MEiL - Politechnika Warszawska

POLITECHNIKA WARSZAWSKA
WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA
MEL
WPROWADZENIE
DO SZTUCZNEJ INTELIGENCJI
NS 586
Dr inŜ. Franciszek Dul
© F.A. Dul 2014
14. WNIOSKOWANIE
STATYSTYCZNE W SIECI BAYESA
© F.A. Dul 2014
Wnioskowanie statystyczne
PokaŜemy, jak zbudować model
probabilistyczny świata w postaci
tzw. sieci Bayesa, który posłuŜy
do efektywnego wnioskowania
w warunkach niepewności.
© F.A. Dul 2014
14.1. Sieci Bayesa
Sieć Bayesa jest to graf acykliczny skierowany, który umoŜliwia
zapis graficzny zaleŜności warunkowej zdarzeń.
Sieć Bayesa:
• umoŜliwia intuicyjne ujęcie zaleŜności przyczynowych pomiędzy
zmiennymi,
• pozwala przedstawić zwięźle rozkład łączny
prawdopodobieństwa.
P(Z )=0.12
Składnia sieci Bayesa:
1
– zbiór węzłów, po jednym dla kaŜdej zmiennej
losowej (węzły grafu),
– połączenia odpowiadające zaleŜnościom
pomiędzy zmiennymi (krawędzie grafu),
– rozkład prawdopodobieństwa warunkowego
kaŜdego węzła przy znanych wartościach
rozkładu prawdopodobieństwa rodziców,
P(Xi | Rodzice(Xi))
Zmienna1
Zmienna2
Z1 P (Z2|Z1)
t
0.80
f
0.20
Zmienna3
Z1 P(Z3|Z1)
t
0.45
f
0.06
Rozkład warunkowy jest przedstawiany najczęściej w postaci
tablic prawdopodobieństwa warunkowego (conditional probability table, CPT), które podają rozkład prawdopodobieństwa
warunkowego dla Xi dla kaŜdej kombinacji wartości rodziców.
© F.A. Dul 2014
14.1. Sieci Bayesa
Przykład sieci Bayesa
Sieć Bayesa dla modelu opisującego zaleŜności pomiędzy
bólem zęba, ubytkiem, wykryciem ubytku oraz pogodą.
• Zmienne losowe zadania: BólZęba, Ubytek, Wykrycie
oraz Pogoda.
Ubytek
Pogoda
BólZęba
Wykrycie
• BólZęba i Wykrycie są niezaleŜne warunkowo przy danej
wartości zmiennej Ubytek.
• Pogoda jest niezaleŜna od pozostałych zmiennych
(i vice versa).
Topologia sieci Bayesa pozwala opisać niezaleŜność absolutną
lub warunkową zmiennych.
© F.A. Dul 2014
14.1. Sieci Bayesa
Bardziej złoŜony przykład sieci Bayesa
Opis problemu
Jestem w pracy. Dzwoni do mnie sąsiad Jan z informacją,
Ŝe uruchomił się alarm w moim domu. Druga sąsiadka, Maria,
nie dzwoni. Alarm jest czasami włączany przez róŜne wstrząsy.
Czy miało miejsce włamanie do mojego domu?
• Zmienne losowe (w nawiasach nazwy skrócone):
Włamanie (W), Wstrząsy (S), Alarm (A),
MariaDzwoni (M), JanDzwoni (J).
• Wiedza o zadaniu:
– Alarm moŜe uruchomić włamywacz.
– Alarm mogą teŜ uruchomić wstrząsy, np. od przelatującego
samolotu.
– Włączony alarm moŜe (ale nie musi) skłonić Marię lub Jana do
zadzwonienia do mnie.
Topologia sieci Bayesa powinna odzwierciedlać powyŜszą
wiedzę przyczynową.
© F.A. Dul 2014
14.1. Sieci Bayesa
Sieć Bayesa dla problemu włamania
P(W)
0.001
P(S)
0.002
Włamanie
W
T
T
F
F
S P(A|W,S)
0.95
T
0.94
F
0.29
T
F
0.01
Jan Dzwoni
A P(J|A)
T 0.90
F 0.05
Wstrząsy
Alarm
Maria Dzwoni
A
T
F
P(M|A)
0.70
0.01
© F.A. Dul 2014
14.1. Sieci Bayesa
Zwartość reprezentacji za pomocą sieci Bayesa
• Rozmiar zadania jest równy liczbie wszystkich elementów w
tablicach prawdopodobieństw warunkowych.
