POBIERZ wykład nr 2

2016-10-15
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne – miarą ilość zdarzeń
elementarnych odpowiadających zdarzeniu A i przestrzeni
zdarzeń W są pola (objętości) odpowiednich figur (brył)
geometrycznych (np. wyznaczenie liczby p, igła Buffona).
Paradoks Bertranda – problem z wyborem przestrzeni W w każdym przypadku jest inna) – są to różne sposoby
losowania.
RPiS 2016/2017

)
RPiS 2016/2017

Aksjomat II ( P(W)=1 ), teraz B jest przestrzenią próbkowania
P( B  B) P( B)
P( B | B) 

1
P( B)
P( B)
P( Ak ))
Aksjomat III ( Ak rozłączne: P( Ak ) 



k
k

P(( Ak ) | B)   P( Ak | B) gdyż

P(( Ak ) | B) 
k
k
P(( Ak )  B)
k
k

P( ( Ak  B))
k
P( B)
P( B)
P( Ak  B)

  P( Ak | B)
P( B)
k
k

 P(A
k

 B)
k
P( B)




RPiS 2016/2017
Partycja przestrzeni próbek
II:
B
k
2
Każde prawdopodobieństwo jest warunkowe
P( A)  P( A | Ω)
A  B    P( A | B)  0
P( A)
P( B)
B  A  P( A | B)  1
A  B  P( A | B) 
P( A | B)  P( A)  P( B | A)  P( B)
Nie ma zależności pomiędzy wartościami P(A) i
P(A|B).
Można budować bardziej skomplikowane relacje.
3
RPiS 2016/2017
4
Wzór Bayesa
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego
Zbiór zdarzeń Bk k=1,2,…,n tworzy partycję przestrzeni
próbek W jeżeli:
I:  i  j : Bi  B j  
n
P( B)  0
Powyższa definicja jest zgodna z definicją
aksjomatyczną prawdopodobieństwa.
Odpowiada ona prawdopodobieństwu zdarzenia A w
przestrzeni próbek ograniczonej do zdarzenia B.
P( B | B)  1 gdyż

P( A  B)
P( B)
Kilka własności prawdopodobieństwa
warunkowego
P( A)  0
P( A | B)  0 gdyż P( A  B)  0  P( B)  0
Aksjomat I (
P( A | B) 
1
Zgodność z aksjomatami

Sytuacja: A,B – to dwa zdarzenia w przestrzeni próbek
W związanej z eksperymentem E, P(B)>0. W wyniku
przeprowadzenia eksperymentu E stwierdzamy, że
zaszło zdarzenie B.
Prawdopodobieństwo warunkowe to liczba
P( A  B)  P( A | B) P( B) dla P( B)  0
P( A  B)  P( B | A) P( A) dla P( A)  0
Łącznie otrzymujemy wzór Bayesa
W
k 1
np. zdarzenie A i przeciwne do niego zdarzenie W\A tworzą
partycję przestrzeni W.
Zał: zbiory B1,…,Bn tworzą partycje przestrzeni W, i : P( Bi )  0
a zdarzenie A W. Wtedy zachodzi reguła całkowitego
prawdopodobieństwa:
n
n
i 1
i 1
P( A)   P( A  Bi )   P( A | Bi ) P( Bi )
RPiS 2016/2017
P( B | A) 
P( A | B) P( B)
P( A)
Stosując powyższe dla B=Bk tworzącego partycję
przestrzeni W dostajemy
P( Bk | A) 
P( Bk  A)
P( A | Bk ) P( Bk )
 n
P( A)
 P( A | Bi ) P( Bi )
i 1
5
RPiS 2016/2017
6
1
2016-10-15
Wzór „łańcuchowy”
Wzór Bayesa
Zał. P( A1  A2   An-1 )  0
Prawdopodobieństwo a priori – prawdopodobieństwo
zdarzenia przed wprowadzeniem dodatkowej informacji
Prawdopodobieństwo a posteriori – prawdopodobieństwo
zdarzenia po wprowadzeniu dodatkowej informacji
Wtedy zachodzi wzór:
P( A1  A2    An )  P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1  A2 ) 
  P( An | A1  A2    An-1 )
Przykłady:
-dowód – iteracja definicji prawdopodobieństwa
warunkowego
P(A1)
-uzasadnia metodę
„drzewka”
A1
I. Losowanie kul z urny
II. Test medyczny (ćwiczenia)
A1
P(A2|A1)
A2
P(A3|A2∩A1)
A3
RPiS 2016/2017
7
RPiS 2016/2017
8
2