Mathcad - PN_EN_1992_2_SLS_płyty żelbetowej

Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności (SLS) w zakresie naprężeń
maksymalnych , zarysowania i ugięcia żelbetowej płyty wspornika pomostu
na podstawie obliczeń wg PN-EN 1992-2.
(Opracowanie: D. Sobala na podstawie: Hendy C. R . & Smith D. A.: Designers' Guide to EN 1992-2
..... Thomas Telford . Londyn 2007 i PN-EN 1992-1-1 oraz PN-EN 1992-2).
Grubosç płyty żelbetowej:
hp := 250 ⋅ mm
Aanlizowana szerokośç płyty:
b := 1000 ⋅ mm
Rozpiętośç płyty o schemacie statycznym
wspornika:
Lt := 1.5 ⋅ m
Klasa betonu płyty:
C35/45
Wytrzymałośç charakterystyczna betonu:
fck := 35 ⋅ MPa
Z tablicy 3.1. zasadniczej częsci normy dla
fctm := 3.2 ⋅ MPa
Z postanowienia PN-EN 1992-2 p. 7. 2
k1 := 1.0
a naprężenia graniczne w betonie są równe:
σclim := k1 ⋅ fck = 35 ⋅ MPa
Gatunek stali:
B500SP
Wytrzymałośç charakterystyczna stali
fyk := 500 ⋅ MPa
Moduł odkształcalności stali:
Es := 200 ⋅ GPa
Średnica zbrojenia:
φy := 16 ⋅ mm
Rozstaw pretów zbrojenia głównego:
sφ := 100 ⋅ mm
Otulina zbrojenia:
cφ := 50 ⋅ mm
Dopuszczalna rozwartośç rys:
wlim := 0.3 ⋅ mm
Z postanowienia PN-EN 1992-1-1 p. 7. 2 (5)
k3 := 0.8
przyjętego betonu:
(102) wynika, że:
zbrojeniowej:
wynika, że:
a naprężenia graniczne w stali są równe:
Moment zginający w płycie
od charakterystycznej kombinacji obciążeń SLS:
σslim := k3 ⋅ fyk = 400 ⋅ MPa
MEd := 85kN ⋅ m
•
Mqp := 0.15 ⋅ MEd = 12.75 ⋅ kN ⋅ m
składowa momentu od ciężaru własnego i
oddziaływań stałych wymuszonych
Mst := MEd − Mqp = 72.25 ⋅ kN ⋅ m
•
składowa momentu od obciażeń zmiennych
Z projektowania w ULS wynika, że
wymagane zbrojenie to:
As :=
π ⋅ φy
2
4
⎛b ⎞
⎟ = 2011 ⋅ mm 2
⎜ sφ ⎟
⎝ ⎠
⋅⎜
φy
Wysokośç czynna przekroju płyty:
d := hp − cφ −
= 0.192 m
2
Sprawdzenie naprężeń maksymalnych w SLS
Sprawdzenie naprężeń maksymalnych w stanie granicznym użytkowalnosci
zostanie przeprowadzone w stali i w betonie w odniesieniu do wartości granicznych .
W pierwszej kolejności należy sprawdziç, czy przekrój jest niezarysowany wg
PN 1992-1-1 p. 7.1 (2)
y :=
hp
2
- położenie osi obojętnej przekroju
= 0.125 m
Moment bezwładności
niezarysowanego
Jp :=
przekroju niezarysowanego:
Naprężenia w włóknach skrajnych przekroju
niezarysowanego są zatem równe:
σgd :=
b ⋅ hp
3
12
= 0.001302 ⋅ m
MEd ⋅ y
Jp
4
= 8.16 ⋅ MPa
Sprawdzenie warunku:
σgd ≥ fctm = 1
•
zatem przekrój jest zarysowany. Dalsze obliczenia będą
prowadzone przy pominięciu betonu w strefie rozciaganej.
Wartośç efektywnego modułu Eceff zależy od stosunku obciążeń długotrwałych do
krótkotrwałych .
