. 4.2 Oznaczenie kierunków
25
Tablica 4.1 Wartości obciążenia wiatrem q po kierunku y ( q y  z  ) i x ( q x  z ) w kN/m
z [m]
od poziomu
terenu
qy z 
q x  z
0,0
67,45
34,93
10,0
76,73
39,73
20,0
86,15
44,62
30,0
95,69
49,56
40,0
105,32
54,54
50,0
115,01
59,56
60,0
124,71
64,58
70,0
134,40
69,60
80,0
144,04
74,59
90,0
153,61
79,55
100,0
163,06
84,44
110,0
172,37
89,27
120,0
181,50
94,00
130,0
190,43
98,62
140,0
199,11
103,11
150,0
207,51
107,47
160,0
215,61
111,66
170,0
223,37
115,68
180,0
230,75
119,50
190,0
237,72
123,11
200,0
244,26
126,49
210,0
250,32
129,63
220,0
255,88
132,51
230,0
260,90
135,11
240,0
265,35
137,41
250,0
269,19
139,40
260,0
272,40
141,07
270,0
274,93
142,38
280,0
276,77
143,33
290,0
277,86
143,90
298,0
278,19
144,07
W pracy dyplomowej na podstawie wykresu sił poprzecznych przyjętych do projektowania
(Rys. 4.1) wyznaczono wartości i rozkład obciążenia wiatrem, który przyjęto do obliczeń.
Wyprowadzenie
wzorów
opisujących
rozkład
obciążenia
wiatrem
przedstawiono
w
załączniku G. Wyznaczone w załączniku G obciążenie wiatrem po kierunku podłużnym (Y)
26
określa wzór 4.1, a po kierunku poprzecznym (X) wzór 4.2. Stablicowane wartości tych funkcji
zestawiono w Tablicy 4.1.
2
q y  z =67,4549030,918568 z0,000921 z −0,000004 z
q x  z=
Lx
q  z
Ly y
3
(4.1)
(4.2)
4.7. Obciążenie śniegiem
Zgodnie z informacjami zawartymi [I8] w mieście Shenzhen panuje klimat subtropikalny
morski. Charakteryzuje się on długim latem, krótką ciepłą zimą. Z tego względu w obliczeniach
budynku pominięto obciążenia śniegiem.
27
5. Opis wykorzystywanych programów komputerowych
5.1. BW dla Windows
BW jest systemem do modelowania i analizowania budynków wysokich. System
umożliwia
analizę
budynków
usztywnionych
przestrzennymi
układami
ścianowymi
z nadprożami o dowolnym rzucie, bez nakładania istotnych ograniczeń na wielkość
obliczanych konstrukcji. Obliczane budynki mogą być poddane oddziaływaniu obciążeń
statycznych: wielu dowolnie rozłożonych obciążeń poziomych, pionowych i osiadań oraz
dowolnej liczbie zestawów wymuszeń kinematycznych. System oparty jest na modelu ciągłym.
(Dokładniejszy opis metody obliczeń systemu BW
dla Windows zamieszczono w
załączniku A).
System BW składa się z trzech programów:
•
Preprocesora POL-3,
•
Jądra obliczeniowego BW dla Windows,
•
Postprocesora BW-View.
5.1.1. Preprocesor POL – 3
Służy on do budowy modelu konstrukcji, a także definiowania obciążeń. Modelowanie odbywa
się w środowisku AutoCAD dzięki czemu do budowy modelu można używać rysunków
architektonicznych. Wprowadzanie danych jest intuicyjne dzięki interfejsowi programu POL –
3. Kolejność wprowadzania danych sugerują nam opcje w menu. Po wybraniu w menu
głównym
[Dane] rozwija się lista kategorii danych: Wstępne, Konstrukcja, Obciążenia,
Wydruki, Dynamika, Popraw pionowe.
•
[Wstępne] – wprowadza się informacje ogólne o budynku, autorze danych, jednostki
w których podaje się dane.
•
[Konstrukcja] – po wybraniu tej funkcji otwiera się nowe okno służące do budowy
modelu konstrukcji. Wprowadza się ściany, nadproża, złącza ścian, skrajnie budynku
oraz rzędne wysokości. Wszystkie dane można wprowadzać z rysunków bądź
ręcznie.
•
[Obciążenia] - opcja ta służy do wprowadzania obciążeń. Możliwe jest definiowanie
różnego rodzaju obciążeń: jednostkowych, poziomych ogólnych, normowych (od
wiatru według [N3]), skupionych, pionowych oraz osiadania. Do programu
wprowadza się charakterystyczne wartości obciążeń. Zestawy i kombinacje obciążeń
definiuje się po wybraniu funkcji Ekstrema.
28
•
[Wydruki] – funkcja służąca do określenia danych jakie mają znaleźć się w
dokumentacji po zakończeniu obliczeń.
•
[Dynamika]
–
funkcja
służąca
do
wprowadzenia
danych
potrzebnych
do
przeprowadzenia analizy dynamicznej między innymi: ciężar stropu, spektrum
odpowiedzi, metody sumowania postaci drgań.
Rys. 5.1 Interfejs programu POL3 a) widok ogólny, b) zakładka dane
Rys. 5.1 Elementy menu: a) Konstrukcja b) Obciążenia c) Dynamika
5.1.2. Jądro obliczeniowe BW
Program ten jest odpowiedzialny za wykonanie wszystkich obliczeń. Zbudowany jest na
podstawie modelu ciągłego według algorytmu w wersji metody sił. Zastosowanie modelu
ciągłego znacznie zmniejsza wymiar zadania w porównaniu z modelami dyskretnymi. Jeszcze
istotniejszy jest fakt, że zastosowanie modelu ciągłego pozwala uniknąć problemu złego
uwarunkowania zadań.
BW dla Windows składa się z 24 modułów pierwszego rzędu. Moduły komunikują się między
29
sobą za pomocą jednego pliku dyskowego. Każdy moduł wykonuje ściśle określone zadania
takie jak:
•
wczytywanie danych o konstrukcji, obciążeniach i wariantach ekstremów oraz
sprawdzenie poprawności danych,
•
obliczanie charakterystyk geometrycznych elementów usztywniających,
•
budowanie macierzy charakteryzujących konstrukcje oraz wektora obciążeń,
•
rozwiązanie układu równań różniczkowych oraz wykonanie obliczeń wartości sił
wewnętrznych , naprężeń i przemieszczeń,
•
generowanie wyników.
Generowane są tylko wyniki obliczeń zdefiniowane przez użytkownika. Program oblicza
wartości przemieszczeń, sił wewnętrznych i naprężeń dla elementów usztywniających. Zawsze
generowana są tablice zawierające charakterystyki geometryczne elementów usztywniających,
nadproży i złączy podatnych. Komplet wyprowadzonych wyników programu BW dla Windows
umożliwia bezpośrednie sprawdzenie warunku sztywności konstrukcji usztywniającej, a także
wymiarowanie przekrojów żelbetowych nadproży i ścian usztywniających.
5.1.3. Postprocesor BW-View
Jest to program służący do wizualizacji wyników obliczonych w BW dla Windows. Składa się
on z dwóch wizualizatorów: naprężeń i przemieszczeń i funkcji wzdłuż wysokości budynku.
●
Wizualizator naprężeń – rysuje mapy naprężeń w ścianach konstrukcji usztywniającej
(po wykonaniu obliczeń). Program pełni również funkcje preprocesora – pozwala na
obejrzenie konstrukcji wykonanej w POL-3 przed przystąpieniem do obliczeń.
●
Wizualizator przemieszczeń
–
wizualizuje
przemieszczenia
ścian
konstrukcji
usztywniającej lub przemieszczenia ekstremalne wybranych punktów, co w znaczny
sposób ułatwia sprawdzenie ich poprawności i analizę.
●
Wizualizator funkcji
–
wizualizuje m .in. funkcje obciążeń, przemieszczeń i sił w
nadprożach wzdłuż wysokości budynku.
Oprócz dwóch w/w wizualizatorów postprocesor BW-View pozwala na wizualizację zmienności
funkcji przemieszczeń i sił w nadprożach.
30
5.2. Robot Millennium
System Robot Millennium jest zintegrowanym programem graficznym służącym do
modelowania, analizowania i wymiarowania różnych rodzajów konstrukcji. Oparty jest na
metodzie
elementów
skończonych.
Program
pozwala
na
tworzenie
konstrukcji,
przeprowadzenie obliczeń statycznych konstrukcji, weryfikację otrzymanych wyników,
obliczenia normowe elementów konstrukcji oraz tworzenie dokumentacji dla policzonej i
zwymiarowanej konstrukcji.
5.2.1. Podstawowe cechy systemu Robot Millennium:
●
w pełni graficzne definiowanie konstrukcji w edytorze graficznym (dopuszczalne jest
również wczytanie do programu pliku np. w formacie DXF zawierającego geometrię
konstrukcji przygotowaną w innym programie graficznym),
●
możliwość graficznej prezentacji projektowanej konstrukcji oraz przedstawienie na ekranie
różnorakich wyników obliczeń (siły, naprężenia, przemieszczenia, praca jednocześnie w
kilku oknach na ekranie itp.),
●
możliwość obliczania (wymiarowania) konstrukcji w trakcie projektowania kolejnej
konstrukcji (wielowątkowość),
●
możliwość prowadzenia analizy statycznej i dynamicznej konstrukcji,
●
możliwość nadawania typu pręta w trakcie tworzenia modelu konstrukcji, a nie dopiero w
modułach normowych,
●
możliwość dowolnego komponowania wydruku (notki obliczeniowe, zrzuty ekranu,
kompozycja wydruku, przenoszenie obiektów do innych programów).
System Robot Millennium składa się z kilku modułów, które są odpowiedzialne za pewien etap
projektowania
konstrukcji
(tworzenie
modelu
konstrukcji,
obliczenia
konstrukcji,
wymiarowanie). Moduły pracują w tym samym środowisku.
Po uruchomieniu systemu Robot Millennium na ekranie pojawia się okno (Rys. 5.3)
pozwalające wybrać typ konstrukcji, która ma być projektowana:
●
ramy płaskiej,
●
kratownicy płaskiej,
●
rusztu,
●
kratownicy przestrzennej,
●
ramy przestrzennej,
●
płyty,
31
●
powłoki,
●
konstrukcji w płaskim stanie naprężenia,
●
konstrukcji w płaskim stanie odkształcenia,
●
konstrukcji osiowosymetrycznej,
●
konstrukcji objętościowej (bryły),
Rys. 5.3 Okno wyboru konstrukcji w systemie Robot Millennium
Po wybraniu jednego z powyższych typów konstrukcji uruchamiany jest moduł dostosowany
do danego typu konstrukcji. Również menu i paski narzędziowe dostosowywane są do danego
typu konstrukcji.
Standardowy ekran (w większości modułów) systemu Robot Millennium (Rys. 5.4) zawiera
następujące elementy:
●
górna belka, na której podawane są podstawowe informacje dotyczące zadania (nazwa
projektu, dane dotyczące obliczeń konstrukcji: wyniki aktualne, wyniki nieaktualne, w
trakcie obliczeń),
●
menu i paski narzędziowe (również pasek narzędziowy po prawej stronie ekranu znajdują się tam najczęściej używane ikony) i lista wyboru ekranów systemu Robot
Millennium,
●
listy wyboru następujących wielkości: węzłów, prętów, przypadków obciążenia, postaci
drgań własnych,
●
pole graficzne (edytor graficzny), które służy do modelowania i wizualizacji konstrukcji,
●
pasek narzędziowy znajdujący się poniżej pola graficznego, w którym znajdują się ikony
pozwalające na wyświetlenie na ekranie: numerów węzłów/prętów, numerów paneli,
symboli podpór, szkiców profili, symboli i wartości obciążeń oraz deformacji konstrukcji
dla danego przypadku obciążeniowego,
32
●
pole na dole ekranu, w którym prezentowane są następujące informacje: nazwy
otwartych pól edycyjnych (viewers), współrzędne położenia kursora, używane jednostki
oraz kilka opcji których naciśnięcie powoduje otwarcie okien dialogowych (Wyświetlanie
atrybutów, Tryb kursora) lub podanie informacji na temat dostępnych zasobów.
Rys. 5.4 Standardowy ekran (większości modułów) systemu Robot Millennium
System Robot Millennium posiada układ tzw. Ekranów, który ułatwia wykonywanie kolejnych
kroków projektowania. W zależności od wykonywanej czynności (wprowadzanie modelu,
definiowanie przekrojów, obciążeń itd.) wybiera się odpowiedni ekran, po jego wybraniu
wyświetlają się specjalne okna dialogowe, pola edycji i tabele przeznaczone ściśle do
wykonywanej operacji. Ekrany na liście ustawione są tak, aby sugerować kolejne etapy
modelowania i wymiarowania konstrukcji.
5.2.2. Dostępne typy analizy w systemie Robot Millennium:
●
statyka liniowa,
●
statyka nieliniowa (z uwzględnieniem efektu P-Delta) - nieliniowość jest tu
nieliniowością geometryczną,
●
wyboczenie (nie są uwzględniane efekty II rzędu),
●
analiza modalna (drgania własne konstrukcji),
●
analiza modalna z uwzględnieniem sił statycznych - używana powszechnie analiza
modalna (wyznaczanie drgań własnych konstrukcji) nie uwzględnia sił statycznych; aby
zbliżyć się do realnych warunków pracy konstrukcji, w obliczeniach przeprowadzanych
w programie Robot może zostać wykorzystana analiza modalna z uwzględnieniem
przyłożonych sił statycznych,
●
analiza sejsmiczna (dostępne są następujące normy: francuskie PS69, PS92 i AFPS,
33
europejska norma EC8, amerykańska UBC97, hiszpańska norma NCSR-02, rumuńska
P100-92, algierskie RPA88, RPA99 i RPA 99, marokańska RPS 2000, turecka norma
sejsmiczna, chilijska norma sejsmiczna NCh 433.Of96, chińskie normy sejsmiczne,
argentyńska norma sejsmiczna CIRSOC 103, greckie normy EAK 2000 i EAK
2000/2003, norma wydana w USA IBC 2000, norma Monako, norma kanadyjska NBC
1995, normy rosyjskie: SniP II-7-81 i SniP 2001),
●
analiza spektralna,
●
całkowanie równań ruchu (analiza czasowa) - dostępna jest również nieliniowa analiza
czasowa,
●
analiza sprężysto-plastyczna prętów (w obecnej wersji programu analiza ta jest
dostępna tylko dla profili stalowych),
●
analiza prętów pracujących tylko na ściskanie/rozciąganie oraz analiza konstrukcji
kablowych.
Statyka liniowa jest domyślnym typem analizy konstrukcji w programie tzn. jeżeli nie
zdefiniowano innego typu analizy, to program przeprowadzi obliczenia statyczne zdefiniowanej
konstrukcji.
5.2.3. Ogólne reguły budowania modelu w systemie Robot Millennium:
●
Nowe węzły powstają automatycznie w trakcie definiowania prętów. Jeżeli pręt
tworzony jest w oparciu o istniejące węzły - nie zostaną utworzone nowe węzły.
●
Usunięcie pręta pozostawia jego węzły.
●
Nadając atrybuty (podpory, profile, obciążenia, grubość panela itp.) można najpierw
ustalić ich właściwości, a następnie wskazać kolejne pręty/węzły/panele/bryły, którym
mają być przypisane. Czasami wygodniej jest odwrócić ten porządek i najpierw
utworzyć selekcję (wybrać listę prętów/węzłów/paneli/brył), a następnie określić atrybut.
Zostanie on przypisany aktualnie wybranym prętom/węzłom/panelom/bryłom.
●
Typ pręta może zostać nadany już w trakcie definiowania konstrukcji.
●
Elementy płytowe definiowane są jako panele modelujące stropy i ściany w budynkach.
Panele definiuje się w dwóch etapach: w pierwszym nadaje się jego kontury, w drugim
właściwości (materiał, grubość typ zbrojenia). Po zdefiniowaniu paneli i rozpoczęciu
obliczeń konstrukcji tworzona jest siatka powierzchniowych elementów skończonych
zgodnie z parametrami wybranymi w oknie dialogowym Preferencje zadania.
Procedura tworzenia siatki elementów dla danego konturu może być wielokrotnie
powtórzona. W programie dostępne są dwa rodzaje powierzchniowych elementów
34
skończonych:
•
elementy trójkątne (3- lub 6-węzłowe),
•
elementy czworokątne (4- lub 8-węzłowe).
W programie Robot zalecane jest używanie 3- i 4-węzłowych elementów powierzchniowych.
Funkcje wykorzystywane podczas tworzenia siatki elementów skończonych tworzą najpierw
węzły wewnątrz wybranego obszaru, a następnie przypisują utworzone węzły do odpowiednich
elementów skończonych. Węzły wewnątrz obszaru (konturu) mogą być tworzone przy pomocy
algorytmu triangularyzacji Delaunay’a lub metody Coons’a.
35
6. Przygotowanie modelu cyfrowego konstrukcji usztywniającej
6.1. Wstępne dobranie przekrojów
Rys. 6.1 Pozycje obliczeniowe
6.1.1. Wstępne dobranie przekroju belki stropowej
Obciążenia belki stropowej wyliczono przemnażając wartość obciążeń z p. 4.2 przez rozstaw
belek z Rys. 6.1
Obciążenia stałe:
7,23 kN/m2 * 2,175 m = 15,73 kN/m
Obciążenia użytkowe:
7,50 kN/m2 * 2,175 m = 16,31 kN/m
Dla schematu statycznego belki przedstawionego na rysunku 6.2 wyznaczono wartości
maksymalnego momenty zginającego M oraz reakcje podporowe R .
Rys. 6.2 Schemat statyczny belki stropowej
36
2
M=
2
 g q l 15,7316,3111,75
=
=576,72 kNm
8
8
(6.1)
 gq l 15,7316,3112
=
=192,24 kN
8
8
(6.2)
R=
Przyjęto stal 18G2A (S355) o fd = 285 MPa = 28,5 kN/cm2, E = 205 GPa= 20500kN/cm2
Wyznaczenie potrzebnego wskaźnika wytrzymałości dla przekroju zginanego z warunku
nośności:
W =1,1 M / f d =1,1
57672 kNcm
3
= 2023,58 cm
28,50 kN / cm2
(6.3)
Wyznaczenie potrzebnego momentu bezwładności z warunku ugięcia [N4]
f =l /350=1200 / 350=3,4286
3
5 g k q k l
I=
=
384 f E
(6.4)
15,73 16,31

 123
1,35
1,50
2
=7207,80 cm
384⋅0,0343⋅2,05
5
Z warunku nośności oraz z zaleceń [Zół04] dotyczących wysokości belek stropowych
h=


1
÷ 1 l dobieram przekrój dwuteowy wg japońskiej normy JIS G 3192 (1994):
20 25
H 500 x 300 x 11 x 15 o w = 2418 cm3
6.1.2. Wstępne dobranie rygla ramy zewnętrznej
Do wstępnego określenia wymiaru rygla przyjmuję wartości momentów obliczone jak dla belki
jednoprzęsłowej, utwierdzonej na obu końcach [Kap03 s.123]. Obciążeniem rygla są reakcje
pionowe z belek stropowych. Schemat statyczny rygla przedstawia Rys. 6.3
Rys. 6.3 Schemat statyczny rygla
37
Wartości momentów przedstawia Rys. 6.4 (obliczenia wykonano w programie RM-Win).
Przekrój dobieram dla wartości maksymalnej M =522,662 kNm
Rys. 6.4 Wartości momentów zginających M [kNm]
Przyjęto stal 18G2A (S355) o fd = 285 MPa = 28,5 kN/cm2, E = 205 GPa= 20500kN/cm2
Wyznaczenie potrzebnego wskaźnika wytrzymałości dla przekroju zginanego z warunku
nośności:
W =1,1
52266,2 kNcm
28,50 kN / cm 2
Dobieram przekrój dwuteowy wg japońskiej normy JIS G 3192 (1994):
H 500 x 300 x 11 x 15 o W = 2418 cm3
6.1.3. Wstępne dobranie przekroju nadproża
Do wstępnego określenia wymiarów nadproża wykorzystuje wartości sił z wyników obliczeń z
pracy przejściowej, gdzie wykonano wstępne obliczenia budynku o stałej grubości trzonu.
Tmax = 3407,94 kN, Mmax = 5451,351 kNm.
Potrzebne pole przekroju ścinanego obliczam z wzoru:
AV =
W =1,1
V
3407,94
=
=206,17 cm 2
0,58 f d 0,58⋅28,5
(6.5)
M
545135,1kNcm
3
=1,1
=21040,30 cm
fd
28,50 kN /cm 2
Z [Tab06] przyjęto przekrój dwuteowy HE 1000x584 o wymiarach: h = 1000 mm, bf = 314 mm,
tf = 64 mm, tw=35,5 mm, Av = 312,4 cm2, W = 23600 cm3, Ix = 1 246 000.00 cm4, A = 744 cm2.
38
6.1.4. Dobranie wymiarów belek stropowych w kondygnacjach podziemnych.
●
Przyjęcie wysokości belki
Zebranie obciążeń
Obciążenia stałe:
14,05 kN/m2 * 2,175 m = 30,56 kN/m
Obciążenia użytkowe:
3,75 kN/m2 * 2,175 m = 8,16 kN/m
Przyjęto schemat belki wolnopodpartej o rozpiętości 11,75 m. Moment zginający obliczono z
wzoru (6.1).
Przyjmuję dane : fcd = 16,7 MPa (C25/30), fyd = 420 MPa (stal – AIIIN), ρ = 0,01, a1 = 4 cm, b
= 40 cm
M =0,125  g q  l
2
(6,6)
2
M=
30,568,1611,75
=668,22 kNm
8
eff =
=0,01
f yd
f cd
(6.7)
420
=0,251497
16,7
eff =eff 1−0,5 eff 
(6.8)
=0,251497 1−0,5⋅0,251497=0,219872
d=
d=


M
f cd b  eff
66822
=67,45 cm
1,67⋅40⋅0,219872
d = 66 cm
Przyjmuję : h= d  a1= 66  4 = 70 cm
ξ – względna wysokość strefy ściskanej
ρ – stopień zbrojenia przekroju
fyd – wytrzymałość obliczeniowa zbrojenia
fcd – wytrzymałość obliczeniowa betonu
b – szerokość przekroju
h – wysokość przekroju belki
d – odległość od krawędzi ściskanej przekroju do środka ciężkości zbrojenia
a1 – grubość otuliny prętów zbrojeniowych
39
(6.9)
6.2. Przygotowanie modelu cyfrowego konstrukcji usztywniającej dla
programu BW dla Windows
6.2.1. Opis modelu
Program POL3 pozwala na budowanie modelu o stałym przekroju poprzecznym budynku. Aby
wykonać w programie BW obliczenia budynku o zmiennych przekrojach budynek dzieli się na
strefy o stałym przekroju i buduje dla nich osobne modele.
Rzeczywista konstrukcja składa się ze stalowej ramy zewnętrznej zbudowanej z przekrojów
skrzynkowych. W programie BW można wprowadzać tylko pełne elementy prostokątne,
dlatego przekroje rzeczywiste zostały przeliczone na żelbetowe prostokątne przekroje
zastępcze. Obliczenia przeprowadzono w pkt 6.2.3.
W przypadku budynku Di-Wang Tower konstrukcja została podzielona na sześć stref o stałym
przekroju. W programie POL3 sporządzono sześć plików z danymi. Podział budynku na strefy
pokazano na rysunku 6.6. opis stref zestawiono w Tablicy 6.1
Tablica 6.1 Zestawienie stref budynku
Nr kondygnacji
Liczba
Nr strefy
kondygnacji
od
do
1
-3
5
8
2
6
26
3
27
4
Wysokość
strefy [m]
Rzędne strefy
(od poziomu terenu)
od
do
53,35
-14,00
31,95
21
78,75
31,95
118,20
45
19
75,00
118,20
193,20
46
61
16
60,00
193,20
253,20
5
62
70
9
37,50
253,20
290,70
6
71
72
2
7,34
290,70
298,04
Przyjęty podział budynku wynika z rozmieszczenia outriggerów w rzeczywistej konstrukcji oraz
zmienności przekroju trzonu lub słupów:
●
Strefa 1 – od poziomu posadowienia do zakończenia portalu na kondygnacji nr 5.
Grubość trzonu 75 cm, przekroje stalowe słupów wypełnione betonem,
●
Strefa 2 – od outriggera nr 1 do outriggera nr 2. Grubość trzonu 75 cm, przekroje
stalowe słupów wypełnione betonem,
●
Strefa 3 – do outriggera nr 3 gdzie następuje zmiana grubości trzonu. Grubość trzonu
75 cm, przekroje stalowe słupów wypełnione betonem,
●
Strefa 4 – do kondygnacji 61 gdzie następuje zmiana przekrojów słupa (brak
wypełnienia betonem). Grubość trzonu 60 cm, słupy wypełnione betonem,
40
●
Strefa 5 – do outriggera nr 4, zakończenie słupów, trzon grubości 60 cm, przekroje
stalowe słupów nie wypełnione betonem,
●
Strefa 6 – zakończenie konstrukcji trzonu.
Wszystkie elementy powyżej wprowadzono jako attykę.
Rzuty poszczególnych stref przedstawiono na rysunkach 6.7 do 6.11
Rys. 6.6 Podział budynku Di-Wang Tower na strefy, opis elementów rzutu
41
Rys. 6.7 Rzut strefy 1
Rys. 6.8 Rzut strefy 2, 3
Rzędna modelu:
●
poziom terenu = 0.000 m
●
poziom utwierdzenia = -14.000 m
●
szczyt zasadniczej części budynku = 298.040 m
●
szczyt attyk = 325.230 m
●
Rozstaw outriggerów przyjęto jako wartość średnią s= 298,04 14 / 4=78,1 m ≈78,0 m
42
Tablica 6.2 Zestawienie kondygnacji budynku
Nr
Rzędna
Wysokość
Nr
Rzędna
Wys.
Nr
Rzędna
Wys.
Nr
Rzędna
Wys.
Nr
Rzędna
Wys
-3
-10,50
3,50
13
65,70
3,75
28
125,70
3,75
43
182,33
3,75
58
241,95
3,75
-2
-7,00
3,50
14
69,45
3,75
29
129,45
3,75
44
186,45
4,13
59
245,70
3,75
-1
0,00
7,00
15
73,20
3,75
30
133,20
3,75
45
193,20
6,75
60
249,45
3,75
1
6,00
6,00
16
76,95
3,75
31
136,95
3,75
46
196,95
3,75
61
253,20
3,75
2
12,00
6,00
17
80,70
3,75
32
140,70
3,75
47
200,70
3,75
62
256,95
3,75
3
17,00
5,00
18
84,45
3,75
33
144,45
3,75
48
204,45
3,75
63
260,70
3,75
4
24,48
7,48
19
88,20
3,75
34
148,20
3,75
49
208,20
3,75
64
264,45
3,75
5
31,95
7,48
20
91,95
3,75
35
151,95
3,75
50
211,95
3,75
65
268,20
3,75
6
39,45
7,50
21
95,70
3,75
36
155,70
3,75
51
215,70
3,75
66
271,95
3,75
7
43,20
3,75
22
99,45
3,75
37
159,45
3,75
52
219,45
3,75
67
275,70
3,75
8
46,95
3,75
23
103,20
3,75
38
163,20
3,75
53
223,20
3,75
68
279,45
3,75
9
50,70
3,75
24
106,95
3,75
39
166,95
3,75
54
226,95
3,75
69
283,28
3,83
10
54,45
3,75
25
110,78
3,83
40
170,70
3,75
55
230,70
3,75
70
290,70
7,42
11
58,20
3,75
26
118,20
7,42
41
174,45
3,75
56
234,45
3,75
71
294,37
3,67
12
61,95
3,75
27
121,95
3,75
42
178,20
3,75
57
238,20
3,75
72
298,04
3,67
6.2.2. Opis obciążeń statycznych
●
Wartości obciążeń jednostkowych przyjęto zgodnie z pkt. 4. Na kondygnacjach biurowych
wewnątrz
trzonu
przyjęto
obciążenia
komunikacyjne,
poza
nim
obciążenia
dla
pomieszczeń biurowych. Analogicznie postąpiono w przypadku pomieszczeń technicznych.
Rys. 6.12 Rozkład obciążeń typowych i komunikacyjnych na kondygnacji budynku
●
Obciążenia użytkowe podzielono na 4 części odpowiadające 1/4 rzutu budynku
(Rys. 6.13).
Rys. 6.13 Podział obciążeń użytkowych
43
●
Obciążenie wiatrem wprowadzono zgodnie z pkt 4.9
●
W programie zdefiniowano 7 zestawów obciążeń
●
○
Zestaw 1 i 2 obciążenia wiatrem po kierunku x i y,
○
Zestaw 3 obciążenia pionowe ścian stałe,
○
Zestaw 4, 5, 6, 7 obciążenia pionowe ścian zmienne.
Utworzono dwa warianty ekstremów (tzn. dwie kombinacje obciążeń):
○
Wariant 1 – wartości charakterystyczne obciążeń dla SGU
○
Wariant 2 – wartości obliczeniowe obciążeń dla SGN
6.2.3. Analiza dynamiczna
Do obliczeń dynamicznych programem „BW dla Windows” przyjęto wymiary przekroju
poziomego budynku jak dla strefy 3 sztywności z obliczeń statycznych. Sztywność tej strefy
jest mniejsza od sztywności całego budynku z dwóch powodów:
1. Pominięte zostały ściany „portalu” ze strefy 1,
2. Pominięte zostały ściany kondygnacji podziemnych ze względu na brak informacji.
Z tego powodu przyjęto do obliczeń masy stropów „netto”, tzn. masy odpowiadające samym
obciążeniom stałym.
Wprowadzono dodatkowe dane potrzebne do wykonania obliczeń:
●
gęstość materiału: 25 kN/m3
●
liczbę uwzględnianych postaci drgań ograniczono do 10
●
wybrano metodę CQC do sumowania postaci drgań własnych
●
zdefiniowano trzy typy stropów
Tablica 6.3 Typy stropów wprowadzonych w programie POL-3
Typ
Nr stropu
Odległość środka masy stropu a
wierzchem stropu
Masa
[kg / m2]
3
3; 2; 1
0,10 m
1 041,0
2
8; 28; 47; 72
0,05 m
461,0
1
Pozostałe
0,05 m
424,0
44
●
Do obliczeń dynamicznych przyjęto przyspieszeniowe, hiperboliczne spektrum
odpowiedzi, którego funkcję zdefiniowano za pomocą stałych:
Tablica 6.4 Stałe spektrum odpowiedzi
Współczynnik
Wartość
Objaśnienia
T1
0,1
Granica pierwszego przedziału spektrum odpowiedzi
T2
0,3
Granica drugiego przedziału spektrum odpowiedzi
T3
1,8
Granica trzeciego przedziału spektrum odpowiedzi
C1
0,550
Stała spektrum odpowiedzi
C2
0,980
C3
0,900
C4
0,200
Rys. 6.14 Funkcja spektrum odpowiedzi przyjęta w programie BW
Wykres funkcji przedstawia Rys. 6.14. Wartości stałych C oraz przedziałów T zdefiniowano na
podstawie spektrum odpowiedzi (Rys.6.15) z chińskiej normy sejsmicznej [N8] zamieszczonym
w publikacji [Wen02] i w materiałach programu Robot Millennium.
Do obliczeń, w celu
umożliwienia porównań wyników, przyjęto mniejsze wartości zgodnie z wartościami
przyjmowanymi w programie Robot Millennium. Pokazano je na rysunku 6.15.
Na podstawie informacji o strefie intensywności sejsmicznej i rodzaju podłoża przyjętych do
projektowania [Li04], z publikacji [Wen02] określono wartości:
max =0,23 - dla MM VII (strefa intensywności sejsmicznej wg skali zmodyfikowanej Mercaliego)
T g =0,3 - dla gruntu kategorii SC II i bliskiego epicentrum
45
Rys. 6.15 Projektowe spektrum odpowiedzi według chińskiej normy sejsmicznej zamieszczone w programie Robot
Millennium.
6.2.4. Wyznaczenie betonowych przekrojów zastępczych elementów konstrukcji
Słupy
●
Rys. 6.16 Zasada pracy budynku trzonowego z outriggerami
Z rysunku 6.16 wynika że w budynkach trzonowych z outriggerami pod wpływem obciążeń
poziomych słupy ramy zewnętrznej pracują przede wszystkim jak słupy ściskane i rozciągane.
Z tego powodu przekroje słupów kompozytowych przeliczono na zastępcze przekroje
żelbetowe z wzoru (147) polskiej normy do konstrukcji zespolonych [N6] na nośność
przekrojów osiowo ściskanych.
N pl , Rd = Aa f yd  Ac f cd  A s f
Aa - pole przekroju elementu ze stali konstrukcyjnej
Ac - pole przekroju zbrojenia
As
- pole przekroju zbrojenia
f
=295 MPa
yd
- wytrzymałość obliczeniowa stali wg [N4]
f cd =30 MPa - wytrzymałość betonu na ściskanie wg [N5]
46
sd
(6.10)
f sd =420 MPa - nośność stali zbrojeniowej
Wzór 6.10 po przekształceniu na zastępcze pole przekroju A z otrzymuje postać:
Az=
1
A f
f cd a
yd
 Ac f cd A s f sd 
(6.11)
Na podstawie analizy rzeczywistej konstrukcji przyjęto, że słupy 1 i 4 z występującymi między
nimi skratowaniami można uznać za słupy dwugałęziowe. Ze względu na chęć zmniejszenia
układu równań różniczkowych analizowanego w programie BW, postanowiono przyjąć
zastępczy przekrój prostokątny oznaczony dalej jako Słup 1-4.
Przyjęto że stopień zbrojenia elementów żelbetowych wynosi  =0,04 i na tej podstawie z
wzoru 6.12 określono A s
A s= Ac
(6.12)
Wymiary i parametry geometryczne zastępczych przekrojów zestawiono w Tablicach 6.5 i 6.6.
●
Nadproża
Nadproża przeliczone zostały z warunku sztywności
E s I s= E b I z
(6.13)
E s I s - sztywność przekroju stalowego
E b I z - sztywność przekroju zastępczego
I z=
(6.13)
Es
I
Eb s
E s =205GPa E b=3600 GPa I s =1246000 cm
I z=
h=
4
 p.6.1.3 
205
4
1246000=7095278 cm
36
 

