Grafy Alberta

Transkrypt

Grafy Alberta

Wstęp
Grafy losowe
Model Erdősa-Réyniego
Model Watts-Strogatza
Model Alberta-Barabasiego
Odporność na awarie
Bibliografia
Spis treści
Grafy Alberta-Barabasiego
Jarosław Piersa
2010-01-18
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
1
2
3
4
5
6
7
Spis treści
Wstęp
Spis treści
Grafy losowe
Wielkości charakterystyczne
Model
Cechy
Model
Model
Modyfikacje modelu AB
Bibliografia
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Rozkład stopnie wierzchołków
P(deg (x) = k)
Graf jest bezskalowy jeżeli
P(deg (x) = k) ∝ k −γ
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Średnia długość ścieżki w grafie L
Współczynnik klasteryzacji
Ci =
2Ei
ki (ki − 1)
ki — ilość sąsiadów Ei — ilość krawędzi pomiędzy sąsiadami
Średni stopień wierzchołka hki
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Rozkład spektralny
Macierz sąsiedztwa A, aij = aji = 1 ⇐⇒ (ui , uj ) ∈ E
A posiada n wartości własnych λi
Rozkład spektralny
n
ρ(λ) =
1X
δ(λ − λi )
n
i=1
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Cechy
1959r.
Dane: |V | = n węzłów, p ∈ [0, 1]
Dla każdej pary u, v ∈ V z prawdopodobieństwem p niezależnie
dodaj do grafu krawędź {u, v }.
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Cechy
Cechy modelu ER
Rozkład stopni B(n − 1, p)
Średni stopień wierzchołka hki = p(n − 1)
Współczynnik klasteryzacji C = p
Średnia długość ścieżki L ∼
Rozkład spektralny
( √
ρ(λ) =
ln(n)
ln(hki)
4np(1−p)−λ2
2πnp(1−p)
0
Jarosław Piersa
p
|λ| < 2 np(1 − p)
wpw
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Cechy
Cechy modelu ER
Wykres z Albert, Barabasi 2002
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Dane: |V | = n węzłów, p ∈ [0, 1]
Rozpocznij z węzłami uporządkowanymi w topologii pierścienia
Każdy z węzłów połącz z k najbliższymi sąsiadami (z obu stron)
Każdą z krawędzi niezależnie z prawdopodobieństwem p przepisz
do innego losowego węzła w grafie uniemożliwaijąc jednak
krawędzie wielokrotne i połączenia do samego siebie.
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Obserwacje:
Sieci rzeczywiste nie powstają poprzez dodawanie krawędzi
pomiędzy z góry ustalonymi wierzchołkami
Sieć podlega ewolucji; co jakiś czas powstają w niej nowe
wierzchołki
Prawdopodobieństwo utworzenia krawędzi nie jest jednostajne na
przestrzeni dostępnych wierzchołków
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Rozpocznij z grafu składającego się z małej liczby wierzchołków
m0 .
(Wzrost ilości wierzchołków / growth) W każdym kroku ewolucji
do sieci dodawany jest wierzchołek u, który ma m < m0 krawędzi
(Preferencyjne dodawanie krawędzi / preferential attachment )
Nowe krawędzie są podpinane do istniejących węzłów w grafie
niezależnie zgodnie z rozkładem
deg(v )
P(u − v ) = P
w deg(w )
jednakże wykluczając połączenia wielokrotne.
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Cechy modelu AB
Rozkład stopni wierzchołków — potęgowy z wykładnikiem
γ = −3
P(deg (x) = k) ∝ k −3
Średni stopień wierzchołków hki = m (ilość krawędzi
dodawanych do grafu wraz z nowym wierzchołkiem)
Średnia długość ścieżki L ∼ log(n)
Wsp. klasteryzacji C =??
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Cechy modelu AB
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Pominięcie preferencyjnych połączeń
1
Rozpocznij z grafu składającego się z małej liczby wierzchołków
m0 .
2
W każdym kroku ewolucji do sieci dodawany jest wierzchołek u,
który ma m < m0 krawędzi
3
niezależnie zgodnie z rozkładem jednostajnym, jednakże
wykluczając połączenia wielokrotne.
Rozkład stopni wierzchołków zbiega do wykładniczego
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Pominięcie rozrostu grafu
1
2
Rozpocznij z pustego grafu składającego się pełnej liczby
wierzchołków n.
P(u − v ) ∼ deg(v )
Rozkład stopni wierzchołków zbiega do wykładniczego
W początkowej fazie ewolucji rozkład jest potęgowy...
Ale nie jest to rozkład stacjonarny
Po n2 /2 epokach uzyskiwany jest graf pełny
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Nieliniowe preferencyjne dodawanie krawędzi
1
2
3
Rozpocznij z pustego grafu składającego się pełnej liczby
wierzchołków n.
P(u − v ) ∼ deg(v )α
Zarówno dla α > 1 jak i α < 1 rozkład stopni nie jest potęgowy