Pierwsze przybliżenie jest wykonywane dla mostu po otwarciu, gdy pełzanie ma jeszcze
mały wpływ i mozliwe jest wykorzystanie modułu betonu jak dla obciażeń krótkotrwałych :
dla obciążeń krótkotrwałych :
⎞
⎛ fck
⎜
+ 8⎟
⎜ MPa
⎟
Ecm := 22 ⋅ ⎜
⎟
10
⎝
⎠
Zatem efektywny moduł betonu
Eceff := Ecm = 34 ⋅ GPa
Moduł odkształcalności betonu
w pierwszym przybliżeniu:
0.3
⋅ GPa = 34 ⋅ GPa
Wysokośç strefy
ściskanej betonu: x :=
c
2
⎛ As ⋅ Es ⎞ + 2 ⋅ b ⋅ As ⋅ Es ⋅ Eceff ⋅ d
⎝
⎠
−As ⋅ Es +
b ⋅ Eceff
= 56.5 ⋅ mm
Moment bezwładności przekroju zarysowanego:
Jc := As ⋅ ⎛ d − xc ⎞
⎝
⎠
2
+
1 Eceff
3
Es
⋅ b ⋅ xc
3
Naprężenia w betonie na krawędzi
= 4.716 × 10
σctop :=
przekroju wynoszą zatem:
−5
MEd
Jc
m
⋅ xc ⋅
4
Eceff
Es
= 17.4 ⋅ MPa
Sprawdzenie warunku:
- dla betonu warunek ograniczenia naprężeń jest
σclim ≥ σctop = 1
spełniony.
Naprężenia w stali
σs :=
zbrojeniowej:
σslim ≥ σs = 1
MEd
⎛ d − xc ⎞ = 244.2 ⋅ MPa
⎝
⎠
Jc
- dla stali warunek ograniczenia naprezeń jest spełniony
Drugie przybliżenie jest wykonywane , gdy wystąpi całe pełzanie.
φ := 2.2 - wyznaczony współczynnik pełzania
Efektywny moduł odkształcenia betonu jest
równy:
Eceff :=
MEd ⋅ Ecm
(
)
Mst + 1 + φ ⋅ Mqp
= 25.622 ⋅ GPa
Pozostałe obliczenia powtarzamy:
Wysokośç strefy
ściskanej betonu:
xc :=
2
⎛ As ⋅ Es ⎞ + 2 ⋅ b ⋅ As ⋅ Es ⋅ Eceff ⋅ d
⎝
⎠
−As ⋅ Es +
b ⋅ Eceff
= 63.508 ⋅ mm
Moment bezwładności przekroju zarysowanego:
Jc := As ⋅ ⎛ d − xc ⎞
⎝
⎠
2
+
1 Eceff
3
Es
⋅ b ⋅ xc
Naprężenia w betonie na krawędzi
przekroju wynoszą zatem:
Sprawdzenie warunku:
3
= 4.41 × 10
σctop :=
−5
MEd
Jc
⋅m
4
⋅ xc ⋅
Eceff
Es
= 15.7 ⋅ MPa
σclim ≥ σctop = 1
•
dla betonu warunek ograniczenia naprężeń jest spełniony.
Naprężenia w stali zbrojeniowej:
σslim ≥ σs = 1
•
σs :=
MEd
Jc
⎛ d − xc ⎞ = 247.5 ⋅ MPa
⎝
⎠
dla stali warunek ograniczenia naprezeń jest spełniony
Wniosek :
W wyniku pełzania nastąpiła redystrybucja obciążeń: spadły naprężenia w
betonie i nieco wzrosły w zbrojeniu przekroju. Celem obliczeń jest zapewnienie
ograniczenia deformacji plastycznych , które w efekcie mogły prowadziç do
nadmiernych ugięç lub/i zarsowania konstrukcji .
KONIEC sprawdzenia naprężeń maksymalnych w SLS
Sprawdzenie rys w SLS
Sprawdzenie zbrojenia minimalnego
Wartośç średnia wytrzymałości na rozciaganie betonu w czasie pojawienia się pierwszej rysy:
fcteff := fctm
UWAGA! Jeżlei zarysowanie jest spodziewane wcześniej niz po 28 dniach
może byc konieczne przyjęcie wartości fctm(t).