12 I s
12⋅7 095278
=
=104,29
b
75
Przyjmuję h =110 cm
●
Outrigger
Outriggery w programie BW zostały zamodelowane jako złącza. Na podstawie wyników
przemieszczeń (otrzymanych z programu RM-Win) outriggera pod wpływem działania siły
47
P =1000 kN
(Rys. 6.17)
określono
podatność
outriggera
c o=
0,00211
=0,00000211 m / kN .
1000
Następnie przemnożoną ją przez średni rozstaw outriggerów i otrzymano podatność złącza:
c =2,11⋅10−6⋅78,01=164,6⋅10− 6 .
Rys. 6.17 Model obliczeniowy outriggera: a)schemat statyczny b) schemat obliczeniowy c) wykres przemieszczeń
48
Tablica 6.5 Zastępcze przekroje słupów na kondygnacjach -3 do 61
Aa
Ac
As
Az
h
b
A
Ix
Iy
[cm2]
[cm2]
[cm2]
[cm2]
[cm]
[cm]
[cm2]
[cm4]
[cm4]
1
2302,4
21697,60
867,90
56 488,52
4
937,0
9063,00
362,52
23 352,11
600,0
165
98 400,0
2 952 000 000
224 606 250
2
1820,00
14679,80
587,19
40 797,15
350,00
130,00
45 500,00
46 4479 167
64 079 167
3
1604,20
11395,80
455,83
33 552,08
310,00
120,00
37 200,00
297 910 000
44 640 000
5
328,16
3271,80
130,87
5 330,91
70,00
70,00
4 900,00
2 000 833
2 000 833
Słup
Tablica 6.6 Zastępcze przekroje słupów na kondygnacjach 62 do 72
Aa
Ac
As
Az
h
b
A
Ix
Iy
[cm2]
[cm2]
[cm2]
[cm2]
[cm]
[cm]
[cm2]
[cm4]
[cm4]
1
2302,4
0,00
0,00
22640,27
4
937,0
0,00
0,00
9213,83
600,0
55,0
33000,00
990 000 000
8 318 750
2
1820,00
0,00
0,00
17896,67
175,00
105,00
18375,00
46 894 531
16 882 031
3
1604,20
0,00
0,00
15774,63
155,00
100,00
15500,00
31 032 291
12 916 667
5
280,00
0,00
0,00
2753,33
60,00
60,00
3600,00
1 080 000
1 080 000
Słup
49
6.3. Przygotowanie modelu cyfrowego konstrukcji usztywniającej dla
programu Robot Millennium
6.3.1. Budowa modelu
●
Informacje ogólne
Do modelowania wybrano typ konstrukcji: Powłoka. Elementy ścienne modelowane są z
powierzchniowych elementów skończonych o węzłach z 6 stopniami swobody. Dzięki temu nie
ma problemu z łączeniem ich z przestrzennymi elementami prętowymi.
W budowanym modelu, podobnie jak w pracy [Li04], ujednolicono wysokość kondygnacji
powtarzalnych do 3,75 m, a technicznych na których występują outriggery do 7,50 m.
Konstrukcje budynku zamodelowano do 75 kondygnacji odpowiadającej rzędnej 310,0 m od
poziomu terenu. Ostatnie cztery kondygnacje stanowią dwie okrągłe wieże, które są
niewielkimi konstrukcjami stalowymi w porównaniu z resztą budynku, dlatego zostały
pominięte przy budowie modelu. Obciążenia działające na te elementy zostały sprowadzone
do sił skupionych i przyłożone na szczycie konstrukcji.
●
Modelowanie trzonu i nadproży
Trzon konstrukcji zamodelowano z paneli, którym nadano następujące cechy:
•
materiał B55 (E=36 GPa, fcd = 30 MPa)
•
grubość do rzędnej 193,25 m – 75 cm, powyżej do 298,05 m - 60 cm
•
typ zbrojenia: ściana
Trzon zdefiniowano z 6 elementów wysokości jednej kondygnacji. Każdy element składał się z
3 (el. ceowe) lub 5 paneli (el. dwuteowe) (Rys.6.19). Do generacji siatki elementów
skończonych użyto metody Coonsà. Polega ona na utworzeniu powierzchni Coonsà na
konturze panela, którego przeciwległe krawędzie dzielone są na jednakową liczbę odcinków.
Przeciwległe brzegi łączone są liniami prostymi. W ten sposób przecinające się linie tworzą
elementy skończone. Metoda ta jest zalecana dla konturów płaskich o kształcie czworokątnym.
Do generacji siatki narzucono wymiary elementów w zależności od modelu 1,0 i 1,5 m (modele
opisane są w p. 6.3.4).
W celu zwiększenia sztywności trzonu wzdłuż krawędzi pionowych paneli wprowadzono
dodatkowe
pręty
o
parametrach
(A = 218 cm2,
Ix = 107200 cm4,
Wx = 4290,0 cm3,
Iy = 12620 cm4, Wy = 842,0 cm3 odpowiadające profilowi HEB 500 ) [Li04].
Nadproża w trzonie zdefiniowano jako 2-węzłowe przestrzenne elementy prętowe. Profile
prętów zdefiniowano jako przekroje stalowe, dwuteowe ze stali 18G2A o parametrach jak w p.
6.1.3.
50
Rys. 6.18 Rzut i widok aksonometryczny kondygnacji powtarzalnej,
widok aksonometryczny całego modelu
Rys. 6.19 Widok elementów trzonu
●
Modelowanie ramy zewnętrznej i outriggerów
Rama zewnętrzna została zamodelowana z przestrzennych elementów prętowych. Przekroje
rygli przyjęto zgodnie z pkt. 6.1.3. Słupy przyjmowano o stałym przekroju na rzędnych od
-14,00 do 253,25 oraz od 253,25 do szczytu. Przekroje przyjętych słupów opisano w p. 6.3.4
Pomiędzy słupami w osiach B i G wprowadzono stężenia pionowe o przekrojach określonych
w pkt. 3.2.2
51
Outriggery wprowadzono na kondygnacjach technicznych o rzędnych 32.00, 110.75, 185.75,
283.25 m. Zamodelowano je w postaci prętów o przekrojach przyjętych w p. 6.2.4.
Rys. 6.20 Widok outriggerów
●
Stropy
W celu zmniejszenia wielkości zadania stropy budynku ograniczono tylko do belek stropowych
zamocowanych przegubowo do ramy i trzonu. Aby zwiększyć sztywność
modelu
pozbawionego płyt stropowych wprowadzono poziome zastrzały (Rys. 6.18). Profile belek
stropowych i zastrzałów przyjęto zgodnie z pkt 6.1.1
●
Piętra
Najnowsza wersja Robot Millennium v20 umożliwia definiowanie pięter w celu ułatwienia
analizy budynków wielokondygnacyjnych. Piętra definiuje się wskazując płaszczyzny wzdłuż
osi Z. Elementy w całości zawarte miedzy tymi płaszczyznami są dodawane do danego piętra.
Opis pięter zestawiono w Tablicy 6.7
52
Tablica 6.7 Zestawienie pięter
Piętro
Piętro 1
Piętro 2
Piętro 3
Piętro 4
Piętro 5
Piętro 6
Piętro 7
Piętro 8
Piętro 9
Piętro 10
Piętro 11
Piętro 12
Piętro 13
Piętro 14
Piętro 15
Piętro 16
Piętro 17
Piętro 18
Piętro 19
Piętro 20
Rzędna
-10,50
-7,00
±0,00
6,00
12,00
17,00
24,50
32,00
39,50
43,25
47,00
50,75
54,50
58,25
62,00
65,75
69,50
73,25
77,00
80,75
Piętro
Piętro 21
Piętro 22
Piętro 23
Piętro 24
Piętro 25
Piętro 26
Piętro 27
Piętro 28
Piętro 29
Piętro 30
Piętro 31
Piętro 32
Piętro 33
Piętro 34
Piętro 35
Piętro 36
Piętro 37
Piętro 38
Piętro 39
Piętro 40
Rzędna
84,50
88,25
92,00
95,75
99,50
103,25
107,00
110,75
118,25
122,00
125,75
129,50
133,25
137,00
140,75
144,50
148,25
152,00
155,75
159,50
Piętro
Piętro 41
Piętro 42
Piętro 43
Piętro 44
Piętro 45
Piętro 46
Piętro 47
Piętro 48
Piętro 49
Piętro 50
Piętro 51
Piętro 52
Piętro 53
Piętro 54
Piętro 55
Piętro 56
Piętro 57
Piętro 58
Piętro 59
Piętro 60
Rzędna
163,25
167,00
170,75
174,50
178,25
182,00
185,75
193,25
197,00
200,75
204,50
208,25
212,00
215,75
219,50
223,25
227,00
230,75
234,50
238,25
Piętro
Piętro 61
Piętro 62
Piętro 63
Piętro 64
Piętro 65
Piętro 66
Piętro 67
Piętro 68
Piętro 69
Piętro 70
Piętro 71
Piętro 72
Piętro 73
Piętro 74
Piętro 75
Piętro 76
Piętro 77
Piętro 78
Rzędna
242,00
245,75
249,50
253,25
257,00
260,75
264,50
268,25
272,00
275,75
279,50
283,25
290,75
294,40
298,05
302,05
306,05
310,05
6.3.2. Opis obciążeń
W programie robot Millennium obciążenia grupuję się w Przypadki obciążeń. Dla każdego
przypadku określa się naturę obciążenia (np. stałe, eksploatacyjne, wiatr, śnieg). Taki podział
umożliwia korzystanie z funkcji kombinacji normowych, które automatycznie przypisują
współczynniki do wyznaczenia wartości obliczeniowych.
Obciążenia powierzchniowe stropów (stałe i użytkowe) wyznaczone w pkt.4 sprowadzono do
obciążeń liniowych równomiernie rozłożonych w kN/m przykładanych do belek stropowych.
Ponieważ liczba belek stropowych wprowadzonych do modelu jest mniejsza niż w rzeczywistej
konstrukcji, oraz ich rozstawy nie są stałe zastępcze obciążenia belek wyznaczono w
następujący sposób:
W części prostokątnej o długości 43.5 m, znajduje się 19 belek, obciążenie na jeden element
obliczono przemnażając wartości obciążenia w kN/m2 z pkt 4 przez iloraz 43,5/19 = 2,29. Dla
części kołowej (23,5 m i 11 belek) iloraz ten wynosił 2,14. Ponieważ różnica wartości ilorazów
wynosiła 7% przyjęto dla całego budynku wartość 2,29.
●
Obciążenia stałe
Ciężar własny konstrukcji definiowany jest automatycznie jako jeden z przypadków obciążeń.
Obciążenia stałe obliczone w pkt. 4 pomniejszono o ciężar belek stropowych. Wartości
zestawiono w Tablicy 6.8
53
Tablica 6.8 Obciążenia stałe przyjęte do obliczeń w programie Robot Millennium
1
2
3
4
5
Rodzaj pomieszczenia
Wartość z pkt. 4
[kN/m2]
Ciężar belek
[kN/m2]
Różnica kolumn
2–3
Wartość obciążenia
przyjęta do obliczeń
[kN/m]
Biurowe
4,24
0,67
3,57
8,17
Komunikacyjne
5,35
0,67
4,68
12,72
Techniczne
4,61
0,67
3,94
9,02
Podziemne
10,41
3,08
7,33
16,79
Eksploatacyjne
●
Obciążenia eksploatacyjne opisano w 4 przypadkach obciążeń. Każdy przypadek obejmował
¼ rzutu budynku jak na Rys. 6.14. Wartości przyjęte do obliczeń zestawiono w Tablicy 6.9
Tablica 6.9 Obciążenia zmienne przyjęte do obliczeń w programie Robot Millennium
Rodzaj pomieszczenia
Wartość z pkt. 4
[kN/m2]
Wartość obciążenia
przyjęta do obliczeń
[kN/m]
Biurowe
4,20
9,62
Komunikacyjne
5,00
11,45
Techniczne
5,00
11,45
Podziemne
2,50
5,72
Wiatr
●
•
Kierunek Y
Obciążenie wiatrem obliczone w pkt. 4.6 rozłożono na 6 obciążeń liniowych przyłożonych do
słupów wzdłuż osi 1. Liniowo zmienny rozkład obciążenia wiatrem zastąpiono rozkładem
skokowym o wartościach stałych równych średnim na odcinkach odpowiadających wysokości
kondygnacji. (Tablica 6.10)
Od poziomu 302,05 obciążenie wiatrem rozłożono na 8 słupów (kołowych elementów
antresoli).
Na szczycie modelu zostały przyłożone dwie siły skupione o wartości
2420kN / 2 =1210 kN , (gdzie 2420 kN jest to wartość odczytana z Rys. 4.1) jako obciążenie
zastępcze od niewprowadzonych do modelu kondygnacji.
Oznaczenia do tablic 6.10 i 6.11:
h – rzędna od poziomu terenu, Qx – obciążenie wiatrem z p.4.6,
Qx,s – obciążenie wiatrem
podzielone przez ilość słupów, qy – średnia wartość obciążenia wiatrem na wysokości kondygnacji
54
Tablica 6.10 Obciążenia wiatrem po kierunku Y przyjęte do obliczeń w programie Robot Millennium
h
Qy
[kN/m]
Qy,s
[kN/m]
qy
[kN/m]
h
Qy
[kN]
Qy,s
[kN/m]
qy
[kN/m]
0,00
67,45
11,24
-
163,25
218,17
36,36
36,12
6,00
73,00
12,17
11,71
167,00
221,08
36,85
36,60
12,00
78,60
13,10
12,64
170,75
223,94
37,32
37,08
17,00
83,31
13,89
13,50
174,50
226,74
37,79
37,56
24,50
90,43
15,07
14,48
178,25
229,49
38,25
38,02
32,00
97,61
16,26
15,67
182,00
232,18
38,70
38,47
39,50
104,84
17,47
16,87
185,75
234,81
39,14
38,92
43,25
108,47
18,08
17,78
193,25
239,90
39,98
39,56
47,00
112,10
18,68
18,38
197,00
242,35
40,39
40,19
50,75
115,73
19,29
18,99
200,75
244,73
40,79
40,59
54,50
119,37
19,90
19,59
204,50
247,05
41,17
40,98
58,25
123,01
20,50
20,20
208,25
249,30
41,55
41,36
62,00
126,65
21,11
20,80
212,00
251,48
41,91
41,73
65,75
130,28
21,71
21,41
215,75
253,58
42,26
42,09
69,50
133,91
22,32
22,02
219,50
255,61
42,60
42,43
73,25
137,54
22,92
22,62
223,25
257,57
42,93
42,77
77,00
141,15
23,53
23,22
227,00
259,45
43,24
43,09
80,75
144,76
24,13
23,83
230,75
261,25
43,54
43,39
84,50
148,36
24,73
24,43
234,50
262,97
43,83
43,69
88,25
151,94
25,32
25,02
238,25
264,61
44,10
43,97
92,00
155,51
25,92
25,62
242,00
266,16
44,36
44,23
95,75
159,06
26,51
26,21
245,75
267,63
44,61
44,48
99,50
162,59
27,10
26,80
249,50
269,01
44,84
44,72
103,25
166,10
27,68
27,39
253,25
270,30
45,05
44,94
107,00
169,60
28,27
27,97
257,00
271,50
45,25
45,15
110,75
173,06
28,84
28,55
260,75
272,61
45,43
45,34
118,25
179,92
29,99
29,42
264,50
273,62
45,60
45,52
122,00
183,31
30,55
30,27
268,25
274,54
45,76
45,68
125,75
186,66
31,11
30,83
272,00
275,36
45,89
45,82
129,50
189,99
31,66
31,39
275,75
276,07
46,01
45,95
133,25
193,28
32,21
31,94
279,50
276,69
46,12
46,06
137,00
196,53
32,76
32,48
283,25
277,20
46,20
46,16
140,75
199,75
33,29
33,02
290,75
277,92
46,32
46,26
144,50
202,93
33,82
33,56
294,40
278,11
46,35
46,34
148,25
206,07
34,34
34,08
298,05
278,19
46,37
46,36
152,00
209,16
34,86
34,60
302,05
278,16
34,77
34,73
155,75
212,21
35,37
35,11
306,05
278,01
34,76
34,76
159,50
215,22
35,87
35,62
310,05
277,72
34,76
34,76
55
Tablica 6.11 Obciążenia wiatrem po kierunku X przyjęte do obliczeń w programie Robot Millennium
h
Qx
[kN/m]
Qx,s
[kN/m]
0,00
34,93
4,99
6,00
37,80
5,40
12,00
40,71
17,00
qx
[kN/m]
h
Qx
[kN]
Qx,s
[kN/m]
qx
[kN/m]
163,25
112,98
16,14
16,03
5,20
167,00
114,49
16,36
16,25
5,82
5,61
170,75
115,97
16,57
16,46
43,14
6,16
5,99
174,50
117,42
16,77
16,67
24,50
46,83
6,69
6,43
178,25
118,84
16,98
16,88
32,00
50,55
7,22
6,96
182,00
120,24
17,18
17,08
39,50
54,29
7,76
7,49
185,75
121,60
17,37
17,27
43,25
56,17
8,02
7,89
193,25
124,24
17,75
17,56
47,00
58,05
8,29
8,16
197,00
125,50
17,93
17,84
50,75
59,93
8,56
8,43
200,75
126,74
18,11
18,02
54,50
61,82
8,83
8,70
204,50
127,94
18,28
18,19
58,25
63,70
9,10
8,97
208,25
129,10
18,44
18,36
62,00
65,59
9,37
9,23
212,00
130,23
18,60
18,52
65,75
67,47
9,64
9,50
215,75
131,32
18,76
18,68
69,50
69,35
9,91
9,77
219,50
132,37
18,91
18,84
73,25
71,23
10,18
10,04
223,25
133,39
19,06
18,98
77,00
73,10
10,44
10,31
227,00
134,36
19,19
19,13
80,75
74,97
10,71
10,58
230,75
135,29
19,33
19,26
84,50
76,83
10,98
10,84
234,50
136,19
19,46
19,39
88,25
78,68
11,24
11,11
238,25
137,03
19,58
19,52
92,00
80,53
11,50
11,37
242,00
137,84
19,69
19,63
95,75
82,37
11,77
11,64
245,75
138,60
19,80
19,75
99,50
84,20
12,03
11,90
249,50
139,31
19,90
19,85
103,25
86,02
12,29
12,16
253,25
139,98
20,00
19,95
107,00
87,83
12,55
12,42
257,00
140,60
20,09
20,04
110,75
89,62
12,80
12,68
260,75
141,18
20,17
20,13
118,25
93,18
13,31
13,06
264,50
141,70
20,24
20,21
122,00
94,93
13,56
13,44
268,25
142,17
20,31
20,28
125,75
96,67
13,81
13,69
272,00
142,60
20,37
20,34
129,50
98,39
14,06
13,93
275,75
142,97
20,42
20,40
133,25
100,09
14,30
14,18
279,50
143,29
20,47
20,45
137,00
101,78
14,54
14,42
283,25
143,56
20,51
20,49
140,75
103,44
14,78
14,66
290,75
143,92
20,56
20,53
144,50
105,09
15,01
14,90
294,40
144,02
20,57
20,57
148,25
106,72
15,25
15,13
298,05
144,07
20,58
20,58
152,00
108,32
15,47
15,36
302,05
144,05
20,58
20,58
155,75
109,90
15,70
15,59
306,05
143,97
20,57
20,57
159,50
111,45
15,92
15,81
310,05
143,82
20,55
20,56
56
Kierunek X
•
Analogicznie ja dla kierunku Y, obciążenie z pkt 4.6 rozłożono na 7 słupów tworzących boczne
półkola (Tablica 6.11). Na szczycie modelu zostały przyłożona siła skupione o wartości 1253kN
(p.4.6), jako obciążenie zastępcze od niewprowadzonych do modelu kondygnacji .
●
Sejsmiczne
Analizę sejsmiczną przeprowadzono wg chińskiej normy sejsmicznej GBJ 11-89 [N8], dla
bliskiej odległości trzęsienia ziemi, posadowienie II (SC II – średnio sztywne podłoże któremu
odpowiada okres T2 = 0,30s), intensywności 7 w skali MM.
●
Kombinacja obciążeń
Do obliczeń wykorzystano automatyczne definiowanie kombinacji obciążeń: kombinacje
normowe
zgodnie z normą
EN 1990:2002 [N2]. Do kombinacji uwzględniono wszystkie
obciążenia statyczne oraz wyniki analizy sejsmicznej.
6.3.3. Analiza dynamiczna
Analizę modalną zdefiniowano dla następujących parametrów:
●
Metoda – iteracja podprzestrzenna blokowa
●
Liczba postaci drgań 15
●
Liczba iteracji 40
●
Tolerancja – 0,0001
●
Weryfikacja Struma
●
Macierz mas – skupiona bez rotacji
●
Tłumienie – 0,03 (zalecane dla budynków wysokich)
6.3.4. Opis analizowanych modeli
●
Model 1
•
oparty na modelu z publikacji [Li04]
•
przekroje
słupów
zdefiniowano
w
module
“Projektowania
profili
prętów”.
Wprowadzone przekroje kompozytowe program przeliczył z warunku sztywności
(wzór 6.13) na zastępcze przekroje stalowe. Parametry zastępczych przekrojów
zestawiono w Tablicy 6.12
E S I Z = E s I s E b I b
57
(6.13)
Iz
- zastępczy moment bezwładności
Is
- moment bezwładności przekroju stalowego
Ib
- moment bezwładności przekroju betonowego
Es
- moduł Younga stali
Eb
- moduł Younga betonu
Model 2
●
•
oparty na Modelu 1
•
usunięto wszystkie outriggery
•
analiza przemieszczeń
Model 3
●
•
oparty na Modelu 1
•
zmieniono wielkość elementu skończonego na 1,0 x1,0 m.
Model 4
●
narzucono wymiar elementu skończonego 1,5 x 1,5 m
•
•
przekroje słupów wypełnionych betonem zdefiniowano jako przekroje betonowe o
wymiarach przyjętych w p. 6.2 jak dla modelu do programu BW.
Tablica 6.12 Parametry przekrojów słupów przyjętych w Modelu 1
Nr
słupa
1
Kondygnacje
Nazwa przekroju
A
[cm2]
Ix
[cm4]
Iy
[cm4]
E
[MPa]
G
[MPa]
wypełniony betonem
1500x1600x36x40
6 112,71
16 397
535,06
14 943
391
205000
80800
205000
80800
stalowy
2
3
4
5
1500x1600x36x40 2 302,40 8 983 992,23 8 540 799
10 372
470,61
wypełniony betonem
1500x1100x36x36
4 398,08
5 979 907
205000
80800
stalowy
1500x1100x36x36
1 820,16 5 991 754,29 3 709 650
205000
80800
wypełniony betonem
1300x1000x36x36
3 605,38 6 502 553,65 4 091 253
205000
80800
stalowy
1300x1000x36x36
1 604,16 3 987 713,01
2655071
205000
80800
wypełniony betonem
1000x1000x24x24
2 528,52 2 690 471,83
2690472
205000
80800
stalowy
1000x1000x24x24
936,96
1 488 442,16
1488442
205000
80800
wypełniony betonem
600x600x14
902,73
344 579,53
344579,53
205000
80800
stalowy
600x600x14
328,16
187 921,9 187921,9
205000
80800
58
Tablica 6.13 Parametry przekrojów słupów przyjętych w Modelu 4
Słup
h
b
Ix
A
2
Iy
[cm]
[cm]
[cm ]
[cm ]
[cm4]
1
340
165
56 100
540 430 000
117 543 938
4
140
165
23 100
52 408 125
52 408 125
2
175,00
105,00
18375,00
46 894 531
16 882 031
3
155,00
100,00
15500,00
31 032 291
12 916 667
5
60,00
60,00
3600,00
1 080 000
1 080 000
4
Podczas przygotowywania modelu MES budynku uwzględniano zalecenia z prac [Sta03], [Li04], [Li03b].
59
7. Wyniki analizy statycznej konstrukcji usztywniającej budynku o
zmiennym przekroju w programie BW dla Windows
Pliki danych (255-1-nh6-met2-2006) przygotowane dla przeprowadzenia analizy statycznej
konstrukcji usztywniającej budynku o zmiennym przekroju w programie BW dla Windows
zawiera Załącznik K.
Pliki wyników z tych obliczeń umieszczono w Załączniku L.
W
następnych podpunktach rozdziału zestawiono najważniejsze wyniki.
7.1. Wartości przemieszczeń
Maksymalne wartości przemieszczeń odczytano dla szczytu trzonu budynku na rzędnej
298,04 m.
7.1.1. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku Y – Schemat 2
Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 63,99 cm.
Rys. 7.1 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku Y
60
7.1.2. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku X – Schemat 1
Rys. 7.2 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku X
Rys. 7.3 Wykresy przemieszczeń budynku od obciążenia wiatrem
a) po kierunku X b) po kierunku Y
61
7.1.3. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku Y – Wariant 1
Ekstremalne
wartości
przemieszczeń
wyznaczono
z
kombinacji
obciążeń
charakterystycznych. Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 78,26 cm.
Rys. 7.4 Ekstremalne wartości przemieszczeń po kierunku Y
7.1.4. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku X – Wariant 1
Ekstremalne
wartości
przemieszczeń
wyznaczono
z
kombinacji
Rys. 7.5 Ekstremalne wartości przemieszczeń po kierunku X
62
obciążeń
7.2. Wartości naprężeń w trzonie
Ekstremalne wartości naprężeń w trzonie otrzymano dla kombinacji obciążeń obliczeniowych
(Wariant 2). Wyniki przedstawiono dla dwóch grubości trzonu.
●
●
75 cm – strefa 1, kondygnacja: - 3, rzędna -14,0 m
60 cm - strefa 4, kondygnacja : 46, rzędna 193,20 m
7.2.1. Ekstremalne wartości naprężeń dla trzonu o gr. 75 cm (strefy 1-3)
●
Maksymalna wartość naprężeń
z
w trzonie wynosi -4,02 MPa. Występuje w
Ścianie nr 2. Element jest ściskany.
Rys. 7.5 Maksymalne wartości naprężeń  z w trzonie gr. 75 cm
63
●
Minimalna wartość naprężeń
z
Rys. 7.6 Minimalne wartości naprężeń  z w trzonie gr. 75 cm
7.2.2. Ekstremalne wartości naprężeń dla trzonu o gr. 60 cm (strefy 4-6)
●
Maksymalna wartość naprężeń
z
Ścianie nr 1 Element jest ściskany.
64
●
Minimalna wartość naprężeń
z
7.3. Wartości sił w nadprożach
Ekstremalne wartości sił w nadprożach wyznaczono dla kombinacji obciążeń obliczeniowych.
Maksymalne wartości sił w nadprożach dla poszczególnych stref zestawiono w Tablicy 7.1.
Tablica 7.1 Maksymalne wartości sił w nadprożach
Strefa
Nr nadproża
Rzędna
M [kNm]
T [ kN]
1
3
31,95
2483,62
1628,61
2
3
118,20
3309,57
2170,21
3
3
118,20
3309,57
2170,21
4
3
193,20
2527,16
1657,15
5
3
253,20
1645,06
1078,73
6
3
290,70
1171,54
768,23
Maksymalne wartości sił wystąpiły w nadprożu nr 3, na rzędnej 118.20 m.
65
8. Wyniki analizy statycznej konstrukcji usztywniającej budynku w
programie Robot Millennium
Pliki danych i wyników przygotowane dla przeprowadzenia analizy statycznej konstrukcji
usztywniającej budynku w programie Robot Millennium zamieszono na płytach DVD1 i DVD2
w katalogach: Obliczenia/Robot. Pliki z wybranymi danymi zawiera Załącznik nr O. Pliki z
wybranymi wynikam obliczeń umieszczono w Załączniku P.
W następnych podpunktach
rozdziału zestawiono najważniejsze wyniki.
8.1. Wartości przemieszczeń dla Modelu 1
(Model 1 - przekroje słupów przeliczone z warunku EI)
Wartości przemieszczeń odczytano dla szczytu trzonu budynku na rzędnej 298,05 m.
8.1.1. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku Y
a) widok z góry b) widok aksonometryczny dla ostatniej kondygnacji c) widok z boku
66
8.1.2. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku X
Wartość przemieszczenia wynosi 26,00 cm.
a) po kierunku Y b) po kierunku X
67
8.1.3. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku Y – SGU (Stan
Graniczny Użytkowalności )
Ekstremalne
wartości
przemieszczeń
wyznaczono
z
kombinacji
obciążeń
8.1.4. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku X – SGU (Stan
Ekstremalne
wartości
przemieszczeń
wyznaczono
z
kombinacji
Rys. 8.4 Ekstremalne wartości przemieszczeń
68
obciążeń
8.1.5. Przemieszczenia wybranych punktów trzonu na rzędnej 298,05 dla SGU
po kierunku Y
Tablica 8.1 Przemieszczenia wybranych punktów trzonu na rzędnej 298,05m
Nr pkt.
9066
9069
9072
9075
9078
9081
Przemieszczenie [ cm]
72,6
72,6
72,7
72,7
72,7
72,7
(Model 2 - bez outriggerów)
69
70
(Model 3 – element skończony 1,0 x1,0 m)
71
Ekstremalne
wartości
przemieszczeń
wyznaczono
z
kombinacji
72
obciążeń
Ekstremalne
wartości
przemieszczeń
wyznaczono
z
kombinacji
(Model 4 – podobnie jak Model 1, przekroje słupów jak w programie BW )
73
obciążeń
8.4.2. Przemieszczenia dla obciążenia wiatrem po kierunku X
74
Ekstremalne
wartości
przemieszczeń
wyznaczono
z
kombinacji
obciążeń
Ekstremalne
wartości
przemieszczeń
wyznaczono
z
kombinacji
obciążeń
8.5. Wartości naprężeń dla Modelu 1
Ekstremalne wartości naprężeń wyznaczono dla kombinacji obciążeń obliczeniowych (SGN –
Stan Graniczny Nośności). Wyniki przedstawiono dla dwóch grubości trzonu.
●
●
75 cm – kondygnacja: - 3, rzędna -14,0 m
60 cm – kondygnacja : 46, rzędna 193,25 m
Brak symetrii w rozkładzie naprężeń przedstawionych na poniższych mapach, wynika z faktu
wprowadzenia obciążenia wiatrem działającego tylko w jedną stronę (zgodnie z kierunkami osi
X i Y) dla każdego z kierunków X i Y.
75
8.5.1. Ekstremalne wartości naprężeń dla trzonu o gr. 75 cm
●
Maksymalna wartość naprężeń  z w trzonie wynosi 10,10 MPa. Występuje w ścianie
na osi 3 w pobliżu osi B. Element jest rozciągany.
●
Minimalna wartość naprężeń  z w trzonie wynosi -35,32 MPa. Występuje w ścianie na
osi 5 w pobliżu osi G. Element jest ściskany.
76
●
●
77
●
●
78
●
Maksymalna wartość naprężeń  z w trzonie wynosi 7,98 MPa. Występuje w ścianie na
osi 3 w pobliżu osi B. Element jest rozciągany.
●
Minimalna wartość naprężeń  z w trzonie wynosi -35,69 MPa. Występuje w w ścianie
na osi 5 w pobliżu osi G. Element jest ściskany
79
●
●
80
8.8. Wartości
Modelu 1
siły poprzecznej w trzonie od obciążenia wiatrem dla
Wartości siły poprzecznej w trzonie odczytano jako wartość zredukowaną dla Piętra 1:
●
dla wiatru po kierunku Y wartość siły równa się: 63 362 kN,
●
dla wiatru po kierunku X wartość siły równa się: 42 728 kN.
8.9. Wartości
Modelu 4
siły poprzecznej w trzonie od obciążenia wiatrem dla
Wartości siły poprzecznej w trzonie odczytano jako wartość zredukowaną dla Piętra 1:
●
dla wiatru po kierunku Y wartość siły równa się: 62 456 kN,
●
dla wiatru po kierunku X wartość siły równa się: 43 054 kN.
8.10. Wartości sił w nadprożach dla Modelu 1
Tablica 8.2 Maksymalne wartości sił w nadprożach dla Modelu 1
Strefa
Nr nadproża/Nr pręta
Rzędna
M [kNm]
T [ kN]
Trzon 75 cm
3 / 4232
110,75
4626,73
3102,29
Trzon 60 cm
3/7855
197,00
2884,1
1949,21
8.11. Wartości sił w nadprożach dla Modelu 4
Tablica 8.3 Maksymalne wartości sił w nadprożach dla Modelu 2
Strefa
Nr nadproża/Nr pręta
Rzędna
M [kNm]
T [ kN]
Trzon 75 cm
3 / 4232
110,75
4607,8
3090,33
Trzon 60 cm
3 / 7855
197,00
2868,4
1939,21
81
9. Wyniki analizy dynamicznej budynku w programie BW dla
Windows
Pliki danych (dane: 49-11) przygotowane dla przeprowadzenia analizy dynamicznej konstrukcji
usztywniającej budynku o zmiennym przekroju w programie BW dla Windows zawiera
Załącznik M . Pliki wyników z tych obliczeń umieszczono w Załączniku N . W następnych
podpunktach rozdziału zestawiono
najważniejsze wyniki analizy dynamicznej uzyskanej z
programu BW dla Windows.
9.1. Wyniki analizy modalnej
Tablica 9.1 Częstotliwości, okresy i częstości drgań własnych
Częstość
Forma Kierunek
Częstotliwość
Okres
 [ rad / s ]
f [ Hz ]
T [s]
1
Y
0,911
0,145
6,912
2
X
1,043
0,166
6,038
3
FI
1,188
0,189
5,302
4
X
3,537
0,563
1,777
5
Y
3,745
0,596
1,677
6
FI
3,971
0,632
1,583
7
X
6,836
1,088
0,919
8
FI
7,841
1,248
0,802
9
Y
8,646
1,376
0,726
10
X
7,351
1,170
0,618
Rys. 9.1 Postacie drgań własnych po kierunku Y
a) f = 0,145 Hz b) f = 0,596 Hz c) f =1,376 Hz
82
Rys. 9.2 Postacie drgań własnych po kierunku X
a) f = 0,166 Hz b) f = 0,563 Hz c) f =1,088 Hz
Rys. 9.3 Postacie drgań własnych skrętnych FI
a) f = 0,189 Hz b) f = 0,632 Hz c) f =1,248 Hz
9.2. Wyniki analizy sejsmicznej
9.2.1. Wartości przemieszczeń wywołane falami sejsmicznymi
●
Po kierunku Y
Maksymalna wartość przemieszczeń wywołana obciążeniami sejsmicznymi po kierunku Y
(Schemat 9) wynosi 36,21 cm (od obciążenia wiatrem (Schemat 2 ) 72,62 cm)
83
●
Po kierunku X
Maksymalna wartość przemieszczeń wywołana obciążeniami sejsmicznymi po kierunku X
(Schemat 1) wynosi 26,26 cm (od obciążenia wiatrem (Schemat 8) 27,77 cm)
9.2.2. Wartości naprężeń w trzonie wywołane obciążeniami sejsmicznymi
Wartości naprężeń odczytano dla rzędnej -14,00 m.
●
Po kierunku Y
Maksymalna wartość naprężeń w trzonie wywołana obciążeniami sejsmicznymi po kierunku Y
(Schemat 9) wynosi  z =5,17 MPa (od obciążenia wiatrem (Schemat 2)  z =10,76 MPa ).
●
Po kierunku X
Maksymalna wartość naprężeń w trzonie wywołana obciążeniami sejsmicznymi po kierunku X
(Schemat 8) wynosi  z =7,55 MPa (od obciążenia wiatrem (Schemat 1)  z =7,22 MPa )
84
10. Wyniki analizy dynamicznej budynku w programie Robot
Millennium
Pliki danych i wyników przygotowane dla przeprowadzenia analizy statycznej konstrukcji
usztywniającej budynku w programie Robot Millennium zamieszono na płytach DVD1 i DVD2
w katalogach: Obliczenia/Robot. Pliki z wybranymi danymi
zawiera Załącznik O.
wybranymi wynikam obliczeń umieszczono w Załączniku P.
W następnych podpunktach
rozdziału zestawiono najważniejsze wyniki.
10.1. Wyniki analizy modalnej dla Modelu 1
Tablica 10.1 Częstotliwości, okresy i częstości drgań własnych dla Modelu 4
Częstość
Forma Kierunek
Częstotliwość Okres
 [ rad / s ]
f [ Hz ]
T [s]
1
Y
1,206
0,192
5,218
2
X
1,445
0,230
4,357
3
FI
1,973
0,314
3,180
4
Y
4,869
0,775
1,291
5
X
4,888
0,778
1,285
6
FI
6,145
0,978
1,022
7
X
8,558
1,362
0,734
8
-
8,583
1,366
0,732
9
-
8,583
1,366
0,732
10
-
8,583
1,366
0,732
10.2. Wyniki analizy modalnej dla Modelu 4
Tablica 10.2 Częstotliwości, okresy i częstości drgań własnych dla Modelu 4
Częstość
Forma Kierunek
Częstotliwość Okres
 [ rad / s ]
f [ Hz ]
T [s]
1
Y
1,198
0,1907
5,2436
2
X
1,359
0,2163
4,6226
3
FI
1,807
0,2876
3,4772
4
X
4,567
0,7268
1,3758
5
Y
4,682
0,7451
1,3421
6
FI
5,622
0,8948
1,1176
7
-
8,446
1,3443
0,7439
8
-
8,583
1,3661
0,7321
9
-
8,584
1,3662
0,7319
10
-
8,584
1,3662
0,7319
85
Pliki z
Rys. 10.1 Postacie drgań własnych po kierunku Y dla Modelu 1
1Y) f = 0,192 Hz
2Y ) f =0,775 Hz
Rys. 10.2 Postacie drgań własnych po kierunku X dla Modelu 1
1X) f = 0,230 Hz
2Y ) f =0,778 Hz
86
Rys. 10.3 Postacie drgań własnych skrętnych FI dla Modelu 1
1X) f = 0,314 Hz
2Y ) f =0,978 Hz
Rys. 10.4 Postacie drgań własnych po kierunku Y dla Modelu 4
1Y) f = 0,191 Hz
2Y ) f =0,745 Hz
87
Rys. 10.5 Postacie drgań własnych po kierunku X dla Modelu 4
1X) f = 0,216 Hz
2Y ) f =0,727 Hz
Rys. 10.6 Postacie drgań własnych skrętnych FI dla Modelu 4
1X) f = 0,216 Hz
2Y ) f =0,727 Hz
88
10.3. Wyniki analizy sejsmicznej dla Modelu 1
●
Wartości przemieszczeń szczytu trzonu (rzędna 298,0m) od obciążeń sejsmicznych po
kierunku Y wynoszą : 22,62 cm. (Przypadek 11 – Sejsmika po kierunku Y).
●
kierunku X wynoszą : 14,48 cm (Przypadek 10 – Sejsmika po kierunku X).
●
Wartości sił poprzecznych w trzonie dla rzędnej -14,0 m od obciążeń sejsmicznych po
kierunku Y wynoszą : 18 216 kN (Przypadek 11 – Sejsmika po kierunku Y).
●
kierunku X wynoszą : 19 362 kN (Przypadek 10 – Sejsmika po kierunku X).
10.4. Wyniki analizy sejsmicznej dla Modelu 4
●
kierunku Y wynoszą : 23,20 cm (Przypadek 11 – Sejsmika po kierunku Y).
●
kierunku X wynoszą : 16,50 cm (Przypadek 10 – Sejsmika po kierunku X).
●
kierunku Y wynoszą : 18 308 kN(Przypadek 11 – Sejsmika po kierunku Y).
●
kierunku X wynoszą : 20 501 kN (Przypadek 10 – Sejsmika po kierunku X).
89
11. Wymiarowanie wybranych elementów konstrukcji usztywniającej:
ścian i nadproży
Obliczenie zbrojenia zasadniczych elementów wykonano na podstawie wyników z programu
BW dla Windows.
11.1. Ściany
W wynikach z programu BW dla wszystkich kombinacji obliczeniowych występowały tylko
naprężenia ściskające. Także w kombinacjach wyników dla schematów z programu Robot,
przy współczynnikach obciążeniowych dla wiatru ≤ 1.55, występują tylko naprężenia
ściskające. Z tego powodu wszystkie elementy trzonu wymiarowane będą jak elementy
mimośrodowo ściskane wg polskiej normy żelbetowej [N5]. Zgodnie z jej przepisami
naprężenia i siły ściskające określone są ze znakiem
„+”.
Obliczenia wykonano wg.
algorytmów opracowanych przez dr inż. J. Ścigałło.
11.1.1. Wymiarowanie Elementu 2 trzonu o grubości 75 cm – Poz. 1.1
Rys. 11.1 Oznaczenie elementów trzonu
Maksymalne wartości sił wewnętrznych w płaszczyźnie ściany, w trzonie o grubości 75 cm
uzyskano w strefie pierwszej dla rzędnej -14,0 m.
Przyjmują one wartość: N =47 401,2 ,
M =19 791,7 kNm dla ściany 3, oraz N =160844,2 kN , M = 212124,2 kNm dla ściany 22. Wysokość
kondygnacji przyjmuję równą 7,00 m.
11.1.1.1 Wymiarowanie zbrojenia ściany nr 3 i 4 – Poz. 1.1.1
Dane projektowe
M = 19 791,70 kNm
N = 41 401,20 kN
Wymiary ściany :
g = 75 cm
Asc = 24 000 cm
s = 320 cm
2
g – grubość ściany
l0 = 7,00 m
3
Wsc = 1 280 000 cm
s – szerokość ściany Asc – pole przekroju ściany Wsc – wskaźnik wytrzymałości ściany
90
Dla sił wewnętrznych wyznaczono rozkład naprężeń normalnych w ścianie:
=
=
N
M
±
A sc W sc
(11.1)
41401,20 1979170
±
=1,975±1,546
24000
1280000
2
2
max =3,521 kN / cm =35,21 MPa , min =0,429 kN /cm =4,29 MPa
Rys. 11.2 Rozkład naprężeń w ścianie 3 o gr. 75 cm
Całą ścianę podzielono na segmenty (SG) o długości l s =1,0 i l s =1,20 m. Następnie dla
każdego elementu określono wartości średnie naprężeń  śr (Rys.11.2), na podstawie których
wyznaczono zastępcze siły ściskające
N i wg wzoru 11.2. Wartości sił zestawiono w Tablicy
11.1.
N i = śr g l s
(11.2)
Tablica 11.1 Wartości sił zastępczych N i
 max
min
 śr
ls
Ni
[MPa]
[MPa]
[MPa]
[cm]
[kN]
SG I
32,21
25,55
30,38
100
22 785,6
SG II
25,55
13,95
19,75
120
17 775,5
SG III
13,95
4,29
9,12
100
6 840,94
Segment
Segment SG III będzie wymiarowany jak SG I.
Na podstawie pkt. 4.8 minimalny sumaryczny przekrój zbrojenia podłużnego w elementach
ściskanych określa się z wzoru 25a i 25b [N5] :
A s , min =0,15
N
41401,20
2
=0,15
=147,86cm
f yd
42
A s , min =0,003 A c =0,003⋅75⋅100=72,0 cm
91
2
(11.3a)
(11.3b)
11.1.1.1.1 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG I i SG III
Dane projektowe
M = 0 kNm
N = 22 785,6 kN
Wymiary przekroju :
Parametry przekroju
Stal AIIIN
Beton C45/55
h = 75 cm
A = 7500,00 cm2
fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2
fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2
b = 100 cm
I = bh3/12 = 3 515 625,0 cm4
fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2
fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2
lcol = 7,00 m
ix = 21,65 cm
Es = 200 GPa
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2
a1 = 5 cm
fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2
d = h – a1 = 70 cm
Ecm = 36 GPa
β = 1,0
l0 = β lcol = 7,00 m
●
Określenie mimośrodu początkowego e 0 wzór 31 [N5]
e 0=e ae e
(11.4)
e a - mimośród niezamierzony (p. 5.3.2. [N5])
e a=
l col 700
h 75
= =1,167cm lub e a= = =2,5 cm lub e a=1,00 cm
30 30
600 600
(11.4a)
e a= 2,5 cm
e e - mimośród konstrukcyjny e e =
M sd
0
=
=0
N sd 22785,6
(11.4b)
e 0=2,50=2,5 cm
●
Sprawdzenie smukłości elementu [p. 5.3.1 [N5])
l 0 700
l o 700
=
=32,33 25 , =
=9,337
i 21,65
h 75
(11.5)
Należy uwzględnić smukłość.
●
Określenie wartości siły krytycznej
l
=e0 /h=2,5/ 75=0,03 lub =0,5−0,01 0 − 0,01 f cd =0,5−0,01 700 −0,01⋅3,0=0,11
h
75
=0,11
 ∞ ,t 0 =1,65 - końcowy współczynnik pełzania betonu (Tablica A.1 [N5]), dla C45/55
RH = 80%, h0 = 2 (70 100)/ 2(70 +100) = 41,18 cm = 412 mm
N sd.lt =  N sd =1,0⋅22785 =22785 kN - siła podłużna wywołana długotrwałym działaniem części
obciążenia
k l - wpływ oddziaływania długotrwałego wzór 40 [N5]
92
(11.6)
k l =10,5
N sd.lt
22785
⋅ ∞ ,t 0 =10,5
⋅1,65=1,83
N sd
22785
(11.7)
 s =0,01
I c - moment bezwładności przekroju betonu względem jego środka ciężkości
3
4
I c =b h / 12=3 515 625,0 cm
(11.8)
I s - moment bezwładności przekroju zbrojenia względem środka ciężkości przekroju betonu


h − a 1− a 2
I s = s b d
2
2
2


(11.9)
]
(11.10)
=0,01⋅100⋅70 75 −5−5 =73938cm 4
2
N crit - wartość siły krytycznej wzór 38 [N5]
N crit =
N crit =
[ 

9 E cm I c 0,11
0,1 E s I s
l 20 2 k l 0,1
[


]
9 3600⋅3515625
0,11
0,1 2000⋅73938 =67428,06 kN
2
2⋅1,83
0,10,11
700
N sd =22785 kN , 0,9 N crit =60685 kN
N sd 0,9 N crit
●
Zwiększony mimośród początkowy e tot
e tot =⋅e0
=
(11.11)
1
1
=
=1,51
N sd
22785
1−
1−
67428,06
N crit
(11.12)
e tot =1,57⋅2,5 =3,78 cm
●
Obliczenie zbrojenia symetrycznego A s1= A s2
x eff , lim =eff , lim d =0,50⋅70=35,0 cm
x eff =
(11.13)
N sd
22785
=
=75,95 cm
 f cd b 3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
Przypadek małego mimośrodu
e s1 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia A s1
e s1= etot 0,5 h−a 1 =3,780,5⋅75 −5=36,28cm
(11.14a)
e s2= es1 −d a 2 =36,28−705=−28,72cm
(11.14b)
p=
2
1− eff , lim d
3
=
2
=0,0571
 1−0,50  70
2
A xeff −B x eff 2 C x eff − D=0
93
(11.15)
(11.16)
C = d x eff , lim
D=
A =1
(11.16a)
B = xeff , lim 2 d =35,0 2⋅70 =175
(11.16b)
d −a 2 N sd e s1
70−5 22785⋅36,28

=70⋅35

=6342,66
p
f cd b
0,0571
3,0⋅100




2 N sd d −a 2
2⋅22785 70−5
e s1 xeff , lim =
36,28⋅35,0 =365647,36
f cd b
p
3,0⋅100 0,0571
3
(11.16c)
(11.16d)
2
x eff − 175 x eff  12685,32 x eff −365648,36 = 0
x eff =67,20cm
x eff d
A s1=A s2=
N sd − f cd b xeff
p xeff − xeff , lim  f
=
yd
22785−3,0⋅100⋅67,20
2
=33,98cm
0,057167,20−35,0 42,0
(11.17)
Przyjmuję zbrojenie: As1 = As2 = 11 Φ 20 mm o As = 34,56 cm2
=
∣
●
As1  A s2 34,56 34,56
=
=0,0092
bh
100⋅75
 s− 0,01−0,0092
∣=∣
∣=0,080,1
s
0,01
Sprawdzenie nośności przekroju