Rozkład stopni zbiega asymptotycznie do potęgowego gdy
rozkład P zbiega do liniowego
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Początkowa atrakcyjność węzłów
1
2
Nowe krawędzie są podpinane do istniejących węzłów niezależnie
zgodnie z rozkładem
P(u − v ) ∼ deg(v ) + A
Rozkład stopni pozostaje potęgowy
P(deg (x) = k) ∝ k −γ , γ = 2 +
Jarosław Piersa
A
m
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Przyśpieszony wzrost
1
2
3
W każdym kroku dodawany jest wierzchołek u , który ma
m < m0 krawędzi
niezależnie zgodnie z rozkładem P(u − v ) ∼ deg(v ) + A
Dodatkowo do sieci dodawanych jest c0 t θ krawędzi, pierwszy
węzeł wybierany jest losowo z rozkładem jednostajnym, drugi z
rozkładem P(u − v ) ∼ deg(v ) + A
Rozkład stopni pozostaje potęgowy
γ =1+
Jarosław Piersa
1
1+θ
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Starzenie się węzłów
1
m < m0 krawędzi
2
niezależnie zgodnie z rozkładem P(u − v ) ∼ deg(v ) jednakże
wykluczając połączenia wielokrotne. Dodatkowo połączenie nie
może być dodane jeżeli węzeł przekroczył ustalony wiek
(ograniczenia wiekowe), lub ustaloną liczbę wychodzących
krawędzi (ograniczenia pojemnościowe).
dla małych k rozkład pozostaje potęgowy
dla dużych k rozkład przechodzi w wykładniczy
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Indywidualna atrakcyjność węzłów
1
m < m0 krawędzi oraz ustaloną atrakcyjność ηu
2
niezależnie zgodnie z rozkładem P(u − v ) ∼ ηv deg(v )
Rozkład potęgowy z korektą log
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Dziedziczenie krawędzi
1
W każdym kroku dodawany jest wierzchołek u , losowo
przypisywany jest mu przodek w
2
Węzeł u dziedziczy odsetek c krawędzi swojego przodka, tj
każda krawędź postaci w → v jest z prawdopodobieństwem c
kopiowana jako u → v
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Kopiowanie krawędzi
1
W każdym kroku dodawany jest wierzchołek u wraz z m
krawędziami,
2
u losowo przypisywany jest przodek (pierwowzór) w
3
Węzeł u z prawdopodobieństwem p otrzymuje krawędź do
losowego węzła, z prawdopodobieństwem 1 − p otrzymuje
krawędź skopiowaną z prototypu.
Rozkład potęgowy
γ = −(2 − p)/(1 − p)
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Model
Spacer po sieci
1
W każdym kroku dodawany jest wierzchołek u,
2
u otrzymuje krawędź do losowego v
3
Węzeł u z prawdopodobieństwem p niezależnie otrzymuje kopię
krawędzi wychodzącej z v
4
Rekursywnie u z prawdopodobieństwem p niezależnie otrzymuje
kopię krawędzi wychodzącej z każdego węzła, do którego udało
się dotrzeć, (algorytm bfs)
dla małych p rozkład wykładniczy
dla dużych p rozkład potęgowy, γ ' −2
oba reżimy rozdzielone punktem bifurkacji pc
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Odporność sieci na awarie / ataki
Dana jest spójna sieć
Z sieci usuwanych jest pn, p ∈ [0, 1] wierzchołków wybieranych
losowo (awaria)
Lub pn, p ∈ [0, 1] wierzchołków o najwyższych stopniach (atak)
Jak zmieniają się prawdopodobieństwo rozspojenia grafu, średnia
długość ścieżki i wielkość największej składowej spójnej w
zależności od p w obu przypadkach?
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Odporność sieci na awarie / ataki
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Bibliografia
R. Albert, A. L. Barabasi, Statistical mechanics of complex
networks, Reviews of modern physics, Vol 74, January 2002
Jarosław Piersa
Wstęp
Grafy losowe
Bibliografia
Praca współfinansowana ze środków Europejskiego Funduszu
Społecznego i Budżetu Państwa w ramach Zintegrowanego Programu
Operacyjnego Rozwoju Regionalnego, Działania 2.6 „Regionalne
Strategie Innowacyjne i transfer wiedzy” projektu własnego
Województwa Kujawsko-Pomorskiego „Stypendia dla doktorantów
2008/2009 – ZPORR”
Jarosław Piersa

Grafy Alberta

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wykładnicze grafy przypadkowe – sieci o zadanym hamiltonianie

Księgarnia PWN: Kenneth A. Ross, Charles R.B. Wright

Inżynieria Danych Algorytmy grafowe Lista 1 Przypomnienie

Lista 9 - Arsenic Rose

3sem Matematyka dyskretna ang

Jarosław Piersa — Curriculum Vitae - Imię Nazwisko

Szczęśliwego Nowego Roku!

MATEMATYCZNE CENTRUM ROZRYWKI

Karta przedmiotu - studia dzienne