Pole przekroju strefy riozciąganej przekroju:
Act := b ⋅ ⎛ d − xc ⎞ = 0.128 m
⎝
⎠
2
Współczynnik uwzględniający efekt nierównomiernego rozkładu naprężeń rozciagających :
UWAGA! Dla półek dźwigarów teowych procedura
wymaga uaktualnuienia.
k :=
1
if
hp ≤ 300 ⋅ mm
=1
500 ⋅ mm − ⎛ hp − 300 ⋅ mm ⎞ ⎤
⎡
⎢
⎝
⎠⎥
⎢0.65 +
⎥
500 ⋅ mm
⎣
⎦
0.65
if
300 ⋅ mm < hp ≤ 800 ⋅ mm
otherwise
Współczynnik uwzględniający postaç rozkładu naprężeń wewnątrz przekroju tuż przed
zarysowaniem oraz zmianę ramienia siła wewnętrznych :
kc := 0.4
- dla przekrojów zginanych , bez udziału siły osiowej (7. 2) PN-EN 1992-2
Minimalne pole przekroju zbrojenia:
Sprawdzenie warunku:
Asmin :=
As ≥ Asmin = 1
kc ⋅ k ⋅ fcteff ⋅ Act
σs
= 665 ⋅ mm
2
Sprawdzenie rozwarcia rys.
Maksymalny dopuszczalny rozstawy pretów:
φy ⎞
⎛
⎜
⎟
smax := 5 ⋅ ⎜ cφ +
= 0.29 m
2 ⎟⎠
⎝
Sprawdzenie warunku:
sφ ≤ smax = 1
Dla stali sprężającej:
ξ 1 := 1.0
Ap := 0 ⋅ m
2
Efektywna wysokośç strefy rozciąganej:
hp − xc
hp ⎤
⎡
⎢
⎥
hceff := min ⎢2.5 ⋅ ⎛ hp − d ⎞ ,
,
= 0.062 m
3
2 ⎥⎦
⎝
⎠
⎣
Efektywna powierzchnia strefy rozciąganej:
Aceff := b ⋅ hceff
Aceff = 0.062 m
2
2
Współczynnik wg (7.10) PN-EN 1992-1-1:
ρpeff :=
As + ξ 1 ⋅ Ap
Aceff
Dla zginania:
k2 := 0.5
Dla pretów o dobrej przyczepnosci:
k1 := 0.8
Współczynnik:
k4 := 0.425
= 0.032
k3 := 3.4
Stąd na podstawie (7.8) PN-EN 1992-1-1:
φy
srmax := k3 ⋅ cφ + k1 ⋅ k2 ⋅ k4 ⋅
= 0.254 m
ρpeff
UWAGA! Nalezy zauważyç, że składnik związany z otuliną betonu k3 ⋅ cφ generuje 170mm
z 254mm całkowitego rozstawu rys i dlatego jest bardzo ważny. Jeżeli przyjmiemy 25mm
otuliny to rozstaw rrys spada do 169mm przy minimalnej zmianie położenia osi obojętenj
przekroju.
Minimalna wartośç wyrażenia (7.9 ) z PN-EN 1991-1-1 dla w pełni zarysowanego przekroju
wynosi:
Δε min := 0.6 ⋅
kts := 0.6
σs
Es
= 7.424 × 10
−4
- dla obciążeń krótkotrwałych
ktl := 0.4
- dla obciążeń długotrwałuch
tak więc przyjmując wartosç pośrednią reprezentującą η zakresu (dominujące obciażenia
krótkotrwałe) otrzymujemy:
η :=
Mst
MEd
= 0.85
kt := ktl + η ⋅ ⎛ kts − ktl ⎞ = 0.57
⎝
⎠
Stosunek modułów spręzystosci stali zbrojeniowej i betonu:
6
Es
αE :=
= 5.869
Ecm
fcteff := fctm = 3.2 × 10 Pa
fcteff
Δε cal :=
σs − kt ⋅
ρpeff
⎛ 1 + αE ⋅ ρpeff ⎞
⎝
⎠
= 9.019 × 10
Es
Δε := max ⎛ Δε min , Δε cal ⎞ = 9.019 × 10
⎝
⎠
Uwzględniając powyższe
maksymalna rozwartośç rys jest równa:
Sprawdzenie warunku:
−4
−4
wk := srmax ⋅ Δε = 0.229 ⋅ mm
wk ≤ wlim = 1
UWAGA! Bezpośrednie obliczenia prowadzą z reguły do wyznaczenia mniejszych wartości
rozwartości rys, a tym samym bardziej ekonomicznego projektowania konstrukcji .