2
x eff =−e s2 −a 2  e s1−a 2  

2
x eff =−−28,72−5  −28,72−5 
2 f yd  A s1 es1 − A s2 e s2 
f cd b
2⋅42,0 34,56⋅36,28−34,56⋅−28,72
=75,75cm
3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
p =1− eff , lim =1−0,5=0,5
x eff =− A A
A = e s2 −a2 
2
3,0⋅100
[
(11.19)
2
B
(11.20)
2 f yd A s1 e s1
2⋅42,0⋅34,56⋅36,28
=−28,72−5
=54,03
d p f cd b
70⋅0,5⋅3,0⋅100
(11.20a)
B=
B=
(11.18)
2
f cd b
[ − 
2
p
1 f
yd
As1 e s1− f
yd
A s2 es2
]
(11.20b)
]

2
−1 42,0⋅34,56⋅36,28−42,0⋅34,56⋅−28,72 =12212,28
0,5
x eff =−54,03  54,03 12212,28=68,98cm
2
eff =
 s=
x eff 68,98
=
=0,99
d
70
21−eff 
21−0,99
−1=
−1=−0,94
1−eff , lim
1−0,50
Wzór 43 [N5]
94
(11.21)
(11.22)
N sd⋅e s1 ≤ f cd b x eff  d −0,5 x eff  f
yd
As2  d − a2 
(11.23)
N sd e s1=22785⋅36,28=826 639,8 kN cm=8 266,40 kNm
f cd b x eff d −0,5 x eff  f
yd
A s2 d −a 2=3,0⋅100⋅68,98⋅70−0,5⋅68,9842,0⋅34,5670−5
=829186,0 kNcm=8291,86 kNm
8266,408291,86
Warunek nośności spełniony
Wzór 44 [N5]
N sd ≤ f cd b xeff  f
f cd b x eff  f
yd
A s2− f
yd
yd
As2 − f
yd
As1 s
(11.24)
A s1  s =3,0⋅100⋅68,9842,0⋅34,56− 42,0⋅34,56⋅−0,94 =23 512,66kN
22 785,0 23512,66
11.1.1.1.2 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG II
Dane projektowe
M = 0 kNm
N = 17 775,5 kN
Wymiary przekroju :
Parametry przekroju
h = 75 cm
A = 9000,00 cm2
b = 125 cm
I = bh3/12 = 4 218 750,0 cm4
lcol = 7,00 m
ix = 21,65 cm
Es = 200 GPa
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2
Stal AIIIN
a1 = 5 cm
fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2
d = h – a1 = 70 cm
Ecm = 36 GPa
β = 1,0
l0 = β lcol = 7,00 m
●
Beton C45/55
e 0=e ae e
e a=
l col 700
h 75
30 30
600 600
e a= 2,5 cm
M sd
0
=
=0
N sd 22785,6
e 0=2,50=2,5 cm
95
●
l 0 700
l o 700
=
=32,33 25 , =
=9,337
i 21,65
h 75
●
l
=e0 /h=2,5/ 75=0,03 lub =0,5−0,01 0 − 0,01 f cd =0,5−0,01 700 −0,01⋅3,0=0,11
h
75
=0,11
RH = 80%, h0 = 2 (70 120)/ 2(70 +120) = 44,21 cm = 442 mm
N sd.lt = N sd =1,0⋅17775,6=17775,6 kN - siła podłużna wywołana długotrwałym działaniem
części obciążenia
k l =10,5
N sd.lt
17775,6
⋅ ∞ ,t 0 =10,5
⋅1,65=1,83
N sd
17775
 s =0,01
3
I c =b h / 12= 4 218 750cm
4
2




2
h−a1− a2
75−5−5
I s = s b d
=0,01⋅120⋅70
=88 725cm 4
2
2
N crit =
N crit =
[
[ 

9 E cm I c 0,11
0,1 E s I s
l 20 2 k l 0,1

]

N sd =17 775,6 kN , 0,9 N crit =72 822 kN
N sd 0,9 N crit
●
]
9 3600⋅4218750
0,11
0,1 2000⋅88 725 =80 913,67 kN
2
2⋅1,83
0,10,11
700
e tot =⋅e0
=
1
1
=
=1,28
N sd
775,6
1−17
913,67
1−
80
N crit
e tot =1,28⋅2,5=3,20 cm
96
●
x eff =
N sd
17775,6
=
=49,38 cm
 f cd b 3,0⋅120
x eff  xeff
, lim
e s1=e tot 0,5 h−a1 =3,200,5⋅75−5=35,70 cm
e s2= es1 −d a 2 =35,70−705=−29,30 cm
p=
2
1− eff , lim d
3
=
2
=0,0571
 1−0,50  70
2
A =1
B = xeff , lim 2 d =35,0 2⋅70 =175
C=d x eff , lim 
D=
d −a 2 N sd e s1
70−5 17775,6⋅35,70

=70⋅35

=5350,44
p
f cd b
0,0571
3,0⋅100




2 N sd d −a 2
2⋅17775,6 70−5
35,70⋅35,0 = 235737,47
f cd b
p
3,0⋅100 0,0571
3
2
x eff −175 x eff 10700,87 x eff − 235737,47=0
x eff =72,10 cm
x eff d
d a 2
x eff =

2
x eff =
705

2
A s1=A s2=


705
2
2

d a2
e s22,5d −a 2
− 2 N sd
2
f cd b
2
− ⋅
2 17775,6  5 2,5  70 −5 
=70,51
3,0⋅120
N sd − f cd b xeff 17775,6−3,0⋅120⋅70,51
=
=−80,41
2 f yd
2⋅42,0
Potrzebna wartość zbrojenia jest ujemna oznacza to, że element nie wymaga zbrojenia gdyż
sam beton jest w stanie przenieść zadane mu obciążenie.
Element zbroi sie zbrojeniem minimalnym:
2
A s1 A s2=0,003 Ac =0,003⋅9000=27,0 cm
Przyjmuję zbrojenie minimalne : As1 + As2 = 10 Φ 20 mm o As = 31,42 cm2
=
(11.25)
A s1 As2 15,7115,71
=
=0,0035
bh
120⋅75
97
(11.26)
●
x eff =− e s2− a2 


2
2
 e s1−a 2  
x eff =−−29,30−5 −29,30−5 
2f
yd
 A s1 e s1 − As2 e s2 
f cd b
2⋅42,015,71⋅35,70−15,71⋅−29,30
=71,91 cm
3,0⋅120
x eff  xeff
, lim
p=1−eff , lim =1−0,5=0,5
A=e s2 −a2 
2
3,0⋅120
[
B
2 f yd A s1 e s1
2⋅42,0⋅15,71⋅35,70
=−29,30−5
=−1,58
d p f cd b
70⋅0,5⋅3,0⋅120
B=
B=
2
2
f cd b
[ − 
2
p
1 f
yd
As1 e s1− f
yd
A s2 es2
]
]

2
−1 42,0⋅15,71⋅35,70−42,0⋅15,71⋅−29,30 =4556,66
0,5
x eff =1,58  −1,58 8202,00=69,10 cm
2
eff =
 s=
xeff 69,25
=
=0,99
d
70
21−eff 
21−0,99
−1=
−1=−0,95
1−eff , lim
1−0,50
Wzór 43 [N5]
N sd⋅e s1≤ f cd b x eff d −0,5 x eff  f
yd
A s2 d −a 2
N sd e s1=17775,6⋅35,70=634657,0 kN cm=6346,57kNm
yd
A s2 d −a 2=3,0⋅120⋅69,25⋅70−0,5⋅69,2542,0⋅15,7170−5 
=924738,00 kNcm=9 247,38 kNm
6346,579247,88
Wzór 44 [N5]
f cd b x eff  f
yd
A s2− f
yd
yd
As2 − f
yd
As1 s
A s1  s =3,0⋅120⋅69,2542,0⋅15,71−42,0⋅15,71⋅−0,95=26 162,48 kN
17 775,627 255,32
98
11.1.1.1.3 Sprawdzenie warunku minimalnego zbrojenia dla ściany 3
Sumaryczne pole przekroju zbrojenia podłużnego zestawiono w Tablicy 11.2
Tablica 11.2 Pole przekroju zbrojenia ściany 3
Segment

[mm]
A s1
A s2
 As
[cm2]
[cm2]
[cm2]
Liczba prętów
SG I
20
9
34,56
34,56
69,12
SG II
20
5
15,71
15,71
31,42
SG III
20
9
34,56
34,56
69,12
Suma
169,66
2
2
Całkowite pole przekroju zbrojenia podłużnego A s=169,66 cm , A s , min =147,86cm
A s A s min
Warunek spełniony
11.1.1.1.4 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia poprzecznego
Zbrojenie poziome dobieram z warunku minimalnego pola przekroju zbrojenia wg p.6.2 [N5].
Zbrojenie liczę na 1 m wysokości ściany
A s , min =k c k f
ct , eff
A ct
 s , lim
(11.27)
 s , lim =240 MPa - dla =16 i w lim=0,3 mm tab. 12 [N5]
k c =1,0 , k =0,5 , Act =0,5b h=0,5⋅75⋅100=3750 cm 2 , f ct ,eff = f ctm =3,8 MPa p. 6.2 [N5]
A s , min =1,0⋅0,5⋅3,8
3750
2
=29,69 cm
240
Przyjmuję zbrojenie obu powierzchni ściany : 2 x 8 Φ 16 mm o As = 32.17 cm2
11.1.1.1.5 Obliczenie potrzebnej długości zakotwienia prętów
Podstawową długość zakotwienia l b oblicza się z wzoru 187 [N5]
Pręt Φ 16 mm
 f yd 16 420
l b= ⋅
= ⋅
=420 mm=42 cm
4 f bd 4 4,0
f bd =4,0 MPa - z tab 24 [N5] dla prętów żebrowanych i betonu C 45/55
Przyjmuję l b=45 cm
99
(11.28)
Pręt Φ 20 mm
 f yd 20 420
l b= ⋅
= ⋅
=525 mm=52,5 cm
4 f bd 4 4,0
11.1.1.2 Wymiarowanie zbrojenia ściany nr 22 – Poz. 1.1.2
Dane projektowe
M = 232 164,60 kNm
N = 164 768,80 kN
Wymiary ściany :
g = 75 cm
s = 1125 cm
Asc = 84 375 cm2
Wsc = 15 820 313 cm3
l0 = 7,00 m
s – szerokość ściany Asc – pole przekroju ściany wsc – wskaźnik wytrzymałości ściany
=
=164
N
M
±
A sc W sc
768,80
460
375± 23 216
=1,952±1,468
84
15820313
2
2
 max =3,420 kN / cm =34,20 MPa ,  min =0,4853 kN / cm = 4,85 MPa
każdego elementu określono wartości średnie naprężeń  śr ( Rys.11.3), na podstawie których
N i wg wzoru 11.2. Wartości sił N i
Tablicy 11.3.
100
zestawiono w
 max
min
 śr
ls
Ni
[MPa]
[MPa]
[MPa]
[cm]
[kN]
SG I
34,20
31,59
32,90
100
25 652,4
SG II
31,59
28,99
3029
100
23 695,8
SG III
28,99
26,38
27,68
100
21 739,1
SG IV
26,38
23,77
25,07
100
19 782,4
SG V
23,77
21,16
22,46
100
17 825,7
SG VI
21,16
17,90
19,53
125
19 836,3
SG VII
17,90
15,29
16,59
100
13 423,2
SG VIII
15,29
12,68
13,98
100
11 466,5
SG IX
12,68
10,07
11,37
100
9 509,83
SG X
10,07
7,45
8,77
100
7 553,15
SG XI
7,45
4,85
6,16
100
5 596,47
Segment
Wymiarowane będą segmenty SG I do SG VI.
A s , min =0,15
N
164768,80
2
=0,15
=588,45 cm
f yd
42
A s , min =0,003 A c =0,003⋅75⋅1125=236,25 cm
101
2
11.1.1.2.1 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG I
Dane projektowe
M = 0 kNm
N = 25 652,4kN
Wymiary przekroju :
Parametry przekroju
Stal AIIIN
2
Beton C45/55
2
h = 75 cm
A = 7500,00 cm
fyd = 420 MPa = 42 kN/cm
b = 100 cm
I = bh3/12 = 3 515 625,0 cm4
lcol = 7,00 m
ix = 21,65 cm
Es = 200 GPa
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2
a1 = 5 cm
fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2
d = h – a1 = 70 cm
Ecm = 36 GPa
β = 1,0
l0 = β lcol = 7,00 m
●
e 0=e ae e
e a=
l col 700
h 75
30 30
600 600
e a= 2,5 cm
M sd
0
=
=0
N sd 25652,4
e 0=2,50=2,5 cm
●
Sprawdzenie smukłości elementu (p. 5.3.1 [N5])
l 0 700
l o 700
=
=32,33 25 , =
=9,337
i 21,65
h 75
●
l
=e0 /h=2,5/ 75=0,03 lub =0,5−0,01 0 − 0,01 f cd =0,5−0,01 700 −0,01⋅3,0=0,11
h
75
=0,11
RH = 80%, h0 = 2 (70 100)/ 2(70 +100) = 41,18 cm = 412 mm
N sd.lt = N sd =1,0⋅25652,4= 25652,4 kN - siła podłużna wywołana długotrwałym działaniem
102
k l =10,5
N sd.lt
25652,4
⋅ ∞ ,t 0 =10,5
⋅1,65=1,83
N sd
25652,4
 s =0,02
3
4
I c =b h / 12=3 515 625,0 cm
I s = s b d

2



2
h−a1− a 2
75−5−5
=0,02⋅100⋅70
=147875 cm 4
2
2
N crit =
N crit =
[ 

9 E cm I c 0,11
0,1 E s I s
l 20 2 k l 0,1
[

]

]
9 3600⋅3515625
0,11
0,1 2000⋅147 875 =94 588,77 kN
2
2⋅1,83
0,10,11
700
N sd =25 652,4 kN , 0,9 N crit =85 130 kN
N sd 0,9 N crit
●
e tot =⋅e0
=
1
1
=
=1,37
N sd
25652
1−
1−
94588,77
N crit
e tot =1,37⋅2,5=3,43 cm
●
x eff =
N sd
25652
=
=85,51cm
 f cd b 3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
e s1=e tot 0,5 h−a1 =3,430,5⋅75−5=35,93cm
e s2= es1 −d a 2 =35,93−705=−29,07cm
103
p=
2
2
=
=0,0571
1−eff , lim d 1−0,50 70
3
2
A =1
B = xeff , lim 2 d =35,0 2⋅70 =175
C=d x eff , lim 
D=
d −a2 N sd e s1
70−5 25652⋅35,93

=70⋅35

=6659,83
p
f cd b
0,0571
3,0⋅100




2 N sd d −a 2
2⋅25652 70−5
35,93⋅35,0 = 409593,62
f cd b
p
3,0⋅100 0,0571
3
2
x eff −175 x eff 13319,65 x eff − 409593,62=0
x eff =67,59cm
x eff d
A s1= A s2=
p xeff −xeff , lim  f
=
yd
25652−3,0⋅100⋅67,59
2
=68,73 cm
0,057167,59−35,042,0
=
∣
●
A s1 As2 73,8573,85
=
=0,0197
bh
100⋅75
 s− 0,02−0,0197
∣=∣
∣=0,0140,1
s
0,02
x eff =− e s2− a2 


2
2
 e s1−a 2  
x eff =−−29,07−5 −29,07−5 
2f
yd
 A s1 e s1 − As2 e s2 
f cd b
2⋅42,0 73,85⋅35,93−73,85⋅−29,07
=84,13 cm
3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
p =1− eff , lim =1−0,5=0,5
A=e s2 −a2 
2
3,0⋅100
[
B
2 f yd A s1 e s1
2⋅42,0⋅73,85⋅35,93
=−28,72−5
=151,77
d p f cd b
70⋅0,5⋅3,0⋅100
B=
B=
2
2
f cd b
[ 
2
−1 f
p
yd
As1 e s1− f
yd
A s2 e s2
]
]

2
−1 42,0⋅73,85⋅35,93−42,0⋅73,85⋅−29,07 =25876,07
0,5
x eff =−54,03 151,77 25876,07=69,39 cm
2
eff =
xeff 69,39
=
=0,99
d
70
104
 s=
21−eff 
21−0,99
−1=
−1=−0,96
1−eff , lim
1−0,50
Wzór 43 [N5]
yd
As2  d − a2 
N sd e s1=25652⋅35,93=921 698,0 kN cm=9 216,98kNm
yd
A s2 d −a 2=3,0⋅100⋅69,39⋅70−0,5⋅69,3942,0⋅73,8570−5
=936664,0 kNcm=9366,64 kNm
9216,989366,64
Wzór 44 [N5]
f cd b x eff  f
yd
A s2− f
yd
yd
As2 − f
yd
As1 s
A s1  s =3,0⋅100⋅69,3942,0⋅73,85− 42,0⋅73,85⋅−0,96= 26 913,46kN
22 785,0 23512,66
11.1.1.2.2 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG II
Dane projektowe
M = 0 kNm
N = 23 695,8kN
Wymiary przekroju :
Parametry przekroju
Stal AIIIN
2
Beton C45/55
2
h = 75 cm
A = 7500,00 cm
b = 100 cm
I = bh3/12 = 3 515 625,0 cm4
lcol = 7,00 m
ix = 21,65 cm
Es = 200 GPa
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2
a1 = 5 cm
fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2
d = h – a1 = 70 cm
Ecm = 36 GPa
β = 1,0
l0 = β lcol = 7,00 m
●
e 0=e ae e
e a=
l col 700
h 75
30 30
600 600
e a= 2,5 cm
105
M sd
0
=
=0
N sd 25652,4
e 0=2,50=2,5 cm
●
l 0 700
l o 700
=
=32,33 25 , =
=9,337
i 21,65
h 75
●
l
=e0 /h=2,5/ 75=0,03 lub =0,5−0,01 0 − 0,01 f cd =0,5−0,01 700 −0,01⋅3,0=0,11
h
75
=0,11
RH = 80%, h0 = 2 (70 100)/ 2(70 +100) = 41,18 cm = 412 mm
k l =10,5
N sd.lt
23695,8
⋅ ∞ ,t 0 =10,5
⋅1,65=1,83
N sd
23695,8
 s =0,013
3
4
I c =b h / 12=3 515 625,0 cm
I s = s b d

2

2


h−a1− a 2
75−5−5
=0,013⋅100⋅70
=96119 cm 4
2
2
N crit =
N crit =
[
[ 

9 E cm I c 0,11
0,1 E s I s
l 20 2 k l 0,1


]
9 3600⋅3515625
0,11
0,1 2000⋅96119 =75576,27 kN
2
2⋅1,83
0,10,11
700
N sd =23696 kN , 0,9 N crit =68019 kN
N sd 0,9 N crit
●
]
e tot =⋅e0
106
=
1
1
=
=1,46
N sd
23696
1−
1−
75576,27
N crit
e tot =1,46⋅2,5=3,64 cm
●
x eff =
N sd
23696
=
=78,99 cm
 f cd b 3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
e s1=e tot 0,5 h−a1 =3,640,5⋅75−5=36,14 cm
e s2= es1 −d a2 =36,14−705=−28,86 cm
p=
2
1−eff , lim d
3
=
2
=0,0571
1−0,50 70
2
A =1
B = xeff , lim 2 d =35,0 2⋅70 =175
C=d x eff , lim 
D=
d −a 2 N sd e s1
70−5 23696⋅36,14

=70⋅35

=6442,20
p
f cd b
0,0571
3,0⋅100




2 N sd d −a 2
2⋅23696 70−5
36,14⋅35,0 =379522,14
f cd b
p
3,0⋅100 0,0571
3
2
x eff −175 x eff 12884,40 xeff −379522,14 =0
x eff =67,37cm
x eff d
A s1=A s2=
p xeff −xeff , lim  f
=
yd
23696−3,0⋅100⋅67,59
2
= 44,86 cm
0,057167,37−35,042,0
=
∣
A s1 As2 45,6245,62
=
=0,012
bh
100⋅75
 s− 0,013−0,012
∣=∣
∣=0,0640,1
s
0,013
107
●

2
x eff =−e s2 −a 2  e s1−a 2  

2
x eff =−−28,86−5 −28,86−5 
2 f yd  A s1 es1 − A s2 e s2 
f cd b
2⋅42,045,62⋅36,14− 45,62⋅−28,86
=78,32 cm
3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
p =1− eff , lim =1−0,5=0,5
A=e s2 −a2 
2
3,0⋅100
[
B
2 f yd A s1 e s1
2⋅42,0⋅45,62⋅36,14
=−28,86−5
=81,55
d p f cd b
70⋅0,5⋅3,0⋅100
B=
B=
2
2
f cd b
[ 
2
−1 f
p
yd
As1 e s1− f
yd
A s2 e s2
]
]

2
−1 42,0⋅45,62⋅36,14− 42,0⋅45,62⋅−28,86 =16063,67
0,5
x eff =−81,55  81,55 16063,68=69,16cm
2
eff =
 s=
xeff 69,39
=
=0,99
d
70
21−eff 
21−0,99
−1=
−1=−0,99
1−eff , lim
1−0,50
Wzór 43 [N5]
yd
As2  d − a2 
N sd e s1=23695,8⋅36,14=856410,0 kN cm=8564,10kNm
yd
A s2 d −a 2=3,0⋅100⋅69,16⋅70−0,5⋅69,1642,0⋅45,62 70−5
=859426,0 kNcm=8594,26 kNm
8564,108594,26
Wzór 44 [N5]
f cd b x eff  f
yd
A s2− f
yd
yd
As2 − f
yd
As1 s
A s1  s =3,0⋅100⋅69,1642,0⋅45,62−42,0⋅45,62⋅−0,99=24 489,14 kN
23 695,8 24 489,14
108
11.1.1.2.3 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG III
Dane projektowe
M = 0 kNm
N = 21 739,1kN
Wymiary przekroju :
Parametry przekroju
Stal AIIIN
2
Beton C45/55
2
h = 75 cm
A = 7500,00 cm
b = 100 cm
I = bh3/12 = 3 515 625,0 cm4
lcol = 7,00 m
ix = 21,65 cm
Es = 200 GPa
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2
a1 = 5 cm
fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2
d = h – a1 = 70 cm
Ecm = 36 GPa
β = 1,0
l0 = β lcol = 7,00 m
●
e 0=e ae e
e a=
l col 700
h 75
30
30
600 600
e a= 2,5 cm
M sd
0
=
=0
N sd 21739,1
e 0=2,50=2,5 cm
●
l 0 700
l o 700
=
=32,33 25 , =
=9,337
i 21,65
h 75
●
l
=e0 /h=2,5/ 75=0,03 lub =0,5−0,01 0 − 0,01 f cd =0,5−0,01 700 −0,01⋅3,0=0,11
h
75
=0,11
RH = 80%, h0 = 2 (70 100)/ 2(70 +100) = 41,18 cm = 412 mm
109
k l =10,5
N sd.lt
21739,1
⋅ ∞ ,t 0 =10,5
⋅1,65=1,83
N sd
21739,1
 s =0,007
3
4
I c =b h / 12=3 515 625,0 cm
2


2


h−a1− a 2
75−5−5
I s = s b d
=0,007⋅100⋅70
=51756 cm 4
2
2
N crit =
N crit =
[ 

9 E cm I c 0,11
0,1 E s I s
l 20 2 k l 0,1
[

]

]
9 3600⋅3515625
0,11
0,1 2000⋅51756 =59 279,84 kN
2
2⋅1,83
0,10,11
700
N sd =21739kN , 0,9 N crit =53352 kN
N sd 0,9 N crit
●
e tot =⋅e0
=
1
1
=
=1,58
N sd
21739
1−
1−
59279,84
N crit
e tot =1,58⋅2,5=3,95 cm
●
x eff =
N sd
21739
=
=72,46 cm
 f cd b 3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
e s1=e tot 0,5 h−a1 =3,950,5⋅75−5=36,45cm
e s2= es1 −d a 2 =36,45−705=−28,55cm
p=
2
2
=
=0,0571
1−eff , lim d 1−0,50 70
3
2
110
A =1
B = xeff , lim 2 d =35,0 2⋅70 =175
C=d x eff , lim 
D=
d −a2 N sd e s1
70−5 21739⋅36,45

=70⋅35

=6228,63
p
f cd b
0,0571
3,0⋅100




2 N sd d −a 2
2⋅21739 70−5
36,45⋅35,0 =349734,22
f cd b
p
3,0⋅100 0,0571
3
2
x eff −175 x eff 12457,27 x eff −349734,22=0
x eff =66,96 cm
x eff d
A s1= A s2=
=
yd
21739−3,0⋅100⋅66,96
2
=21,53 cm
0,057166,96−35,042,0
=
∣
●
A s1 As2 24,1224,12
=
=0,0067
bh
100⋅75
 s− 0,007−0,0067
∣=∣
∣=0,0430,1
s
0,007

2
x eff =−e s2 −a 2  e s1−a 2  

2
x eff =−−28,55−5 −28,55−5 
2 f yd  A s1 es1 − A s2 e s2 
f cd b
2⋅42,0 24,12⋅36,45−24,12⋅−28,55
=73,34 cm
3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
p =1− eff , lim =1−0,5=0,5
A=e s2 −a 2 
2
3,0⋅100
[
B
2 f yd A s1 e s1
2⋅42,0⋅24,12⋅36,45
=−28,86−5
=30,57
d p f cd b
70⋅0,5⋅3,0⋅100
B=
B=
2
2
f cd b
[ 
2
−1 f
p
yd
As1 e s1− f
yd
A s2 e s2
]
]

2
−1 42,0⋅24,12⋅36,45−42,0⋅24,12⋅−28,55 =8921,54
0,5
x eff =−30,57  30,57 8921,54=68,71 cm
2
eff =
 s=
xeff 69,39
=
=0,99
d
70
21−eff 
21−0,99
−1=
−1=−0,98
1−eff , lim
1−0,50
111
Wzór 43 [N5]
yd
As2  d − a2 
N sd e s1=21739⋅36,45=792340,0 kN cm=7923,40 kNm
yd
A s2 d −a 2=3,0⋅100⋅68,71⋅70−0,5⋅68,7142,0⋅24,1270−5
=803362,0 kNcm=8033,62 kNm
7923,408033,62
Wzór 44 [N5]
f cd b x eff  f
yd
A s2− f
yd
yd
As2 − f
yd
As1 s
A s1  s =3,0⋅100⋅68,7142,0⋅24,12−42,0⋅24,12⋅−0,98=22645,55 kN
21739,12264555
11.1.1.2.4 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG IV
Dane projektowe
M = 0 kNm
N = 19 782,4 kN
Wymiary przekroju :
Parametry przekroju
Stal AIIIN
2
Beton C45/55
2
h = 75 cm
A = 7500,00 cm
b = 100 cm
I = bh3/12 = 3 515 625,0 cm4
lcol = 7,00 m
ix = 21,65 cm
Es = 200 GPa
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2
a1 = 5 cm
fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2
d = h – a1 = 70 cm
Ecm = 36 GPa
β = 1,0
l0 = β lcol = 7,00 m
●
e 0=e ae e
e a=
l col 700
h 75
30 30
600 600
e a= 2,5 cm
M sd
0
=
=0
N sd 21739,1
e 0=2,50=2,5 cm
112
●
l 0 700
l o 700
=
=32,33 25 , =
=9,337
i 21,65
h 75
●
l
=e0 /h=2,5/ 75=0,03 lub =0,5−0,01 0 − 0,01 f cd =0,5−0,01 700 −0,01⋅3,0=0,11
h
75
=0,11
RH = 80%, h0 = 2 (70 100)/ 2(70 +100) = 41,18 cm = 412 mm
k l =10,5
N sd.lt
21739,1
⋅ ∞ ,t 0 =10,5
⋅1,65=1,83
N sd
21739,1
 s =0,007
3
4
I c =b h / 12=3 515 625,0 cm
2


2


h−a1− a 2
75−5−5
I s = s b d
=0,007⋅100⋅70
=51756 cm 4
2
2
N crit =
N crit =
[
[ 

9 E cm I c 0,11
0,1 E s I s
l 20 2 k l 0,1


]
9 3600⋅3515625
0,11
0,1 2000⋅51756 =59 279,84 kN
2
2⋅1,83
0,10,11
700
N sd =19782kN , 0,9 N crit =53352 kN
N sd 0,9 N crit
●
]
e tot =⋅e0
=
1
1
=
=1,50
N sd
19782
1−
1−
59279,84
N crit
e tot =1,58⋅2,5=3,75 cm
113
●
x eff =
N sd
19782
=
=72,46 cm
 f cd b 3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
e s1=e tot 0,5 h−a1 =3,750,5⋅75−5=36,25cm
e s2= es1 −d a 2 =36,25−705=−28,75cm
p=
2
1−eff , lim d
3
=
2
=0,0571
1−0,50 70
2
A =1
B = xeff , lim 2 d =35,0 2⋅70 =175
C=d x eff , lim 
D=
d −a2 N sd e s1
70−5 19782⋅36,25

=70⋅35

=5978,01
p
f cd b
0,0571
3,0⋅100




2 N sd d −a 2
2⋅19782 70−5
36,25⋅35,0 =317352,51
f cd b
p
3,0⋅100 0,0571
3
2
x eff −175 x eff 12457,27 x eff −349734,22=0
x eff =67,56 cm
x eff d
A s1= A s2=
=
yd
19782−3,0⋅100⋅67,56
2
=−6,21 cm
0,057167,56−35,042,0
sam beton jest w stanie przenieść zadane mu obciążenie.
Element zbroi sie zbrojeniem minimalnym:
A s1A s2=0,003 Ac =0,003⋅7500=22,5 cm
2
2
Ac =75⋅100=7500 cm - pole przekroju betonu
Przyjmuję zbrojenie minimalne : As1 + As2 = 12 Φ 16 mm o As = 24,12 cm2
=
●
A s1 As2 12,0612,06
=
=0,0032
bh
120⋅75
114

2
x eff =−e s2 −a 2  e s1−a 2  

2
x eff =−−28,75−5 −28,75−5 
2 f yd  A s1 es1 − A s2 e s2 
f cd b
2⋅42,0 12,06⋅36,25−12,06⋅−28,75
=70,61 cm
3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
p =1− eff , lim =1−0,5=0,5
A=e s2 −a 2 
2
3,0⋅100
[
B
2 f yd A s1 e s1
2⋅42,0⋅12,06⋅36,25
=−28,75−5
=−3,13
d p f cd b
70⋅0,5⋅3,0⋅100
B=
B=
2
2
f cd b
[ 
2
−1 f
p
yd
As1 e s1− f
yd
A s2 e s2
]
]

2
−1 42,0⋅12,06⋅36,25−42,0⋅12,06⋅−28,75 =4260,54
0,5
x eff =3,13 −3,13  4260,54=68,48 cm
2
eff =
 s=
xeff 68,48
=
=0,98
d
70
21−eff 
21−0,98
−1=
−1=−0,91
1−eff , lim
1−0,50
Wzór 43 [N5]
yd
As2  d − a2 
N sd e s1=19782,4⋅36,25=717154,0 kN cm=7171,54kNm
yd
A s2 d −a 2=3,0⋅100⋅68,48⋅70−0,5⋅68,4842,0⋅12,0670−5
=767588,0 kNcm=7675,88 kNm
7171,547675,88
Wzór 44 [N5]
f cd b x eff  f
yd
A s2− f
yd
yd
As2 − f
yd
As1 s
A s1  s =3,0⋅100⋅68,4842,0⋅12,06− 42,0⋅12,06⋅−0,91=21514,14 kN
19782,421514,14
11.1.1.2.5 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG V i SG VI
W segmencie SG V wartość siły N 5=17 825,7kN , a SG VI N 6=19836,3 kN . Ponieważ są one
mniejsze lub zbliżone do wartości siły w segmencie SG IV przyjmuję zbrojenie minimalne : As1
+ As2 = 12 Φ 16 mm o As = 24,12 cm2.
115
11.1.1.2.6 Sprawdzenie warunku minimalnego zbrojenia dla ściany 22
Sumaryczne pole przekroju zbrojenia podłużnego zestawiono w Tablicy 11.4
Tablica 11.4 Pole przekroju zbrojenia ściany 22
Segment

[mm]
A s1
A s2
 As
[cm2]
[cm2]
[cm2]
Liczba prętów
SG I
28
12
73,85
73,85
147,7
SG II
22
12
45,62
45,62
91,24
SG III
16
12
25,13
25,13
50,26
SG IV
16
6
12,06
12,06
24,12
SG V
16
6
12,06
12,06
24,12
SG VI
16
6
12,06
12,06
24,12
SG VII
16
6
12,06
12,06
24,12
SG VIII
16
6
12,06
12,06
24,12
SG IX
16
12
25,13
25,13
50,26
SG X
22
12
45,62
45,62
91,24
SG XI
28
12
73,85
73,85
147,7
Suma
699,0
2
2
Całkowite pole przekroju zbrojenia podłużnego A s=699,0 cm , A s , min =588,45cm
A s A s min
Warunek spełniony
Wielkość zbrojenia przyjęto jak w p. 11.1.1.4
Przyjmuję zbrojenie obu powierzchni ściany : 8 Φ 16 mm o As = 32.17 cm2 .
Podstawową długość zakotwienia l b obliczono w pkt 11.1.1.5
Pręt Φ 16 mm, przyjmuję l b=45 cm
116
11.1.2. Wymiarowanie Elementu 2 trzonu o grubości 60 cm – Poz. 1.2
Maksymalne wartości sił wewnętrznych w płaszczyźnie ściany, w trzonie o grubości 60 cm
uzyskano w strefie czwartej dla rzędnej 193,20 m.
Przyjmują one wartość: N =14 177,0 ,
M = 2300,6kNm dla ściany 3, oraz N =51 8999,1kN , M =31214,8 kNm dla ściany 22. Wysokość
kondygnacji przyjmuję równą 3,75 m.
11.1.2.1 Wymiarowanie zbrojenia ściany nr 3 i 4 – Poz. 1.2.1
Dane projektowe
M = 2 300,6 kNm
N = 14 177,0 kN
Wymiary ściany :
g = 60 cm
s = 320 cm
Asc = 19 200 cm
2
l0 = 3,75 m
3
Wsc = 1 024 000 cm
s – szerokość ściany Asc – pole przekroju ściany Wsc – wskaźnik wytrzymałości ściany
=
=
N
M
±
A sc W sc
14177,0 230060
±
=0,738±0,2247
19200 1024000
2
2
max =0,9631 kN /cm =9,63 MPa , min =0,5137 kN /cm =5,14 MPa
117
11.5.
N i = śr g l s
max
min
 śr
ls
Ni
[MPa]
[MPa]
[MPa]
[cm]
[kN]
SG I
9,63
8,23
8,93
100
5 357,07
SG II
8,23
6,54
7,38
120
5 316,38
SG III
6,54
5,13
5,84
100
3 503,56
Segment
Segment SG III będzie wymiarowany jak SG I.
A s , min =0,15
N
14177
2
=0,15
=50,63cm
f yd
42
2
A s , min =0,003 A c =0,003⋅60⋅320=57,6 cm
11.1.2.1.1 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG I i SG III
Dane projektowe
M = 0 kNm
N = 5 357,07 kN
Wymiary przekroju :
Parametry przekroju
Stal AIIIN
2
Beton C45/55
2
h = 60 cm
A = 6000,00 cm
b = 100 cm
I = bh3/12 = 1 800 000,0 cm4
lcol = 3,75 m
ix = 17,32 cm
Es = 200 GPa
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2
a1 = 5 cm
fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2
d = h – a1 = 55 cm
Ecm = 36 GPa
β = 1,0
l0 = β lcol = 3,75 m
●
e 0=e ae e
e a=
l col 375
h 60
=
= 0,63cm lub e a= = =2,0 cm lub e a=1,00 cm
30
30
600 600
e a= 2,0cm
118
M sd
0
=
=0
N sd 5357,07
e 0=2,00=2,0 cm
●
l 0 375
l o 375
=
=21,65 25 , =
=6,257
i 17,32
h 60
Nie trzeba uwzględniać smukłości w obliczeniach.
●
e tot =⋅e0
=1
e tot =2,0⋅1,0= 2,0cm
●
x eff =
N sd
5357,07
=
=17,86 cm
 f cd b 3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
Przypadek dużego mimośrodu
e s1=e tot 0,5 h−a1 =2,00,5⋅60−5=27,00 cm
e s2= es1 −d a 2 =27,00−555=−23,00 cm
x eff 2 a2

N sd e s1−d 
A S1= A s2=
A s1= A s2=5357,07

N sd
2 f cd b

(11.29)
f yd d −a 2

5357,07
2⋅3,0⋅100
=−48,65 cm2
42,0 55−5
27,0−55
sam beton jest w stanie przenieść zadane mu obciążenie. Segment SG I jest najbardziej
wytężonym w całej ścianie, dlatego w całej ścianie zastosowano zbrojenie minimalne.
2
A s , min =0,003 A c =0,003⋅60⋅320=57,6 cm
Przyjmuję zbrojenie minimalne : As1 = As2 = 26 Φ 12 mm o As1 = 29,39 cm2
119
(11.30)
2
A s=58,78 cm A smin=57,60 cm
2
Zbrojenie poziome dobieram z warunku minimalnego pola przekroju zbrojenia wg p.6.2 [N5].
Zbrojenie liczę na 1 m wysokości ściany
A s , min =k c k f
ct , eff
A ct
 s , lim
(11.31)
 s , lim =240 MPa - dla =16 i w lim=0,3 mm tab. 12 [N5]
k c =1,0 , k =0,5 , Act =0,5 b h=0,5⋅60⋅100=3000 cm 2 , f ct ,eff = f ctm =3,8 MPa p. 6.2 [N5]
A s , min =1,0⋅0,5⋅3,8
3000
2
=13,57cm
240
Przyjmuję zbrojenie obu powierzchni ściany na 1 metr wysokości: 2 x 7 Φ 12 mm o As =
15.83 cm2
Podstawową długość zakotwienia l b oblicza się z wzoru 187 [N5]
Pręt Φ 12 mm
 f yd 12 420
l b= ⋅
= ⋅
=315 mm=31,5 cm
4 f bd 4 4,0
11.1.2.2 Wymiarowanie zbrojenia ściany nr 22 – Poz. 1.2.2
Dane projektowe
M = 31 214,8 kNm
N = 51 899,1 kN
Wymiary ściany :
g = 60 cm
Asc = 67 500 cm
s = 1125 cm
2
l0 = 3,75 m
Wsc = 12 656 250 cm
3
s – szerokość ściany Asc – pole przekroju ściany wsc – wskaźnik wytrzymałości ściany
=
N
M
±
A sc W sc
120
=
51899 3121480
±
=0,769±0,2466
67500 12656250
2
2
max =1,016 kN / cm =10,16 MPa , min =0,5222 kN / cm =5,22 MPa
11.6.
max
min
 śr
ls
Ni
[MPa]
[MPa]
[MPa]
[cm]
[kN]
SG I
10,55
9,72
9,94
100
6 093,07
SG II
9,72
9,28
9,45
100
5 829,99
SG III
9,28
8,84
9,06
100
5 566,91
SG IV
8,84
8,40
8,62
100
5 303,83
SG V
8,40
7,96
8,18
100
5 040,75
SG VI
7,96
7,41
7,69
125
5 972,1
SG VII
7,41
6,98
7,20
100
4 448,83
SG VIII
6,98
6,54
6,76
100
4 185,75
SG IX
6,54
6,10
6,32
100
3 922,67
SG X
6,10
5,66
5,88
100
3 659,6
SG XI
5,66
5,22
5,44
100
3 396,52
Segment
121
A s , min =0,15
N
51899,1
2
=0,15
=185,35cm
f yd
42
A s , min =0,003 A c =0,003⋅60⋅1125=202,5 cm
2
11.1.2.2.1 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG I
Dane projektowe
M = 0 kNm
N = 6 093,07 kN
Wymiary przekroju :
Parametry przekroju
h = 60 cm
A = 6000,00 cm
Stal AIIIN
2
Beton C45/55
2
2
3
4
b = 100 cm
I = bh /12 = 1 800 000,0 cm
fyk = 490 MPa = 49 kN/cm
lcol = 3,75 m
ix = 17,32 cm
Es = 200 GPa
a1 = 5 cm
fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2
d = h – a1 = 55 cm
Ecm = 36 GPa
β = 1,0
l0 = β lcol = 3,75 m
●
e 0=e ae e
e a=
l col 375
h 60
=
= 0,63cm lub e a= = =2,0 cm lub e a=1,00 cm
30 30
600 600
e a= 2,0cm
M sd 0
= 093,07=0
N sd 6
e 0=2,00=2,0 cm
●
l 0 375
l o 375
=
=21,65 25 , =
=6,257
i 17,32
h 60
Nie trzeba uwzględniać smukłości w obliczeniach.
●
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2
e tot =⋅e0
=1
e tot =2,0⋅1,0= 2,0cm
122
●
x eff =
N sd
6093
=
=20,31 cm
 f cd b 3,0⋅100
x eff  xeff
, lim
Przypadek dużego mimośrodu
e s1=e tot 0,5 h−a1 =2,00,5⋅60−5=27,00 cm
e s2= es1 −d a 2 =27,00−555=−23,00 cm
x eff 2 a2