(Dla problemu włamania jest to 1+1+4+2+2=10 prawdopodobieństw).
• JeŜeli jest n zmiennych i kaŜda zmienna ma nie więcej niŜ k
rodziców to cała sieć opisana jest za pomocą O(n·2k) liczb.
• Rozmiar rośnie więc liniowo względem n, w przeciwieństwie
do wzrostu wykładniczego O(2n) dla pełnego rozkładu
łącznego.
• Dla problemu włamania tabela prawdopodobieństwa
łącznego zawiera 25 -1 = 31 prawdopodobieństw.
S
W
A
J
M
© F.A. Dul 2014
14.2. Semantyka sieci Bayesa
Rozkład łączny prawdopodobieństwa jest iloczynem rozkładów
węzłowych
P ( X 1 ,..., X n ) =
∏
n
i =1
P ( X i | Rodzice( X i ) )
Wnioskowanie na podstawie sieci Bayesa jest analogiczne
do wnioskowania z rozkładu łącznego.
Przykład
W problemie włamania wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa dla
zdarzenia Z = „Jan dzwoni, Maria dzwoni, alarm działa, nie ma włamania
i nie ma wstrząsów” = (j ∧ m ∧ a ∧ ¬w ∧ ¬s )
P(S)
P(W)
P( j ∧ m ∧ a ∧ ¬w ∧ ¬s ) =
0.002
0.001
= P(j | a) × P(m | a)×
Wstrząsy
Włamanie
× P(a | ¬w, ¬s)
× P(¬w) × P(¬s)
W S P(A|W,S)
T T
0.95
= 0.90× 0.70
Alarm
T F
0.94
A P(M|A)
F T
0.29
× 0.01
T
0.70
F F
0.01
F
0.01
A P(J|A)
× 0.999× 0.998
T 0.90
Maria Dzwoni
Jan Dzwoni
F 0.05
= 0.0062
© F.A. Dul 2014
14.2. Semantyka sieci Bayesa
Budowanie sieci Bayesa
1. Wybrać porządek zmiennych losowych X1, … ,Xn ;
2. Dla i = 1, … , n :
– dodać Xi do sieci;
– wybrać spośród X1, … ,Xi-1 takich rodziców, dla których
P(Xi | Rodzice(Xi)) = P(Xi | X1, ... Xi-1)
i narysować odpowiednie strzałki w sieci.
Uwaga! Wybór ten nie musi być jednoznaczny.
Taki wybór rodziców gwarantuje właściwe reprezentowanie
rozkładu łącznego:
P(X1, … ,Xn) = ∏ i =1 P(Xi | X1, … , Xi-1) (reguła łańcuchowa)
= ∏ i =1 P(Xi | Rodzice(Xi))
(z konstrukcji)
© F.A. Dul 2014
14.2. Semantyka sieci Bayesa
Topologia sieci oraz jej zwartość zaleŜą od początkowego
wyboru porządku zmiennych.
Przykład
ZałóŜmy, Ŝe wybraliśmy porządek zmiennych: M, J, A, W, S;
P(J | M) = P(J)? Nie
Maria Dzwoni
P(A | J, M) = P(A | J)? Nie
Jan Dzwoni
P(A | J, M) = P(A)? Nie
P
P(W
| A, J, M) = P(W)?
P
Nie
P(W | A, J, M) = P(W | A)? Tak
P(S | W, A ,J, M) = P(S | A)? Nie
P(S | W, A, J, M) = P(S | A, W)? Tak
Alarm
Włamanie
Wstrząsy
Taki porządek zmiennych wprowadził dwie nowe krawędzie.
Sieć jest mniej zwarta niŜ poprzednio: trzeba zapamiętać
1 + 2 + 4 + 2 + 4 = 13 prawdopodobieństw.
© F.A. Dul 2014
14.2. Semantyka sieci Bayesa
Określenie właściwej topologii sieci jest sztuką.