KONIEC sprawdzenia rys w SLS
Sprawdzenie ugięcia w SLS
Norma w PN-EN 1992-1-1 w p. 7.4. (1)(P) wymaga, aby deformacje elementów
konstrukcji nie powodowały ich nieprawidłowego funkcjonowania lub nie wpływały
negatywnie na ich wygląd .
Nadmierne odkształcenia/deformacje od obciążenia stałego mogą wywoływaç u
użytkowników wrażenie niewystarczającej nośności lub wpływaç negatywnie na działanie
systemu odwodnienia poprzez niekorzystną zmiana spadków poprzecznych/podłużnych .
Nadmierne deformacje spowodowane obciążeniem zmiennym ruchomym mogą
powodowaç uszkodzenia nawierzchni i izolacji oraz mogą powodowaç problemy
dynamiczne związane ze zmniejszonym komfortem ruchu i powstaniem uszkodzeń
elementów konstrukcji .
Mając na względzie powyższe norma w PN-EN 1992-1-1 w p. 7.4. (2) wymaga
określenia dopuszczalnych , granicznych wartości odkształceń dla każdego rodzaju konstrukcji
indywidualnie . Nadmiernym odkształceniom od obciążeń stałych można zapobiegaç przez
podniesienia wykonawcze i analizy dynamiczne obejmujące skutki oddziaływania obciążeń
zmiennych ruchomych lub drgań wywołanych oddziaływaniem wiatru wg PN-EN 1990 i
PN-EN 1991-1-4.
Rezonans konstrukcji mostu może byç rozpatrywany jako kolejny stan graniczny jeżeli
obiekt jest zagrożony powstaniem uszkodzeń o charakterze zmęczeniowym. Podobnie należy
postąpiç w przypadku drgań wzbudzonych oddziaływaniami dynamicznymi wiatru
(wprowadzającymi konstrukcję w galopadę lub trzepot). W normie PN-EN 1992-1-1 i
PN-EN 1992-2 nie podano żadnych zaleceń w zakresie wartości granicznych deformacji dla
innych przypadków, takich jak przerwanie drenażu, które należy określaç i sprawdzaç
indywidualnie dla poszczególnych rodzajów konstrukcji .
PN-EN 1992-1-1 w p. 7.4. 2 określa przypadki dla których nie jest wymagane
sprawdzanie ugięcia., ale nie zalicza się do nich mostów. Dlatego deformacje konstrukcji
mostów należy sprawdzaç wg reguł podanych w p. 7.4.3.
W praktyce konieczne jest wyznaczenie deformacji konstrukcji , np. dla
zaprojektowania łożysk w zakresie przesuwów i obrotów. Ustalenia zawarte w p. 7.4.3 (1) i (2)
normy PN-EN 1991-1-1 wymagają, aby zarówno obciążenia , jak i zachowanie się
konstrukcji pod obciążeniem przyjmowaç realnie i z dokładnością odpowiednią do rodzaju
prowadzonej analizy. Zalecenia w tym zakresie zawarte w p. 7.4.3 są następujące:
•
w obliczeniach bliczeniach należy przyjąç przekrój niezarysowany w przypadku gdy
nośnośç betonu na rozciąganie nie została przekroczona;
•
zakładaç pośrednią deformację konstrukcji pomiędzy odpowiednią dla przekroju
zarysowanego i niezarysowanego, jeżeli z analizy wynika, że przekrój może zostaç
zarysowany. Deformacja przekrojów zależy od czasu przyłożenia obciążenia i poziomu
wygenerowanych naprężeń . W normie określono zasady wykorzystania efektu
przesztywnienia występującego części rozciąganej w zarysowanych przekrojach
konstrukcji żelbetowych .
•
•
należy używaç efektywnych modułów sztywności betonu uwzględniających pełzanie;
w analizie deformacji należy uwzględniaç krzywiznę wynikająca ze skurczu..
W praktycznych zastosowaniach należy bazowaç na ograniczeniach deformacji i
doświadczeniach wynikających z dotychczasowej praktyki (np. z dotychczas stosowanych
norm krajowych).