N sd es1 −d 
A S1= A s2=
A s1=A s2=6093,0

f
yd
N sd
2 f cd b

 d −a 2 

6093,0
2⋅3,0⋅100
=−51,77 cm 2
42,055−5
27,0−55
sam beton jest w stanie przenieść zadane mu obciążenie. Segment SG I jest najbardziej
wytężonym w całej ścianie, dlatego w całej ścianie zastosowano zbrojenie minimalne.
A s , min =0,003 A c =0,003⋅60⋅1125=202,5 cm
2
Przyjmuję zbrojenie minimalne : As1 = As2 = 90 Φ 12 mm o As1 = 101,74 cm2
2
A s=203,48 cm A smin= 202,5cm
2
Zbrojenie poziome dobrano jak w p. 11.1.2.1.2
Przyjęto zbrojenie obu powierzchni ściany na 1 metr wysokości: 2 x 7 Φ 12 mm o As = 15.83
cm2
Podstawową długość zakotwienia l b przyjęto jak w p. 11.1.2.1.3 dla pręta Φ 12 mm l b=35 cm
123
11.2. Nadproża
Zbrojenie obliczono dla dwóch nadproży:
●
Poz. 2.1 – najbardziej wytężone nadproże w części budynku z trzonem o grubości 75 cm
●
Poz. 2.2 – najbardziej wytężone nadproże w części budynku z trzonem o grubości 60 cm
Każde z nadproży zostało zaprojektowane w trzech wariantach:
1. belka żelbetowa ze zbrojeniem na ścinanie w postaci pionowych strzemion
2. belka żelbetowa ze zbrojeniem diagonalnym
3. belka stalowa
Zgodnie z [Bud79] nadproże pełni dwie funkcje: stanowi belkę przenoszącą obciążenia
pionowe od stropu oraz jest łącznikiem zapewniającym współpracę pasm ściennych. W
analizowanym przypadku dominuje druga funkcja.
W obliczanym przypadku obciążenie od stropu sprowadza sie do siły skupionej równej reakcji
podporowej od belki stropowej: P = 12,02 kN/m2 · 2,175 m · 12 m / 0,5 = 156,86 kN.
Obciążenie to wywołuje dodatkowe siły wewnętrzne M = 59,80 kNm (w przęśle i na podporze)
oraz T = 78,43 kN. Zostały one dodane do sił wewnętrznych otrzymanych z programu BW.
Rys. 11.6 Schematy statyczne pracy nadproży w budynku wysokim
a) element łączący b) belka przenosząca obciążenia stropowe
Zgodnie z zaleceniami ACI 318-99 zawartymi w pracy [Har00] dla nadproży o
L /d≤4
(11.32a)
0,83  f cd
(11.32b)
L - rozpiętość nadproża
124
d - odległość od krawędzi ściskanej przekroju do środka ciężkości podłużnego zbrojenia
głównego
f cd - obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie
można stosować tradycyjne zbrojenie nadproży w postaci prętów podłużnych, lub
zaproponowane przez T. Paulay zbrojenie diagonalne (Rys. 11.7). Przy obliczeniach nadprozy
korzystano z informacji zawartych w [Har00] [Eng03] [Pau90].
Rys. 11.7 Przykłady zbrojenia nadproży [Har00]
11.2.1. Wymiarowanie nadproża – Poz. 2.1
11.2.1.1 Poz. 2.1.1 – Przypadek 1: belka żelbetowa ze zbrojeniem na ścinanie w
postaci strzemion pionowych
Dane projektowe
M = 3 369,37 kNm
Vsd = 2 248,64 kN
Wymiary przekroju :
Beton C45/55
b = 75 cm
Stal AIIIN
2
2
fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm
h = 110 cm
fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm
a1 = 9 cm
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2
d = h – a1 = 116 cm
fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm
Es = 200 GPa
2
Ecm = 36 GPa
11.2.1.1.1 Określenie wielkości a1 - odległość od środka ciężkości zbrojenia do
rozciąganej krawędzi przekroju belki
a1 =cnom  strzemiona 1,5 zbrojenia
c nom - nominalna grubość otuliny określona na podstawie wzoru 185 [N5]:
125
(11.33)
c nom=cmin  c
(11.34)
Gdzie c min=20 mm - minimalna grubość otuliny odczytana dla XC3 z tab. 21 [N5],  c=10 mm dopuszczalna odchyłka otuliny [N5, p.1.1.2 ]
c nom=2010=30
 strzemion=10 mm
 zbrojenia =32 mm
a1 =30 101,5⋅32 =88 mm
Przyjmuję a1 =90 mm
11.2.1.1.2 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia głównego As1
A0 =
M sd
336937
=0,146799
2=
f cd b d 3,0⋅75⋅1012
(11.35)
eff =1− 1− 2A 0=1−  1−2⋅0,146799=0,159523
(11.36)
eff =1−0,5  eff =1−0,5⋅0,159523=0,920239
(11.37)
A s1=
f
M sd
336937
2
=
=86,31cm

d
42⋅0,920239⋅101,0
yd eff
(11.38)
Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 23a [N5]
A s1 , min =0,26
f ctm
3,8
2
b d=0,26
75⋅101=15,27cm
f yk
490
(11.39)
Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 23b [N5]
A s1 , min =0,0013 bd =0,001375⋅101=9,85 cm
2
(11.40)
Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 111 [N5]
A s , min =k c k f
ct , eff
A ct
 s , lim
(11.41)
 s , lim =160 MPa - dla i w lim=0,3 mm tab. 12 [N5]
k c =0,4 , k =0,5 , Act =0,5 b h=0,5⋅75⋅110=4125 , f ct ,eff = f ctm =3,8 MPa p. 6.2 [N5]
A s , min =0,4⋅5⋅3,8
4125
2
=19,59 cm
160
Przyjmuję zbrojenie górą i dołem na całej długości belki :
14 Φ 28 mm As1 = 86,16 cm2 , stopień zbrojenia ρs = 1,14% rozmieszczone w dwóch rzędach
po 7 prętów w rozstawie po 10,5 cm.
126
11.2.1.1.3 Obliczenie długości zakotwienia zbrojenia głównego
Podstawową długość zakotwienia l b obliczamy z wzoru 187 [N5]
 f yd 28 420
l b= ⋅
= ⋅
=73,5 mm=75 cm
4 f bd 4 4,0
(11.42)
Obliczeniową długość zakotwienia prętów l bd wyznaczam zgodnie z zaleceniami [Har00] dla
rejonów z obciążeniami sejsmicznymi:
l bd =1,3l b=1,3⋅75,0=95,55
(11.43)
Przyjmuję l bd =95,0 cm
11.2.1.1.4 Obliczenie potrzebnego zbrojenia powierzchniowego
Zgodnie z punktem 8.1.7 [N5] dla przekrojów o wysokości przekraczającej h>100 cm zalecane
jest stosowanie zbrojenia powierzchniowego rozmieszczonego w kierunku równoległym i
prostopadłym do rozciąganego zbrojenia belki.
Rys. 11.8 Zbrojenie przypowierzchniowe [N5]
A s , surf ≥0,01 A ct , ext
(11.44)
A s , surf - pole przekroju zbrojenia przypowierzchniowego
Act , ext - pole przekroju betonu rozciąganego poza strzemionami pokazane na rysunku 11.8
x=1,25 x eff =1,25 eff d =1,25⋅0,1595⋅101,0= 20,13cm
eff =0,1595 - p.11.2.1.1.2
d − x=109,0−20,13=88,87 cm60 cm
Act , ext =32⋅6075−2⋅3=567,0 cm
A s , surf =0,01⋅567,0=5,67 cm
127
2
2
Przyjmuję zbrojenie :
●
w przekroju poprzecznym: 21 Φ 6 mm o As = 5,94 cm2
8 prętów w rozstawie co 10 cm wzdłuż szerokości przekroju b, oraz po 6 prętów w
rozstawie
co 12 cm wzdłuż wysokości przekroju h.
●
wzdłuż osi belki Φ 8 mm w rozstawie co 10 cm.
●
długość zakotwienia prętów obliczamy z wzoru 187 [N5]
 f yd 6 420
l b= ⋅
= ⋅
=157,5 mm=15,75cm
4 f bd 4 4,0
(11.45)
Przyjmuję długość zakotwienia lbd = 16 cm
11.2.1.1.5 Sprawdzenie nośności obliczeniowej przekroju na ścinanie ze względu
na rozciąganie betonu powstałe przy ścinaniu w elemencie nie zbrojonym
na ścinanie VRd1
Nośność VRd1 oblicza się ze wzoru 67 [N5]
V Rd1=[ 0,35 k f ctd  1,2  40 l ] bw d
(11.46)
k =1,6 −d =1,6 −1,16 =0,44 , lecz k>1 - k =1 wzór 67 [N5]
 l =0
V Rd1=[0,35⋅1⋅0,181,240⋅0 ]75⋅101= 477,23 kN
V Rd1V sd =2 248,64kN
odcinek drugiego rodzaju – wymaga zbrojenia na ścinanie (wzór 64 [N5])
na ściskanie betonu powstałe przy ścinaniu VRd2
V Rd2=v f cd bw z

v =0,6 1−
f ck
250
 =  − =
0,6 1
45
250
cot 
1cot 2 
0,492 wzór 71 [N5]
z=0,9 d=0,9⋅101=90,9 cm p. 5.5.1.1 [N5]
cot =1,75
p. 5.5.1.1 [N5]
V Rd2=0,492⋅3,0⋅75⋅90,9
1,75
=4334,67 kN
11,752
V Rd2V sd =2 248,64 kN
128
(11.47)
11.2.1.1.7 Dobranie przekroju i rozstawu strzemion
Minimalną średnicę strzemion określa p. 9.3.1.5 [N5]
 min=max 4,5 mm ; 0,2 zbrojenia =0,2⋅32=6,4 mm=6,4mm
Zakładam strzemiona czterocięte ze stali AIIIN
średnicy Φ=12 mm pole przekroju Asw1 = 4,52 cm2
fywd1 = 420 MPa
Dopuszczalne rozstawy strzemion s1 określamy na podstawie wzoru 210 [N5]
80s 1≤min 400 mm ; 0,75 d =0,75⋅1160=870mm= 400 mm
Potrzebny rozstaw strzemion obliczam z przekształconego wzoru 11.34
s1≤
A sw1 f ywd1
4,52⋅42,0
z cot =
⋅104,4⋅1,75=13,43 cm
V sd
2248,64
(11.48)
Sprawdzenie minimalnego stopnia zbrojenia wg wzoru 209 [N5]
 w , min=0,08  f ck / f yk =0,08  45 / 490=0,00109
w =
(11.49)
A sw1 4,52
=
=0,004636
s1 bw 13⋅75
 w , min w
Warunek spełniony
Przyjmuję rozstaw strzemion 13,0 cm na całej długości belki
11.2.1.1.8 Sprawdzenie nośności obliczeniowej na ścinanie zbrojenia ze względu
na rozciąganie poprzecznego zbrojenia na ścinanie.
V Rd3≤
A sw1 f ywd1
4,52⋅42,0
z cot =
⋅90,9⋅1,75=2322,98 kN
s1
13
(11.50)
V Rd3V sd =2 248,64kN
11.2.1.1.9 Sprawdzenie stanu granicznego użytkowania – szerokość rys
prostopadłych
Szerokość rys prostopadłych oblicza się na podstawie pkt. 6.3 [N5]. Do obliczeń przyjmowane
są wartości charakterystyczne sił wewnętrznych Msd = 3369,37 / 1,35 = 2495,83 kNm.
Wyznaczenie miarodajnego wymiaru przekroju h0 wzór A.6 [N5]
h0 =
2A c
u
(11.51)
2
Ac =bh=75⋅110=8250 cm - pole przekroju
129
u= 2b2h=2⋅752⋅110=370 cm - obwód przekroju
h0 =
2⋅8250
=44,59 cm
37
Dla h0 =446 mm dla wieku betonu w chwili obciążenia t0=14 dni i wilgotności RH=80%
odczytano   ∞ , t 0 =1,50 . Efektywny moduł sprężystości E c , eff obliczono z wzoru 110 [N5]:
E c , eff =
E cm
36
=
=14,4 GPa
1 ∞ , t 0 11,5
(11.52)
Sprowadzone pole przekroju Acs obliczam wg wzoru:
Acs =Ac  e , t A s1
e ,t =
(11.53)
Es
200
=
=13,89
E c , eff 14,4
Acs =75⋅11013,89⋅86,16=9446,67 cm
(11.54)
2
Moment statyczny przekroju względem górnej ściskanej krawędzi wyznaczam wg wzoru [Kam06]:
110
3
S cs =S c  e , t  As1 d =75⋅110⋅
13,8986,16⋅101=574613,3 cm
2
(11.55)
Położenie środka ciężkości przed zarysowaniem [Kam06]:
xI =
S cs 574613,3
=
=60,83 cm
A cs 9446,67
(11.56)
Moment bezwładności przekroju sprowadzonego [Kam06]:
3
I cs=
3
 

bh
h
75⋅110
110
bh − x I  A s1  e , t  d− x I 2=
75⋅110
−60,83
12
2
12
2
86,16⋅13,89101,0−60,832
4
I cs =10 530 134 cm

(11.57)
Sprowadzony wskaźnik przekroju na zginanie [Kam06]:
w cs =
I cs
10530134
3
=
=26120,3 cm
d− x I 101−60,83
(11.58)
Moment rysujący:
M cr =W cs f ctm =26120,3⋅0,38=99605,73kNcm=996,06 kNm
(11.59)
M cr M sd = 2495,82 kNm
Przekrój będzie pracował jako zarysowany
Położenie osi obojętnej po zarysowaniu [Kam06]:
b x II⋅0,5 x II −r , t A s1  d − x II =0
2
0,5⋅75 x II −13,89⋅86,16101,0− x II =0
2
37,5 x II 1196,76 x II −120873,0=0
x II =43,02 cm
Moment bezwładności przekroju po zarysowaniu względem osi x II [Kam06]:
130
(11.60)
3
I csII=
3
bx II
75⋅43,02
 A s1 d − x II 2 e , t =
86,16101,0− 43,022⋅13,89=6013261cm 4
3
3
(11.61)
Naprężenia w stali w miejscu zarysowania
 s=
e , l M sd d − x II  13,89⋅2495,83 116,0−43,02
2
=
=33,42 kN / cm
6013261
I IIcs
(11.62)
Średnie odkształcenie zbrojenia rozciąganego oblicza się z wzoru 114 [N5]:
 sm=
[
 ]
s
M cr
1−1  2
Es
M sd
=
[

]
33,42
996,05
1−1,0⋅0,5⋅
=0,001538
20000
2495,82
(11.63)
 1=1,0 - dla prętów żebrowanych,  2=0,5 - przy obciążeniu długotrwałym lub wielokrotnie
zmiennym p.6.3 [N5]
Efektywne pole przekroju strefy rozciąganej określono na podstawie Rys. 33 [N5]:
Act , eff = min2,5b a1 ; bh− x II /3=min 2,5⋅75⋅9=1687,5 ; 75110−43,02/3=1674,5 
Act , eff =1674,5cm
(11.64)
2
Efektywny stopień zbrojenia:
r =
As
A cs , eff
=
86,16
=0,05147
1674,5
(11.65)
Średni rozstaw rys wg wzoru 113 [N5]
srm =500,25 k 1 k 2

28
=500,25⋅0,8⋅0,5
=104,40 mm
r
0,0515
(11.66)
k 1 =0,8 - dla prętów żebrowanych, k 2=0,5 dla trójkątnego rozkładu odkształceń p.6.3 [N5]
Obliczeniowa szerokość rys wg wzoru 112 [N5]
w k = s rm  sm
(11.67)
 =1,4 zinterpolowany dla przekroju zarysowanego o najmniejszym wymiarze z przedziału od
300 do 800 mm
w k =1,4⋅104,40⋅0,001538=0,22 mm
w k w lim =0,30 mm
Warunek spełniony
ukośnych
Szerokość rys ukośnych oblicza się na podstawie pkt. 6.4 [N5]. Do obliczeń przyjmujemy
wartości charakterystyczne sił wewnętrznych stąd Vsd = 2248,64/1,35 = 1665,67 kN
Szerokość rys można obliczyć z wzoru 118 [N5]:
2
4 
 w E s f ck
(11.68)
V sd 1665,67
kN
=
=0,2199 2 =2,20 MPa
bw d 75⋅101,0
cm
(11.69)
wk =
Z wzoru 119 [N5]
=
Z wzoru 120 [N5]
131
 w = w1 w2 =0,0046360,0 =0,004636
 w1=0,004636 - stopień zbrojenia strzemionami prostopadłymi do osi elementu p. 11.2.1.1.7
 w2 =0 stopień zbrojenia strzemionami ukośnymi
Z wzoru 123 [N5]
=
1
1
=
=503,32
w1
 w2
0,004636
0
3

3

0,7⋅10
0,7⋅10
1  1  2  2
[
] [
]
(11.70)
1 =0,7 - dla prętów gładkich p. 6.4. [N5]
1 , 2 - odpowiednio średnica strzemion (mm) strzemion pionowych i prętów ukośnych,
1 =10 mm - p. 11.2.1.1.7
2
wk =
4⋅0,359 ⋅503,32
=0,23 mm
0,0046⋅20 0004,5
Warunek spełniony
11.2.1.2 Poz. 2.1.2 – Przypadek 2: belka żelbetowa ze zbrojeniem diagonalnym
Dane projektowe
M = 3 369,37 kNm
Vsd = 2 248,64 kN
Wymiary przekroju :
Beton C45/55
L = 305,0 cm
Stal AIIIN
b = 75 cm
2
h = 110 cm
a1 = 5 cm
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2
Es = 200 GPa
d = h – a1 = 105 cm
fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2
Ecm = 36 GPa
11.2.1.2.1 Sprawdzenie warunków 11.19a i 11.19 b
L / d=305/ 105=2,90≤ 4,0
 =0,83  f
=
cd
=0,83  30 =4,55 MPa
V sd 2248,64
2
=
=0,2726 kN /cm =2,733 MPa
bh 75⋅110
0,83 f cd
11.2.1.2.2 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia diagonalnego
Potrzebne pole przekroju zbrojenia diagonalnego obliczono wg wzoru A1 [Har00] na nośność
zbrojenia diagonalnego.
132
A s=
V sd
2 s f yd sin 
(11.71)
 - kat nachylenia zbrojenia diagonalnego do osi poziomej przekroju, wyznaczony wg [Har00]
 s= 0,9 - współczynnik redukcyjny dla stali
tan =
h−2a 1  110−2⋅5
=
=0,3278
L
305
(11.72)
o
=20
A s=
2248,64
2
=86,98 cm
2⋅0,9⋅42⋅sin 20 o
Przyjmuję 11 Φ 32 mm, As1 = 88,42 cm2
Podstawowa długość zakotwienia prętów:
 f yd 32 420
l b= ⋅
= ⋅
=840 mm=84 cm
4 f bd 4 4,0
Obliczeniowa długość zakotwienia prętów:
l bd =1,3l b=1,3⋅84,0=109,2=110,0 cm
11.2.1.2.3 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia poprzecznego wokół
zbrojenia głównego
Rozstaw zbrojenia poprzecznego określono na podstawie wzorów z [Pau90 s. 452]
s - rozstaw prętów poprzecznych
s≤ min [ 100 mm ; 6  =6cdot 32=192mm ]
s=100 mm
Pole przekroju zbrojenia poprzecznego określono z wzoru 4.19 [Pau00c]
A sw =
∑ Ab f yd
16 f
yw
s
100
(11.73)
Ab - pole przekroju pręta zbrojenia głównego
f
yw
= 420 MPa
- wytrzymałość na rozciąganie zbrojenia poprzecznego (przyjęto stal AIIIN)
A sw =
11⋅8,04⋅42,0 10
2
=0,55 cm
16⋅42,0 100
Przyjmuję pręt Φ 8 mm, As1 = 0,50 cm2
11.2.1.2.4 Przyjęcie pola przekroju zbrojenia podłużnego
Pole przekroju podłużnego zbrojenia podłużnego przyjęto na podstawie zbrojenia minimalnego
2
obliczone w pkt. 11.2.1.1.2 A s , min =19,59cm .
Przyjmuję pręt 7Φ 20 mm, As1 = 21,98 cm2, wzdłuż górnej i dolnej krawędzi przekroju.
133
11.2.1.2.5 Przyjęcie przekroju i rozstawu strzemion
Przyjęto strzemiona z warunków konstrukcyjnych, czterocięte (liczba prętów n 3 , szerokość
przekroju b35 cm ), średnica Φ 8 mm w rozstawie s = 33 cm ( s 40 cm , s 0,75d =87cm )
11.2.1.2.6 Zbrojenie powierzchniowe
Zbrojenie powierzchniowe przyjęto jak w pkt 11.2.1.1.4
●
W przekroju poprzecznym
21 Φ 6 mm o As = 5,94 cm2 ułożonych :
8 prętów w rozstawie co 10,5 cm wzdłuż szerokości przekroju b, oraz po 6 prętów w rozstawie
co 10 cm wzdłuż wysokości przekroju h.
●
Wzdłuż osi belki
Φ 8 mm w rozstawie co 10 cm.
134
11.2.1.3 Poz. 2.1.3 – Przypadek 3: Stalowa belka
Dane projektowe
M = 3 369,37 kNm
Vsd = 2 248,64 kN
Wymiary przekroju HE 1000x584
Stal 18G2A
h = 1056 mm
fd = 285 MPa = 28,5 kN/cm2
bf = 314 mm
Re = 345 MPa = 34,5 kN/cm2
tw = 35,5 mm
Rm = 490 MPa = 49,0 kN/cm2
tf = 64 mm
E = 205 GPa
hw = 928 mm
A = 744 cm
G = 80 GPa
2
ν = 0,3
Ix = 1 246 000 cm4
ρ = 7850 kg/m3
Iy = 33 430cm4
Wx = 23 600 cm3
Wy = 2 130 cm3
11.2.1.3.1 Określenie klasy przekroju (p. 4.1.3 [N4] )
●
klasa przekroju środnika
=
 
215
215
=
=0,87
fd
285
Graniczna smukłość ścianki:

hw
928
=
=26,1466 =57,42
tw
35,5
Środnik klasy 1
Warunek smukłości przy ścinaniu
hw
 70
tw
Środnik klasy 1
●
klasa przekroju półki
b 139,25
=
=2,189=7,8
tf
64
b=0,5  b f −t w =0,5  314−35,5 =139,25
Półka klasy 1
Przekrój klasy 1
11.2.1.3.2 Nośność obliczeniowa przekroju na zginanie
Nośność obliczeniową przekroju klasy 1 na zginanie obliczono z wzoru 42 [N4]
M R= p W f d =1,0⋅23 600⋅28,5=672 600 kNcm=6726,0 kNm
 =1 - obliczeniowy współczynnik rezerwy plastycznej
W - wskaźnik wytrzymałości przekroju
135
(11.74)
11.2.1.3.3 Nośność obliczeniowa przekroju na ścinanie
Nośność obliczeniową przekroju na ścinanie, dla którego spełniony jest warunek smukłości na
ścinanie obliczono z wzoru 47 [N4]
V R=0,58 Av f d =0,58329,4428,5=5445,64 kN
(11.75)
2
Av =92,8⋅3,55=329,44 cm pole przekroju środnika
11.2.1.3.4 Zredukowana nośność obliczeniowa przekroju na zginanie
Ponieważ siła tnąca V sd V 0 =0,3 V R =0,3⋅5445,64=1633,5 kN , do obliczeń należy przyjmować
nośność zredukowaną na zginanie określoną wzorem 46 [N4]
[  ]
M R , V = M R 1−
I v  V
I VR
2
(11.76)
3
I v=
t w hw 3,55⋅92,83
=
= 236423 cm 4 - moment bezwładności przekroju czynnego przy
12
12
ścinaniu (środnika)
M
R,V
[
]
2
=6726,0 1− 236423  2248,64  =6 508,39 kN
1246000
5445,6
11.2.1.3.5 Obliczenie momentu krytycznego Mcr
Wartość momentu krytycznego obliczono wg załącznika 1, rozdział 3 [N4]
●
Dla przekroju dwuteowego :
y s=0 - współrzędna środka ścinania
r x =0 - ramię asymetrii
b y = y s−0,5 r x =0 - parametr zginania
I =
IT=
I Y h2
4
2
=
33430⋅105,6 −6,4 
4
=82 243148,8 cm 6
- wycinkowy moment bezwładności
1
 2 b f t3f  hw t 3w = 13  2⋅31,4⋅6,4392,8⋅3,553 = 9 066,40 cm 4 - moment bezwładności
3
(11.77)
(11.78)
przy skręcaniu
i x =  I x / A = 1 246000 / 744 = 40,92 cm - promień bezwładności względem osi x
(11.79)
i y =  I y / A= 2130/ 744=6,70 cm - promień bezwładności względem osi y
(11.80)
i0 = i2x i2y = 40,922 6,702 =41,47 cm - biegunowy promień bezwładności względem środka
(11.81)
ciężkości
i0 = i20  y 2s = 41,472 02=41,47 cm - biegunowy promień bezwładności względem środka
ścinania
136
(11.82)
Siły krytyczne przy ścinaniu osiowym:
●
wyboczenie giętne względem osi Y (wzór Z1-4 [N4])
2
N Y=
●
 E I y 2⋅20500⋅33430
=
=18 788,3 kN
 y l 2 
0,5⋅3052
wyboczenie skrętne (wzór Z1-4 [N4])
N z=
N z=
●
(11.83)
[
[
2
1  E I
2
2 G I T
i s  l 
2
1
 ⋅20500⋅82 243 149
8000⋅9 066,4
2
2
41,47
 0,5⋅305 
]
]
= 1
41,472
(11.84)
 4622222472531197 =69 056 kN
Wyznaczenie współczynnika 
Współczynnik  określono na podstawie Tablicy 11 [N4]
 M max =0,55 M 10,45 M 2
(11.85)
M 1, M 2 - wartości momentów zginających na podporach
 M max - największa bezwzględna wartość momentu w środkowym przedziale pręta o
długości 0,2 l 0
M 1=3309,57 kNm , M 2 =−3309,57 kNm ,  M max =
3309,57⋅30,5
=330,96 kNm
305
 =0,55⋅3309,57 −0,45⋅3309,57 / 385,33= 0,86
●
Obliczenie wartości momentu krytycznego
M cr = A0 N y   A 0 N y 2B 2 i2s N y N z
(11.86)
Wartości współczynników przyjęto wg Tablicy Z1-2 [N5]
A1= 1/  =1,16 , A2 =0 , B =1 /  =1,16 , C 1=2 , C 2= 0 , A0 = A1 b y  A2 s s =0
Wzór 11,71 redukuję się do postaci :
M cr =B i s  N y N z=1,16⋅41,47  18788,3⋅69056=1 610710,8 kNcm=16 107,11 kNm
11.2.1.3.6 Określenie smukłości względnej przy zwichrzeniu  L i współczynnika
zwichrzenia  L
Smukłość względna przy zwichrzeniu oblicza się z wzoru 50 [N4]
l =1,15


M R ,V
6508,38
=1,15
=0,78
M cr
16107,11
Z Tablicy 11 [N4] dla krzywej a0 odczytano wartość  L
137
(11.87)
 L =0,893
(11.88)
11.2.1.3.7 Sprawdzenie nośności elementu zginanego
Nośność elementów zginanych sprawdza sie wg wzoru 52 [N4]
M
3369,37
=
=0,581
 l M R , V 0,893⋅6508,38
(11.89)
11.2.1.3.8 Obliczenie długości zakotwienia nadproża w ścianie L e
Obliczenia przeprowadzono na podstawie informacji zawartych w publikacji [Har00]. Potrzebną
długość zakotwienia oblicza się z wzoru A3 na nośność zakotwienia
V u=
0,85  c f cd b  L e −c
3,6e
1
 L e −c
(11.90)
V u - dopuszczalna wartość siły tnącej w utwierdzeniu
 c =0,6 - współczynnik materiałowy dla betonu
b - efektywna szerokość bryły naprężeń w betonie
b =min  2,5 b f =2,5⋅31,4= 78,5cm ; 75cm =75 cm
c =4,0 cm - grubość otuliny na krawędzi ściany
a = L / 2=305 / 2 =152,5cm
e =a 0,5 L e
f cd =30 MPa - obliczeniowa wytrzymałość dla betonu klasy C45/55
Wzór 11.73 po przekształceniu otrzymuje postać:
2
2
0,85  Le −c2,81,7  L e0,85 c −V u 3,6a−c=0
 =c f
cd
(11.91)
b
Podstawiając dane otrzymujemy:
V u =V = 2248,54 kN ,
 =0,6⋅3,0⋅75=135
2
114,75 Le −929,2 L e 1836 −1 225508,8=0
L e =107,39 cm
Przyjmuję L e =110,0cm
11.2.1.3.9 Obliczenie dodatkowego zbrojenia pionowego w miejscu zakotwienia
Pole przekroju zbrojenia określono na podstawie wzoru A4 [Har00]
A sc =
V
s f
(11.92)
y
138
 c =0,9 Współczynniki redukcyjny dla stali
Przyjmuję stal AIIIN, fyd = 420 MPa
A sc=
2248,54
2
=59,49cm
0,9⋅42
Przyjmuję: 10 Φ 28 mm As = 61,54 cm2
11.2.1.3.10 Dobranie przekroju żeberka usztywniającego
W publikacji [Har00] zaleca się zastosowanie w okolicach przypodporowych żeberek
poprzecznych.
Ponieważ przekrój jest klasy 1 żeberka dobieram z warunku smukłości
bz
b
14   t z  z
tz
14 
b z =0,5  b f −t w  - maksymalny wysięg żeberka
t Z - grubość żeberka
b z =0,5  314−35,5 =139,25 mm Przyjmuję b z =130 mm
t z
130
=10,67mm
14⋅0,87
Przyjmuję żeberko grubości 15 mm. Łączone do środnika za pomocą spoiny pachwinowej
dwustronnej grubości a = 8 mm, spełniającej warunek w p. 6.3.2.2
a nom0,2 t 2 lecz
≤10 mm , a nom≤0,7 t 1 ,16 mm
t 2=35,5 mm - grubość grubszej części w połączeniu
t 1=15 mm - grubość cieńszej części w połączeniu
a nom=0,2⋅35,5=7,1 mm
a nom≤0,7⋅15=10,5 mm
139
11.2.2. Wymiarowanie nadproża – Poz. 2.2
11.2.2.1 Poz. 2.2.1 – Przypadek 1: belka żelbetowa ze zbrojeniem na ścinanie w
postaci strzemion pionowych
Dane projektowe
M = 2 586,96 kNm
Vsd = 1735,58 kN
Wymiary przekroju :
Beton C45/55
Stal AIIIN
2
b = 60 cm
h = 110 cm
a1 = 8 cm
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm
d = h – a1 = 102 cm
2
Es = 200 GPa
2
Ecm = 36 GPa
11.2.2.1.1 Określenie wielkości a1 - odległość od środka ciężkości zbrojenia do
rozciąganej krawędzi przekroju belki
Przyjmuję a1 =30101,5⋅28=82 mm=8,0cm (p. 11.2.1.1.1)
11.2.2.1.2 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia głównego As1
A0 =
M sd
258696
=
=0,138139
f cd b d 2 3,0⋅60⋅102 2
eff =1− 1− 2A 0=1−  1−2⋅0,138139=0,149282
eff =1−0,5 eff =1−0,5⋅0,149282=0,925359
A s1=
M sd
258696
2
=
=65,25cm
f yd  eff d 42⋅0,9254⋅102
Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 23a [N5]
A s1 , min =0,26
f ctm
3,8
2
b d=0,26
60⋅102=12,34 cm
f yk
490
Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 23b [N5]
2
A s1 , min =0,0013 bd =0,001360⋅102=7,96 cm
Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 111 [N5]
A s , min =k c k f
ct , eff
A ct
 s , lim
 s , lim =160 MPa - dla  =32 i w lim=0,3 mm tab. 12 [N5]
k c =0,4 , k =0,5 , Act =0,5b h=0,5⋅60⋅110=3300 , f ct ,eff = f ctm =3,8MPa p. 6.2 [N5]
140
A s , min =0,4⋅5⋅3,8
3300
2
=15,68cm
160
Przyjmuję zbrojenie górą i dołem na całej długości belki :
14 Φ 25mm As1,1 = 65,26 cm2 ,ρs = 1,12% , rozmieszczone w dwóch rzędach po 7 prętów w
rozstawie po 10,5 cm.
11.2.2.1.3 Obliczenie długości zakotwienia zbrojenia głównego
Podstawową długość zakotwienia l b obliczamy z wzoru 187 [N5]
 f yd 25 420
l b= ⋅
= ⋅
=656 mm=65,6 cm
4 f bd 4 4,0
Obliczeniową długość zakotwienia prętów l bd wyznaczam zgodnie z zaleceniami [Har00] dla
rejonów z obciążeniami sejsmicznymi:
l bd =1,3 l b=1,3⋅65,6=85,31cm
 s=1,0 - współczynnik efektywnego zakotwienia
A s , req - wymagane pole przekroju zbrojenia
A s , req - przyjęte pole przekroju zbrojenia
Przyjmuję l bd =85,0 cm
11.2.2.1.4 Obliczenie potrzebnego zbrojenia powierzchniowego
Zbrojenie powierzchniowe przyjęto jak w p. 11.2.2.1.4
A s , surf ≥0,01 A ct , ext =0,01⋅3 2⋅6060−2⋅3=0,01⋅522=5,22 cm
●
2
(11.44)
w przekroju poprzecznym: 21 Φ 6 mm o As = 5,94 cm2
5 prętów w rozstawie co 10 cm wzdłuż szerokości przekroju b, oraz po 8 prętów w rozstawi co
8,7 cm wzdłuż wysokości przekroju h.
●
wzdłuż osi belki Φ 8 mm w rozstawie co 10 cm.
●
Długość zakotwienia prętów obliczono w pkt 11.2.1.1.4 ze wzoru 187 [N5]
Długość zakotwienia lbd = 16 cm
na rozciąganie betonu powstałe przy ścinaniu w elemencie nie zbrojonym
na ścinanie VRd1
141
V Rd1=[ 0,35 k f ctd  1,2 40 l ] bw d
k =1,6−d =1,6−1,02=0,58 , lecz k>1 - k =1 wzór 67 [N5]
 l =0
V Rd1=[0,35⋅1⋅0,181,240⋅0 ]60⋅102=462,67 kN
V Rd1V sd =1735,58 kN
odcinek drugiego rodzaju – wymaga zbrojenia na ścinanie (wzór 64 [N5])
na ściskanie betonu powstałe przy ścinaniu VRd2
V Rd2=v f cd bw z

v =0,6 1−
f ck
250
 =  − =
0,6 1
45
250
0,492
z=0,9 d=0,9⋅102=91,8 cm
cot 
1cot 2 
wzór 71 [N5]
p. 5.5.1.1 [N5]
cot =1,75
p. 5.5.1.1 [N5]
V Rd2=0,492⋅3,0⋅60⋅91,8
1,75
=3502,07 kN
11,752
V Rd2V sd =1 735,58 kN
11.2.2.1.7 Dobranie przekroju i rozstawu strzemion
Minimalna średnica strzemion określa p. 9.3.1.5 [N5]
 min=max 4,5 mm ; 0,2 zbrojenia =0,2⋅32=6,4 mm=8,0mm
Zakładam strzemiona czterocięte ze stali AIIIN
średnicy Φ=10 mm pole przekroju Asw1 = 3,14 cm2
fywd1 = 420 MPa
Dopuszczalne rozstawy strzemion s1 określamy na podstawie wzoru 210 [N5]
80s 1≤min 400 mm ; 0,75 d =0,75⋅1160=870mm= 400 mm
Potrzebny rozstaw strzemion obliczam z przekształconego wzoru 73 [N5]
s1≤
A sw1 f ywd1
3,14⋅42,0
z cot =
⋅104,4⋅1,5=12,21 cm
V sd
1657,15
Sprawdzenie minimalnego stopnia zbrojenia wg wzoru 209 [N5]
 w , min=0,08  f ck / f yk =0,08  45 / 490=0,00109
142
w =
A sw1 3,14
=
=0,006542
s1 bw 12⋅40
 w , min w
Warunek spełniony
Przyjmuję rozstaw strzemion 12,0 cm na całej długości belki
11.2.2.1.8 Sprawdzenie nośności obliczeniowej na ścinanie zbrojenia ze względu
na rozciąganie poprzecznego zbrojenia na ścinanie.
V Rd3≤
A sw1 f
s1
ywd1
z cot =
3,14⋅42,0
⋅105,3⋅1,75=1753,87 kN
12,0
V Rd3V sd =1735,58 kN
prostopadłych
Szerokość rys prostopadłych oblicza się na podstawie pkt. 6.3 [N5]. Do obliczeń przyjmowane
są wartości charakterystyczne sił wewnętrznych Msd = 2586,96 / 1,35 = 1916,27 kNm
Wyznaczenie miarodajnego wymiaru przekroju h0 wzór A.6 [N5]
h0 =
2A c
u
2
Ac =bh=60⋅110=6600cm - pole przekroju
u= 2b2h=2⋅602⋅110=340 cm - obwód prekroju
h0 =
2⋅6600
=38,82 cm
340
Dla h0 =388mm dla wieku betonu w chwili obciążenia t0=14 dni i wilgotności RH=80%
odczytano   ∞ , t 0 =1,50 . Efektywny moduł sprężystości E c , eff obliczono z wzoru 110 [N5]:
E c , eff =
E cm
36
=
=14,4 GPa
1 ∞ , t 0 11,5
Sprowadzone pole przekroju Acs obliczam wg wzoru:
Acs =Ac  e , t A s1
e ,t =
Es
200
=
=13,89
E c , eff 14,4
143
Acs =60⋅11013,89⋅68,69= 7554,03cm
2
Moment statyczny przekroju względem górnej ściskanej krawędzi wyznaczam wg wzoru [Kam06]:
S cs =S c  e , t  As1 d =60⋅110⋅
110
3
13,8968,69⋅102=460310,8cm
2
Położenie środka ciężkości przed zarysowaniem [Kam06]:
xI=
S cs 460310,8
=
=60,94 cm
A cs 7554,03
Moment bezwładności przekroju sprowadzonego [Kam06]:
3
I cs=
3
 


bh
h
60⋅110
110
bh − x I  A s1  e , t  d− x I 2=
60⋅110
−60,94
12
2
12
2
68,69⋅13,89102,0−60,942
4
I cs=8496290cm
Sprowadzony wskaźnik przekroju na zginanie [Kam06]:
W cs=
I cs
8496290
3
=
= 206902,7cm
d − x I 102−60,94
Moment rysujący:
M cr =W cs f ctm =206902,7⋅0,38=78623,01 kNcm=786,23 kNm
M cr M sd =1871,97 kNm
Przekrój będzie pracował jako zarysowany
Położeni osi obojętnej po zarysowaniu [Kam06]:
b x II⋅0,5 x II −r , t A s1  d − x II =0
2
0,5⋅60 x II −13,89⋅60,94102,0− x II =0
2
30 x II 846,46 x II −86338,57=0
x II =42,96 cm
Moment bezwładności przekroju po zarysowaniu względem osi x II [Kam06]:
3
I csII =
3
bx II
60⋅42,96
 A s1 d −x II 2 e , t =
68,69102,0−42,96 2⋅13,89= 4911182 cm 4
3
3
Naprężenia w stali w miejscu zarysowania
 s=
e , l M sd d − x II  13,89⋅1916,27102,0−42,96
2
=
=32,0 kN / cm
4911182
I IIcs
Średnie odkształcenie zbrojenia rozciąganego oblicza się z wzoru 114 [N5]:
 sm=
[
 ]
s
M cr
1−1  2
Es
M sd
=
[

]
32,0
786,23
1−1,0⋅0,5⋅
=0,001465
20000
1916,27
 1=1,0 - dla prętów żebrowanych,  2=0,5 - przy obciążeniu długotrwałym lub wielokrotnie
zmiennym p.6.3 [N5]
Efektywne pole przekroju strefy rozciąganej określono na podstawie Rys. 33 [N5]:
Act , eff = min2,5b a1 ; bh− x II / 3=min 2,5⋅60⋅8=1200 ; 60110−42,96/ 3=1340,8
2
Act , eff =1200 cm
Efektywny stopień zbrojenia:
144
r =
As
A cs , eff
=
68,69
=0,057242
1200,00
Średni rozstaw rys wg wzoru 113 [N5]
srm =500,25 k 1 k 2

35
=500,25⋅0,8⋅0,5
=93,67mm
r
0,057242
k 1 =0,8 - dla prętów żebrowanych, k 2=0,5 dla trójkątnego rozkładu odkształceń p.6.3 [N5]
Obliczeniowa szerokość rys wg wzoru 112 [N5]
w k = s rm  sm
 =1,4 zinterpolowany dla przekroju zarysowanego o najmniejszym wymiarze z przedziału od
300 do 800 mm
w k =1,4⋅93,67⋅0,001465=0,19 mm
Warunek spełniony
ukośnych
Szerokość rys ukośnych oblicza się na podstawie pkt. 6.4 [N5]. Do obliczeń przyjmujemy
wartości charakterystyczne sił wewnętrznych stąd Vsd = 1735,58/1,35 = 1 285,62 kN
Szerokość rys można obliczyć z wzoru 118 [N5]:
2
wk =
4 
 w E s f ck
Z wzoru 119 [N5]
=
V sd 1285,62
kN
=
=0,2101 2 =2,10 MPa
bw d 60⋅102,0
cm
Z wzoru 120 [N5]
 w = w1 w2 =0,00440,0=0,0044
 w1=0,0065 - stopień zbrojenia strzemionami prostopadłymi do osi elementu p. 11.2.1.1.7
 w2 =0 stopień zbrojenia strzemionami ukośnymi
Z wzoru 123 [N5]
1
=
3
[
 w1
 w2