Włamanie
Maria Dzwoni
Maria Dzwoni
Wstrząsy
Jan Dzwoni
Jan Dzwoni
Alarm
Wstrząsy
Alarm
Włamanie
Jan Dzwoni
Maria Dzwoni
a)10 prawdopodobieństw
Włamanie
Wstrząsy
b) 13 prawdopodobieństw
Alarm
c) 31 prawdopodobieństw
Wszystkie powyŜsze sieci są równowaŜne, ale:
• sieć (a) jest typu „przyczyna ⇒ skutek”.
• sieć (b) jest typu „skutek ⇒ przyczyna”.
• sieć (c) ma topologię „nadmiarową” odpowiadającą pełnemu
rozkładowi łącznemu.
Wnioskowanie przyczyna ⇒ skutek prowadzi zazwyczaj do
sieci o najprostszej topologii.
WaŜne jest aby nie pominąć istotnych zaleŜności pomiędzy
zmiennymi.
© F.A. Dul 2014
14.4. Wnioskowanie ścisłe w sieci Bayesa
Prawdopodobieństwo zmiennej X przy danych wartościach
zmiennych E = e jest równe
P( X | e ) = α P( X , e ) = α ∑ P( X , e , y )
y
Wyznaczmy w zagadnieniu włamania prawdopodobieństwo
zdarzenia P(Wlamanie|JanDzwoni=prawda,MariaDzwoni=prawda)
P(W | j , m ) = α P(W , j , m ) = α ∑∑ P(W , s, a, j , m)
s
a
gdzie: j = (JanDzwoni=prawda), m = (MariaDzwoni=prawda)
Zmienne ukryte y: a =Alarm, s = Wstrzasy
Dla przypadku w = (Włamanie=prawda) otrzymujemy
P(w | j , m ) = α ∑∑ P ( w) P( s ) P(a | w, s ) P( j | a ) P (m | a )
s
a
Po przegrupowaniu składników otrzymujemy
P(w | j , m ) = α P ( w)∑ P ( s )∑ P (a | w, s ) P ( j | a ) P(m | a )
s
a
© F.A. Dul 2014
14.4. Wnioskowanie ścisłe w sieci Bayesa
Wyznaczenie prawdopodobieństwa dla w = (Włamanie=prawda)
P(w | j , m ) = α P ( w)∑ P ( s )∑ P(a | w, s ) P( j | a ) P (m | a )
P(B)
0.001
Włamanie
B
T
T
F
F
E
T
F
T
F
P(A|B,E)
0.95
0.94
0.29
0.01
Jan Dzwoni
s
P(E)
0.002
Wstrząsy
P(w|j,m) = α × 0.000592238
P(w)
0.001
Alarm
A P(J|A)
T 0.90
F 0.05
A
T
F
P(M|A)
0.70
0.01
0.592238
Maria Dzwoni
P(s)
0.002
0.598525
0.5985
P(a|w,s)
0.95
0.01197
0.591041
0.59223
+
0.000025
P(¬a|w,s)
0.05
P(a|w,¬s)
0.94
0.70
P(m|¬a)
0.01
0.0005
P(j|¬a)
0.05
P(j|a)
0.90
0.01
0.5922
0.00003
P(¬a|w,¬s)
0.06
0.63
0.0005
P(j|¬a)
0.05
P(j|a)
0.90
P(¬s)
0.998
+
+
0.63
P(m|a)
0.70
a
0.70
P(m|a)
0.70
P(m|¬a)
0.01
0.01
© F.A. Dul 2014
14.4. Wnioskowanie ścisłe w sieci Bayesa
Wyznaczenie prawdopodobieństwa dla ¬w = (Włamanie=fałsz)
P(¬w | j , m ) = α P (¬w)∑ P ( s )∑ P (a | ¬w, s ) P ( j | a ) P(m | a )
P(B)
0.001
Włamanie
B
T
T
F
F
E
T
F
T
F
P(A|B,E)
0.95
0.94
0.29
0.01
Jan Dzwoni
s
P(E)
0.002
Wstrząsy
P(¬w|j,m) = α × 0.001492
P(¬w)
0.999
Alarm
A P(J|A)
T 0.90
F 0.05
A
T
F
P(M|A)
0.70
0.01
0.001493
Maria Dzwoni
P(s)
0.002
0.183055
0.1827
P(a|¬w,s)
0.29
0.000366
0.001127
0.00113
+
0.000355
P(¬a|¬w,s)
0.71
P(a|¬w,¬s)
0.00063
0.001
P(j|¬a)
0.05
P(m|¬a)
0.01
P(¬a|¬w,¬s)
0.999
0.0005
P(j|¬a)
0.05
P(j|a)
0.90
0.01
0.0005
0.63
0.0005
0.70
P(m|a)
0.70
P(¬s)
0.998
+
+
0.63
P(j|a)
0.90
a
0.70
P(m|a)
0.70
P(m|¬a)
0.01
0.01
© F.A. Dul 2014
14.4. Wnioskowanie ścisłe w sieci Bayesa
Prawdopodobieństwo zdarzenia P(W | j,m) jest więc równe
P(W | j , m ) = 〈 P (w | j , m ) , P (¬w | j , m ) 〉
= 〈 α × 0.000592 , α × 0.001492 〉
α = 1 /(0.000592 + 0.001492) = 479.8245
P(W | j , m ) = 479.8245 × 〈 0.000592 , 0.001492 〉 =
= 〈 0.284 , 0.716 〉
Oznacza to, Ŝe prawdopodobieństwo włamania gdy dzwonią
oboje sąsiedzi wynosi ok. 28%
Wady wnioskowania ścisłego w sieciach Bayesa:
• Składniki wyraŜenia dla prawdopodobieństwa są obliczane
wielokrotnie, np. P(j|a)P(m|a) czy P(j|¬a)P(m|¬a).
