Matematyka - próbna nowa matura

Plik pobrany ze strony
www.zadania.pl
Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy
Miejsce na nalepkę
z kodem szkoły
PESEL ZDAJĄCEGO
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
Arkusz II
Czas pracy 150 minut
Instrukcja dla zdającego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron. Ewentualny brak należy zgłosić
przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu na to przeznaczonym przy każdym
zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze czarnym; nie pisać ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą można uzyskać za jego
poprawne rozwiązanie.`
9. Podczas egzaminu można korzystać z udostępnionego zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać z kalkulatora graficznego.
Życzymy powodzenia!
Wpisuje egzaminator / nauczyciel sprawdzający pracę
Nr. zadania
12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. SUMA
Maksymalna
4 6 3 4 5 5 6 5 7 5
50
liczba punktów
Uzyskana
liczba punktów
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl
Zadanie 12. (4 pkt)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja:
f ( x ) = ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a )
ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
Zadanie 13. (6 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których każda liczba spełniająca równanie:
log 2m ( x − 1) + log m ( x − 1) − 2 = 0
jest mniejsza od 3.
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 2 z 16
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 3 z 16
Zadanie 14. (3 pkt)
a⋅b
= 0 jest równaniem okręgu.
2
Wyznacz współrzędne środka i długość promienia tego okręgu.
Wykaż, że jeśli a ≠ b , to równanie: x 2 + y 2 + ax + by +
Strona 4 z 16
Zadanie 15. (4 pkt)
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f określonej wzorem:
π
f(x)= sin 2 x + cos( − 2 x) .
6
Odpowiedź uzasadnij.
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 5 z 16
Zadanie 16. (5 pkt)
W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj figurę F, gdzie:
F = {( x; y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ 3 x + y ≤ 2}.
Oblicz pole figury F.
Strona 6 z 16
Zadanie 17. (5 pkt)
Odcinki o długościach: 2 3 , 3 − 3 , 3 2 są bokami trójkąta.
a) Wyznacz miarę największego kąta tego trójkąta i oblicz długość wysokości
poprowadzonej z wierzchołka tego kąta.
b) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 7 z 16
Zadanie 18. (6 pkt)
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 9 dm2 . Dwie ściany boczne ostrosłupa są
prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do
π
π
płaszczyzny podstawy pod kątami
i
.
3
6
a) Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim dane kąty.
b) Oblicz objętość ostrosłupa.
Zadanie 19. (5 pkt)
W pierwszej loterii jest n (n > 2) losów, w tym jeden los wygrywający. W drugiej loterii 2n
losów, w tym dwa wygrywające. W której z loterii należy kupić dwa losy, aby mieć większą
szansę wygranej ? Odpowiedź uzasadnij.
Strona 8 z 16
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 9 z 16
Zadanie 20. (7 pkt)
Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość
a ⋅a
wyrażenia 1 49 wiedząc, że a51 = 1 .
a50
Strona 10 z 16
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 11 z 16
Zadanie 21. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające równanie: (5 − x )
Strona 12 z 16
x3 − 4 x 2 + x + 6
= 1.
@2
Brudnopis
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 13 z 16
Strona 14 z 16
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 15 z 16
Strona 16 z 16
SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II
Nr zadania
12.1
12
12.2
12.3
13.1
13.2
13
13.3
13.4
13.5
14.1
14
14.2
14.3
15.1
15
15.2
15.3
Etapy rozwiązania zadania:
Przekształcenie wzoru funkcji do
postaci ogólnej funkcji kwadratowej.
Wyznaczenie wyróżnika funkcji
kwadratowej ( w tym 1 p. za metodę
oraz 1 p. za przekształcenia).
Uzasadnienie, że wyróżnik jest nieujemny.
Modelowy wynik etapu
Liczba
punktów
f (x) = 3x2 − 2(a + b + c)x + (ab+ bc+ ac)
1
[
∆ = 2 (a − b ) + (b − c ) + (c − a )
2
2
2
]
2
∆ ≥ 0 dla dowolnych rzeczywistych a,b,c
stąd funkcja f ma co najmniej jedno miejsce
zerowe
1
x ∈ (1;+∞ ) i m ∈ (0;1) ∪ (1;+∞ )
1
log m ( x − 1) = 1 lub log m ( x − 2 ) = −2
1
Zapisanie warunków jakie muszą być
spełnione, aby wyrażenie log m ( x − 1)
miało sens.
Zapisanie alternatywy równań logarytmicznych równoważnej danemu
równaniu.
Rozwiązanie alternatywy równań
logarytmicznych w zależności od
parametru m.
Zapisanie warunków, dla których
każda liczba spełniająca równanie
jest mniejsza od 3.
Wyznaczenie wszystkich wartości
parametru m spełniających warunki
zadania ( w tym 1 p. za metodę oraz
1 p. za obliczenia).
1
m2
1
1
〈3
m2
1
x = m + 1 lub x = 1 +
1〈 m + 1〈 3 i 1〈1 +
m∈ (
2
;1) ∪ (1;2)
2
a
b
a−b 2
)
( x + )2 + ( y + )2 = (
2
2
2
a−b 2
) 〉0 .
Uzasadnienie, że otrzymane równanie Ponieważ a ≠ b , to (
2
jest równaniem okręgu.
Otrzymane równanie przedstawia okrąg.
a−b
Wyznaczenie współrzędnych środka
a b
S = (− ;− ) , r =
i długości promienia okręgu.
2 2
2
π
π