1  1  2  2
=
1
=535,03
0,0044
0
3

0,7⋅10 0,7⋅10
] [
]
1 =0,7 - dla prętów gładkich p. 6.4. [N5]
1 , 2 - odpowiednio średnica strzemion (mm) strzemion pionowych i prętów ukośnych,
1 =10 mm - p. 11.2.1.1.7
2
wk =
4⋅0,2747 ⋅535,03
=0,24 mm
0,0044⋅20 000 4,5
145
Warunek spełniony
11.2.2.2 Poz. 2.2.2 – Przypadek 2: belka żelbetowa ze zbrojeniem diagonalnym
Dane projektowe
M = 2 586,96 kNm
Vsd = 1735,58 kN
Wymiary przekroju :
Beton C45/55
L = 305,0 cm
Stal AIIIN
2
b = 60 cm
h = 110 cm
a1 = 5 cm
fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm
d = h – a1 = 120 cm
2
Es = 200 GPa
2
Ecm = 36 GPa
11.2.2.2.1 Sprawdzenie warunków 11.19a i 11.19 b
L / d=305/ 105=2,90≤ 4,0
 =0,83  f
=
cd
=0,83  30 =4,55 MPa
V sd 1735,58
2
=
=0,263 kN / cm =2,63 MPa
bh 60⋅110
0,83 f cd
11.2.2.2.2 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia diagonalnego
Potrzebne pole przekroju zbrojenia diagonalnego obliczono wg wzoru A1 [Har00] na nośność
zbrojenia diagonalnego.
A s=
V sd
2 s f yd sin 
 - kat nachylenia zbrojenia diagonalnego do osi poziomej przekroju, wyznaczony wg [Har00]
 s= 0,9 - współczynnik redukcyjny dla stali
tan =
h−2a1  110−2⋅5
=
=0,328
L
305
o
=20
A s=
1735,58
2
o =67,12 cm
2⋅0,9⋅42⋅sin 20
Przyjmuję 11 Φ 28 mm, As1 = 67,70 cm2
Podstawowa długość zakotwienia prętów:
 f yd 28 420
l b= ⋅
= ⋅
=735 mm= 73,5cm
4 f bd 4 4,0
Obliczeniowa długość zakotwienia prętów:
146
l bd =1,3 l b=1,3⋅73,5=95,55=95,0 cm
11.2.2.2.3 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia poprzecznego wokół
zbrojenia głównego
Rozstaw zbrojenia poprzecznego określono na podstawie wzorów z [Pau90 s. 452]
s - rozstaw prętów poprzecznych
s≤ min[100 mm ;6 =6cdot 28=168mm]
s=100 mm
Pole przekroju zbrojenia poprzecznego określono z wzoru 4.19 [Pau00c]
A sw =
∑ Ab f yd
16 f
yw
s
100
Ab - pole przekroju pręta zbrojenia głównego
f
yw
= 420 MPa
- wytrzymałość na rozciąganie zbrojenia poprzecznego (przyjęto stal AIIIN)
A sw =
11⋅6,16⋅42,0 10
2
=0,424 cm
16⋅42,0 100
Przyjmuję pręt Φ 8 mm, As1 = 0,50 cm2
11.2.2.2.4 Przyjęcie pola przekroju zbrojenia podłużnego
Pole przekroju podłużnego zbrojenia podłużnego przyjęto na podsatwie zbrojenia minimalnego
2
obliczone w pkt. 11.2.1.1.2 A s , min =15,68cm .
Przyjmuję pręt 5Φ 20 mm, As1 = 15,70 cm2, wzdłuż górnej i dolnej krawędzi przekroju.
11.2.2.2.5 Przyjęcie przekroju i rozstawu strzemion
Przyjęto strzemiona z warunków konstrukcyjnych, czterocięte (liczba prętów n 3 , szerokość
przekroju b35 cm ), średnica Φ 8 mm w rozstawie s = 33 cm ( s 40 cm , s 0,75d =87cm )
11.2.2.2.6 Zbrojenie powierzchniowe
Zbrojenie powierzchniowe przyjęto jak w pkt 11.2.1.1.4
●
W przekroju poprzecznym
21 Φ 6 mm o As = 5,94 cm2 ułożonych :
5 prętów w rozstawi co 8,5 cm wzdłuż szerokości przekroju b, oraz po 8 prętów w rozstawie
co 8,7 cm wzdłuż wysokości przekroju h.
●
Wzdłuż osi belki
Φ 8 mm w rozstawie co 10 cm.
147
11.2.2.3 Poz. 2.2.3 – Przypadek 3: Stalowa belka
Ponieważ przyjęte z wstępnego projektowania nadproże spełnia warunek nośności dla
maksymalnych sił wewnętrznych z dużym zapasem, do obliczenia drugiego nadproża przyjęto
zmniejszony przekrój stalowy. Z wzoru 6.3 określono potrzebny wskaźnik wytrzymałości:
W =1,1 M / f d =1,1
258696 kNcm
3
=9 984,75cm
28,50 kN / cm 2
Na tej podstawie dobieram z [Tab06] przekrój: HEB 1000
Dane projektowe
M = 2 586,96 kNm
Vsd = 1735,58 kN
L = 305,0 cm
Wymiary przekroju HEB 1000
Stal 18G2A
h = 1000 mm
fd = 285 MPa = 28,5 kN/cm2
bf = 300 mm
Re = 345 MPa = 34,5 kN/cm2
tw = 19 mm
Rm = 490 MPa = 49,0 kN/cm2
tf = 36 mm
E = 205 GPa
hw = 928 mm
G = 80 GPa
A = 400 cm2
Ix = 644 700 cm
ν = 0,3
4
ρ = 7850 kg/m3
Iy = 16 280 cm4
Wx = 12 890 cm3
Wy = 1 090 cm3
11.2.2.3.1 Określenie klasy przekroju (p. 4.1.3 [N4] )
●
klasa przekroju środnika
=
 
215
215
=
=0,87
fd
285
Graniczna smukłość ścianki:

hw
928
=
=48,8466 =57,42
tw
19
Środnik klasy 1
Warunek smukłości przy ścinaniu
hw
 70
tw
Środnik klasy 1
●
klasa przekroju półki
b 140,5
=
=3,99 =7,8
tf
36
b=0,5 b f −t w =0,5 300−19=140,5 mm
Półka klasy 1
Przekrój klasy 1
148
11.2.2.3.2 Nośność obliczeniowa przekroju na zginanie
Nośność obliczeniową przekroju klasy 1 na zginanie obliczono z wzoru 42 [N4]
M R= p W f d =1,0⋅12 890⋅28,5=367 365kNcm=3673,65 kNm
 =1 - obliczeniowy współczynnik rezerwy plastycznej
W - wskaźnik wytrzymałości przekroju
11.2.2.3.3 Nośność obliczeniowa przekroju na ścinanie
Nośność obliczeniową przekroju na ścinanie, dla którego spełniony jest warunek smukłości na
ścinanie obliczono z wzoru 47 [N4]
V R=0,58 Av f d =0,58⋅176,32⋅28,5=2 914,57 kN
2
Av =92,8⋅1,9=176,32 cm pole przekroju środnika
11.2.2.3.4 Zredukowana nośność obliczeniowa przekroju na zginanie
Ponieważ siła tnąca V sd V 0 =0,6V R=0,6⋅2914,57=1748,74 kN , do obliczeń należy przyjmować
nośność zredukowaną na zginanie określoną wzorem 47 [N4]
[
M R , V = M R 1,1−0,3 
[
M R , V =3129,30 1,1−0,3
V 2

VR
]
]
1735,58 2
 =3650,21kNm
2914,57
11.2.2.3.5 Obliczenie momentu krytycznego Mcr
Wartość momentu krytycznego obliczono wg załącznika 1, rozdział 3 [N4]
●
Dla przekroju dwuteowego :
y s=0 - współrzędna środka ścinania
r x =0 - ramię asymetrii
b y = y s−0,5 r x =0 - parametr zginania
2
I =
I Y h 15820⋅100,0−3,62
=
=37 822 347,20cm 6 - wycinkowy moment bezwładności
4
4
IT=
1
 2b f t3f  hw t 3w = 13  2⋅30,0⋅3,6392,8⋅1,93  =1580,41 cm4 - moment bezwładności przy
3
skręcaniu
i x =  I x / A=  644 700/400=40,15 cm - promień bezwładności względem osi x
i y =  I y / A= 1090/ 400=6,38 cm - promień bezwładności względem osi y
i0 = i2x i2y = 40,1526,38 2= 40,65cm - biegunowy promień bezwładności względem środka
ciężkości
149
i0 = i20  y 2s = 40,6520 2=40,65 cm - biegunowy promień bezwładności względem środka
ścinania
Siły krytyczne przy ścinaniu osiowym:
wyboczenie giętne względem osi Y (wzór Z1-4 [N4])
●
2
N Y=
●
 E I y 2⋅20500⋅16 280
=
=9149,67 kN
 y l 2 
0,5⋅3052
wyboczenie skrętne (wzór Z1-4 [N4])
N z=
N z=
●
[
[
2
1  E I
2
2 G I T
i s  l 
]
]
2
1
 ⋅20500⋅37 822347
1
8000⋅1580 =
2
2
2 21 256 88312 643244= 20515,1 kN
40,65
0,5⋅305
40,65
Wyznaczenie współczynnika 
Współczynnik  określono na podstawie Tablicy 11 [N4]
 M max =0,55 M 10,45 M 2
M 1, M 2 - wartości momentów zginających na podporach
 M max - największa bezwzględna wartość momentu w środkowym przedziale pręta o
długości 0,2 l 0
M 1= 2586,96kNm , M 2 =−2 586,96kNm ,  M max =
2586,96⋅30,5
=258,70 kNm
305
=0,55⋅2586,96−0,45⋅2586,96/ 258,70=0,999=1,00
●
Obliczenie wartości momentu krytycznego
M cr = A0 N y   A 0 N y 2B 2 i2s N y N z
Wartości współczynników przyjęto wg Tablicy Z1-2 [N5]
A1 =1 /=1,0 , A2 =0 , B=1 /=1,00 , C 1=2 , C 2= 0 , A0 = A1 b y  A2 s s =0
Wzór 11,71 redukuję się do postaci :
M cr =B i s  N y N z=1,00⋅40,65  9149,67⋅20515,07=556 933,60kNcm=5569,33 kNm
11.2.2.3.6 Określenie smukłości względnej przy zwichrzeniu L i współczynnika
zwichrzenia  L
Smukłość względna przy zwichrzeniu oblicza się z wzoru 50 [N4]
l =1,15


M R ,V
3650,21
=1,15
=0,931
M cr
5569,37
Z Tablicy 11 [N4] dla krzywej a0 odczytano wartość  L
150
 L =0,795
11.2.2.3.7 Sprawdzenie nośności elementu zginanego
Nośność elementów zginanych sprawdza sie wg wzoru 52 [N4]
M
2586,96
=
=0,891
 l M R , V 0,795⋅3650,21
11.2.2.3.8 Obliczenie długości zakotwienia nadproża w ścianie L e
Obliczenia przeprowadzono na podstawie informacji zawartych w publikacji [Har00]. Potrzebną
długość zakotwienia oblicza się z wzoru A3 na nośność zakotwienia
V u=
0,85  c f cd b  L e −c
3,6 e
1
 L e −c
V u - dopuszczalna wartość siły tnącej w utwierdzeniu
 c =0,6 - współczynnik materiałowy dla betonu
b - efektywna szerokość bryły naprężeń w betonie
b =min 2,5 b f =2,5⋅30=75 cm ; 60 cm =60 cm
c =4,0 cm - grubość otuliny na krawędzi ściany
a = L / 2=305 / 2 =152,5cm
e =a 0,5 L e
f cd =30 MPa - obliczeniowa wytrzymałość dla betonu klasy C45/55
Wzór 11.73 po przekształceniu otrzymuje postać:
2
2
0,85  Le −c2,81,7  L e0,85 c −V u 3,6a−c=0
 =c f
cd
b
Podstawiając dane otrzymujemy:
V u =V =1 735,58 kN ,
=0,6⋅3,0⋅60=108
2
91,80 Le −745,6 L e −944 422,3=0
L e =105,57cm
Przyjmuję L e =110,0 cm
11.2.2.3.9 Obliczenie dodatkowego zbrojenia pionowego w miejscu zakotwienia
Pole przekroju zbrojenia określono na podstawie wzoru A4 [Har00]
151
A sc =
V
s f
y
 c =0,9 Współczynniki redukcyjny dla stali
Przyjmuję stal AIIIN, fyd = 420 MPa
A sc =
1735,58
2
=45,92 cm
0,9⋅42
Przyjmuję: 10 Φ 25 mm As = 49,06 cm2
11.2.2.3.10 Dobranie przekroju żeberka usztywniającego
W publikacji [Har00] zaleca się zastosowanie w okolicach przypodporowych żeberek
poprzecznych.
Ponieważ przekrój jest klasy 1 żeberka dobieram z warunku smukłości
bz
b
14   t z  z
tz
14 
b z =0,5  b f −t w  - maksymalny wysięg żeberka
t Z - grubość żeberka
b z=0,5300−19,0 =140,5mm Przyjmuję b z =130 mm
t z
130
=10,67mm
14⋅0,87
Przyjmuję żeberko grubości 15 mm. Łączone do środnika za pomocą spoiny pachwinowej
dwustronnej grubości a = 8 mm, spełniającej warunek w p. 6.3.2.2
a nom0,2 t 2 lecz
≤10 mm , a nom≤0,7 t 1 ,16 mm
t 2=35,5 mm - grubość grubszej części w połączeniu
t 1=15 mm - grubość cieńszej części w połączeniu
a nom=0,2⋅19=3,9mm
a nom≤0,7⋅15=10,5 mm
152
12. Podsumowanie
W podsumowaniu zostały zebrane i omówione wyniki dla najważniejszych modeli. Oznaczenia
tych wyników wraz z krótkimi charakterystykami programów obliczeniowych wykorzystanych
do ich uzyskania podane są w Tablicy 12.1.
Tablica 12.1 Oznaczenie wyników wykorzystanych w podsumowaniu
Robot 1
Wyniki uzyskane w pracy dyplomowej z programu Robot Millennium dla Modelu 1 t.j. modelu z
zastępczymi przekrojami słupów kompozytowych przeliczonym na przekroje stalowe z warunku EI
(wzór 6.13 ). Budynek modeluję się z przestrzennych elementów powłokowych i prętowych.
Robot 4
Wyniki uzyskane w pracy dyplomowej z programu Robot Millennium dla Modelu 4 t.j. modelu z
zastępczymi przekrojami slupów przyjętymi jak w programie BW.
BW 1
Wyniki analizy statycznej uzyskane w pracy dyplomowej dla modelu o zmiennym przekroju
wykonanego w programie BW (zastępcze przekroje słupów kompozytowych przeliczono na słupy
betonowe z warunku nośności na ściskanie (wzór 6.11)). Budynek modeluje się jako zespół
elementów wspornikowych połączonych nadprożami i/lub złączami podatnymi i analizuje wg teorii
prętów cienkościennych Własowa.
BW 2
Wyniki analizy dynamicznej uzyskane w pracy dyplomowej dla modelu o stałym przekroju
wykonanego w programie BW.
SATWE
Wyniki z publikacji [Li04] dla modelu wykonanego w programie SATWE (Structural Analysis of Tall
building, Wall Element). SATWE jest programem MES (odpowiednikiem amerykańskiego
programu SAP 2000). Został opracowany przez China Academy of Building Research. W
programie ściany budynku definiuje się jak elementy powłokowe z węzłami o 6 stopniami swobody
(podobnie jak w programie Robot Millennium).
TBSA
Wyniki z publikacji [Li04] dla modelu wykonanego w programie TBSA (Tall Building Structural
Analysis). Jest to program oparty na MES, opracowany przez China Academy of Building
Research. Budynek modeluje się jako pojedynczy element wspornikowy i analizuje wg teorii
Własowa.
TUS
Wyniki analizy modalnej z publikacji [Li04] dla modelu wykonanego w programie TUS (Tsingua
University Structural). Opracowany przez Tsinghua University w Chinach program jest opartym na
MES i jest odpowiednikiem programu ETABS. W programie elementy trzonu modeluje się z
elementów skończonych w płaskim stanie naprężenia.
12.1. Poziome przemieszczenia szczytu budynku
Tablica 12.2 Zestawienie przemieszczeń budynku (cm)
Wiatr Y
Wiatr X
SGU Y
Sztywność
SGU X
Robot 1
64,70
26,00
72,70
H / 430
31,40
Robot 4
56,90
25,40
63,80
H / 490
30,60
BW 1
63,99
24,91
78,26
H / 400
35,76
SATWE
69,03
21,45
-
-
-
TBSA
48,63
20,88
-
-
-
Najmniejsze wartości przemieszczeń wywołane wiatrem po kierunku Y uzyskano dla Robot 4
(56,90 cm), natomiast po kierunku X dla BW 1 (24,91 cm).
Na podstawie wyników z
Tablicy 12.2 można stwierdzić, że sztywność budynku dla wszystkich analizowanych modeli po
153
kierunku X jest zbliżona, gdyż wartości przemieszczeń nie różnią się o więcej niż 4% (Robot 1
do BW). Dla kierunku Y różnice te sięgają już 12% w przypadku Robot 4 i BW. Dla Robot 1 i
Robot 4 różnica ta sięga 14%. Wynika ona z różnicy wielkości słupów, które w Robot 4 mają
większe wymiary.
W przypadku kombinacji obciążeń dla stanu granicznego użytkowania (SGU) największe
wartości przemieszczeń w obu kierunkach uzyskano dla modelu z BW, najmniejsze dla
Modelu 4 z programu Robot. W przypadku Robot 1 i Robot 4 wartości przemieszczeń po
kierunku Y dla SGU wzrosły o ok. 12% w stosunku do obciążenia wiatrem, natomiast dla BW o
22%. W przypadku kierunku X dla Robota 1 i 4 wzrost ten jest na poziomie 20 % natomiast
dla BW aż 42%.
Otrzymane w pracy dyplomowej przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku Y
wyliczone programami BW i Robot Millennium zbliżone są do wyników z programu SATWE.
Dla Modelu 1 są one o 7% mniejsze, Modelu 4 - 18 %, a dla BW o 8%. W przypadku wiatru po
kierunku X otrzymane wyniki są większe niż dla SATWE. Dla Robota 1 o 21%, Robota 4 o
18% i dla BW o 16%.
Ponieważ programy Robot i SATWE są programami tego samego typu można stwierdzić, ze
dla Modelu 1 udało się uzyskać sztywność po kierunku Y zbliżoną do modelu z programu
SATWE.
Porównując zamieszczone w Tablicy 12.3 wyniki przemieszczeń po kierunku Y dla modeli
Robot 1 i 2,
możemy
zaobserwować
wpływ
outriggerów
na
sztywność
budynku.
Przemieszczenia w modelu bez outriggerów są o 61,5% większe niż w budynku z
outriggerami. Podobny wynik uzyskano w programie TBSA gdzie różnica ta wynosiła 57,7%.
Dla kierunku X różnica ta wynosi tylko 6,9%, podczas gdy dla TBSA 22,3%. Na podstawie
otrzymanych wyników można stwierdzić że outriggery w Robot 1 zostały zamodelowane
poprawnie.
Tablica 12.3 Zestawienie wartości przemieszczeń (cm) budynku dla modeli wykonanych w programie
Robot Millennium
Wiatr Y
Różnica z
Modelem 1
Wiatr X
Różnica z
Modelem 1
Robot 1
64,70
-
26,00
-
Robot 2
104,50
+61,5%
27,80
6,9%
Robot 3
64,80
0,2%
26,90
3,5 %
Robot 2 – jak Robot 1, bez outriggerów
Robot 3 – jak Robot 1, element skończony 1,0 m
Wpływ wielkość elementów skończonych na wartości przemieszczeń można analizować
porównując wyniki dla Robot 1 i Robot 3. Dla modelu o elementach skończonych o wymiarach
154
1,0x1,0 m wartości te są niewiele większe. Dla kierunku Y o 0,2%, a dla kierunku X o 3,5%. W
przypadku modelu Robot 1 gdzie element skończonym ma wymiary 1,5x1,5 m w wyniku
dyskretyzacji otrzymano 22 164 elementy, dla Robot 3 - 46 188 (ponad dwa razy więcej).
Porównując liczbę elementów skończonych w modelach i różnice w wynikach można
stwierdzić, że elementy o wymiarach 1,5x1,5 m są wystarczające do analizy przemieszczeń.
Przedstawione w Tablicy 8.1 wartości przemieszczeń dla wybranych punktów trzonu o tej
samej rzędnej pokazują, że pomimo usunięcia w modelach z programu Robot Millennium płyt
stropowych trzon odkształca się równomiernie. Różnica przemieszczeń jest rzędu 0,13 %.
H / 490 .
Największą sztywność budynku uzyskano dla modelu Robot 4, która wynosi
Analizując wyniki z publikacji [Li04] jedynie przesztywniony zdaniem autora pracy model TBSA
dla SGU mógłby mieć przemieszczenia mniejsze od H/500. Wskazuje to na bardzo małą
ogólną
sztywność
budynku,
co
prawdopodobnie
było
przyczyną
podjęcia
badań
doświadczalnych opisanych w pracach [Li02], [Li03], [Li04], [Li04b], [Li05], [Xu03].
12.2. Naprężenia w ścianach trzonu
Ponieważ przy wyliczaniu kombinacji obciążeń w programie Robot nie uwzględniono
wykluczania się obciążeń wiatrem w kierunkach X i Y, przeprowadzono analizę wyników
naprężeń dla każdego schematu obciążenia, w punktach trzonu gdzie wystąpiły ekstremalne
naprężenia. Analizowano model BW i Robot 1. Wartości naprężeń zestawiono w Tablicach
12.4 i 12.5 (Mapy naprężeń z wartościami zamieszono w Załączniku P).
Tablica 12.4 Zestawienie wartości naprężeń od poszczególnych schematów obciążeń w punkcie wystąpienia
wartości maksymalnych w trzonie (lewy dolny narożnik trzonu) dla trzonu o gr 75 cm
Obciążenia
Stałe
Wiatr Y
Wiatr X
Eksp. 1
(NW)
Eksp. 2
(NE)
Eksp. 3
(SW)
Eksp. 4
(SE)
BW
-12,28
9,19
4,74
-1,46
0,41
-2,73
0,21
Robot
(Model 1)
-9,45
8,11
4,81
-1,45
0,18
-1,66
-0,11
Tablica 12.5 Zestawienie wartości naprężeń od poszczególnych schematów obciążeń w punkcie wystąpienia
wartości minimalnych w trzonie (prawy górny narożnik trzonu) dla trzonu o gr. 75 cm
Obciążenia
stałe
Wiatr Y
Wiatr X
Eksp. 1
(NW)
Eksp. 2
(NE)
Eksp. 3
(SW)
Eksp. 4
(SE)
BW
-12,31
-9,19
-4,74
-0,20
-2,76
0,41
-1,45
Robot
(Model 1)
-9,32
-8,11
-4,81
-0,10
-1,72
0,28
-1,43
Jak widać w tablicach 12,4 i 12,5 wartości naprężeń dla poszczególnych schematów w tych
samych punktach trzonu są do siebie zbliżone.
155
Przybliżone ekstremalne wartości naprężeń otrzymane z programu Robot przy uwzględnieniu
wykluczania się obciążeń wiatrem w kierunkach X i Y oraz współczynników obciążeniowych
określonych w danych do programu BW przyjmują wartości:
Naprężenia maksymalne:
 z , max =−9,45⋅1,358,11⋅1,300,18⋅1,5=−1,95 MPa
Naprężenia minimalne:
 z , min=−9,32⋅1,35−8,11⋅1,30−0,101,721,431,5=−27,84 MPa
Porównując otrzymane wyniki z wynikami z programu BW:
●
naprężenia maksymalne dla Robot 1 są o 3,27 MPa mniejsze
●
naprężenia minimalne dla Robot 1 są o 7,37 MPa mniejsze
W literaturze nie ma informacji o wielkościach naprężeń jakie otrzymano z obliczeń podczas
projektowaniu rzeczywistego obiektu i nie można stwierdzić, które wyniki są poprawniejsze. W
przypadku naprężeń rozciągających (nazywanych dodatnimi lub maksymalnymi) bardziej
bezpieczne są wyniki z programu Robot, w przypadku ściskających (nazywanych ujemnymi
lub minimalnymi) z programu BW.
W przypadku modeli analizowanych w programie Robot należałoby przeprowadzić
dokładniejszą analizę trzonu, ze względu na wielkość elementów skończonych. Zastosowana
do obliczeń siatka elementów skończonych (ES) o wymiarach 1,5x1,5m może nie być
wystarczająca do dokładnej analizy naprężeń. Warto byłoby przeprowadzić analizę dla ES o
wymiarach 0,5x0,5m lub mniejszych. Porównując jednak mapy naprężeń dla Robot 1 (Rys.
8.15) i Robot 3 (Rys. 8.19) można zaobserwować, że różnice w wartościach i rozkładach
naprężeń po zagęszczeniu siatki elementów skończonych nie były duże.
12.3. Wyniki analizy modalnej
Tablica 12.6 Zestawienie częstotliwości drgań własnych w [Hz]
Pomiary
Robot 1
Robot 4
BW
SATWE
TBSA
TUS
1Y
2Y
1X
2X
1 FI
2 FI
Masa [kg]
0,173
0,540
0,208
0,688
0,293
0,886
-
0,192
0,775
0,230
0,778
0,314
0,978
(+11,0%)
(+43,0%)
(+10,6%)
(+13,1%)
(+7,2%)
(+10,4%)
0,191
0,745
0,216
0,727
0,288
0,895
(+10,0%)
(+38,0%)
(+3,9%)
(+5,7%)
(-1,7%)
(+1,0%)
0,145
0,596
0,166
0,563
0,189
0,632
(-16,0 %)
(+10,0%)
(-20,0%)
(-18,0%)
(-35,5%)
(-28,6%)
-
-
0,159
0,592
0,201
0,676
(-8,0%)
(+9,6%)
(-3,4%)
(-2,3%)
0,159
(-8,0%)
0,543
0,174
0,568
0,367
0,895
(+0,6%)
(-16,0%)
(-17,5%)
(+25,3%)
(+1,0%)
-
-
0,159
0,599
0,201
0,704
(-8,0%)
(+10,3%)
(-3,4%)
(+2,3%)
156
163 597 157,5
193 328 209,3
200 737 600,0
185 037 600,0
-
Otrzymane częstotliwości pierwszych sześciu postaci drgań własnych dla modeli z programu
Robot Millennium są większe (z wyjątkiem pierwszej częstotliwości drgań skrętnych dla
Robot 2). Największe różnice uzyskano dla drugiej postaci po kierunku Y. W oparciu o wzór
12.1 można stwierdzić, że mniejsze wartości częstości drgań dla Robot 4 w stosunku do Robot
1 mogą wynikać ze zwiększonej masy modelu. Jest to rezultatem przyjęcia większych
przekrojów słupów żelbetowych, modelujących słupy stalowe wypełnione betonem.
=2 f = k /m
W przypadku
12.1
BW 2 większość wyników (z wyjątkiem 2 Y) jest mniejsza od wyników z
pomiarów budynku. Na podstawie przemieszczeń od obciążenia wiatrem można stwierdzić, że
sztywności modeli BW 2 i Robot 1 są zbliżone. Natomiast masa modelu z programu BW 2 jest
większa o 27,8% niż Robot 1 i to właśnie ona mogła mieć wpływ na zmniejszone wartości
częstotliwości.
Rys. 12.1 Zestawienie pierwszych dwóch postaci drgań własnych po kierunku Y
a) 1Y
b) 2Y
157
Rys. 12.2 Zestawienie pierwszych dwóch postaci drgań własnych po kierunku X
a) 1X
b) 2X
Rys. 12.3 Zestawienie pierwszych dwóch postaci drgań własnych skrętnych
a) 1 FI b) 2FI
158
Rys. 12.3 Zestawienie postaci drgań własnych z publikacji [Li04].
Wyniki dla Robot 1 i Robot 4 są większe w porównaniu z wynikami obliczeń dla SATWE i
TBSA. Natomiast w przypadku BW 2 są mniejsze. Dla BW 2 jako jedną z głównych przyczyn
zmniejszonych częstotliwości drgań własnych można przyjąć większą masę modelu. W
przypadku modeli z programu Robot nie jest to już tak oczywiste. Dla Robot 1 mamy mniejsza
masę modelu niż dla TBSA, ale sztywność modelu z programu TBSA jest większa.
Autor publikacji [Li04] podsumowując uzyskane wyniki dla SATWE i TBSA
stwierdził, że
różnice pomiędzy obliczonymi a uzyskanymi z pomiarów częstotliwości drgań własnych mogą
wynikać z dwóch przyczyn: zbyt duża masa modelu przyjęta do obliczeń i / lub zbyt mała
sztywność modeli budynku w porównaniu do rzeczywistej konstrukcji. Wniosek ten można
przypisać do wyników z programu BW. W przypadku modeli z programu Robot stwierdzenie to
nie do końca jest prawdziwe.
W trakcie obliczeń w programie Robot Millennium ważnym czynnikiem może okazać się
określenie optymalnych parametrów dla analizy modalnej. Jednym z takich czynników może
być liczba iteracji przyjęta w metodzie podprzestrzennych iteracji. Ostateczne wyniki przyjęte
do analizy w pracy dyplomowej obliczane były dla 40 iteracji. Początkowo jednak obliczenia
prowadzone były dla 20 iteracji (standardowo ustawione w programie). Dla takiej liczby iteracji
pierwsze 3 częstotliwości drgań własnych dla Robot 1 były odpowiednio o 14,5%, 17,4% i
24,2% większe niż dla obliczeń z 40 iteracjami (Tablica 12.7). W porównaniu z wynikami
pomiarów są one większe odpowiednio o 27,0%, 29,8%, 33,1%.
159
Tablica 12.7 Zestawienie częstotliwości drgań własnych w [Hz] dla Robot 1 w zależności od liczby iteracji
Liczba iteracji
1Y
2Y
1X
2X
1 FI
2 FI
40
0,192
0,775
0,230
0,778
0,314
0,978
20
0,220
0,900
0,270
0,900
0,390
1,230
(+14,5%)
(+15,4%)
(+17,4%)
(+15,7%)
(+24,2%)
(+26,7%)
12.4. Wyniki analizy sejsmicznej
Tablica 12.8 Wartości przemieszczeń budynku dla schematów obciążeń sejsmicznych i wiatrem [cm]
Kierunek Y
Kierunek X
Sejsmika
Wiatr
Sejsmika
Wiatr
Robot 1
22,62
64,70
14,48
26,00
Robot 4
23,20
56,90
16,50
25,40
BW 2
36,21
72,62
26,26
27,77
TBSA
25,59
48,63
19,74
20,28
Tablica 12.9 Wartości sił poprzecznych w trzonie dla schematów obciążeń sejsmicznych i wiatrem [kN]
Kierunek Y
Kierunek X
Sejsmika
Wiatr
Sejsmika
Wiatr
Robot 1
18 216
63 362
19 362
42 728
Robot 4
18 308
62 456
20 501
43 054
TBSA
22 966,1
-
23 181,3
-
Otrzymane wyniki zarówno przemieszczeń (Tablica 12.8) jak i sił poprzecznych (Tablica 12.9)
wywołanych obciążeniami sejsmicznymi są mniejsze od wartości wywołanych obciążenia
wiatrem. Zatem nie trzeba uwzględniać przy wymiarowanych elementów konstrukcji.
Jak widać wielkości sił poprzecznych otrzymane z obliczeń w pracy dyplomowej są nieco
mniejsze od wyników z publikacji [Li04]. Różnice te mogą wynikać z
●
różnic mas całego obiektu a także ich rozkładu wzdłuż wysokości budynku
●
różnych wartości częstości drgań własnych
●
metody sumowania maksimów odpowiedzi: w pracy dyplomowej – wykorzystano
dokładniejszą metodę CQC, a w publikacji [Li04] – starszą metoda SRSS
12.5. Wartości sił w nadprożach
Tablica 12.10 Wartości sił poprzecznych wywołanych obciążeniami sejsmicznymi i wiatrem [kN]
Model
Nr nadproża
Rzędna
M [kNm]
T [ kN]
Robot 1
3
110,75
4626,73
3102,29
Robot 4
3
110,75
4607,80
3090,33
BW 1
3
118,20
3309,57
2170,21
160
W obu programach maksymalne wartości sił wewnętrznych w nadprożach otrzymano dla
zbliżonych rzędnych w programie Robot +110,75 m a w programie BW +118,20 m. Różnice
wartości sił dla modeli z programu Robot są niewielkie. W przypadku wyników z programu BW
uzyskano o 30% mniejsze wartości sił wewnętrznych w nadprożach. Różnice te mogą wynikać
z uwzględnienia w programie BW podatności połączenia nadproża ze ścianą (współczynnik
k = 1). W przypadku modeli z programu Robot są one sztywno połączone z pionowymi
elementami prętowymi biegnącymi wzdłuż krawędzi trzonu. Podatność tą można uwzględnić (z
dość dużą dokładnością) w programach opartych na MES przez zwiększenie długości
nadproża o ¼ wysokości przekroju nadproża. Zastosowanie tego zabiegu w modelach Robot 1
i Robot 4 spowodowało by jednak znaczne zwiększenie liczby powierzchniowych elementów
skończonych i dlatego zostało pominięte.
12.6. Obliczone zbrojenie
Na podstawie wyników z programu BW większość ścian w obliczanym skrajnym (ceowym)
elemencie trzonu nie wymagały dodatkowego zbrojenia i zastosowano w nich zbrojenie
minimalne. Jedynie w trzonie o grubości 75 cm w strefach krawędziowych ścian potrzebne
było dodatkowe zbrojenie. Potwierdza to ogólną prawidłowość, że wymiary konstrukcji
usztywniającej budynków wysokich wynikają z warunku sztywności (Stanu Granicznego
Użytkowania), a nie nośności.
Dla obu żelbetowych nadproży potrzebne pole przekroju zbrojenia głównego liczone:
●
jako pręty podłużne wg polskiej normy [N5]
●
jako zbrojenie diagonalne obliczone wg amerykańskich przepisów ACI
wyszło takie samo.
W przypadku nadproży stalowych, przyjęty ze wstępnego projektowania profil HE 1000x584
spełnił warunki nośności z dużą rezerwą (42%) dla maksymalnych wartości sił wewnętrznych.
Ponieważ maksymalne wartości sił wewnętrznych dla drugiego z obliczanych nadproży w
części budynku o trzonie gr. 60 cm były mniejsze od wartości z pierwszego przypadku, do
wymiarowania przyjęto mniejszy profil HEB 1000. Warunek nośności dla tego elementu został
spełniony z 11% rezerwą.
12.7. Porównanie programów obliczeniowych
Budowanie modelu w programie BW przy pomocy preprocesora POL 3 jest łatwe i intuicyjne.
Jest to program służący do analizy budynków ścianowych, w którym wszystkie elementy
konstrukcji definiuje się o przekroju pełnym prostokątnym. W przypadku występowania w
konstrukcji elementów z profili stalowych lub np. kratownic stanowi to pewien problem, gdyż
trzeba je przeliczyć na zastępcze przekroje prostokątne (zwykle żelbetowe, choć jest
161
możliwość definiowania różnych materiałów). W przypadku analizowanego w pracy
dyplomowej budynku spowodowało to zwiększenie masy modelu, co mogło mieć wpływ na
wyniki analizy dynamicznej. Niewątpliwym atutem programu BW jest bardzo krótki czas
obliczeń tak dużych konstrukcji. Na przeciętnym komputerze PC przeprowadzenie całej
analizy budynku zajmuje ok 10 minut.
Modelowanie budynku w programie Robot Millennium odbywa się głównie w widoku 3D.
Budowanie modelu ułatwia i przyspiesza definiowanie osi, funkcje translacji i lustra. Przy
stosowaniu dwóch ostatnich funkcji bardzo ważna jest precyzja, gdyż bardzo łatwo można
spowodować przesunięcie powielanych elementów wyniku czego ich węzły nie będą sie ze
sobą stykać. W programie Robot można bez problemu łączyć różne typy konstrukcji: prętowe,
powłokowe. W przypadku modelowania budynku wysokiego, nawet przy bardzo zgrubnym
siatkowaniu trzonu otrzymujemy bardzo duże zadanie obliczeniowe (ponad 50 tyś elementów
skończonych i prawie 240 tyś. stopni swobody ). Czas wykonania pełnej analizy tak dużego
zadania na przygotowanym do tego celu stanowisku (wydajniejszy procesor, większa ilość
pamięci RAM) wynosi od 2 do 3 godzin. Jak na tej wielkości model nie jest to dużo, ale w
porównaniu z BW trwa to 12 razy dłużej. W przeciwieństwie do BW wyspecjalizowanego do
liczenia
jednego
typu
konstrukcji
Robot
Millennium
pozwalającym liczyć różne typy konstrukcji.
jest
programem
uniwersalnym
Dużym ułatwieniem w analizie budynków
wielokondygnacyjnych jest dostępna w najnowszych wersjach programu funkcja Pięter.
162
13. Zakończenie
W niniejszej pracy analizowano 5 modeli budynku Di-Wang Tower – 4 modele dyskretne w
programie Robot Millennium oraz jeden model ciągły w programie BW dla Windows. Dla trzech
modeli przeprowadzono pełne analizy statyczne i dynamiczne (modalną i sejsmiczną), dla
pozostałych dwóch (programu Robot) tylko statyczne, głównie od obciążenia wiatrem. Modele
zbudowano na podstawie: informacji zawartych w publikacjach [Li04], [Kim95] oraz własnych
obliczeń dla elementów, których wymiary nie były podane w cytowanych publikacjach.
Uzyskane w pracy dyplomowej wyniki z obliczeń są zbliżone do wyników z programu SATWE
zawartych w pracy [Li04]. Autor tej publikacji spośród wyników z 3 różnych programów uznał
je za najbliższe rzeczywistości. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń i analiz można
wyciągnąć następujące wnioski:
●
Wartości przemieszczeń najbliższe wartościom przemieszczeń z programu SATWE
uzyskano z obliczeń programem BW dla Windows oraz Robot Millennium dla Modelu 1
(Tab. 12.1). Przemieszczenia po kierunku Y wyliczone programem BW dla Windows są
o 1% gorsze od wyników dla Modelu 1 z programu Robot, a w kierunku X o 4% lepsze.
●
Z analizowanych modeli w programie Robot Millennium za najbliższy rzeczywistości
uznałbym Model 1. Wartości przemieszczeń oraz wyniki analizy modalnej dla tego
modelu są najbardziej zbliżone do wyników z programu SATWE.
●
Przeliczenie przekrojów kompozytowych słupów na zastępcze przekroje betonowe z
warunku nośności na ściskanie w programie BW dało wyniki przemieszczeń zbliżone
do wyników z programu SATWE. Wprowadzenia tych samych przekrojów do modelu w
programie Robot spowodowało wzrost jego sztywności o 14% w porównaniu z
Modelem 1, w którym zastępcze przekroje przyjęto z warunku sztywności EI
(standardowa opcja programu Robot). Przeliczanie przekrojów kompozytowych z
warunku nośności daje większe przekroje zastępcze niż warunku sztywności EI.
Minusem przeliczania zastępczych przekrojów modeli z warunku nośności jest znaczny
wzrost masy modelu.
●
Podobnie jak w pracy [Li04] udało się wykazać duży wpływ outriggerów na wzrost
sztywności poprzecznej konstrukcji. Ich stosowanie pozwala w znaczny sposób
ograniczyć przemieszczenia budynku.
●
Uzyskane wyniki analizy modalnej różnią się od wyników uzyskanych z pomiarów dla
rzeczywistego budynku, a także wyników obliczeń z publikacji [Li04] nie więcej niż o
30% (w większości przypadków). Na rozbieżności wyników mogą mieć wpływ różnice
bezwładności i sztywności modeli obliczeniowych oraz rzeczywistego budynku, a także
163
dokładność obliczeń analizy modalnej. W pracy wykazano również, że obciążenia
sejsmiczne
dla
budynku
zlokalizowanego
w
mieście
Shenzen
wywołują
przemieszczenia mniejsze od przemieszczeń od obciążeń wiatrem i nie zwiększają
potrzebnych wymiarów konstrukcji usztywniającej.
●
Najmniejsze przemieszczenia ( H / 490 ) uzyskano z obliczeń Modelu 4 programu Robot
Millennium. Wszystkie z analizowanych modeli miały maksymalne wychylenia większe
od H / 500 . Wskazuje to na małą sztywność budynku.
164
Literatura
➢
Publikacje książkowe i w czasopismach
Bal93
Balendra T.: Vibration of Buildings to Wind and Earthquake Loads.
Springer – Verlag, London 1993.
BLWTL
Boundary Layer Wind Tunnel Laboratory: Wind Effects on Tall Buildings.
http://www.blwtl.uwo.ca z 2007-04-30.
Bud79
Budynki wznoszone metodami uprzemysłowionymi. Projektowanie konstrukcji i obliczenia. Praca
zbiorowa, kier. zespołu autor. B. Lewicki. Arkady, Warszawa 1979.
Chm98
Chmielewski T., Zembaty Z.: Podstawy dynamiki budowli, Arkady Warszawa 1998.
Cro93
Crooks G, Isyumov N, Edey RT Davenport AG.: A study of overall wind-induced loads and
responses for the Di Wang Tower, Shenzhen, PRC, Research Report BLWT-SS26-1993,
Boundary Layer Wind Tunnel Laboratory, The University of Western Ontario, 1993.
Cou88
Coull A., Lau W.H.O.: Outrigger braced structures subjected to equivalent static seismic
loading, Proceedings of the Fourth Int. Conf. on Tall Buildings Ed. By Y.K. Cheung P.K.K. Lee,
Hong Kong & Shanghai Kwiecień/Maj 1988
Cou89
Coull A., Lau W.H.O.: Analysis of multioutrigger-braced structures,
JSE, 115, 7 (1989) 1811-1815.
Eng03
Englekirk R. T.: Seismic Design of Reinforced and Precast Concrete Buildings, Wiley, 2003
Har00
Harries K. A., Gong B.: Behavior and Design of Reinforced Concrete, Steel and Steel-Concrete
Coupling Beams. Earthquake Spectra, 16, 4 (2000) 775-800.
Hoe04
Hoenderkamp J. C. D. Bakker M. C. M.: Shear wall with outrigger trusses on wall and column
foundations, The Structural Design Of Tall And Special Buildings 13 (2004), Wiley 2004.
Kam06
Kamiński M. Pędziwiatr J. Styś D.: Projektowanie konstrukcji żelbetowych Dolnośląskie
wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław 2006.
Kap03
Kapela M., Sieczkowski J.: Projektowanie konstrukcji budynków wielokondygnacyjnych,
Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2003.
Kil04
Killer K. W. M. Polsko – Angielsko – Niemiecki Ilustrowany Słownik Budowlany, Wydawnictwo
Arkady, Warszawa 2004
Kim95
Kimura I.: Management of high rise buildings in South East Asia Di Wang Development,
Proceedings of the Fifth World Congress "Habitat and High- Rise: Tradition and Innovation",
Council on Tall Buildings and Urban Habitat, Amsterdam, May 14-19, 1995.
Lew04
Lewicki B.: PN-EN 1990:2004 Eurokod – Podstawy projektowania konstrukcji,
Inżynieria i Budownictwo, 9 (2004) 502-506.
Lew07
Lewicki B. ; Wdrażanie Eurocodów do praktyki polskiej – wymagany poziom bezpieczeństwa
konstrukcji, XXII Ggólnopolska Konferencja Warsztat Pracy Projektanta Konstrukcji, Szczyrk,
7÷10 marzec 2007 r.
Li02
Li, Q.S., Yang K., Zhang N., Wong C.K., Jeary A.P.: Field measurements of amplitude-dependent
damping in a 79-storey tall building and its effects on the structural dynamic responses, The
Structural Design Of Tall And Special Buildings 11 (2002), Wiley 2002.
Li03
Li Q. S., Xiao Y. Q., Wrong C.K.: Field measurements of wind effects on the tallest building in
Hong Kong; Structural Design Of Tall And Special Buildings 12 (2003), Wiley 2003.
Li03b
Li J.: ETABS Version 8 - Technical Notes. Modelling Lintel/Spandrel Using Shell Element
165
(www.src-asia.com/tn/) 2003.
Li04
Li Q. S, Wu J. R.: Correlation of dynamic characteristics of a super-tall building from full-scale
measurements and numerical analysis with various finite element models, Earthquake
Engineering And Structural Dynamics 33 (2004), Wiley 2004.
Li04b
Li Q. S., Xiao Y.Q., Wonga C. K.: Field measurements of typhoon effects on a super tall building,
Engineering Structures 26, 2004.
Li05
Li Q.S., Xiao Y.Q., Wong C.K.: Serviceability of a 79-storey tall building under typhoon conditions,
Proceedengs Instn. Civil Engineering Structures & Buildings, vol.158, SB4 (2005).
Łap06
Łapko A. Jensen B. Ch. Podstawy Projektowaia I Algorytmy Obliczeń Konstrukcji Żelbetowych,
Wydawnictwo Arkady, Warszawa 2006.
McN75
McNabb JW, Muvdi BB. Drift reduction factors for belt high-rise structures. Engineering Journal
3nd Quarter, 1975.
Pod20
Robot Millennium wersja 20 – Podręcznik użytkownika, Firma informatyczna RoboBAT,
www.robobat.com.pl
Pau90
Paulay T. Priestley M.J. N.: Design of Reinforced Concrete and Masonary Buildings, Wiley, New
York 1990.
Paw04
Pawłowski A.Z.: Budynki wysokie – wzrastająca rola betonu.Budownictwo, Technologie,
Architektura. Nr 1(25)/2004, Wydawca: Polski Cement Sp. z o. o. 2004.
Paw06
Pawłowski A.Z., Cała I.: Budynki wysokie, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej,
Warszawa 2006.
Sta91
Stafford – Smith B., Coull A.:Tall Building Structures: Analysis and Design, Wiley, New York 1991.
Sta03
Starosolski W.: Wybrane zagadnienia komputerowego modelowania konstrukcji inżynierskich,
Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2003.
Sta05
Starosolski W.: Konstrukcji Zelbetowe Według PN – B – 03264:2002, Wydanie dziewiąte,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.
Tab06
Bogucki W., Żyburtowicz M.: Tablice do projektowania konstrukcji metalowych, Wydawnictwo
Arkady, Warszawa 2006.
Tar75
Taranath BS.: Optimum belt truss location for high-rise structures, Structural Engineer 53(8) 1975.
Wdo93
Wdowicki J., Wdowicka E.: Analiza statyczna przestrzennych układów ścianowych z nadprożami,
Metody Komputerowe w Inżynierii Lądowej, Wydawnicstwo Inżynierii Lądowe, Warszawa 1993
Wen02
Wen Z.P., Hu Y.X., Chau K.T. Site effect on vulnerability of high-rise shear wall buildings under
near and far field earthquakes, Soil Dynamics and Earthquake Engineering 22 (2002), Elsevier.
2002.
Wu03
Wu J.R., Li Q.S.: Structural performance of multi-outrigger-braced tall buildings buildings, The
Structural Design Of Tall And Special Buildings 12, 2 (2003), Wiley 2003.
Xu03
XU Y. L., Chen S. W.. Zhang R. C.: Modal identification of di wang building under typhoon
York using the Hilbert–Huang transform method Structural Design Of Tall And Special
Buildings 12 (2003), Wiley 2003.
Żół04
Żółtkowski W. Łubiński M. Konstrukcje metalowe Cześć II. Obiekty budowlane.
Wydanie drugie zmienione. Wydawnictwo Arkady, Warszawa 2004.
166
➢
Normy
[N1]
PN-EN 1990 Eurokod. Podstawy projektowania konstrukcji
[N2]
PN-EN 1991-1-1 Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje Część 1-1: Oddziaływania ogólne.
Ciężar objętościowy, ciężar własny, obciążenia użytkowe w budynkach.
[N3]
PN-77/B-02011 Obciążenie wiatrem.
[N4]
PN-90/B-03200 Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.
[N5]
PN-B-03264:2002 Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i
projektowanie.
[N6]
PN-B-03300:2006
projektowanie.
[N7]
GBJ 9-87 Load Code for The Design of Buildings Structures. Wind Load. National Standard of
The People`s Republic of China.
[N8]
GBJ 11-89 The Standard of Structural Earthquake Resistant Design. National Standard of The
People`s Republic Of China.
➢
Konstrukcje
zespolone
stalowo-betonowe.
Obliczenia
Źródła internetowe
[I1]
http://www.tallestbuildingintheworld.com/
[I2]
http://mim.man.poznan.pl
[I3]
http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=181902
[I4]
http://www.bt-invest.com.pl/index.php?go=oferta_opis&kod=BTA
[I5]
http://www.rockwool.pl/sw49925.asp
[I6]
http://www.menerga.com.pl/
[I7]
http://www.tem-transforma.pl/modan.html
[I8]
http://www.travelchinaguide.com/cityguides/guangdong/shenzhen/when-to-go.htm
[I9]
http://www.fema.gov/pdf/plan/prevent/rms/424/fema424_ch4.pdf
[I10]
http://www.ctbuh.org/Resources/Resources-WorldsTallest.aspx
[I11]
http://skyscraperpage.com/diagrams/?
[I12]
http://en.wikipedia.org
[I13]
http://maps.google.com/
[I14]
http://commons.wikimedia.org/wiki/2005_04_23_Di_Wang_Building.JPG
167
statyczne
i
Zestawienie oprogramowania
[P1]
POL3
[P2]
BW dla Windows
[P3]
BW View
[P4]
Robot Millennium 20.0
[P5]
RM-Win
[P6]
AutoCAD 2004
[P7]
OpenOffice 2.1
Podziękowania
Na zakończenie chciałbym złożyć serdeczne podziękowania:
●
Rodzicom za umożliwienie studiowania, oraz pomoc i wsparcie przez cały okres
studiów.
●
Panu dr inż. Jackowi Wdowickiemu za pomoc, porady, uwagi i poświęcony czas
(znacznie przekraczający przewidzianym planem studiów) przy pisaniu pracy.
●
Instytutowi Konstrukcji Budowlanych Politechniki Poznańskiej za przygotowanie
stanowiska komputerowego do obliczeń w programie Robot Millennium.
●
Panu Jakubowi Brożonowiczowi z firmy Robobat za pomoc i cenne porady do pracy w
programie Robot Millennium
●
Pani dr inż. Iwonie Pujanek za pomoc przy wyszukiwaniu publikacji wykorzystanych w
pracy.
●
Panu dr inż. Zdzisławowi Kurzawie za pomoc w zakresie konstrukcji stalowych i
kompozytowych
●
Panu dr inż. Jackowi Ścigałło za pomoc w zakresie konstrukcji żelbetowych
●
Wszystkim tym, których nie wymieniłem, a służyli mi pomocą i wsparciem nie tylko przy
pisaniu pracy ale także przez cały okres studiów.
168
Załączniki
169
A. Wprowadzenie do problematyki obciążeń sejsmicznych budowli.
A.1. Co to jest trzęsienie ziemi
Obciążenia sejsmiczne wywołane trzęsieniami ziemi są jednym z rodzajów obciążeń
dynamicznych, które mogą działać na budowle. W wielu krajach są najpoważniejszymi
źródłami obciążeń budowli, które decydują o nośnościach przekrojów.
Rys. A.1 Schemat trzęsienia ziemi [Bal93]
Skorupa ziemska składa się z kilkunastu grubych skalnych płyt poruszających się po płynnej
powłoce. Płyty te nazywane są płytami tektonicznymi, natomiast warstwa po której się
poruszają astenosferą. W wyniku ruchów płyt ich krawędzie zazębiają się i uniemożliwiają ich
ruch. W rezultacie powstają naprężenia, które po przekroczeniu wytrzymałości skały na
ścinanie pękają wzdłuż tzw. linii uskoku. Wyzwolona energia przyjmuje postać fal
sejsmicznych wywołujących ruchy podłoża budynku. Schemat zjawiska trzęsienia ziemi
przedstawiono na Rys. A.1 i A.2.
Rys. A.2 Rodzaje fal sejsmicznych [ I9 ]
Źródło trzęsienia ziemi nazywa się hipocentrum.
170
W pierwszym etapie powstają fale
materiałowe typu P (podstawowe – powodują ściskanie skał) i S (poprzeczne – wywołują
deformacje poprzeczne bez zmiany objętości ) (Rys. A.2). Kiedy fale materiałowe dotrą do
powierzchni wywołują fale powierzchniowe: Loveà i Rayleighà. Punkt na powierzchni nad
hipocentrum nazywany jest epicentrum. [Bal93]
Rys. A.3 Podział skorupy ziemskiej na płyty tektoniczne[ Kap03]
A.2. Zniszczenia wywołane trzęsieniami ziemi
Skutki działań trzęsień ziemi możemy podzielić na bezpośrednie i pośrednie. Do
bezpośrednich zaliczamy:
●
uszkodzenia podłoża,
●
zaburzenia powierzchni,
●
pękanie podłoża,
●
upłynnianie gruntu,
●
nierównomierne osiadania,
●
drgania przekazywane z podłoża na konstrukcję.
Natomiast do pośrednich:
●
tsunami
●
osuwiska
●
powodzie
●
pożary
●
sejsze (fale stojące powstające w jeziorach i zamkniętych morzach)
Źródłami zniszczeń wywołanych przez trzęsienia ziemi są :
●
uszkodzenia podłoża (wywołujące zaburzenia powierzchni – powstawanie uskoków, upłynnienia
gruntów)
●
wstrząsy podłoża (wywołujące drgania konstrukcji, zsuwanie konstrukcji z fundamentów)
171
A.3. Obciążenia wywoływane przez trzęsienia ziemi
Obciążeniem wywołanym przez trzęsienie ziemi działającym na budynek są głównie poziome
siły bezwładności (F = - m a). Siły pionowe zwykle są pomijane. Na ogół są one mniejsze od
poziomych, a poza tym budynki projektuje się głównie na statyczne obciążenia pionowe stąd
też są one bardziej wytrzymałe w tym kierunku. Fundament jest punktem łączącym budynek z
podłożem. Fala sejsmiczna docierająca do budynku „potrząsa” fundamentem w przód i w tył.
Ruchowi budynku przeciwdziała jego masa, która wywołuje poziome siły bezwładności.
Wartości poziomych sił bezwładności zależą od wartości przyspieszeń gruntu w czasie
trzęsienia ziemi, masy budynku, typu konstrukcji. Gdyby budynek i fundamenty były idealnie
sztywne wówczas maksymalna wartość sił poziomych byłaby równa iloczynowi masy i
przyspieszenia gruntu. W rzeczywistości wszystkie budynki są w pewnym stopniu elastyczne.
Dla konstrukcji, które deformują się w bardzo małym stopniu, poza tym absorbują pewną część
energii, siły te mogą być mniejsze niż iloczyn masy i przyspieszenia gruntu. W przypadku
budynków bardzo smukłych i elastycznych, których okresy drgań własnych są zbliżone do
drgań podłoża poziome siły bezwładności mogą być znacznie większe. W tych przypadkach
wpływ na wartości sił ma częstość drgań własnych budynków.
Znaczenie częstości drgań własnych budynków pokazało trzęsienie ziemi w Mexico City w
1985 roku. Dominujący okres drgań własnych ruchu podłoża w trakcie kataklizmu wynosił 2 s
co odpowiada okresom drgań własnych budynków o liczbie kondygnacji od 6 do 20. Wiele z
nich uległo zawaleniu lub poważnemu uszkodzeniu podczas gdy inne budynki pozostały
praktycznie nienaruszone. [Bal93]
Rys. A.4 Typowe okresy drgań własnych dla budynków o różnej liczbie kondygnacji [ I9 ]
W ostatnich trzydziestu latach na całym świecie przeprowadzono wiele badań teoretycznych i
eksperymentalnych zachowania się budynków wysokich podczas trzęsienia ziemi, poza tym
172
zebrano wiele danych o ich zachowaniu w czasie rzeczywistych trzęsień ziemi. Obserwacje te
wykazały błędne podejście do projektowanie obiektów w strefach sejsmicznych. Dotychczas
uważano, że konstrukcje ramowe są bardziej odporne na działanie trzęsień ziemi ze względu
na dłuższe okresy drgań własnych, a co za tym idzie mniejsze wartości przyspieszeń
konstrukcji, czyli mniejsze siły bezwładności działające na konstrukcje. Natomiast sztywne
konstrukcje były uważane za bardziej wrażliwe na uszkodzenia
Wyniki obserwacji wykazały, że dużo lepszym rozwiązaniem przy projektowaniu budynków
odpornych na wpływy sejsmiczne są budynki usztywnione konstrukcjami ścianowymi. Dobre
zachowanie się budynków ścianowych z nadprożami poddanych działaniu obciążeń
sejsmicznych wynika z dużej ich sztywności i odpowiednio rozłożonego mechanizmu
plastycznej dyssypacji energii. Nie trzeba więc stosować specjalnych zabiegów podczas
konstruowania
budynku
dla
spowodowania
wystąpienia
przegubów
plastycznych
w
elementach poziomych (ryglach, podciągach), a zabezpieczenia konstrukcji przed ich
wystąpieniem w elementach pionowych (słupach).
Podstawową miarą „wielkości” trzęsienia ziemi wykorzystywaną w sejsmologi jest magnituda.
Jest to logarytm (przy podstawie z 10) maksymalnej wartości przemieszczeń gruntu
wyrażonych w mikrometrach (10-6 m), zmierzonych standardowym sejsmografem w odległości
100 km od epicentrum. O tak określonej wielkości mówimy, że jest to magnituda wstrząsów w
skali Richtera (M). Skal magnitudowych jest kilka. Zastosowanie skali Richtera do
projektowania konstrukcji jest niemożliwe, gdyż wstrząsy o tej samej magnitudzie są odbierane
przez budowle w różny sposób w zależności od ich odległości od epicentrum. Do
projektowania konstrukcji wykorzystuje się intensywność wstrząsów w miejscu posadowienia
budowli. Określa się ją podając maksymalne prędkości lub przyspieszenia w miejscu
posadowienia lub mierzy za pomocą skal opisowych Mercaliego (MM) lub europejskiego
odpowiednika MSK (Mercali-Cancani-Sieberg) [Chm98].
Wadą oceny intensywności wstrząsów przy zastosowaniu maksymalnych przyspieszeń lub
prędkości ruchu gruntu jest nieuwzględnienie wpływu czasu trwania fazy silnych wstrząsów.
Dwa trzęsienia ziemi o tych samych maksymalnych przyspieszeniach lub prędkościach, z
których jedno trwa kilka a drugie kilkadziesiąt sekund będą miały różny wpływ na budowlę.
Najlepiej można ocenić intensywność wstrząsów na podstawie pełnego zapisu przyspieszeń
ruchu gruntu w danym miejscu. Zapis taki można użyć do obliczenia odpowiedzi metodą
numerycznego całkowania równań ruchu. Na podstawie wyników przemieszczeń konstrukcji
można obliczyć maksymalne siły wewnętrzne dla konstrukcji obciążonej trzęsieniem ziemi.
Ponieważ konstrukcje projektujemy na przyszłe nieznane jeszcze trzęsienie ziemi dlatego do
obliczeń używa się wzorcowego akcelerogramu, zakładając że następne wstrząsy nie będą
173
bardziej destruktywne niż przyjęte we wzorcu. Jest to podejście deterministyczne. Przykład
wzorcowego akcelerogramu przedstawia Rys. A.5 przedstawiający zapis trzęsienia ziemi w
miejscowości El Centro w Kalifornii w 1940 roku.
Tablica A.3 Opis intensywności w zmodyfikowanej skali MM i szacunkowe wartości przyspieszeń [Chm98]
IMM
Opis
Maksymalne
przyspieszenie
cm/s2
1
2
3
I
Niewyczuwalne. Drgania gruntu możliwe do rejestracji przez
sejsmogramy, lecz nie odczuwalne przez ludzi.
<1
II
Bardzo słabe. Wyczuwalne tylko w dobrych warunkach
1 do 2
III
Słabe. Odczuwalne tylko przez niektórych ludzi jak pochodzące od
ruchu drogowego
2 do 5
IV
Niezbyt słabe. Drgania odczuwalne przez wielu ludzi jak
pochodzące od ciężkiego ruchu drogowego, szyby w oknach
brzęczą, drzwi stukają
5 do 10
V
Dość silne. Odczuwalne przez wszystkich ludzi, wiszące przedmioty
zaczynają się kołysać, zegary wahadłowe zatrzymują się
10 do 20
VI
Silne. Objawy strachu wśród ludzi, sprzęty w domu przewracają się,
mogą wystąpić niewielkie uszkodzenia słabszych budynków
20 do 50
VII
Bardzo silne. Uszkodzenia wielu słabszych budynków, kominy
pękają, pojawiają się fale na powierzchni zbiorników wodnych,
dzwonią kościelne dzwony
50 do 100
VIII
Uszkadzające. Panika wśród ludzi, uszkodzenia solidnie
wykonanych budynków, słabsze budowle częściowo zniszczone,
kilkucentymetrowe szczeliny w gruncie
100 do 200
IX
Niszczące.
Wiele
solidnie
wykonanych
budynków
jest
uszkodzonych, pękają rurociągi, uszkodzenia sięgają fundamentów
200 do 500
X
Bardzo niszczące. Większość słabszych budowli ulega zniszczeniu,
poważne uszkodzenia solidnych budowli, mostów i tam, obsunięcia
gruntu, kilkudziesięcio-centymetrowe szczeliny w gruncie
500 do 1000
XI
Katastrofalne.
Większość
solidnych
budowli
poważnie
uszkodzonych, szlaki kolejowe i drogi nieprzejezdne, zniszczone
rurociągi i kable podziemne
1000 do 1500
XII
Wyjątkowo katastrofalne. Zniszczenie lub poważne uszkodzenie
większości budowli, zmiany w topografii terenu, rzeki zmieniają bieg
>1500
Niedogodności podejścia deterministycznego można uniknąć przez wprowadzenie opisu
trzęsienia ziemi jako zjawiska losowego, w którym zarejestrowany akcelerogram jest pewną
realizacją procesu stochastycznego, a drgania budowli rozważa się teorią drgań losowych.
Jest to podejście stosowane głównie w badaniach naukowych, rzadko w obliczeniach
inżynierskich. [Chm98]
Najczęściej stosowaną metodą w obliczeniach inżynierskich jest metoda spektrum odpowiedzi,
w której stosuje się pewne uśrednione charakterystyki widmowe opisujące zadaną klasę
wymuszeń sejsmicznych. Ogólny zarys metody przedstawiono w punkcie A.4.
174
Rys. A.5 Zapis trzęsienia ziemi San Fernando Valley z 18 maja 1940 roku (El Centro S00E) [Chm98]
A.4. Metoda spektrum odpowiedzi dla układów o jednym stopniu swobody.
Metodę opisano w oparciu o publikację [Chm98].
Metodę spektrum odpowiedzi omówiono na podstawie układu o jednym stopniu swobody
poddanemu wymuszeniu kinematycznemu podłoża.
Rys. A.6 Układ o jednym stopniu swobody poddany wymuszeniu kinematycznemu
Schemat układu przedstawia rysunek A.6. a jego równanie ruchu przyjmuje postać:
t
m q̈ c q̇ kq=0
(A.1)
Gdzie q jest przemieszczeniem względnym, a q t całkowitym określony wzorem qt = uq ( u
175
zadane wymuszenie podłoża), Podstawiając qt = uq do wzoru A.1 otrzymamy
m  ü q̈ c q̇kq=0
(A.2)
m q̈c q̇ kq=−m ü t 
(A.3)
stąd
Zależność A.3 przedstawia równanie ruchu układu poddanego wymuszeniu kinematycznemu
u  t  , którym są drgania podłoża. Jak widać drgania układu są równoważne drganiom układu
obciążonego siłą równą iloczynowi masy i przyspieszenia podłoża.
Dzieląc obie strony
równania (A.3) przez masę można je sprowadzić do postaci
2
m q̈2  0 q̇ q=− ü t 
(A.4)
gdzie
0 = k / m - częstość kołowa drgań własnych
= c / 2 m  0 - liczba tłumienia
Rozwiązanie tego równania można zapisać za pomocą całki Duhamela
t
qt=−∫ ht  üt−r dr
(A.5)
0
h  t =
1 − t
e
sin  0 d t 
0d
0d
0 d =0  1−
(A.6)
2
(A.7)
h  t  jest funkcją przejścia układu o jednym stopniu swobody.
Z obliczonych odpowiedzi układów q  t  o jednym stopniu swobody o różnych częstościach
drgań własnych 0 , przy tym samym wymuszeniu w postaci pewnego akcelerogamu ruchu
podłoża sporządza się wykres. Na osi poziomej oznaczono częstości kołowe drgań własnych,
a na osi pionowej maksymalne wartości przemieszczeń względnych q max , obliczone dla
kolejnych częstości kołowych drgań własnych,
Tak otrzymany wykres nazywamy
przemieszczeniowym spektrum odpowiedzi
S d  0 , =max t∣qt , , ∣
176
(A.8)
Rys. A.7 Schemat tworzenia przemieszczeniowego spektrum odpowiedzi
W analogiczny sposób otrzymuje się prędkościowe spektrum odpowiedzi S vr , oraz względne
S ar i bezwzględne S atr przyspieszeniowe spektra odpowiedzi.
S vr  0 ,= maxt ∣q̇t ,  ,∣
(A.9)
S a r  0 , =max t∣q̈t , , ∣
(A.10)
S a t r  0 ,= maxt ∣üt q̇t ,  , ∣
(A.11)
Otrzymane spektra odpowiedzi można użyć w celu określenia maksymalnej odpowiedzi układu
o jednym stopniu swobody dla różnych częstości drgań własnych 0 i różnych liczb tłumienia