• ZłoŜoność obliczeniowa dla sieci z n zmiennymi boolowskimi
jest wykładnicza - O(2n) ale jest niŜsza niŜ w przypadku
ogólnym, w którym jest równa O(n ·2n).
© F.A. Dul 2014
14.5. Wnioskowanie przybliŜone w sieci Bayesa
Ze względu na wielką złoŜoność obliczeniową wyznaczania
prawdopodobieństwa na podstawie sieci Bayesa w praktyce
stosuje się najczęściej wnioskowania przybliŜone.
Algorytm Monte Carlo próbkowania zmiennych losowych
Idea: przy duŜej liczbie próbkowań prawdopodobieństwo określone jako liczba próbek danej wartości zmiennej w stosunku
do liczby wszystkich próbkowań dąŜy do wartości dokładnej,
∑ N ( x)
P ( x ) = lim
N →∞
N
Przykład: rzut monetą, Moneta = 〈 orzeł , reszka 〉, prawdopodobieństwo ścisłe P(Moneta) = 〈 0.5 , 0.5 〉, zaś przybliŜone
∑ N (reszka )
∑ N (orzeł )
PN (reszka ) ≈
PN (orzeł ) ≈
N
N
Przykład: kolejne rzuty monetą prowadzą do oszacowań:
PN (reszka ) = { 0.0 , 0.3 , 0.4 , 0.55 , 0.43 , 0.49 , ...}
© F.A. Dul 2014
14.5. Wnioskowanie przybliŜone w sieci Bayesa
Próbkowanie losowe w sieci Bayesa.
Zasada: próbkowanie kaŜdej zmiennej w kolejności określonej
przez sieć.
Przykład: sieć Bayesa dla problemu mokrej trawy, uporządkowana następująco: [ Chmury, Zraszacz, Deszcz, MokraTrawa ]
P(C)=0.5
Chmury
C P(Z)
t 0.10
f 0.90
Deszcz
Zraszacz
C P(D)
t 0.80
f 0.20
MokraTrawa
Z
t
t
f
f
D
t
f
t
f
P(M)
0.99
0.90
0.90
0.00
© F.A. Dul 2014
14.5. Wnioskowanie przybliŜone w sieci Bayesa
Przykład próbkowania w sieci Bayesa
1. P(Chmury) = 〈 0.5, 0.5 〉.
Próbkowanie: prawda;
2. P(Zraszacz|Chmury=prawda) = 〈 0.1, 0.9 〉
Próbkowanie: fałsz;
3. P(Deszcz|Chmury=prawda) = 〈 0.8, 0.2 〉
Próbkowanie: prawda;
4. P(MokraTrawa|Zraszacz=fałsz,Deszcz=prawda) = 〈0.9,0.1〉〉
Próbkowanie: prawda;
Próbkowanie zwróciło więc zdarzenie zgodne z siecią
Z1 = [prawda,fałsz,prawda, prawda].
Kolejne próbkowanie moŜe zwrócić inne zdarzenie, np.
Z2 = [prawda, prawda,fałsz, prawda].
