MATEMATYCZNE CENTRUM ROZRYWKI

MATEMATYCZNE CENTRUM ROZRYWKI INTELEKTUALNEJ – zadania inne – seria 1 – dn. 25-06-2014r.
Wprowadzenie
Szanowni Państwo. Jak mogą Państwo przeczytać w nagłówku tej listy, jest to lista z zadaniami kategorii „Inne” co oznacza,
że nie będą one dotyczyć bezpośrednio wykładów (albo treści je opisujące pojawią się za jakiś czas), są to zadania dla
ambitnych albo dla osób, które przygotowują się do różnej maści konkursów, egzaminów etc. Część treści potrzebnych do
rozwiązania zadań postaram się zamieścić wraz z kolejnym wykładem aczkolwiek nie mogę obiecać, że całość potrzebnego
materiału zostanie tam zamieszczona. Na tej liście znalazły się także zadania z grafów (podpunkty b,c,d zadania numer 4).
Materiały do przynajmniej dwóch z tych podpunktów zostały już zamieszczone w ramach wykładu numer 1 i numer 2.
Zadanie 1
[2 pkt] a) Proszę znaleźć trzy różne liczby naturalne spełniające równanie: 𝑥 4 + 𝑦 4 = 𝑧 4 . Przypominam, że liczby naturalne
nie zaczynają się od zera!
[2 pkt] b) Proszę podać twierdzenia Eulera dotyczące podzielności liczb oraz znaleźć resztę z dzielenia:
2302 (𝑚𝑜𝑑 13), 1112345 (𝑚𝑜𝑑 97), 419 (𝑚𝑜𝑑 19)
[2 pkt] c) Bez używania kalkulatora proszę znaleźć największy wspólny dzielnik (NWD) oraz najmniejszą wspólną
wielokrotność (NWW) liczb 479 oraz 1258.
[1 pkt] d) Proszę podać treść małego twierdzenia Fermata. W jaki sposób odnosi się ono do twierdzenia Eulera?
Zadanie 2
[5 pkt] a) Proszę podać definicję surjekcji, injekcji oraz bijekcji. Proszę rozłożyć daną permutację na cykle
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
(
) następnie proszę określić jej typ
17 5 4 8 19 29 30 11 10 9 1 14 24 27 16 15 2 3 6 18 20 21 28 7 12 22 26 25 23 13
oraz znaleźć permutację odwrotną.
5
[2 pkt] b) Co to są liczby Stirlinga pierwszego i drugiego rodzaju? Proszę wyznaczyć wartość { }.
2
[2 pkt] c) Co to są funkcje tworzące?
Zadanie 3
[2 pkt] a) O czym nam mówi Zasada Indukcji Matematycznej oraz Zasada Indukcji Zupełnej?
1
1
1
1
1
[2 pkt] b) Proszę wykazać, że 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 1−𝑛. Z jakiej z powyżej opisanych zasad tu skorzystamy?
Zadanie 4
[2pkt] a) O czym mówi nam Hipoteza Goldbacha? Sprawdź jej poprawność dla liczb mniejszych od 10.
[1 pkt] b) Wykaż, że nie wszystkie grafy o 8 wierzchołkach regularne stopnia 5 są grafami izomorficznymi. Czy możemy
dany graf uznać za graf planarny?
[2 pkt] c) Co to znaczy, że dwa grafy są grafami izomorficznymi? Czy istnieją dwa grafy o 15 wierzchołkach regularne
stopnia 11? Uzasadnij swoją odpowiedź.
[2 pkt] d) Które grafy platońskie mogą być grafami Hamiltona a które mogą być grafami Eulera?
25-06-2014r. [Opracował Maciej Szymkowski]