dla zadanego jednego zapisu ruchu podłoża. Odpowiednią siłę sprężystą można
oszacować przy wykorzystaniu względnego przemieszczenia masy q
f =k q
(A.12)
W praktyce wzorów (A.9 do A.11) nie używa się często gdyż istnieją proste sposoby ich
oszacowania na podstawie tylko przemieszczeniowego spektrum odpowiedzi. Jeżeli
przyrówna się do siebie energię kinetyczną drgającej masy
2
E=m v / 2
i potencjalną
zmagazynowaną w wyniku odkształcenia układu, czyli energię sprężystą E = kq / 2 to można
zapisać przybliżony wzór
2
2
k S d 0,  k S v 0, 
≈
2
2
177
(A.13)
Stąd
S v  0, ≈

k
S  =0 S d  0, 
m d 0,
(A.14)
S v - pseudoprędkościowe spektrum odpowiedzi
Jeżeli we wzorze (A.13) pominie się udział sił tłumienia w całkowitej sile sprężystej f, to po
przyrównaniu jej do pewnej zastępczej pseudo siły bezwładności:
ma= kq
a=
(A.15)
k
2
q =0 q
m
(A.16)
gdzie a jest pseudoprzyspieszeniem. Można zapisać przybliżoną zależność
S a 0 , =max t ∣ü q̈∣
(A.17)
Tak określone pseudoprędkościowe i pseudoprzyspieszeniowe spektra odpowiedzi są z
przemieszczeniowym spektrum odpowiedzi powiązane prostą zależnością
2
S a 0 , =0 S v  0, = 0 S d 0, 
(A.18)
Na rysunku A.8 przedstawiono spektra odpowiedzi obliczone dla akcelerogramu El Centro
(Rys. A.5) dla =0,05 . Do obliczeń zastosowane zostało numeryczne całkowanie metoda
Newmarka. Można zauważyć że różnica między spektrami odpowiedzi pseudopredkości i
prędkości względnej nie jest duża, lecz w przypadku przyspieszeń różnice te dla niskich
częstotliwości są znaczne a wzrost tłumienia je powiększa.
Rys. A.8 Spektra odpowiedzi trzęsienia ziemi El Centro dla ξ = 0,05
a) przyspieszenie, b)prędkość, c) przemieszczenie
178
F b=S T 0G
(A.19)
T 0 - podstawowym okres drgań własnych
G - ciężar budynku
S  T  - projektowe przyspieszeniowe spektrum odpowiedzi odniesione do przyspieszenia ziemskiego g
Siłę F b rozdziela się na poszczególne elementy konstrukcji w postaci sił F i , zgodnie ze
wzorem
F i = F b − F t 
wi ∑ Gi
∑ wjG j
(A.20)
w i , w j - przemieszczenia mas w podstawowej postaci drgań
G i ,G j - ciężary mas m i , m j
F t - pozioma siła skupiona przyłożona przy wierzchołku budynku
F t =0,07T 0 F b≤0,25 F b dla T 0 =0,7 s
F t =0
dla T 0 ≤0,7 s
(A.21)
Przedstawiona procedura dotyczy tylko najprostszych regularnych budynków o parametrach
szczegółowo opisanych w Eurocodzie 8. Budowle bardziej złożone wymagają bardziej
skomplikowanego podejścia – od uwzględnienia większej liczby częstości drgań własnych po
dodatkowe obciążenia momentami wynikające z ruchu obrotowego budowli w płaszczyźnie
poziomej.
Dla poszczególnych rodzajów konstrukcji żelbetowych, stalowych drewnianych murowanych i
zespolonych Eurocod 8 podaje bardziej szczegółowe wytyczne.
179
B. Podstawy teoretyczne obliczeń statycznych w programie BW dla
Windows
B.1. Metoda ciągłych połączeń dla płaskiego układu dwóch ścian
usztywniających
Metodę ciągłych połączeń dla płaskiego układu dwóch ścian usztywniających opisano na
podstawie [Sta91]
B.1.1. Wyprowadzenie równań różniczkowych
Rozważmy płaską konstrukcję ścianową z nadprożami pokazaną na Rys. B.1, poddaną
działaniu obciążenia poziomego o natężeniu w na jednostkę wysokości. Aby zilustrować
wyprowadzenie równania różniczkowego użyto obciążenia ogólnego.
Przyjęto następujące założenia:
1. Właściwości ścian i nadproży nie zmieniają się wraz z wysokością, a wysokość kondygnacji
jest stała.
2. Elementy płaskie przed ugięciem pozostają płaskie po ugięciu dla wszystkich części
konstrukcji.
3. Nieciągły zbiór nadproży, z których każde ma sztywność na zginanie EIb, zastąpić można
przez równoważny ciągły ośrodek łączący o sztywności na zginanie EIb/h
na jednostkę
wysokości, gdzie h jest wysokością kondygnacji (Rys. B.1b). Dokładnie, aby ta analogia była
poprawna, stopień bezwładności najwyższego nadproża powinien być o połowę mniejszy od
innych nadproży.
4. Ściany uginają się poziomo jednakowo, w wyniku wysokiej sztywności powierzchniowej
otaczających płyt stropowych i sztywności osiowej nadproży. Wynika z tego, że nachylenie
wszystkich ścian jest równe na wysokości i dzięki temu, przy użyciu bezpośrednich równań na
ugięcie, można wykazać, że nadproża i w związku z tym zastępczy ośrodek łączący, mają
punkt przegięcia w środku rozpiętości. Z tego założenia wynika też, że krzywizny ścian są
równe na całej wysokości, tak więc moment zginający w każdej ścianie będzie proporcjonalny
do jej sztywności na zginanie.
5. Nieciągły zbiór sił osiowych, sił ścinających i momentów zginających w nadprożach można
zastąpić przez równoważny rozkład ciągły o natężeniu n, q i m na jednostkę wysokości.
180
Rys. B.1 Płaska konstrukcja ramowa z nadprożami a) widok ściany b) model obliczeniowy
Jeśli przyjmie się, że ośrodek łączący jest rozcięty wzdłuż pionowej linii przegięcia, jedynymi
siłami tam działającymi są strumień ścinania o natężeniu q(z) na jednostkę wysokości i siła
osiowa o natężeniu n(z) na jednostkę wysokości, jak na Rys. B.2. Siła osiowa N w każdej
ścianie na każdej kondygnacji z będzie wtedy równa całce ze strumienia ścinania w ośrodku
łączącym ponad tym poziomem, to jest:
H
N =∫ q dz
(B.1)
z
lub po zróżniczkowaniu
q=−
dN
dz
(B.2)
Rys. B.2 Siły wewnętrzne w ścianach z nadprożami
Rozważmy teraz warunek pionowej zgodności wzdłuż linii rozcięcia przegięcia z Rys. B.2.
Względne przemieszczenia pionowe będą miały miejsce na końcach rozcięcia połączonych
wsporników z powodu następujących czterech podstawowych działań [W pochodnej, względne
przemieszczenie dodatnie oznacza, że koniec lewostronnej połówki (1) przemieszcza się w dół
w stosunku do końca połówki prawostronnej (2)]:
1. Obroty części ścian spowodowane zginaniem (Rys. B.3a). Pod działaniem momentu
zginającego, ściana się odkształci i jej części będą się obracać jak to pokazano na Rys. B.3a.
Występują dwie formy odkształcenia: pierwsza, zginanie ścian spowodowane przez zadane
181
momenty zewnętrzne i druga, dodatkowe odkształcenia spowodowane przez siły ścinające i
siły osiowe w nadprożach.
Względne przemieszczenie pionowe 1 podane jest przez wzór (Rys. B.3a):

 1=
 

b
dy
b
dy
dy
 d 1 ⋅  d 2 ⋅ =l
2
dz
2
dz
dz
(B.3)
gdzie dy/dz jest nachyleniem osi środka ciężkości ścian na poziomie z
z powodu
odkształcenia ścian.
2. Odkształcenia nadproży od zginania i ścinania spowodowane siłami ścinającymi w
nadprożach (Rys. B.3b). Rozważmy mały element ośrodka łączącego o grubości dz
i
przyjmijmy, że jest zamocowany na wewnętrznej krawędzi ściany. Sztywność na zginanie tego
małego elementu wynosi 
EI b
 dz i wspornik poddany jest niewielkiej sile ścinającej q⋅dz .
h
Spowodowane jedynie zginaniem, względne przemieszczenie  2 wynosi:
 2=−2
3
qdz
b
qb3 h
=−
2
12 E I b
EI b
3
dz
h

 
(B.4)
Gdzie b jest pełną rozpiętością nadproża.
Skutki odkształcenia spowodowanego ścinaniem w nadprożach można łatwo uwzględnić przez
zastąpienie prawdziwej sztywności na zginanie EIb
przez równoważną sztywnością na
zginanie EIc, gdzie:
I c=
Ib
1 r
gdzie r =
GA jest sztywnością na ścianie, a λ
(B.5)
12 E I B
2
b GA

jest współczynnikiem kształtu ścinanego przekroju,
równym 1.2 w przypadku przekroju prostokątnego. Zmiana jest konieczna tylko w przypadku
nadproży o stosunku rozpiętość-wysokość mniejszym niż około 5.
W oszacowaniu  2
przyjęto, że nadproże jest sztywno połączone ze ścianą i przez to
zaniedbano efekty miejscowych odkształceń sprężystych w połączeniu nadproże-ściana, które
zwiększałyby podatność całego połączenia. Zarówno badania eksperymentalne podatności,
jak i z użyciem metody elementów skończonych wykazały, że dodatkową podatność
połączenia nadproże-ściana można uwzględnić w prosty sposób przez zwiększenie długości
nadproża o jedną czwartą wysokości belki na każdym końcu. Długość b w równaniu (B.4)
182
powinno się zatem podstawić jako prawdziwą długość b + 0,5 wysokości belki.
Rys. B.3 Względne przemieszczenia w linii przegięcia
Równania (B.2) i (B.5) pozwalają równanie (B.4) wyrazić z użyciem siły osiowej N jako:
3
 2=
b h dN
12 E I c dz
3. Odkształcenia osiowe ścian pod wpływem siły osiowych N
(B.6)
(Rys. B.3c). Działanie sił
ścinających w nadprożach wywołuje siły rozciągające w ścianie nawietrznej 1 i siły ściskające
w ścianie zawietrznej 2. W konsekwencji, względne przemieszczenie  3 na poziomie z będzie
równe:
 3=

−1 1
1

E A1 A2

z
∫ N dz
(B.7)
0
gdzie A1 i A2 są polami przekroju ścian 1 i 2.
4. Dowolne pionowe lub obrotowe przemieszczenia względne w podstawie (Rys. B.3d).
Pionowe albo obrotowe odkształcenia podstawy nastąpić mogą w skutek przemieszczenia
fundamentów (na przykład proporcjonalnie do modułu odkształcalności podłoża) albo jako
skutek odkształceń konstrukcji fundamentu. Takie przemieszczenia fundamentów wywołują
183
ruchy sztywnej struktury nadbudowy powyżej i dają początek przemieszczeniom, które są stałe
na wysokości, jak to pokazano na Rys. B.3d.
Przyjmując, że względne przemieszczenia liniowe δν i obroty δθ działają w tym samym sensie
jak wewnętrzne siły osiowe i momenty, względne pionowe przemieszczenie δ4 wynosi:
 4=− v l  = b
(B.7)
W rzeczywistej, odkształconej konstrukcji (Rys. B.3) nie może być żadnych pionowych
przemieszczeń względnych w linii przegięcia nadproży. Co za tym idzie, warunek pionowej
zgodności przemieszczeń na tej linii brzmi:
 1 2 3 4=0
(B.8)
lub, przy użyciu odpowiednich wyrażeń na każde z nich:
3
l


dy
b h dN 1 1
1

−

dz 12 E I c dz E A1 A2
z
∫ N dzb=0
(B.9)
0
W najczęściej spotykanym przypadku sztywnej podstawy ostatnia pozycja będzie zerowa.
Przy rozważaniu zarówno przemieszczeń od swobodnego zginania wywołanego zewnętrznie
zadanym momentem M, jak i przemieszczeń dodatkowych spowodowanych siłami ścinającymi
i osiowymi w ośrodku łączącym (Rys. B.2), relacje moment-ugięcie dla obu ścian, na
dowolnym poziomie, wynoszą:
2
EI 1


2
EI 2
d y
b
= M 2 =M − d 2
2
2
dz
H
∫
∫
d y
b
=M 1= M − d 1
2
dz 2
q dz−M a
(B.10)
q dz−M a
(B.11)
z
H
z
gdzie Ma to moment spowodowany przez siły osiowe w nadprożu.
Połączenie równań (B.10) i (B.11) daje całkowitą relację moment-przemieszczenie w ścianach
z nadprożami:
2
E  I 1 I 2
H
d y
=M −l ∫ q dz= M −l N
dz2
z
(B.12)
Różniczkując równanie (B.9) względem z i łącząc z równaniem (B.12), tak, aby wyeliminować
2
ugięcie
d y
, otrzymujemy:
dz 2
2
2
d N

−k 2 N =− M
l
dz 2
(B.13)
Jest to główny wzór dla ścian z nadprożami wyrażony przy wykorzystaniu siły osiowej N.
184
Parametry w równaniu definiuje się jako:
2 =
12 I c l
b 3 hl
2
,
2
k =1
AI
, I = I 1 I 2 ,
A1 A2l 2
A= A1 A 2
Jak zwykle, lewa strona równania (B.13) opisuje własności fizyczne struktury a prawa strona
zawiera zadane obciążenia. Alternatywnie, eliminując siłę osiową N z równań (B.9) i (B.12):

2
2
d4 y
1 d2M
2d y
2 k −1
−k

=
−
k


M
2
2
2
EI dz 2
dz
dz
k

(B.14)
Jest to główny wzór dla ścian z nadprożami wyrażony w funkcji przemieszczeń poziomych y.
B.1.2. Ogólne rozwiązanie głównych równań
Ogólne rozwiązanie równania (B.13) będzie zawsze miało formę:
N =C 1 cosh k  z C 2 sinh k  z−
gdzie D jest operatorem
d
dz
[
2
][ ]
4
2
1
D
D
 M
2 1
2
4 ...
l
 k 
k   k 
(B.15)
a C1 i C 2 są stałymi całkowania, które muszą zostać określone
na podstawie odpowiednich warunków brzegowych na szczycie i w podstawie, wyrażonymi w
jednostkach zmiennej N.
Ogólne rozwiązanie równania (B.14) wygląda podobnie:
y=C 3C 4 zC 5 cosh  k  zC 6 sinh k  z 
−
[
2
4
1
1
1
D
D
2
2
2
4
6 ...
EI k  D k   k  k 
][
2
2
d M
2 k −1
M
2 −k 
2
dz
k
]
(B.16)
Gdzie C3 do C6 to stałe określone na podstawie warunków brzegowych wyrażonych w
jednostkach zmiennej y.
B.1.3. Warunki brzegowe
Odpowiednie warunki brzegowe można wyprowadzić dla wielu podstawowych przypadków
poprzez równania zgodności przemieszczeń i równowagi na szczycie i w podstawie
konstrukcji. Na przykład, dla konstrukcji, która jest swobodna na szczycie i sztywno
utwierdzona w podstawie, dwoma warunkami brzegowymi dla wzoru (B.15) będą:
dla z=H
N=0
W podstawie, pierwsze wyrażenie w równaniu (B.9) jest nachyleniem podstawy
(B.17)
dy
, które jest
dz
zerowe. Trzecie wyrażenie też jest zerem, i stąd warunek brzegowy:
dla z=0
dN
=0
dz
185
(B.18)
We wzorze (B.16), czterema warunkami brzegowymi będą:
dla z=0
z=0
y=0
(B.19)
dy
=0
dz
(B.20)
2
Na szczycie siła osiowa i moment są zerowe, i stąd z równania (B.12)
d y
2 =0 .
dz
Drugi warunek brzegowy na szczycie można łatwo wyprowadzić przez zamianę N
pierwszej pochodnej
i jej
dN
z równania (B.12) do zgodności z równaniem (B.9) i wykorzystując
dz
wzór (B.20). Wymagane warunki brzegowe wyglądają wtedy następująco:
2
dla z=H
d y
=0
dz 2
(B.21)

3
H
d y
1 dm
2 dy
=
− 2 k 2 −1∫ M dz
3 −k x
dz EI dz
dz
0

(B.22)
Odpowiednie warunki można również wyprowadzić w innych przypadkach praktycznych, takich
jak ściany oparte na elastycznych fundamentach albo ściany oparte na różnych typach
konstrukcji. W drugim przypadku, konieczne może być uczynienie dalszych uproszczeń
założeń
dotyczących
sposobu
zachowania
się
konstrukcji
podpierającej,
w
celu
wyprowadzenia odpowiedniej liczby warunków brzegowych w jednostkach użytych zmiennych.
Wymaga to zwykle redukcji stopnia statycznej niewyznaczalności ram podpierających poprzez
umieszczenie przegubów w przyjętych punktach przegięcia, albo w połączeniach stosunkowo
smukłych słupów ze stosunkowo sztywnymi belkami.
B.1.4. Rozwiązanie dla standardowego przypadku obciążenia
Otrzymaliśmy teraz kompletne rozwiązanie dla jednolitego rozkładu obciążenia poziomego,
którego można użyć, aby przedstawić obciążenie wiatrem. Rozważmy przypadek pary ścian z
nadprożami opartych na sztywnej podstawie, poddanych jednolicie rozłożonemu obciążeniu
poziomemu o natężeniu w na jednostkę wysokości. Zewnętrzny moment wynosi:
M=
●
w H − z
2
2
(B.23)
Siły osiowe w ścianach.
Składową część rozwiązania można określić ze wzoru (B.15) i wyprowadzając stałe
całkowania C1 i C 2 z równań (B.17) i (B.18). Kompletne rozwiązanie wynosi:
N=
[ 
wH2 1
z
1−
2
H
k l 2
2