Typowy, podstawowy zakres analizy deformacji obejmuje podniesienie wykonawcze
deskowania konstrukcji przęsła znoszące wpływ oddziaływań stałych (z uwzględnieniem
skurczu i pełzania) na ugięcie/profil podłużny konstrukcji .
Sposób wyznaczania charakterystyki przekroju żelbetowego do analizy deformacji
podano w przykładzie dotyczącym sprawdzania poziomu naprężeń (SLS).
Dla elementów poddanych głównie zginaniu najlepszą prognozę rozpatrywanej deformacji
uzyskuje się w następujący sposób:
Współczynnik zależny od czasu trwania obciażenia lub wpływu obciążeń powtarzalnych :
β := 0.5
•
dla obciążeń trwałych i wielokrotnie powtarzalnych (1,0 dla obciążeń
krótkotrwałych i jednorazowych)
fctm ⋅ Jp
Moment rysujący:
Mcr :=
Moment:
MEd = 85 ⋅ kN ⋅ m
Wspólczynnik dystrybucji:
y
= 33.3 ⋅ kN ⋅ m
⎛ Mcr
⎜
ζ := 1 − β ⋅
⎜M
⎝ Ed
⎞
⎟ = 0.804
⎟
⎠
Ugięcia przy założeniu braku zarysowania:
Mqp ⋅ Lt
2
Mst ⋅ Lt
2
αI :=
+
= 1.131 ⋅ mm
4 ⋅ Eceff ⋅ Jp
4 ⋅ Ecm ⋅ Jp
Ugięcia przy pełnym zarysowaniu:
Mqp ⋅ Lt
2
Mst ⋅ Lt
2
αII :=
+
= 33.365 ⋅ mm
4 ⋅ Eceff ⋅ Jc
4 ⋅ Ecm ⋅ Jc
Ostatecznie ugięcie obliczone jest równe:
(
)
α := ζ ⋅ αII + 1 − ζ ⋅ αI = 27 ⋅ mm
W normie PN-EN 1992-2 brak jest jednoznacznych wartości granicznych . Wartości te mogą
byç przedmiotem indywidualnej analizy np. bazującej na zapewnieniu spadku
umożliwiającego swobodny spływ wody opadowej ze wspornika chodnikowego:
sp := 3%
•
spadek projektowany
spmin := 1%
•
przyjęty spadek minimalny
Projektowane podnisienie krawędzi wspornika:
Minimalne uniesienie krawędzi wspornika:
Warunek:
αp := Lt ⋅ sp = 45 ⋅ mm
αpmin := Lt ⋅ spmin = 15 ⋅ mm
αp − α ≥ αpmin = 1
Spełnienie warunku oznacza, że wminimalne wymagane uniesienie krawędzi wspornika
chodnikowego nie zostanie zachowane (uwzględniając ugięcie od cięzaru własnego oraz
obciążenia użytkowego). Zatem przy projektowanym spadku 3% efektywny spadek 1%
zostanie utrzymany.
Wg innego wariantu można porównaç obliczone ugięcia z wartosciami ogólnie przyjętymi
za graniczne . Np. wg PN-89/S-10042 dla wspornika ugięcie dopuszczalne jest równe:
Lt ⎞
⎛
⎜
⎟
αmax := min ⎜ 0.05 ⋅ m ,
= 3.75 ⋅ mm
400 ⎟⎠
⎝
Wartośç powyższa odnosi się do ugięç od obciążeń użytkowych , ponieważ pozostałe ugięcia
koryguje się strzałką odwrotną. Zatem odpowiednie ugięcia wynoszą:
Ugięcia przy założeniu braku zarysowania:
Mst ⋅ Lt
2
αI :=
= 0.9 ⋅ mm
4 ⋅ Ecm ⋅ Jp
Ugięcia przy pełnym zarysowaniu:
Mst ⋅ Lt
2
αII :=
= 27 ⋅ mm
4 ⋅ Ecm ⋅ Jc
Ostatecznie ugięcie obliczone jest równe:
Sprawdzenie warunku:
(
)
α := ζ ⋅ αII + 1 − ζ ⋅ αI = 22 ⋅ mm
α ≤ αmax = 0
Według tak sformułowanego kryterium ugięcia są zbyt duże , a przekrój wymaga zwiększenia
sztywnosci , np. poprzez zwiększenie wysokości przekroju.
Koniec sprawdzenia ugięcia płyty w SLS