Z sieci Bayesa wynika, Ŝe prawdopodobieństwo SPS(x1,...,xn)
wybranej próbki [x1,...,xn] wynosi
S PS ( x1 ,..., xn ) =
n
∏ P( x | rodzice( X ))
i
i
i =1
i jest równe prawdopodobieństwu zdarzenia reprezentowanego przez sieć Bayesa
S PS ( x1 ,..., xn ) = P ( x1 ,..., xn )
© F.A. Dul 2014
14.5. Wnioskowanie przybliŜone w sieci Bayesa
JeŜeli NPS(x1,...,xn) jest liczbą wylosowań próbki [x1,...,xn], to
N PS ( x1 ,..., xn )
lim
= S PS ( x1 ,..., xn ) = P ( x1 ,..., xn )
N →∞
N
W przykładzie mokrej trawy prawdopodobieństwa zdarzeń
wylosowanych z sieci Bayesa wynoszą
SPS(Z1) = 0.5 × 0.9 × 0.8 × 0.9 = 0.324,
SPS(Z2) = 0.5 × 0.1 × 0.2 × 0.9 = 0.009.
Przy duŜej liczbie próbkowań N zdarzenie Z1 będzie wybrane
w 32.4%, zaś zdarzenie Z2 - tylko w 0.9% przypadków.
Koszt C wnioskowania przybliŜonego w sieciach Bayesa jest
zazwyczaj duŜo niŜszy niŜ koszt wnioskowania ścisłego,
C << O(2n)
Istnieją równieŜ inne metody wnioskowania przybliŜonego
w sieciach Bayesa, np. metoda Monte Carlo dla łańcucha
Markowa (Markov chain Monte Carlo).
© F.A. Dul 2014
UŜyteczność sieci Bayesa
Sieci Bayesa stanowią wygodną formę reprezentacji
zaleŜności zdarzeń.
Pozwalają teŜ znacznie zredukować rozmiar
reprezentacji a takŜe koszt wnioskowania
stochastycznego.
Wnioskowanie przybliŜone w sieciach Bayesa
cechuje się niskim kosztem przy zadowalających
dokładnościach uzyskiwanych rozkładów
prawdopodobieństw.
Sieci Bayesa są równieŜ wykorzystywane do opisu
dynamicznych zjawisk stochastycznych stanowiąc
podstawę filtru Kalmana.
© F.A. Dul 2014
14.7. Inne metody wnioskowania probabilistycznego
Podejście stochastyczne jest szeroko stosowane w wielu
dziedzinach wiedzy i praktyki: w fizyce, genetyce, ekonomii,
ubezpieczeniach, bankowości...
W sztucznej inteligencji podejście probabilistyczne jest
uŜywane dopiero od lat 70. XX wieku, głównie w systemach
ekspertowych.
Powodem był wykładniczy koszt wnioskowania – wcześniej
nie znano algorytmów dla sieci Bayesa.
Dlatego do wnioskowania w warunkach niepewności
stosowano podejścia alternatywne, takie jak:
• wnioskowanie domyślne,
• reprezentacja niepewności za pomocą reguł,
• reprezentacja ignorancji (teoria Dempstera-Shafera),
• reprezentacja nieprecyzyjności za pomocą logiki rozmytej.
Panuje przekonanie, Ŝe wnioskowanie stochastyczne jest
bardziej uniwersalne niŜ powyŜsze wnioskowania alternatywne.
© F.A. Dul 2014
14.7. Inne metody wnioskowania probabilistycznego
Metody wnioskowania oparte na regułach
Metody wnioskowania wykorzystujące reguły są oparte na
logice zdań lub logice pierwszego rzędu.
Wnioskowanie logiczne jest uzupełnione czynnikiem
określającym stopień wiarygodności (fudge factor), np.
A25 |→0.3 zapewni dojazd na czas;
Uwzględnienie stopnia wiarygodności umoŜliwia „sterowanie”
wnioskowaniem logicznym.
Jednak z podejściem takim wiąŜą się trudności.
Przykład
Czy mokra trawa jest wynikiem deszczu, Zraszacz
Deszcz
czy teŜ włączenia zraszacza?
–
–
Zraszacz |→ 0.99 MokraTrawa;
MokraTrawa |→ 0.7 Deszcz;
MokraTrawa
Problem: czy zraszacz powoduje deszcz?