[
1
cosh k  z k  H sinh k  H − z
2 1−
cosh  k  H 
k  H 
186
]]
(B.24)
Równanie (4.24) pokazuje, że rozkład siły osiowej na wysokości zależy tylko od dwóch
bezwymiarowych zmiennych, względnej wysokości
czym k  z =k  H
z
i parametru sztywności k α H , przy
h
z
.
H
Równanie (4.24) można wyrazić jako:
2
N =w

H
z
F1
,k H
H
k2 l

(B.25
Gdzie F1 jest wyrażone w nawiasach w równaniu (4.24). Zmienność czynnika siły osiowej F1 z
dwoma parametrami
z
i k α H pokazano na Rys. B.4. Krzywe demonstrują jak siły osiowe
h
zwiększają się ze wzrostem k α H .
●
Ścinanie w elementach łączących.
Siły ścinające w ośrodku łączącym obliczyć można z równania (4.2) w następujący sposób:
q=
wH
k2 l
[ 
1−
[
sinh k  z −k  H cosh k  H −z 
z
1

H
k H
cosh k  H 
]]
(B.26)
który można wyrazić w formie podobnej do (4.25) jako:
q=

wH
z
,k H
2 F2
H
k l

Zróżnicowanie czynnika przepływu ścinania F2 z dwoma parametrami
(B.27)
z
i k  H pokazano na
H
Rys. B.5.
Maksymalną wartość F2 (max)
czynnika F2
można otrzymać poprzez zróżniczkowanie
równania (B.26), a wynikająca z tego krzywa F2 (max) oznaczona jest na Rys. B.5. przez linię
przerywaną. Maksymalne natężenie przepływu ścinania w ośrodku łączącym dane jest przez:
q=
wH
F 2 max 
k2l
(B.28)
Rys. B.5 pokazuje, że ze wzrostem parametru k α H, wynikającym głównie ze wzrostu
sztywności nadproża, pozycja maksymalnej siły ścinającej w ośrodku łączącym, i co z tego
wynika pozycja najbardziej naprężonego nadproża, postępuje w dół wysokości konstrukcji.
187
Rys. B.4 Zmienność czynnika siły osiowej F1
●
Rys. B.5 Zmienność czynnika przepływu ścinania F2
Momenty w ścianie.
Ponieważ momenty są proporcjonalne do sztywności na zginanie, moment zginający na
dowolnym poziomie w ścianie 1 będzie wynosił:
M 1=
[
2
l1 1
z
2
w H 1−
−N l
I 2
H
 
]
(B.29)
gdzie N jest dane przez równanie (B.25). Wynika z tego, że moment można też wyrazić w
jednostkach funkcji F1 jako:
M 1=
[ 
l1 1
z
2
w H 1−
I 2
H
2
−
2
2 F1
k
]
(B.30)
2
2 F1
k
]
(B.31)
Podobnie, moment zginający w ścianie 2 wynosi:
M 2=
[ 
l2 1
z
2
w H 1−
I 2
H
2
−
Wyrażenia w nawiasach wskazują udział momentu spowodowanego wiatrem, któremu
przeciwdziała zginanie w ścianach. Im większa wartość N i F1 , tym mniejsza będzie część
przejmowana przez zginanie ścian.
●
Ugięcia.
Ugięcie boczne y można otrzymać z równań (B.16) i (B.23) za pomocą równań (B.19) do
(B.22) jako:
y=
wH
EI
4
[
1
1
w  w
24 w k 2 n
Gdzie
188
]
(B.32)
[ 
w w = 1−
[
wn =
−
1
2
2k  H 
z
H
4
4
z
−1
H
]
   ] [  
2
z
z
−
H
H
2
−
1
24
1−
z
H
4
4
z
−1
H
]
1
[ 1k  H sinh k  H − cosh k  z −k  H sinh k  H − z ]
 k  H  cosh k  H 
4
Wyrażenie (B.32) zawiera dwa elementy w nawiasach, pierwszy ww reprezentujący czyste
działanie wspornika, które miałoby miejsce, jeśli ściany byłyby połączone osiowymi, sztywnymi
łączami, a drugi wn przedstawia modyfikację spowodowaną działaniem (odwrotnego) zginania
ścian wywołanego przez nadproża. Ugięcie jest teraz zależne od trzech niezależnych
parametrów, wysokości z/H oraz dwóch parametrów konstrukcyjnych k i α H. Nie da się przez
to utworzyć pojedynczych, uogólnionych krzywych, takich jak dla N i q, które pokazywałyby
zmienność profilu ugięcia z użyciem różnych parametrów. Jest jednak pewna szczególna
wartość, która ma podstawowe znaczenie w projektowaniu, maksymalne wychylenie yH na
szczycie konstrukcji, które chcielibyśmy zawrzeć w stosunku yH / H
o konkretnej wartości
takiej jak na przykład 1/500 .
Na szczycie, przy
z
H
=1 , maksymalne wychylenie wynosi:
4
yH=
wH
F k ,  H 
8EI 3
(B.33)
gdzie:
F 3=1−
[
1
4
8
1−

 1k  H sinh  k  H −cosh k  H 
2
2
4
k
 k  H  k  H  cosh  k  H 
Zmienność współczynnika wychylenia F3
parametrów k
i
]
(B.34)
można wyrazić najdogodniej w jednostkach
k α H, jak to pokazano na Rys. B.6. Krzywe pokazują, że maksymalne
wychylenie poziome zmniejsza się o ponad 60% dla wartości k α H większej niż 4.
Rys. B.6 Zmienność współczynnika szczytowego wychylenia F3
189
B.1.5. Siły w rzeczywistej konstrukcji.
Rezultaty, które otrzymano dotyczą równoważnego systemu ciągłego i konieczne jest
przekształcenie ich do rzeczywistej konstrukcji ścianowej z nadprożami.
●
Siłę ścinającą Qi
W dowolnym nadprożu i na poziomie z , można otrzymać z różnicy w wartościach siły osiowej
N na poziomach h/2 powyżej i poniżej poziomu, którego dotyczy, to jest:
   
Qi = N zi −
h
h
− N z i
2
2
(B.35)
W inny sposób Qi można otrzymać poprzez scałkowanie siły ścinającej q po wymaganej
wysokości:
z
h
2
Qi = ∫ qdz
(B.36)
z− h
2
co można przekształcić, po zamianie na q z równania (B.26).
wH
Qi = 2
k l
[
h
2 H sinh k  
zi
2
1−
h
[ sinh k  z i − k  H cosh k  H − z i  ]
2
H
 k  H  cosh k  H 

]
(B.37)
Jeśli krzywa siły ścinającej (Rys. B.5) została już narysowana, Qi można otrzymać poprzez
obliczenie obszaru pod krzywą ponad wysokością kondygnacji, której dotyczy, albo przez
pomnożenie oszacowanej wartości średniej q przez wysokość kondygnacji. Ścinanie w belce
stropodachowej można uzyskać z siły ścinającej powyżej połowy wysokości najwyższej
kondygnacji.
Maksymalny moment w dowolnym nadprożu można otrzymać z krzywej siły ścinającej F2 ,
gdzie odczyt z wykresu wskaże miejsce najbardziej obciążonych belek. Wartość Qi(max)
można oszacować szybko poprzez zbadanie pozycji dwóch belek po obu stronach
maksymalnej wartości F2 max.
Maksymalna wartość wynosi w przybliżeniu:
Qi max≡ w
H
F 2 max h
k 2l
(B.38)
Maksymalny moment zginający w dowolnym nadprożu i w połączeniu ze ścianą równy jest .
Qi b
2
Równania (B.30) i (B.31) dają ciągły rozkład momentów zginających w obu ścianach. W
190
rzeczywistej nieliniowej konstrukcji, rozkład jest przerywany, jako składnik
Qi b
rozdzielony
2
jest na ściany na każdym nadprożu. Jeśli jest to wymagane, nieciągły rozkład można otrzymać
z wartości znanych sił ścinających w nadprożach. Chociaż rozkład momentów zginających i sił
osiowych w rzeczywistej konstrukcji mogą zostać określone dokładniej przez zsumowanie
skutków działania pojedynczych sił w belkach, to wymaga to dużego wysiłku. Ciągły rozkład
można uznać za wystarczająco dokładny do celów praktycznego określania naprężeń w
ścianach, chyba, że jedna ściana jest dużo mniejsza niż inne.
W kontekście powyższego, warto zapamiętać, że naprężenia normalne od zginania i
naprężenia ścinające na końcach nadproży muszą być rozproszone na krawędziach ścian
powyżej grubości belki. W większości przypadków, połowa szerokości ściany jest dużo
większa niż wysokość belki i rozproszenie się naprężeń do wnętrza ściany ma miejsce w
pewnej odległości od połączenia. Takie nieciągłości w momencie zginającym i sile osiowej
ściany, chociaż statycznie poprawne w stosunku do osi środków bezwładności elementów,
mogą mieć w rzeczywistości niewielkie znaczenie dla stosunkowo szerokich ścian, gdy używa
się prostych teorii zginania i obciążenia osiowego w celu określenia naprężeń w ścianie. W
konsekwencji, w wielu praktycznych sytuacjach ciągły rozkład momentu zginającego w
ścianach może być równie dokładny jak rozkłady nieciągłe.
●
Ścinanie ścian.
Przez rozważenie warunków równowagi dla małego wycinka ściany i ośrodka łączącego w
ciągłej strukturze (Rys. B.7), można wykazać, że siły ścinające S1 i S2
w dwóch ścianach
wyrażają się we wzorach:




S 1=
I1
b
sN I 1 dM
l− −d 1
−
I
2
dz
I dz
(B.39)
S 2=
I2
b
sN I 2 dM
l − −d 2
−
I
2
dz I dz
(B.40)
w których M jest całkowitym momentem zewnętrznym.
Z tego, przy użyciu równań (B.2) i (B.23) siły ścinające w ścianach wynoszą:
 
 


S 1 =w H
I1
I
z
b
1−
− 1 l− − d 1 q
I
H
I
2
(B.41)
S 2=w H
I2
I
z
b
1−
− 2 l− −d 2 q
I
H
I
2
(B.42)
w których funkcja q podana jest przez wzór (B.26) i reprezentowana graficznie na Rys. B.5.
Pierwszy człon w każdym równaniu oznacza ścinanie, które zaistniałoby, jeśli ściany byłyby
połączone przez złącza liniowe. Można zauważyć, że jeśli q = 0 na poziomie zamocowania,
191
ścinanie w podstawie zawsze będzie się równać pierwszemu elementowi równań.
Rys. B.7 Siły występujące w małym elemencie w modelu ciągłym
W przypadku dwóch jednakowych ścian, równania (B.41) i (B.42) redukują się, jak jest to
wymagane przez symetrię, do:
 
1
z
S 1 =S 2= w H 1−
2
H
(B.43)
Ponieważ:
I2
I1
b
B
l− − d 2= d 1 − l
I
2
2
I
to wynika z tego, że drugie człony w równaniach (B.41) i (B.42) są równe wielkością, ale
przeciwnego znaku. Jest to podstawą zachowania równowagi poziomej, ponieważ suma
dwóch sił ścinających musi się równać zadanemu ścinaniu w H  1−
Na podstawie tego, na szczycie konstrukcji, gdzie

S 1  H =− S 2  H =−
dM
dz
z
H
 .
=0 :

I1 b
− −d 1 qH 
I 2
(B.44)
Jest to prawdą dla dowolnie rozłożonych obciążeń, dla których statyczna siła ścinania jest na
szczycie zerowa. Wynika z tego, że z konieczności wytworzenia siły ścinania w każdej ścianie
na szczycie struktury ciągłej, musi istnieć na szczycie ośrodka łączącego pozioma siła
skupiona Q oddziałująca między ścianami, o wielkości:

Q=−

I1 b
− − d 1 qh
I 2
(B.45)
Siła Q będzie rozciągająca albo ściskająca w zależności od tego czy szczytowa siła ścinania
S1(H) jest dodatnia czy ujemna, ale zanika w przypadku dwóch jednakowych ścian. Wielkość
192
szczytowej siły oddziaływającej zależy od parametrów konstrukcyjnych, i jest oznaką silnych
oddziaływań, jakie mogą zachodzić na szczytach takich struktur.
●
Siły osiowe w belkach
Z warunków poziomej równowagi małego elementu ściany z Rys. B.7 wynika rozkład sił
osiowych n w ośrodku łączącym:
n= w
[
 ]

I2
1 I1 b
−
l− −d 1 F 4
I k2 l I
2
(B.46)
w którym funkcja F4 wygląda następująco:
F 4=
1
[cosh  k  zk  H sinh k  H −z ]−1
cosh k  H 
(B.47)
Powyższe równania umożliwiają bezpośrednie obliczenie rozkładu sił osiowych, momentów
zginających i sił ścinających w ścianach, sił ścinających i momentów zginających w
nadprożach oraz przemieszczeń poziomych.
B.2. Obliczenia statyczne wg metody ciągłych połączeń – sformułowanie
ogólne wykorzystane w BW
Sformułowanie ogólne metody ciągłych połączeń wykorzystane w BW opisano na podstawie
[Wdo93]
Równania wyprowadzone w poprzednim punkcie rozszerzone zostaną obecnie na układ
usztywniający złożony z dowolnej liczby ścian usztywniających połączonych również dowolną
liczbą pionowych pasm łączących, podatnych i/lub niepodatnych. Pionowymi pasmami
łączącymi podatnymi mogą być pionowe pasma nadproży oraz pionowe złącza podatne
występujące w konstrukcjach prefabrykowanych.
B.2.1. Założenia obliczeniowe .
Założenia obliczeniowe opisano w oparciu o publikację [Wdo93A].
Układ usztywniający stanowi zespół pionowych ścian usztywniających, utwierdzonych we
fundamencie i swobodnych na szczycie budynku. Ściany usztywniające mogą być dowolnie
rozmieszczone w planie i połączone między sobą pionowymi złączami niepodatnymi.
W układzie mogą występować pionowe pasma nadproży utwierdzonych w ścianach
usztywniających oraz pionowe pasma złączy podatnych.
Stropy budynku traktuje się jako nieskończenie sztywne w swej płaszczyźnie, a całkowicie
wiotkie z płaszczyzny. Gdy wymagane jest uwzględnienie w analizie sztywności stropów z ich
płaszczyzny, modeluje się je dodatkowymi pasmami nadproży.
Przyjmuje się, że stropy oraz nadproża są dostatecznie gęsto i równomiernie rozmieszczone
193
wzdłuż wysokości, co pozwala ich oddziaływanie na ściany usztywniające zastąpić
obciążeniem rozłożonym w sposób ciągły.
Zakłada się, że ściany usztywniające posadowione są na tym samym poziomie, mają
jednakową wysokość i stały przekrój oraz cechy materiałowe wzdłuż wysokości. Także
nadproża w poszczególnych pionowych pasmach powinny mieć jednakowy przekrój i być
rozmieszczone równomiernie wzdłuż wysokości.
Rozpatruje się pracę konstrukcji usztywniającej budynku w zakresie odkształceń liniowosprężystych i małych przemieszczeń.
Grupy ścian usztywniających połączonych złączami niepodatnymi modeluje się prętami
cienkościennymi o przekroju otwartym, z pominięciem odkształceń postaciowych od sił
poprzecznych i sztywności na skręcanie swobodne. W tym celu wykorzystuje się teorię
Własowa. Według R. Rosmana. Pomijanie sztywności na skręcanie swobodne jest szczególnie
uzasadnione w konstrukcjach żelbetowych, dla których przy powstaniu rys stosunek
sztywności na skręcanie do sztywności na zginanie znacznie się obniża. Dla układów
usztywniających, złożonych z większej liczby elementów, wpływ pominięcia sztywności na
skręcanie swobodne jest praktycznie nieistotny.
Układ może być poddany działaniu: obciążeń poziomych skupionych, działających na szczycie
budynku, obciążeń poziomych, dowolnie rozłożonych wzdłuż wysokości budynku, obciążeń
pionowych, dowolnie rozłożonych w planie i wzdłuż wysokości budynku oraz pionowych
osiadań fundamentów.
B.2.2. Definicje nazw oraz wektorów i macierzy problemu
Pod określeniem pionowe pasma nadproży uogólnionych rozumie się pionowe pasma
nadproży i pionowe złącza podatne. Nazwą element usztywniający określono zespół
pionowych ścian usztywniających połączonych pionowymi złączami niepodatnymi. Pionowe
złącza niepodatne nazywane są również rozcięciami.
W niniejszym punkcie zebrane zostały definicje macierzy i funkcji wektorowych, występujących
w podstawowych równaniach modelu ciągłego ścianowych konstrukcji usztywniających z
nadprożami.
Wymiary tablic określone są przez następujące liczby:
nw - liczba pionowych pasm nadproży uogólnionych,
n e - liczba elementów usztywniających;
nv - liczba pionowych obciążeń (sił rozłożonych wzdłuż prostych równoległych do pionowej osi Z).
Przy opisie konstrukcji i działających na nią obciążeń wykorzystuje się następujące
194
prostokątne układy współrzędnych o początku na płaszczyźnie poziomej w poziomie
utwierdzenia elementów usztywniających i osiach Z (odpowiednio: z3, z ) pionowych:
1. globalny układ współrzędnych OXYZ , przy czym osie X i Y przyjmuje się dowolnie,
2. związane z każdym elementem usztywniającym dwa lokalne układy współrzędnych:
a) układ osxsyszs, którego osie xs i ys są głównymi, środkowymi osiami bezwładności przekroju
poziomego elementu usztywniającego,
b) układ oxyz , którego początek znajduje się w środku ścinania przekroju elementu
usztywniającego, a osie są równoległe do osi układu osxsyszs, .
W nawiasach kwadratowych, poza definicjami macierzy, podawane będą zakresy zmienności
wskaźników macierzy; pierwszy dla wskaźnika wierszy, drugi dla wskaźnika kolumn macierzy.
B.2.3. Macierze określone przez konstrukcję.
●
Macierze incydencji (przylegania).
S E - macierz incydencji elementów i nadproży uogólnionych [1..n e , 1..n w ] ; jest to macierz
zerojedynkowa, której j-ta kolumna określa elementy połączone j-tym nadprożem. Dla każdego
nadproża należy określić jego początek przez podanie w wierszu odpowiadającym
elementowi, w którym rozpoczyna się nadproże liczby 1 i koniec przez wpisanie do wiersza o
numerze równym numerowi elementu, w którym kończy się nadproże liczby -1. Pozostałe
elementy macierzy są zerami.
Uwagi:
1. otrzymana jako rozwiązanie funkcja n j wyraża oddziaływanie nadproża na element
połączony z „początkiem" nadproża. Na element połączony z „końcem" nadproża działa
obciążenie −n j .
2. w przypadku nadproża, którego początek i koniec połączone są z tym samym elementem,
cała odpowiednia kolumna zawierać będzie zera.
S R - macierz incydencji obciążeń do poszczególnych elementów [1..n e , 1..n v ] ; jest to macierz
zerojedynkowa, w której jedynka w k-tej kolumnie określa, na który element działa k -te
obciążenie n R
●
Macierze współrzędnych.
CN - macierz [1..3n e ,1..n w ]
współrzędnych punktów zerowych nadproży uogólnionych (to jest
punktów zmiany znaku momentów zginających w nadprożach i środków złączy) w układach
współrzędnych poszczególnych elementów,
195
C N =[C N , CN , CN
X
Y
OMEGA
]
T
gdzie:
CN ,C N , CN
X
Y
OMEGA
– trzy macierze [1..n e , 1..n w ]
CN utworzyć można przez wymnożenie elementów macierzy S E równych jedności przez
X
współrzędną x miejsca zerowego nadproża uogólnionego obliczoną w układzie osxsyszs,
elementu związanego z początkiem nadproża, a elementów równych -1 przez analogiczną
współrzędną x obliczoną w układzie elementu związanego z końcem nadproża.
CN , CN
Y
OMEGA
buduje się identycznie, wykorzystując odpowiednio współrzędne y (w układzie
osxsyszs, ) i ω względem środka ścinania przekroju elementu usztywniającego.
Uwaga: dla nadproża j, którego początek i koniec związane są z tym samym elementem
usztywniającym i, w macierzy
CN
OMEGA
CN
OMEGA
będzie dodatkowo różny od zera element
[i , j ]=1 −2 gdzie:
1   2 - współrzędna wycinkowa miejsca zerowego nadproża uogólnionego obliczona z
uwzględnieniem punktu połączenia z elementem początku (końca) nadproża.
CR - macierz [1..3 n , 1..n v ] określająca współrzędne punktów przyłożenia obciążeń pionowych
e
w układach współrzędnych poszczególnych elementów usztywniających. Elementy pierwszego
i drugiego wiersza określają odpowiednio współrzędne x i y w układzie osxsyszs,, a elementy
trzeciego wiersza współrzędne wycinkowe ω względem środka ścinania przekroju elementu
usztywniającego.
●
Macierz transformacji.
L - macierz [1..3n e ,1..3] określająca transformację z układu globalnego konstrukcji do układów
lokalnych poszczególnych elementów, określona w następujący sposób:
[ ]
cos 1 sin 1
rY
⋮
⋮
⋮
cos n sin n
rY
−sin  1 cos1 −r X
L=
⋮
⋮
⋮
−sin n cos n −r X
0
0
1
⋮
⋮
⋮
0
0
1
1
e
e
e
e
gdzie:
196
ne
1
ne
 - kąt nachylenia osi ox układu lokalnego elementu względem osi OX układu globalnego,
r X , r Y - współrzędne początku układu globalnego OXY w układzie oxy elementu określone
wzorami:
r X =−D X cos − DY sin 
r Y = D X sin − DY cos 
D X , D Y - współrzędne środka ścinania przekroju elementu usztywniającego w układzie
globalnym.
●
Macierze określone przez cechy mechaniczne konstrukcji (macierze sztywności i
podatności).
Kw
[1..n w ,1 ..n w ]
- diagonalna macierz
określająca sztywności kolejnych nadproży
uogólnionych.
Wartości elementów tej macierzy są równe:
1. dla nadproży rzeczywistych 1/h  , gdzie h oznacza osiowy rozstaw w pionie nadproży
rozpatrywanego pasma, a  jest przemieszczeniem względem siebie końców nadproża na
skutek działania jednostkowej siły poprzecznej, oraz
2. dla złączy podatnych 1/C , gdzie C oznacza podatność złącza.
K s - diagonalna macierz
[1..n e , 1..n e ]
określająca podatność na ściskanie i rozciąganie
poszczególnych elementów usztywniających
K s= diag
K z - diagonalna macierz
[1..3n e ,1..3n e ]
 
1
E i Ai
określająca sztywność na zginanie i skracanie
nieswobodne elementów usztywniających konstrukcji.
Pierwsze ne elementów macierzy zawiera współczynniki −EJ y dla kolejnych elementów
usztywniających, dalsze −EJ x , a ostatnie współczynniki −EJ  .
B.2.4. Macierze określone przez obciążenia.
t K  z  - wektorowa funkcja sił poprzecznych w konstrukcji usztywniającej, budowana na
podstawie obciążeń poziomych
t K  z =[T X z  , T Y z  , M Z  z ]
gdzie:
197
T
T X  z  ,T Y  z  , M Z  z 
- wypadkowe siły poprzeczne i moment skręcający występujący w
przekroju układu usztywniającego, które można wyliczyć z następujących zależności:
hb
T X  z =∫ q X t  dt
z
hb
T Y  z=∫ qY t  dt
z
hb
M Z  z=∫ mS t dt
z
przy czym
hb - wysokość układu usztywniającego,
q X , qY , m S
- funkcje obciążeń poziomych określających układ sił parcia i ssania wiatru
zredukowany względem osi globalnej OZ ,
n R  z - dana wektorowa funkcja pionowych obciążeń rozłożonych wzdłuż prostych pionowych,
T
n R  z=[n R  z  ,... , n R  z]
1
nv
z 0 - stały wektor zawierający zadane pionowe osiadanie fundamentów poszczególnych
elementów usztywniających
z 0=[z 0 , ... , z 0 ]
1
ne
B.2.5. Wektor sił tnących w nadprożach uogólnionych.
[]
n1  z
⋮
n N  z = ni  z 
⋮
nn  z
w
gdzie:
ni - funkcje rozłożonych sił tnących w pionowych pasmach nadproży i złączy podatnych
i=1, 2,... , nw .
B.2.6. Siły przekrojowe w elementach usztywniających.
●
Wektor sił poprzecznych w elementach.
198
t E  z
- wektorowa funkcja sił poprzecznych w elementach usztywniających konstrukcji,
ścianowej
t E  z=[t E  z  , t E  z  , m  z ]
x
T
y
gdzie:
t E  z - wektorowa funkcja składowych x sił poprzecznych w elementach usztywniających
x
T
t E  z=[T x  z , ... , T x z ]
x
1
ne
t E  z - wektorowa funkcja składowych y sił poprzecznych w elementach usztywniających
y
t E  z=[T y  z , ... , T y  z ]
y
1
T
ne
m  z - wektorowa funkcja momentów giętno-skrętnych w elementach usztywniających
m   z=[M  , ... , M   z ]
1
●
T
ne
Wektor momentów zginających w elementach.
m E  z - wektorowa funkcja momentów zginających w elementach usztywniających konstrukcji
ścianowej
m E  z=[m E  z , m E  z , b e  z]
y
T
x
gdzie:
m E  z
y
- wektorowa funkcja składowych y momentów zginających w elementach
usztywniających
m E  z=[M y  z  ,... , M y  z ]
y
m E  z
x
1
T
ne
- wektorowa funkcja składowych x momentów zginających w elementach
usztywniających
T
m E  z=[M x  z , ... , M x  z ]
x
1
ne
b E  z  - wektorowa funkcja bimomentów w elementach usztywniających
T
b E  z =[ B1  z  ,... , B n z ]
e
199
●
Wektor sił normalnych w elementach.
n E  z  - wektorowa funkcja sił normalnych w elementach usztywniających konstrukcji
ścianowej
n E  z =[ N E  z  ,... , N E  z]
1
T
ne
B.2.7. Wektory przemieszczeń.
Wektor przemieszczeń globalnych konstrukcji.
[ ]
V Xz
v G  z= V Y  z 
 z 
gdzie:
V X ,V Y , 
- trzy funkcje przemieszczeń poziomych układu usztywniającego, zapisane w
globalnym układzie, współrzędnych OXYZ.
B.2.8. Wektory przemieszczeń elementów konstrukcji.
d 1  z - wektorowa funkcja względnych przemieszczeń końców nadproży spowodowanych
obrotem przekrojów elementów na skutek zginania
T
d 1  z=[d 1  z , ... , d 1  z]
1
nw
skróceniem i osiadaniem elementów
T
d 2  z=[d 2  z , ... , d 2  z]
1
nw
zginaniem nadproży
d 3  z=[ d 3  z , ... , d 3  z ]
1
vL z 
-
wektorowa
funkcja
poziomych
T
nw
przemieszczeń
elementów
usztywniających,
mierzonych w ich układach lokalnych oxy
v L  z =[v x  z , v y  z ,  z]
T
gdzie:
v x  z - wektorowa funkcja składowych x przemieszczeń elementów usztywniających
200
T
v x  z=[v x  z  ,... , v x  z]
1
ne
v y  z - wektorowa funkcja składowych y przemieszczeń elementów usztywniających
v y  z=[v y z  , ... , v y  z ]
1
T
ne
 y  z  - wektorowa funkcja kątów obrotów elementów usztywniających
T
 x  z =[ 1 z  , ... , n z ]
e
v z z  - wektorowa funkcja pionowych przemieszczeń elementów usztywniających
T
v z z =[v z  z , ... , v z  z]
1
ne
u z  z - wektorowa funkcja skróceń elementów usztywniających
T
u z  z=[u 1  z , ... , u n  z]
e
B.2.9. Równania problemu.
●
Równania równowagi.
Równanie równowagi wypadkowych sił poprzecznych i momentu skręcającego występujących
w przekroju układu usztywniającego z siłami poprzecznymi i momentami giętno-skrętnymi
działającymi w przekrojach elementów usztywniających (tzn. równania rzutów sił na osie X i Y
oraz momentów skręcających względem osi Z ) można zapisać w postaci macierzowej
T
t K =L t E
(B.48)
Równanie równowagi sił normalnych w elementach usztywniających z siłami w pionowych
pasmach łączących i obciążeniami pionowymi działającymi na te elementy (tj. równania rzutów
sił na oś Z dla poszczególnych elementów) określa macierzowy związek
hb
hb
n E =S E ∫ n N drS R ∫ n R dr
z
(B.49)
z
Zależność różniczkowa przy zginaniu jest równaniem równowagi momentów zginających i
bimomentów dla odcinków dz elementów usztywniających. Przy uwzględnieniu sił w pasmach
łączących n N i działających na elementy obciążeń n R na mimośrodach tych sił określonych
współrzędnymi zebranymi w macierzach C N i CR
przyjmuje postać:
201
równanie to w zapisie macierzowym
t E −C N n N −C R n R= m ,E
●
(B.50)
Równania kinematyczne.
Równanie
zgodności
poziomych
przemieszczeń
elementów
usztywniających
(z
wykorzystaniem założenia tarcz stropowych sztywnych w swojej płaszczyźnie) wyraża związek
v L= L v G
(B.51)
Równanie zgodności pionowych przemieszczeń nadproży (Rys. B.8) ma postać:
−d 1d 2 d 3=0
(B.52)
przy czym składowe tych przemieszczeń wynikające ze zginania i skręcania elementów
usztywniających określa związek
T
,
d 1=CN v L
(B.53)
a składowe wynikające z pionowych przemieszczeń elementów usztywniających od skróceń i
osiadań podaje zależność
T
d 2=S E v Z
Związek
między
skróceniami
(B.54)
elementów
usztywniających,
zadanymi
osiadaniami
fundamentów i przemieszczeniami pionowymi elementów usztywniających wyraża równanie:
v Z =uz0
Rys. B.8 Składowe przemieszczeń pionowych nadproży
d1 - od zginania ścian
d2 - od ścinania ścian
d3 – od zginania nadproży
202
(B.55)
●
Związki fizyczne.
Równanie różniczkowe odkształceń przy zginaniu elementów usztywniających ma postać
,,
m E =K Z v L
(B.56)
a równanie wiążące siły normalne ze skróceniami elementów usztywniających można zapisać
w postaci
z
∫ nE w dw=K −1
s u
(B.57)
0
Związek definiujący sztywność nadproży na zginanie (pozostałe sztywności nadproży np. na
ściskanie i skracanie nie są istotne ze względu na przyjęcie założenia stropów sztywnych w ich
płaszczyznach) jest następujący
n N =K w d 3
●
(B.58)
Warunki brzegowe.
Z założenia utwierdzenia elementów usztywniających we fundamentach na jednym poziomie
wynikają bezpośrednio warunki brzegowe:
v L 0=0
(B.59)
,
v L 0=0
(B.60)
v Z 0=z0
(B.61)
Przyjęcie założenia o swobodnych końcach elementów usztywniających na szczycie budynku
pozwala napisać następujące zależności:
n E hb =0
(B.62)
m E hb =0
(B.63)
gdzie:
h b - wysokość układu usztywniającego.
B.2.10. Wyprowadzenie równań metody sił
Wyprowadzenie równań metody sił przeprowadzono w oparciu o [Wdo93B].
Wstawiając do równania zgodności pionowych przemieszczeń nadproży (B.52) zależności
(B.53), (B.54) i (B.58) otrzymuje się:
T
,
T
B n N =C N v L−S E v Z
203
(B.64)
−1
przy oznaczeniu B=K W .
Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem
z równania (B.64) i podstawieniu do niego
zależności (B.55) a następnie (B.57) będzie:
,,
T
, ,,
T
,
B n N =C N v L −S E K S n E
(B.65)
Podstawiając następnie do związku (B.65) równania (B.51) i (B.49) otrzymuje się
,
(uwzględniając, że n E =−S E n N −S R n R ):
,,
T
,, ,
T
T
B n N =C N L vG S E K S S E n N S E K S S R n R
(B.66)
Drugą podstawową zależność otrzymuje się z równania równowagi sił poprzecznych
elementów z obciążeniami poziomymi całego układu (B.48) przez podstawienie związku
(B.50), a następnie (B.56) i (B.51):
T
,,,
T
T
t K =L K Z L v G L C N n N L C R n R
(B.67)
, ,,
Z równania (B.67) można wyznaczyć v G :
, ,,
v G = VT t K −V N n N −V R n R
(B.68)
gdzie:
T
−1
V T = L K Z L
T
,
T
V N = VT L CN ,
V R =V T L CR
lub krócej:
, ,,
v G =f p− V N n N
(B.69)
gdzie:
f p=V T t K − V R n R
, ,,
Podstawiając v G w postaci zależności (B.68) do równania (B.66) otrzymuje się
,,
B n N = A n N F R n R FT t K
(B.70)
gdzie:
T
T
A =S E K S S E −CN LV N ,
T
T
F R =S E K S S R −CN LV R ,
T
F T =CN L VT
lub krócej:
,,
B n N = A n N f
gdzie:
f = F R n R F T t K
204
(B.71)
Dla funkcji niewiadomych sił w nadprożach n N warunki brzegowe układa się wykorzystując
równanie (B.64). Po podstawieniu do tego równania zależności (B.60) i (B.61) otrzymuje się:
T
B n N 0=−S E z0
lub po przekształceniu:
T
−1
n N 0 =−B S E z0
(B.72)
Po jednokrotnym zróżniczkowaniu równania (B.64) względem zmiennej z otrzymuje się
związek:
T
,,
T
,
,
C N v L−S E v Z =B n N
Dla
(B.73)
z =hb wartość wektora v ,L, można określić na podstawie (B.63) przy wykorzystaniu
(B.56):
,,
v L hb =0
(B.74)
,
a wartość v Z na podstawie (B.55) przy wykorzystaniu (B.57) i (B.62):
,
v Z hb =0
(B.75)
Podstawiając (B.74) i (B.75) do (B.73) otrzymuje się ostatecznie:
,
n N h b =0
(B.76)
Warunki brzegowe dla niewiadomych funkcji przemieszczeń v G otrzymuje się bezpośrednio z
warunków (B.59) i (B.60) na podstawie równania (B.51) (można pokazać, że podmacierz L i
macierzy L
e
zawierająca elementy odnoszące się do dowolnego elementu usztywniającego
ma wymiar 3 × 3 i jest macierzą nieosobliwą).
v G 0=0
(B.77)
,
v G 0=0
(B.78)
oraz z zależności (B.74) na podstawie równania (B.51):
,,
v G hb =0
Przeprowadzone
przekształcenia
można
(B.79)
podsumować
następująco:
przy
obliczaniu
niewiadomych funkcji podczas rozwiązywania ścianowych konstrukcji usztywniających z
nadprożami metodą sił wykorzystuje się następujące zależności:
- dla nieznanych funkcji sił w pionowych pasmach nadproży n N równanie (B.71) z warunkami
brzegowymi (B.72) i (B.76),
- dla nieznanych funkcji przemieszczeń poziomych v G
205
równanie (B.69) z warunkami
brzegowymi (B.77), (B.78) i (B.79).
B.2.11. Wyznaczenie przemieszczeń i sił przekrojowych.
Po wyznaczeniu nieznanych funkcji sił w pionowych pasmach nadproży n N z równania (B.71)
wyznacza się poszukiwane funkcje przemieszczeń poziomych:
- globalnych v G
z równania (B.68),
- elementów v L z równania (B.51),
a następnie siły przekrojowe:
- momenty zginające i bimomenty m E z równania (B.56),
- siły poprzeczne i momenty giętno-skrętne t E z równania (B.50),
- siły normalne n E z równania (B.49),
–
momenty skręcania swobodnego
mCS ={G J S ie }
,
gdzie:
,
 - pierwsza pochodna kata obrotu elementów usztywniających (równa pierwszej pochodnej
kąta obrotu układu usztywniającego)
–
Wydłużenie osiowe elementów u z równania (B.57) oraz przemieszczenia pionowe
elementów v Z z równania (B.55)
206
C. Podstawy teoretyczne obliczeń dynamicznych w programie BW
dla Windows
Podstawy teoretyczne obliczeń dynamicznych opisano na podstawie wykładów dr inż. J. Wdowickiego
C.1. Model dynamiczny budynku
Model dynamiczny budynku przyjmuje się jako model dyskretny z masami w postaci tarcz
stropowych. Stropy budynku traktuje się jako nieskończenie sztywne w swej płaszczyźnie, a
całkowicie wiotkie z płaszczyzny. Przyjęcie modelu dyskretnego uzasadnione jest faktem, że
ponad połowa masy budynku skupiona jest na poziomie stropów. Gdy wymagane jest
uwzględnienie w analizie sztywności stropów z ich płaszczyzny, modeluje się je dodatkowymi
pasmami nadproży.
Zakłada się, że elementy usztywniające posadowione są na tym samym poziomie, mają
jednakową wysokość. Rozpatruje się pracę konstrukcji usztywniającej budynku w stanie
sprężystym. Przyjmuje się, że przemieszczenia elementów usztywniających są małe.
Rys. C.1 Przyjmowanie masy stropu
W programie BW jako masę stropu należy podać masę 1 m2 stropu, z dodaniem ew.
sprowadzonej masy belek stalowych pod płytą żelbetową (jeśli występują), warstw
wykończeniowych, instalacji i pewnej części obciążeń użytkowych - zwykle, jeśli liczy się
drgania zasiedlonego budynku, dodaje się 40 - 60 % masy obciążeń użytkowych
przypadających na 1 m2 stropu. Masę ścian i nadproży dodaje sam program na podstawie
obliczonej przez program objętości tych części konstrukcji dla każdej z kondygnacji i podanej
masy 1 m3 konstrukcji (w danych początkowych).
207
Rys. C.12 Model dynamiczny budynku wysokiego
1) element usztywniający, 2) nadproże, 3) strop
Drgania układu o wielu stopniach swobody opisane są relacją:
M q̈C q̇K q=F
(C.1)
Gdzie :
M - macierz mas (bezwładności)
C - macierz tłumienia
K - macierz sztywności
q - wektor uogólnionych przemieszczeń
F - wektor obciążeń zewnętrznych
Dla wielokondygnacyjnych budynków ze ścianami usztywniającymi wygodniej i łatwiej
wyznaczyć jest macierz podatności D , a później macierz sztywności K , wówczas równanie
(C.1) przybiera postać :
DM q̈ DC q̇q=DF
(C.2)
Gdzie :
D - macierz podatności D= K−1
C.1.1. Wyznaczenie macierzy podatności D
Macierz podatności jest równa przemieszczeniom mas układu wywołanymi jednostkowymi
obciążeniami. W przypadku budynku wysokiego masami są stropy budynku z skupionymi do nich
208
masami ścian, nadproży i ewentualnych złączy podatnych.
Aby wyznaczyć pierwsze trzy kolumny macierzy podatności budynku wysokiego, należy więc obliczyć
przemieszczenia wszystkich tarcz stropowych od obciążenia tarczy stropowej pierwszego stropu siłami:
Px=1, Py=1 i Ms=1.
Obciążając tarczę drugiego stropu siłami Px=1, Py=1 i Ms=1, wyznaczamy kolumny 4..6 macierzy
podatności. Obciążając kolejne stropy siłami jednostkowymi wyznaczamy pozostałe kolumny macierzy
podatności D.
W celu szybkiego i dokładnego wyznaczenia elementów macierzy podatności D, posłużono się metodą
ciągłych połączeń. Zaprogramowano analityczne rozwiązania dla przemieszczeń wszystkich
stropów budynku od obciążeń kolejnych stropów silami jednostkowymi. Wykorzystano
następujące układy równań różniczkowych :
dla h≤ z≤ H :
,,
B n G  z A nG  z=0
(C.3)
, ,,
v G  z=−v N n G  z
(C.4)
,,
(C.3)
, ,,
(C.4)
dla 0≤ z≤ h :
B n D  z A n D  z =FT T K
v G =vT T k− v N n D  z 
Z odpowiadającymi warunkami brzegowymi:
n D 0=0
,
n G  H =0
,
n D  h=n G  h
,
n D  h=n G  h
oraz
v D 0=0
,
v D  H =0
,,
v G  H =0
v D h=v G h
,
,
,,
,,
Gdzie:
h - wysokość od podstawy do miejsca przyłożenia siły
A , B , v N , v T , F T - macierze zależne od konstrukcji
T K - macierz obciążenia Tk = diag  1,1 ,1 
n G  z  , n D z  - macierze zawierające nieznane funkcje intensywności sił ścinających w ciągłych
połączeniach modelujących nadproża i złącza podatne
v G  z  , v D  z  - macierze zawierające poziome przemieszczenia konstrukcji.
Duże liter G i D we wzorach oznaczają cześć górną z h i dolną z ≤h konstrukcji.
209
C.1.2. Wyznaczenie macierzy mas M
Macierz mas M jest macierzą diagonalną składającą się z nk podmacierzy M k
M =diag Mk  , k =1,... , n k , nk - liczba kondygnacji
(C.5)
Pod macierz M k jest macierzą kwadratową, symetryczną o wymiarach 3x3, poszczególne
elementy tej macierzy wyznacza się z wzorów:
Mk
11
=M k =M t  M u  M w  hu
22
(C.6)
M k =M k =−S Mt S Mu S Mw hu
(C.7)
M k =M k =−S Mt S Mu S Mw hu
(C,8)
M k = J t  J u  J w  h u
(C,9)
M k =M k =0
(C.10)
11
22
11
X
22
X
Y
Y
X
Y
33
12
21
Gdzie :
M t - masa stropu
M u - masa ścian usztywniających (dla uśrednionej wysokości kondygnacji - masa
połowy ściany powyżej i poniżej stropu)
M w - masa słupów i połączeń podatnych (dla uśrednionej wysokości kondygnacji)
S Mt - momenty statyczne stropu
S Mu - momenty statyczne ścian usztywniających
S Mw - momenty statyczne słupów i połączeń podatnych
J t - moment bezwładności stropu względem osi Z
J u - moment bezwładności ścian usztywniających względem osi Z
J t - moment bezwładności słupów i połączeń względem osi Z
C.2. Drgania własne
Równanie ruchu drgań własnych otrzymuje się z równania ruchu C.2 po pominięciu wektora
obciążeń zewnętrznych i macierzy tłumienia
DM q̈q =0
(C.11)
Poszukiwane rozwiązanie równania zapisujemy w postaci funkcji harmonicznych
q t =a sin t 
gdzie:
a - wektor amplitud drgań własnych
Po podstawieniu C.12 do C.11 otrzymujemy układ liniowych równań algebraicznych
210
(C.12)
−2
DM− I a=0
(C.13)
Który ma rozwiązanie niezerowe gdy spełniony jest warunek
−2
det DM− I=0
(C.14)
Gdzie
I - macierz jednostkowa
Równanie
C.14
nazywa
się
równaniem
charakterystycznym
zagadnienia
własnego.
Pierwiastkami tego równania są częstości kołowe drgań własnych 1, 2, ... , n , , gdzie n –
liczba dynamicznych stopni swobody. Zbiór uporządkowanych częstości drgań własnych w
rosnącej kolejności 1 2...n , tworzy wektor częstości drgań własnych. Po podstawieniu
kolejnych i do równania C.13 otrzymamy wektory postaci drgań własnych ai , zbiór
wektorów własnych ai tworzy macierz własną A
Wektory postaci drgań własnych spełniają
warunki ortogonalności [Chm98, s. 125].
T
ai M a j =0
i≠ j
dla
(C.15)
C.3. Drgania budynku przy wymuszeniach sejsmicznych – metoda
spektrum odpowiedzi dla układów dyskretnych
Metodę opisano w oparciu o publikację [Chm98].
Równanie ruchu układu o wielu stopniach swobody poddanemu wymuszeniu kinematycznemu
podłoża przyjmuje postać:
M q̈ C q̇ K q = pef  t 
(C.16)
gdzie
p ef  t  - wektor efektywnej siły sejsmicznej, p ef t=−M r üt ,
r - tzw wektor wpływu
Zakładając że zagadnienie własne układu jest już rozwiązane, to znaczy znany jest wektor
częstości własnych  oraz macierz własna A wówczas do rozwiązania równania C.16
stosuję się metodę transformacji własnej. Wektor przemieszczeń q  t  przedstawia się w
postaci
n
q t =∑ ai yi t = A y
i=1
ai - wektor postaci drgań własnych nietłumionych
211
(C.17)
yi - współrzędna normalna (główna)
T
Podstawiając do równania C.16 zależność C.17 oraz mnożąc obustronnie przez ai otrzymuje
się równanie
T
T
T
T
a i M A ÿa i C A ẏa i K A y =ai p ef t
(C.18)
Warunki ortogonalności
T
T
ai Ma j =0 ,
ai K a j =0
(C.19)
Powodują, że tylko jeden składnik jest różny od zera w iloczynach macierzowych
zawierających macierze M i K gdy i = j. Podobna redukcja może być zastosowana dla
składnika z macierzą tłumienia C ,
przy założeniu że macierz tłumienia jest liniowa
kombinacją macierzy mas i sztywności
C= M K
(C.20)
Gdzie  ,  są współczynnikami proporcjonalności
Wówczas:
T
ai C a j =0 dla i≠ j
(C.21)
Przy tym założeniu równanie C.18 możemy zapisać
m i ÿi c i ẏ i k i yi = p i  t 
dla
i=1,2 , ... , n
(C.22)
Gdzie
mi =ai M ai
T
(C.23)
T
(C.24)
ci =a i C ai
T
2
k i=a i K a i =i mi
T
p i t =ai pef t 
(C.25)
(C.26)
Po obustronnym podzieleniu równania C.22 przez m i otrzymujemy
ÿi 
ci
ki
1
ẏ i  yi = pi t 
mi
mi
mi
(C.27)
Przy wykorzystaniu założenia C.25 równanie C.27 zapiszemy
2
ÿi 2 i ẏi  i yi =
=
1
p t 
mi i