f ( x ) = sin 2 x + sin  − ( − 2 x ) lub
Przekształcenie wzoru funkcji po
6
2

zastosowaniu wzorów redukcyjnych.
π
π
f ( x ) = cos( − 2 x) + cos( − 2 x )
2
6
π
f ( x ) = 3 sin( + 2 x) lub
Przekształcenie wzoru funkcji po
6
zastosowaniu wzoru na sumę sinusów
π
lub kosinusów.
f ( x ) = 3 cos( − 2 x )
3
Wyznaczenie największej
Najmniejsza wartość: m = − 3
i najmniejszej wartości funkcji
( w tym 1 p. za podanie wartości oraz Największa wartość: M = 3
1 p. za uzasadnienie).
Przekształcenie podanego równania.
1
2
1
1
1
1
1
2
16.1
Ułożenie alternatywy układów nierówności opisującej figurę F
( w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za
obliczenia).
16.2
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołków figury F.
16.3
Sporządzenie rysunku i zaznaczenie
figury F.
16.4
Obliczenie pola figury F.
x ≥ 0
x ≥ 0

ˇ  y < 0
y ≥ 0
3 x + y ≤ 2 3 x − y ≤ 2


2
x < 0
x < 0

ˇ  y < 0
ˇ y ≥ 0
− 3 x + y ≤ 2 − 3 x − y ≤ 2


2
2
(− ;0); ( ;0); (0;2); (0;−2)
3
3
1
16
1
PF = 2 P∆ABC = AB ⋅ OC , PF =
8
3
1
AB = 3 2
17.1
Sporządzenie rysunku z oznaczeniami lub opis oznaczeń.
AC = 3 − 3
BC = 2 3
AC + BC − AB
2
17.2
17
17.3
17.4
17.5
18
Wyznaczenie miary największego
kąta.
cos ∠C =
PABC =
Obliczanie długości wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta rozwartego.
Obliczanie długości promienia okręgu opisanego na trójkącie.
Sporządzenie rysunku wraz
z zaznaczeniem danych kątów.
18.2
Wyznaczenie długości boków prostokąta w zależności od h.
2
2
2 AC ⋅ BC
∠C = 120
Obliczenie pola trójkąta.
18.1
1
=−
1
2
(
1
3
AC ⋅ BC sin ∠C = 3 − 3
2
2
CD =
2 P∆ABC 3 2 − 6
=
AB
2
R=
AB
2 sin ∠C
1
0
= 6
)
1
1
1
1
a = hctg
2
π
π
, b = hctg
3
6
1
18.3
18.4
18.5
19.1
19.2
19
19.3
19.4
19.5
20.1
20.2
20.3
20.4
20
20.5
20.6
20.7
21.1
21
21.2
π
π
π
π
ctg = h 2tg ctg = h 2
3
6
6
6
h = 3 dm
V = 9 dm3
Np.: A – zdarzenie polegające na otrzymaniu wygranej na pierwszej loterii,
Opis zdarzeń losowych.
B - zdarzenie polegające na otrzymaniu
wygranej na drugiej loterii.
2
Obliczenie prawdopodobieństwa wyP ( A) =
granej w pierwszej loterii.
n
(2n − 3)(n − 1)
Obliczenie prawdopodobieństwa
P (B ' ) =
przegranej w drugiej loterii.
(2n − 1)n
4n − 3
Obliczenie prawdopodobieństwa wyP (B ) =
granej w drugiej loterii.
(2n − 1)n
Rozwiązanie jednej z nierówności:
Porównanie otrzymanych prawdopo- P( A)〉 P(B ) albo P( A) 〈 P(B )
dobieństw.
i wywnioskowanie, że P( A)〉 P(B )
Np. x – różnica ciągu arytmetycznego
Analiza zadania i wprowadzenie
a1 = 1 − 50 x
oznaczeń.
Wyznaczenie a49 , a50
a49 = 1 − 2 x , a50 = 1 − x
w zależności od x.
a ⋅a
Zapisanie wyrażenia 1 49
(1 − 50 x )(1 − 2 x)
a50
, x∈(−∞;1)
f(x)=
1− x
jako funkcji jednej zmiennej
i podanie jej dziedziny.
− 100 x 2 + 200 x − 51
'
f (x ) =
, x ∈ (− ∞;1)
Obliczenie pochodnej funkcji f.
(1 − x )2
3
x=
Rozwiązanie równania f '( x ) = 0 .
10
Funkcja f:
3

Uzasadnienie istnienia najmniejszej
maleje dla x ∈  − ∞;  , rośnie dla
wartości funkcji f (zbadanie monoto10 

niczności funkcji f w przedziale
3
3 
x ∈  ;1 , dla x =
przyjmuje najmniej(− ∞;1) ).
10
 10 
szą wartość
3
Wyznaczenie najmniejszej wartości
f   = −8
funkcji f.
 10 
Wykorzystanie definicji potęgi o wyx 3 − 4 x 2 + x + 6 = 0 dla x ≠ 5 (*)
kładniku równym zero.
Rozwiązanie równania (*)
x1 = −1, x2 = 2 , x3 = 3
( w tym 1 p. za metodę oraz 1 p.
za obliczenia).
Liczba spełniająca równanie: x4 = 4
Analiza równania dla x = 4 .
Liczba spełniająca równanie: x5 = 6
Analiza równania dla x = 6 .
Wykazanie, że a ⋅ b = h 2 ( w tym 1 p.
za metodę oraz 1 p. za obliczenia).
Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Obliczenie objętości ostrosłupa.
a ⋅ b = h 2 ctg
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
21.3
1
21.4
1
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
3