Mimo takich problemów wnioskowanie z czynnikiem pewności
jest stosowane z powodzeniem w wielu systemach
ekspertowych (np. MYCIN).
© F.A. Dul 2014
14.7. Inne metody wnioskowania probabilistycznego
Teoria Dempstera-Shafera reprezentacji ignorancji
Teoria Dempstera-Shafera opisuje róŜnice pomiędzy
niepewnością a ignorancją.
Funkcja wiarygodności Bel(X) opisuje prawdopodobieństwo
tego, Ŝe obserwacje potwierdzają twierdzenie X.
Przykład
Dla zdarzenia „Reszka” przy rzucie niepewną monetą i przy
braku obserwacji zarówno Bel(Reszka)=0 jak i Bel(¬Reszka)=0.
JeŜeli stwierdzi się z 90% pewnością, Ŝe moneta jest dobra,
(P(Reszka)=0.5), to Bel(Reszka) = 0.9× 0.5 = 0.45; podobnie
Bel(¬Reszka) = 0.45.
Istniejąca 10% luka wyraŜa niepewność co do jakości monety.
Reguła Dempstera określa sposób wyznaczania wartości
funkcji Bel na podstawie obserwacji.
Teoria Dempstera-Shafera definiuje przedziały prawdopodobieństwa, np. dla wyrzucenia reszki przedział prawdopodobieństwa wynosi [0,1] przed weryfikacją monety, zaś po jej
weryfikacji [0.45,0.55].
© F.A. Dul 2014
14.7. Inne metody wnioskowania probabilistycznego
Logika rozmyta i reprezentacja nieprecyzyjności
Teoria zbiorów rozmytych określa nieprecyzyjność twierdzeń.
Przykład
Czy zdanie „Jan jest wysoki” (wzrost 175cm) jest prawdziwe?
Najczęstsza odpowiedź: Jan jest wysoki „w pewnym stopniu”.
UWAGA! Nieprecyzyjność nie jest niepewnością (wzrost Jana
jest znany).
Teoria zbiorów rozmytych określa stopień prawdziwości
twierdzeń, np. Wysoki(Jan) ∈ [0,1] zamiast Wysoki(Jan)=fałsz.
Stopień prawdziwości opisuje zazwyczaj rozkład typu probit
1.0
Wysoki
0.0
1.0
1.5
2.0
m
2.5
© F.A. Dul 2014
14.7. Inne metody wnioskowania probabilistycznego
Logika rozmyta i reprezentacja nieprecyzyjności
Logika rozmyta umoŜliwia wnioskowanie z wyraŜeniami
logicznymi określonymi w zbiorach rozmytych.
Miara prawdziwości T określona jest regułami:
• T(A ∧ B) = min ( T(A) , T(B) ),
• T(A ∨ B) = max ( T(A) , T(B) ),
• T(¬A) = 1 – T(A).
T(Wysoki(Jan)) = 0.6, T(CięŜki(Jan)) = 0.4.
T(Wysoki(Jan)∧ CięŜki(Jan)) = 0.4 → OK.
ale…
T(Wysoki(Jan)∧ ¬Wysoki(Jan)) = 0.4 ???
Sterowanie rozmyte słuŜy do syntezy sterowania przy uŜyciu
reguł rozmytych.
Sterowanie rozmyte jest szeroko stosowane w wielu
urządzeniach, np.: pralkach, kamerach wideo, sprzęcie AGD.
© F.A. Dul 2014
Podsumowanie
• Sieci Bayesa stanowią naturalną reprezentację
niezaleŜności warunkowej (określanej przyczynowo).
• Topologia sieci i tablice prawdopodobieństwa warunkowego
(CPT) pozwalają na zwartą reprezentację rozkładu łącznego
prawdopodobieństwa.
• Wnioskowanie ścisłe w sieci Bayesa jest kosztowne ~O(2n).
• Wnioskowanie przybliŜone za pomocą próbkowania zdarzeń
pozwala obniŜyć koszt obliczeń przy zachowaniu akceptowalnej dokładności.
• Sieci Bayesa są szczególnie przydane i łatwe do zastosowania w systemach ekspertowych.
• Istnieją inne sposoby uwzględniania niepewności: reguły
niepewności, reprezentacja ignorancji, logika rozmyta.
© F.A. Dul 2014