  i
2 i
2
(C.28)
(C.29)
Wzór C.29 nazywamy liczbą tłumienia i-tej postaci drgań. Równania różniczkowe C.28 są
212
równaniami układów o jednym stopniu swobody odniesionymi do jednostki masy, których
rozwiązanie można zapisać przy użyciu całki Duhamela:
T
yi t=
t
ai B r 1
∫ ü e−i  t − sin [ id t− ] d 
aTi B ai id 0
i
2
id =i  1 −i
(C.30)
(C.31)
Całkowita reakcja q wyrazi się wzorem:
n
t
n
q t = ∑ ai yi t=∑ ai  i
i =1
i =1
1
−i  t−
üe
sin [  id t− ] d 
 id ∫
0
i
(C.32)
gdzie
T
i =
ai B r
a Ti B ai
(C.33)
nazywany jest współczynnikiem udziału postaci drgań. Można zatem napisać, że udział i-tej
postaci drgań w reakcji j-tej współrzędnej uogólnionej q j wynosi
t
1
−i t−
qij = A ji i
üe
sin [ id t−] d 
id ∫
0
i
(C.32)
gdzie A ji jest j-tą składową i-tego wektora własnego. Maksymalna wartością całki Duhamela
w powyższym równaniach jest wartość spektrum odpowiedzi odpowiadające i-tej częstości
własnej S d  i , i  stąd :
max qij =∣A ji i S d i ,  i ∣=∣A ji 
1
S  ,  ∣
i v i i
(C.34)
Aby oszacować całkowitą reakcje budowli nie wystarczy zastosowanie sumy jak w równaniu
(C.32), gdyż nie można przyjąć że maksima odpowiedzi poszczególnych postaci drgań
występują w tym samym czasie. Dlatego do jej określenia wykorzystuje się różne metody.
C.3.1. Metoda SRSS
max q j =

n
 max q
∑
=
2
ji

(C.35)
i 1
Wzór ten ma swoje uzasadnienie na podstawie teorii drgań losowych. Jego stosowanie
odpowiada sytuacji, w której nie uwzględnia się korelacji wzajemnej postaci drgań. Dlatego
może ona prowadzić do znacznych błędów dla konstrukcji o blisko położonych częstościach
drgań własnych. Sytuacja taka może pojawić się na przykład w tak zwanych nieregularnych
budynkach wysokich, w których środek masy nie pokrywa się ze środkiem sztywności układu,
powłokach i konstrukcjach mocno przesztywnionych Dla takich przypadków opracowano j
213
inne sposoby superpozycji, takie jak metoda CQC.
C.3.2. Metoda CQC
Metoda ta, zaproponowana jako udoskonalenie SRSS w celu bardziej poprawnego
uwzględniania blisko położonych częstości, opiera się na następującej regule sumowania :
∑ ∑
n
max q j =
n
 max q ji   ik  max q jk 
(C.36)
i =1 k =1
gdzie
 ik=
8   i k  i r k  r 2 / 3
2
1− r 2   4 i kr  1 r 2 4  2i  2k  r 2
(C.37)
C.3.3. Zakończenie
Dla dynamicznego modelu budowli z diagonalna macierzą mas można oszacować
maksymalną siłę sejsmiczną działającą na j-ty element konstrukcji o masie mj przy drganiach itą formą własną
max P ij =∣m j A ji  i S a i , i ∣
(C.38)
Następnie korzystając z metody SRSS lub CQC można wyznaczyć całkowita siłę sejsmiczną
obciążającą j-ty element.
214
D. Podstawy teoretyczne obliczeń statycznych w programie Robot
Millennium
Podstawy teoretyczne obliczeń statycznych w programie Robot Millennium opisano na
podstawie [Pod20].
D.1. Równania rozwiązywane podczas obliczeń konstrukcji
Cała konstrukcja jest podzielona na oddzielne części (elementy skończone). Elementy są ze
sobą połączone tylko w węzłach. Deformacja wewnątrz każdego elementu jest definiowana na
podstawie przemieszczeń węzłowych (wykorzystuje się założone w elemencie funkcje
kształtu). W ten sposób energia wewnętrzna konstrukcji zależy tylko i wyłącznie od
niezależnych parametrów węzłowych. Przemieszczenia węzłowe zapisane dla całej konstrukcji
tworzą globalny wektor nieznanych przemieszczeń konstrukcji q . Ogólny wzór układu równań
równowagi ma postać:
M q ' ' Cq ' K q=f t−f t ,Q
(D.1)
Gdzie:
K - styczna macierz sztywności będąca sumą następujących macierzy składowych:
K =K 0 K  K NL gdzie
K 0 - początkowa macierz sztywności (niezależna od wektora q )
K  - macierz naprężeń (liniowo zależna od naprężeń ściskających)
K NL - macierz innych składników zależnych od wektora q
C - macierz tłumienia
q - wektor przemieszczenia (przyrosty lub całkowite przemieszczenia)
q ' - wektor prędkości (pierwsza pochodna wektora przemieszczeń q po czasie)
q ' ' - wektor przyspieszenia (druga pochodna wektora przemieszczeń q po czasie)
f t  - wektor sił zewnętrznych
f  t ,Q  - wektor sił niezrównoważonych.
Powyższe równania są zapisane dla całej konstrukcji przy użyciu “globalnych” przemieszczeń
q . Oznacza to, że przemieszczenia są definiowane w globalnym układzie współrzędnych.
Utworzone równania są wynikiem agregacji zapisanych we współrzędnych lokalnych
warunków równowagi w elemencie. Transformacja z lokalnego układu współrzędnych do
globalnego układu współrzędnych (i na odwrót) jest standardową operacją na macierzach.
D.2. Analiza statyczna
Podstawowy układ równań równowagi (D.1) może być uproszczony, gdy przyjęte zostanie
dodatkowe założenie mówiące, że przykładane do konstrukcji obciążenie jest quasistatyczne.
215
Oznacza to, że obciążenia są przykładane do konstrukcji na tyle wolno, że prędkości i
przyspieszenia mas konstrukcji są równe zeru, a siły bezwładności i tłumienia oraz energia
kinetyczna i tłumienia mogą być pominięte. Uproszczony w ten sposób układ równań
przedstawia układ równań statycznych z wieloma stopniami swobody konstrukcji. Istnieją dwa
typy statycznej analizy konstrukcji: analiza liniowa i analiza nieliniowa.
D.2.1.
Analiza liniowa
Statyka liniowa jest podstawowym typem analizy konstrukcji w programie. W trakcie statycznej
analizy konstrukcji przyjmowane są następujące założenia: małe przemieszczenia i obroty
konstrukcji oraz materiał idealnie sprężysty. Powoduje to, że zasada superpozycji może być
stosowana.
Elementy macierzy sztywności dla takiego przypadku są stałymi. Równanie równowagi
przybiera postać:
K 0 q=f
(D.2)
Do rozwiązywania problemów statyki liniowej używana jest metoda przemieszczeń. Wyniki
obliczeń statycznych obejmują:
- przemieszczenia węzłowe
- siły wewnętrzne w elementach
- reakcje w węzłach podporowych
- siły resztkowe w węzłach.
Statyka liniowa jest domyślnym typem analizy konstrukcji w programie tzn. jeżeli nie
zdefiniowano innego typu analizy, to program przeprowadzi obliczenia statyczne zdefiniowanej
konstrukcji.
216
E. Podstawy teoretyczne obliczeń dynamicznych w programie Robot
Millennium
Podstawy teoretyczne obliczeń dynamicznych w programie Robot Millennium opisano na
podstawie [Pod20].
W programie można przeprowadzić różne rodzaje obliczeń dynamicznych konstrukcji. Dla
analiz dynamicznych przyjmowane są takie same założenia jak dla teorii statycznych, a
mianowicie:
●
małe odkształcenia
●
małe przemieszczenia
●
liniowo sprężysty materiał
Masy używane w obliczeniach dynamicznych konstrukcji mogą być definiowane na podstawie:
●
ciężaru własnego konstrukcji
●
ciężaru własnego konstrukcji i skupionych mas dodanych
●
ciężarów pochodzących od sił - można zmienić wszystkie siły zdefiniowane wcześniej na
masy, które mogą być użyte w trakcie prowadzonej dynamicznej analizy konstrukcji. Na
przykład, gdy konstrukcja została obciążona siłami zewnętrznymi (np. ciężarem
własnym), ciężary wyznaczone na podstawie tych sił mogą być brane pod uwagę
podczas obliczeń dynamicznych konstrukcji.
E.1. Analiza modalna
Podczas analizy modalnej konstrukcji wyznaczane są wszystkie podstawowe wielkości
opisujące postaci drgań własnych konstrukcji, tzn.: wartości własne i wektory własne
konstrukcji, współczynniki udziału oraz masy udziału. Liczba postaci wyznaczanych w trakcie
analizy modalnej konstrukcji może być definiowana bezpośrednio przez użytkownika lub
można ją określić poprzez podanie zakresu wartości niektórych wielkości opisujących drgania
własne konstrukcji.
Jeżeli nie zostały przyłożone żadne zewnętrzne obciążenia, to założenie analizy modalnej
mówiące, że q  t =q sin   t  Q(t) = Q sin(ωt) prowadzi do liniowych równań drgań własnych
konstrukcji
2
K 0 − M q=0
(E.1)
E.2. Analiza sejsmiczna
W wyniku analizy sejsmicznej oprócz wyników analizy modalnej są dodatkowo następujące
parametry dla każdej dynamicznej postaci drgań:
217
●
współczynniki udziału dla analizy sejsmicznej
●
wartość widma wymuszenia sejsmicznego
●
współczynniki modalne
●
przemieszczenia, siły wewnętrzne, reakcje i kombinacje drgań.
218
F. Outriggery
F.1. Podstawowe informacje o ouriggerach
Outriggery są to sztywne poziome elementy (wysięgniki) łączące zewnętrzną ramę z
wewnętrznym trzonem. Najczęściej przyjmują postać wiązarów kratowych ze sztywnymi
węzłami o wysokości jednej lub dwóch kondygnacji. Ze względu na swoje rozmiary
instalowane są na kondygnacjach technicznych. Głównym
ograniczenie
zadaniem outriggerów jest
wartości przemieszczeń szczytu budynku oraz momentu zginającego u
podstawy trzonu wywołanych obciążeniami poziomymi. Układy konstrukcyjne usztywnione
outriggerami są uważane za jedne z najbardziej efektywnych rozwiązań pozwalających
zwiększyć sztywność budynku, dlatego też są powszechnie stosowane w konstrukcjach
budynków wysokich. [Bal93] [Wu03]
Rys. F.1 Zasada pracy konstrukcji usztywnionej outriggerami.[Hoe04]
Ogólną zasadę pracy budynku usztywnionej outriggerami przedstawia rysunek (Rys. F1).
Dzięki outriggerom możliwa jest współpraca trzonu z zewnętrzną ramą w przenoszeniu
obciążeń poziomych. Przyjmuje się, że pod wpływem działania obciążeń poziomych w
kolumnach wywoływane są tylko siły osiowe ( jedna strona jest rozciągana druga ściskana), a
outrigger jest zginany. [Bal03] [Heo04] Optymalna liczbę i rozmieszczenie pasów outriggerów
najczęściej określa się na podstawie analiz numerycznych dla danego budynku. Zalezą one od
wielu czynników takich jak liczba kondygnacji rodzaj konstrukcji, podstawowych częstości
drgań własnych, materiału z jakiego wykonywany będzie budynek. Dla konstrukcji z jednym
poziomem outriggerów autor publikacji [Tar75] proponuje optymalną ich lokalizacje w połowie
wysokości budynku (0,455 H od szczytu budynku) Dla dwóch poziomów zaproponowano w
(McN75) 0,312H i 0,685H mierzone od szczytu budynku. Dla wielu poziomów określenie
optymalnego rozmieszczenia jest już trudniejsze, najczęściej jednak stosuje się po jednym
poziomie na szczycie budynku oraz jak najbliżej utwierdzenia (aby zmniejszyć wartości
momentu). [Wu03]
219
W pracy [Cou89] opisano metodę przybliżoną obliczania układów usztywniających obciążonych
statyczne. Obliczanie tych konstrukcji poddanych trzęsieniom ziemi jest przedmiotem pracy
[Cou88b].
F.2. Wpływ outriggerów na pracę budynku Di-WangTower
W pracy [Li04] przeanalizowano wpływ outriggerów i poziomych stężeń na wartości
przemieszczeń i własności dynamiczne budynku Di-Wang Tower. Obliczenia wykonano w
programie TBSA (Tall Building Structural Analysis) opartym na MES, gdzie trzon budynku
modeluje sie jako pojedyńczy słup i analizuje wg teori Własova. Zbudownao 7 modeli
obliczeniowych:
●
Model 1 – odwzorowujący rzeczywistą konstrukcję, 4 poziomy outriggerów, pionowe
stężenia (Rys. F.2 a)
●
Model 2 – jak Model 1 ale bez pionowych stężeń (Rys. F.2 b)
●
Model 3 – z Modelu 1 usunięto dwa pasy outriggerów na 2 i 66 kondygnacji (Rys. F.2 c)
●
Model 4 – w porównaniu z Modelem 1 outriggery umieszono na 7, 22, 41 i 66 kondygnacji
(jest optymalna lokalizacja wyznaczona na podstawie obliczeń w oparciu o publikacje
[Wu03]) (Rys. F.2 d)
●
Model 5 – z Modelu 1 usunięto jeden pas outriggerów na 66 kondygnacji (Rys. F.2 e)
●
Model 6 – z Modelu 1 usunięto outriggery na 2 kondygnacji (Rys. F.2 f)
●
Model 7 – model bez outriggerów tylko z pionowymi stężeniami. (Rys. F.2 g)
Wyniki obliczeń przedstawiono w tabelach F1 , F2.
Wpływ outriggerów na zachowanie się konstrukcji można przeanalizować na podstawie
wyników dla Modelu 1 i Modelu 7.
Na podstawie Tablicy F1
widzimy że zastosowanie
outriggerów spowodowało zwiększenie częstości drgań własnych w kierunku podłużnym (X) i
poprzecznym (Y). Szczególnie jest to widoczne w kierunku poprzecznym gdzie pierwsza
częstość drgań własnych w Modelu 7 jest o 22% mniejsza niż w Modelu 1. Wartości
przemieszczeń w kierunku Y wywołane wiatrem w modelu bez outriggerów są o 60,8%
większe w porównaniu z modelem gdzie zostały one zastosowane. Podobne zjawisko
obserwujemy w kierunku podłużnym (X) gdzie są one większe o 30,7%. Na tej podstawie
można wysunąć wniosek, że zastosowanie outriggerów tylko w kierunku poprzecznym (Y) w
znacznym stopniu zwiększa sztywność budynku w obu kierunkach. Rozmieszczenia pasów
outriggerów przy tej samej ich liczbie nie ma większego wpływu na wartości przemieszczeń co
możemy zaobserwować dla Modeli 1 i 4 oraz 5 i 6. Jeżeli chodzi o liczbę outriggerów na
podstawie wyników z Tablicy F2 i F3 można wywnioskować, że największy wpływ na
220
ograniczenie przemieszczeń miało wprowadzanie dwóch pasów w wyliczonych optymalnych
położeniach tak jak w Modelu 3. Wprowadzanie dodatków pasów nie daje już tak dużych
efektów.
Tablica F.1 Wartości pierwszych trzech częstości drgań  własnych dla kierunku X i Y
Kierunek X
Kierunek Y
Model
1
2
3
1
2
3
Model 1
1,093
3,569
6,019
0,999
3,412
4,920
Model 2
Różnice do Modelu 1
1,137
4,0%
3,651
2,30%
6,327
5,1%
0,949
-5,1%
3,380
-0,9%
5,001
1,6%
Model 3
1,087
-0,6%
3,305
-7,4%
5,781
-3,9%
0,936
-6,3%
3,236
-5,2%
4,492
-8,7%
Model 4
1,156
5,7%
3,808
6,7%
5,793
-3,8%
0,993
-0,6%
3,588
-5,2%
4,574
-7,0%
Model 5
1,093
0,0%
3,380
-5,3%
5,856
-2,7%
0,974
-2,5%
3,380
-0,9%
4,593
-6,6%
Model 6
1,081
-1,2%
3,952
-10,0%
5,956
-1,1%
0,955
-4,4%
3,380
-0,9%
4,895
-0,5%
Model 7
0,974
11,0%
3,110
-12,9%
5,579
-7,3%
0,779
-22,1%
3,047
-10,7%
4,291
-12,8%
Tablica F.2 Wartości przemieszczeń szczytu budynku od obciążeń wiatrem i sejsmicznych
Obciążenie wiatrem
Obciążenie sejsmiczne
Model
Maksymalne
przemieszczenia po
kierunku X
[mm]
Maksymalne
przemieszczenia po
kierunku Y
[mm]
Maksymalne
przemieszczenia po
kierunku X
[mm]
Maksymalne
przemieszczenia po
kierunku Y
[mm]
Model 1
208,8
486,3
197,4
255,6
Model 2
228,8
+6,7%
533,6
+9,7%
200,3
+1,5%
268,7
+5,1%
Model 3
238,3
+14,1%
560,9
+15,3%
202,5
+2,6%
296,6
+16,1%
Model 4
206,9
-0,9%
478,5
-1,6%
197,4
0,0%
268,7
+5,%
Model 5
226,2
+8,3%
526,8
+8,3%
192,1
-2,7%
262,7
+2,8%
Model 6
218,6
4,7%
526,8
+8,3%
194,60
-1,5%
266,6
+4,3%
Model 7
272,9
+30,7%
782,1
+60,8%
244,9
+24,1%
413,9
+61,9%
221
Rys. F.2 Widoki modeli obliczeniowych
222
G. Wyznaczenie wartości obciążenia wiatrem
G.1. Aproksymacja wykresu sił poprzecznych
Rozkład siły poprzecznej na wysokości budynku przyjęto jako krzywą 4 stopnia określoną
równaniem (G.1)
2
3
y= a0 a1 xa 2 x a 3 x a 4 x
4
(G.1)
Na podstawie rysunku (Rys. 4.2 zaczerpnięto z pracy [Kim95]) dla określonych wysokości
odczytano wartości siły poprzecznej, zestawione w Tablicy G.1.
Tablica G.1 Wartości siły poprzecznej Q [kN] wzdłuż wysokości budynku wg pracy [Kim95].
Wysokość od poziomu
tereny h [m]
Wartość siły poprzecznej
Q [kN]
0
63 955,70
50
59 814,64
100
52 446,76
150
42 942,75
200
31 823,75
250
18 929,74
300
5 170,27
Przyjmując że h= x oraz Q= y , do równania G.1 podstawiono wartości h i Q i otrzymano
układ równań :
dla h = 0:
2
3
4
a 0a 1⋅0a 2⋅0  a3⋅0 a4⋅0 =63 955,70
2
3
4
2
3
4
2
3
4
2
3
4
dla h = 100:
a 0a1⋅100a 2⋅100 a 3⋅100 a 4⋅100 =52 446,76
dla h = 200:
a 0a1⋅200 a2⋅200 a3⋅200  a4⋅200 =31823,75
dla h = 250:
a 0a1⋅250 a2⋅250 a3⋅250  a4⋅250 =18929,74
dla h = 300:
a 0a1⋅300a 2⋅300 a 3⋅300 a4⋅300 =5170,27
Po przekształceniach otrzymujemy:
a 0=63 955,70
a 0100⋅a110 000⋅a2 1 000000⋅a3 100000 000⋅a4 =52 446,76
a 0200⋅a140 000⋅a28000 000⋅a3 1 600000 000⋅a 4 =31823,75
a 0250⋅a160 500⋅a 215 625000⋅a33 905250 000⋅a4 =18929,74
a 0300⋅a190 000⋅a 227 000 000⋅a 38100 000000⋅a 4=5170,27
Podstawiamy
a0 =63 955,70
do pozostałych równań, przenosimy je na prawą stronę i
223
otrzymujemy układ 4 równań liniowych z 4 niewiadomymi:
100⋅a110 000⋅a2 1000000⋅a 3100000 000⋅a 4 =−11508,94
200⋅a1 40 000⋅a28000 000⋅a 3 1 600000 000⋅a 4 =−32 131,95
250⋅a1 60500⋅a 215 625000⋅a33 905250 000⋅a 4 =−45 025,96
300⋅a190 000⋅a 227 000 000⋅a38100 000000⋅a 4=−58785,44
Który po zapisaniu w postaci macierzowej A⋅X =B przybiera postać :
[
100
200
250
300
][ ] [ ]
10000 1000000 100000000 a1
11509,94
40000 8000000 1600000000 ⋅ a 2 = 32131,95
62500 15625000 3906250000 a3
45025,96
90000 27000000 8100000000 a 4
58785,44
(G.2)
Rozwiązanie układu równań (G.2) obliczmy ze wzoru:
−1
(G.3)
X =A ⋅B
Obliczenia wykonano w programie OpenOfficeCalc z pakietu OpenOffice. Wyniki zestawiono w
w Tablicy (G.2)
Tablica G.2 Wartości współczynników a
a0
63 955,70
a1
-67,454903
a2
-0,459284
a3
-0,000307
a4
0,000001
Poszukiwany rozkład siły poprzecznej określony jest równaniem (G.4):
2
3
y=63 955,70−67,454903 x−0,459284 x −0,000307 x 0,000001 x
Sprawdzenie wartości:
Wysokość od
poziomu tereny
h [m]
Wartość siły
poprzecznej
Q [kN]
Wartość Q [kN]
obliczona z wzoru
(G.3)
0
63 955,70
63 955,70
50
59 814,64
59 404,86
100
52 446,76
52 446,76
150
42 942,75
43 158,80
200
31 823,75
31 823,75
250
18 929,74
18 929,74
300
5 170,27
5 170,27
224
4
(G.4)
G.2. Wyznaczenie rozkładu obciążenia wiatrem
Równanie obciążenia wiatrem otrzymamy różniczkując równanie sił poprzecznych względem
wysokości zgodnie z wzorem :
q=−Q `
(G.5)
Po zróżniczkowaniu równania (G.4) otrzymujemy poszukiwany rozkład obciążenia wiatrem po
kierunku y:
2
q y  z = y =67,4549030,918568 z0,000921 z −0,000004 z
3
(G.6)
Wartości obciążenia po kierunku x obliczamy ze wzoru:
q x h=
Lx
q z
Ly y
225
(G.7)
H. Porównanie mas wybranych elementów modeli z programu BW i
Robot Millennium.
Analizowany model z programu BW (dane 49-11.bw8) jest modelem o stałym przekroju trzonu
i słupów w całej konstrukcji. Zastępcze przekroju słupów przeliczono z warunku nośności wg
wzoru (6.11)
Analizowany model z programu Robot odpowiada danym z Modelu 1, gdzie uwzględniono
zmienność przekrojów słupów i trzonu. Zastępcze przekroje słupów przeliczono z warunku
sztywności EI wg wzoru (6.13).
Tablica H.1 Porównanie mas pojedynczych elementów modelu [kg]
Słup 1-4
Słup 2
Słup 3
Słup 5
Trzon
BW
7 819 762
3 548 431
1 120 152
387 039
74 346 984
Robot
2 863 777
1 390 103
2 938 335
302 973
69 128 664
Tablica H.2 Porównanie zsumowanych mas nadproży i rygli ramy zewnętrznej [kg]
Dla kondygnacji
Dla całego budynku
Nadproża
Rygle
Nadproża
Rygle
BW
38 125,00
54 930,00
2 859 375
4 119 750
Robot
17 813,22
16 236,14
1 335 991
1 217 710
Tablica H.3 Porównanie mas całych modeli [kg]
BW
200 737 600,0
Robot 1
163 597 157,5
226
I. 100 najwyższych budynków świata w 2007 wg Council on Tall
Buildings and Urban Habitat (CTBUH)
Listę 100 najwyższych budynków świata zaczerpnięto z [I10].
L.p. Budynek
Miasto
Rok
Piętra Wys. [m] Konstrukcja
1
Taipei 101
Taipei
2004
101
508
Mieszana
2
Petronas Tower 1
Kuala Lumpur
1998
88
452
Mieszana
3
Petronas Tower 2
Kuala Lumpur
1998
88
452
Mieszana
4
Sears Tower
Chicago
1974
110
442
Stalowa
5
Jin Mao Building
Shanghai
1999
88
421
Mieszana
6
Two International Finance Centre
Hong Kong
2003
88
415
Mieszana
7
CITIC Plaza
Guangzhou
1996
80
391
Żelbetowa
8
Shun Hing Square
Shenzhen
1996
69
384
Mieszana
9
Empire State Building
New York
1931
102
381
Stalowa
10 Central Plaza
Hong Kong
1992
78
374
Żelbetowa
11 Bank of China
Hong Kong
1989
70
367
Mieszana
12 Emirates Tower One
Dubai
1999
54
355
Mieszana
13 Tuntex Sky Tower
Kaohsiung
1997
85
348
Mieszana
14 Aon Centre
Chicago
1973
83
346
Stalowa
15 The Center
Hong Kong
1998
73
346
Stalowa
16 John Hancock Center
Chicago
1969
100
344
Stalowa
17 Rose Tower
Dubai
2007
72
333
Mieszana
18 Shimao International Plaza
Shanghai
2006
60
333
Żelbetowa
19 Minsheng Bank Building
Wuhan
2007
68
331
Stalowa
20 Ryugyong Hotel
Pyongyang
2007
105
330
Żelbetowa
21 Q1
Gold Coast
2005
78
323
Żelbetowa
22 Burj al Arab Hotel
Dubai
1999
60
321
Mieszana
23 Nina Tower I
Hong Kong
2006
80
319
Żelbetowa
24 Chrysler Building
New York
1930
77
319
Stalowa
25 New York Times Tower
New York
2007
52
319
Stalowa
26 Bank of America Plaza
Atlanta
1993
55
317
Mieszana
27 U.S. Bank Tower
Los Angeles
1990
73
310
Mieszana
28 Menara Telekom Headquarters
Kuala Lumpur
1999
55
310
Żelbetowa
29 Emirates Tower Two
Dubai
2000
56
309
Żelbetowa
30 AT&T Corporate Center
Chicago
1989
60
307
Mieszana
31 JP Morgan Chase Tower
Houston
1982
75
305
Mieszana
32 Baiyoke Tower II
Bangkok
1997
85
304
Żelbetowa
33 Two Prudential Plaza
Chicago
1990
64
303
Żelbetowa
34 Wells Fargo Plaza
Houston
1983
71
302
Stalowa
35 Kingdom Centre
Riyadh
2002
41
302
Mieszana
36 Aspire Tower
Doha
2006
36
300
Mieszana
37 First Canadian Place
Toronto
1975
72
298
Stalowa
227
38 Eureka Tower
Melbourne
2006
91
297
Żelbetowa
39 Landmark Tower
Yokohama
1993
70
296
Stalowa
40 311 South Wacker Drive
Chicago
1990
65
293
Żelbetowa
41 SEG Plaza
Shenzhen
2000
71
292
Mieszana
42 American International Building
New York
1932
67
290
Stalowa
43 Key Tower
Cleveland
1991
57
289
Mieszana
44 Plaza 66
Shanghai
2001
66
288
Żelbetowa
45 One Liberty Place
Philadelphia
1987
61
288
Stalowa
46 Millennium Tower
Dubai
2006
59
285
Żelbetowa
47 Sunjoy Tomorrow Square
Shanghai
2003
55
285
Żelbetowa
48 Columbia Center
Seattle
1984
76
284
Mieszana
49 Cheung Kong Centre
Hong Kong
1999
63
283
Stalowa
50 Chongqing World Trade Center
Chongqing
2005
60
283
Żelbetowa
51 The Trump Building
New York
1930
71
283
Stalowa
52 Bank of America Plaza
Dallas
1985
72
281
Mieszana
53 United Overseas Bank Plaza
Singapore
1992
66
280
Stalowa
54 Republic Plaza
Singapore
1995
66
280
Mieszana
55 Overseas Union Bank Centre
Singapore
1986
63
280
Stalowa
56 Citigroup Center
New York
1977
59
279
Stalowa
57 Hong Kong New World Tower
Shanghai
2002
61
278
Mieszana
Nanning
2006
54
276
Żelbetowa
59 Scotia Plaza
Toronto
1989
68
275
Mieszana
60 Williams Tower
Houston
1983
64
275
Stalowa
61 Wuhan World Trade Tower
Wuhan
1998
60
273
62 Union Square Phase 6, North Tower
Hong Kong
2007
68
270
Żelbetowa
63 Union Square Phase 6, South Tower
Hong Kong
2007
68
270
Żelbetowa
64 Renaissance Tower
Dallas
1975
56
270
Stalowa
65 China International Center Tower B
Guangzhou
2007
62
269
Żelbetowa
66 Dapeng International Plaza
Guangzhou
2006
56
269
Mieszana
67 21st Century Tower
Dubai
2003
55
269
Żelbetowa
68 Al Faisaliah Center
Riyadh
2000
30
267
Mieszana
69 900 North Michigan Avenue
Chicago
1989
66
265
Mieszana
70 Bank of America Corporate Center
Charlotte
1992
60
265
Żelbetowa
71 SunTrust Plaza
Atlanta
1992
60
265
Żelbetowa
72 BOCOM Financial Towers
Shanghai
1999
52
265
73 Triumph Palace
Moscow
2005
61
264
Żelbetowa
74 Bluescope Stalowa Centre
Melbourne
1991
52
264
Żelbetowa
75 Shenzhen Special Zone Daily Tower
Shenzhen
1998
42
264
Żelbetowa
76 Tower Palace Three, Tower G
Seoul
2004
73
264
Żelbetowa
77 Trump World Tower
New York
2001
72
262
Żelbetowa
78 Water Tower Place
Chicago
1976
74
262
Żelbetowa
79 Grand Gateway Plaza I
Shanghai
2005
54
262
Żelbetowa
58
Diwang International Commerce
Center
228
80 Grand Gateway Plaza II
Shanghai
2005
54
262
Żelbetowa
81 Aon Center
Los Angeles
1974
62
262
Stalowa
82 Hotel Panorama
Hong Kong
2007
64
262
Żelbetowa
83 BCE Place-Canada Trust Tower
Toronto
1990
53
261
Mieszana
84 Post & Telecommunication Hub
Guangzhou
2002
66
260
Żelbetowa
85 Dual Towers 1
Manama
2007
57
260
Żelbetowa
86 Dual Towers 2
Manama
2007
57
260
Żelbetowa
87 101 Collins Street
Melbourne
1991
50
260
Mieszana
88 Transamerica Pyramid
San Francisco
1972
48
260
Mieszana
89 GE Building, Rockefeller Center
New York
1933
70
259
Stalowa
90 Chase Tower
Chicago
1969
60
259
Stalowa
91 Commerzbank Zentrale
Frankfurt
1997
56
259
Mieszana
92 Two Liberty Place
Philadelphia
1990
58
258
Stalowa
93 Philippine Bank of Communications
Makati
2000
55
258
Żelbetowa
94 Park Tower
Chicago
2000
67
257
Żelbetowa
95 Messeturm
Frankfurt
1990
64
257
Żelbetowa
96 Sorrento 1
Hong Kong
2003
75
256
Żelbetowa
97 U.S. Tower
Pittsburgh
1970
64
256
Stalowa
98 Mokdong Hyperion Tower A
Seoul
2003
69
256
Żelbetowa
99 Rinku Gate Tower
Izumisano
1996
56
256
Mieszana
100 Langham Place Office Tower
Hong Kong
2004
59
255
Żelbetowa
229
Rys. I.1 10 najwyższych budynków świata w 2007 roku. [I11]
230
Rys. I.2 10 najwyższych budynków w Chinach [I11]
231
Rys. I.3 10 najwyższych budynków w Shenzhen [I11]
232
J. Zdjęcia budynku Di-Wang Tower
Rys. J.1 Widok od strony zachodniej [I3]
Rys. J.2 Widok w trakcie budowy [I3]
Rys. J.3 Widok w trakcie budowy
233
Rys. J.4 Widok ostatnich kondygnacji w trakcie prac wykończeniowych [I3]
Rys. J.5 Widok od strony południowo – wschodniej [I3]
234
Rys. J.6 Widok od strony wschodniej [I14]
Rys. J.7 Widok nocą [I3]
235
Rys. J.8 Widok od strony zachodniej [I3]
Rys. J.9 Zdjęcie satelitarne [I13]
236
K. Dane do obliczeń statycznych przy użyciu programu BW dla Windows
Zestawienie plików danych do obliczeń statycznych przy użyciu programu BW dla Windows
(Pliki
zamieszczone
są
na
płycie
DVD_1
załączonej
do
pracy
w
katalogu:
Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik K. W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)
●
255-1-ih1
●
255-1-ih2
●
255-1-ih3
●
255-1-ih4
●
255-1-ih5
●
255-1-ih6
●
255-1-nh6-met2-2006.bw7
Ostatni z plików jest plikiem łączącym opisy budynku w poszczególnych strefach sztywności w
jeden budynek.
237
L. Wyniki obliczeń statycznych przy użyciu programu BW dla Windows
Zestawienie plików wynikowych z obliczeń statycznych przy użyciu programu BW dla Windows
(Pliki
zamieszczone
są
na
płycie
DVD_1
załączonej
do
pracy
w
katalogu:
Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik L. W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)
●
255-1-ih1-bw7-of6
●
255-1-ih2-bw7-of6
●
255-1-ih3-bw7-of6
●
255-1-ih4-bw7-of6
●
255-1-ih5-bw7-of6
●
255-1-ih6-bw7-of6
238
M. Dane do obliczeń dynamicznych przy użyciu programu BW dla
Windows
Zestawienie plików danych do obliczeń dynamicznych przy użyciu programu BW dla Windows
(Pliki
zamieszczone
są
na
płycie
DVD_1
załączonej
do
pracy
w
katalogu:
Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik M. W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)
●
49-11
239
N. Wyniki obliczeń dynamicznych przy użyciu programu BW dla Windows
Zestawienie plików wynikowych z obliczeń dynamicznych przy użyciu programu BW dla
Windows
(Pliki
zamieszczone
są
na
płycie
DVD_1
załączonej
do
pracy
w
katalogu:
Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik N. W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)
●
49-11
240
O. Wybrane dane do obliczeń statycznych i dynamicznych przy użyciu
Zestawienie plików z wybranymi danymi do obliczeń statycznych i dynamicznych przy użyciu
(Pliki
zamieszczone
są
na
płycie
DVD_1
załączonej
do
pracy
w
katalogu:
Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik O. W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)
●
Model_1_dane
(plik z pełnymi danymi z programu Robot Millennium zamieszczono na DVD_1 w katalogu
Obliczenia/Robot/Model 1)
●
Model_2_dane
●
Model_3_dane
●
Model_4_dane
241
P. Wybrane wyniki z obliczeń statycznych i dynamicznych przy użyciu
Zestawienie plików z wybranymi wynikami z obliczeń statycznych i dynamicznych przy użyciu
(Pliki
zamieszczone
są
na
płycie
DVD_1
załączonej
do
pracy
w
katalogu:
Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik P. W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)
●
Model_1_wyniki
(plik z pełnymi wynikami z programu Robot Millennium zamieszczono na DVD_1 w katalogu
●
Model_2_wyniki.rtf
●
Model_3_wyniki
●
Model_4_wyniki
242
Q. Spis rysunków zwymiarowanych elementów konstrukcji trzonu
➢
Rys_1 – Poz. 1.1 Element 2 trzonu gr. 75 cm
skala 1:20
➢
Rys_2– Poz. 1.2 Element 2 trzonu gr. 60 cm
skala 1:20
➢
Rys_3 – Poz. 2.1.1 Nadproże żelbetowe
skala 1:20
➢
Rys_4 – Poz. 2.1.2 Nadproże żelbetowe ze zbrojeniem
diagonalnym
skala 1:20
➢
Rys_5– Poz. 2.1.3 Nadproże stalowe
skala 1:20
➢
Rys_6 – Poz. 2.2.1 Nadproże żelbetowe
skala 1:20
➢
Rys_7– Poz. 2.2.2 Nadproże żelbetowe ze zbrojeniem
diagonalnym
skala 1:20
Rys_8 – Poz. 2.2.3 Nadproże stalowe
skala 1:20
➢
243

Praca Dyplomowa

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wyjątkowa zasada działania