Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu

Ćwiczenie nr 2
Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła
balistycznego
I.
Wymagania do ćwiczenia
1. Dynamika ruchu obrotowego.
2. Drgania harmoniczne
Literatura:
D. Halliday, R. Resnick, J. Walker – Podstawy fizyki, t.1, PWN, Warszawa 2003
Rozdz. 11.1÷11.5 i 11.7÷11.9 Obroty; str. 260÷280
Rozdz. 12.8÷12.10 Moment pędu; str. 310÷317
D. Halliday, R. Resnick, J. Walker – Podstawy fizyki, t.2, PWN, Warszawa 2003
Rozdz. 16.1, 16.2, 16.3 Drgania; str. 94÷100
II. Wprowadzenie do tematyki ćwiczenia
Wahadło balistyczne jest urządzeniem służącym do wyznaczania prędkości lotu pocisku.
Znane jest ono w wielu odmianach. Jedno z takich wahadeł, którego schemat przedstawiony
jest na (rys. 1), użyto w tym ćwiczeniu. Zasadniczym jego elementem jest poziomy pręt
metalowy, obracający się wokół pionowej osi, z dwiema przesuwnymi masami M,
położonymi w odległości R od osi. Na obu końcach pręta, w odległości r od osi, zamocowane
są dwie tarcze. W jedną z nich, w kierunku prostopadłym do pręta, uderza pocisk wprawiony
w ruch przez wyrzutnię (nie pokazaną na rysunku), na skutek czego wahadło zostaje
wprawione w ruch obrotowy. Oś wahadła jest wykonana z drutu połączonego na stałe z
prętem i z podstawą. Drut ten pełni rolę sprężyny skrętnej i zapewnia działanie momentu
sprężystości podczas wychylenia pręta z położenia równowagi.
Rys. 1. Wahadło balistyczne
Moment sprężystości jest wprost proporcjonalny do kąta wychylenia α z położenia
równowagi, co opisuje równanie:
M s = − Dα ,
(1)
gdzie współczynnik proporcjonalności D zwany jest momentem kierującym i ilościowo
opisuje sprężystość skrętną. Powyższa równość stanowi jednocześnie definicję momentu
1
kierującego D, a to między innymi znaczy, że możemy wyznaczyć z niego jednostkę D – jest
ona równa Nm. Minus w tym równaniu jest odbiciem faktu, że moment sprężystości Ms jest
przeciwnie skierowany do kąta wychylenia α. Równanie (1) jest analogiczne do równania
opisującego zależność siły sprężystości Fs od wychylenia x dla „zwykłej” sprężyny:
(2)
Fs = -kx,
gdzie k jest współczynnikiem sprężystości. Porównanie obu równań pozwala dojść do
wniosku, znanego wcześniej w mechanice, że następujące pary wielkości są do siebie
analogiczne: Ms i Fs, D i k, α i x.
Po uderzeniu pocisku w tarczę, jeżeli zaniedbać znikomą przy tych prędkościach siłę
oporu powietrza, na wahadło działa jedynie moment sprężystości Ms i jest on powodem
przyśpieszenia kątowego ε wahadła, zgodnie z II zasadą dynamiki:
ε=
Ms
Dα
=−
,
I
I
gdzie ε =
d 2α
,
dt 2
(3)
a I jest momentem bezwładności wahadła, względem osi pokrywającej się z osią sprężyny
skrętnej. Z obu powyższych zależności otrzymujemy równanie różniczkowe drgań
harmonicznych skrętnych:
α +
D
α = 0,
I
(4)
gdzie kropka oznacza pochodną po czasie. Równanie to jest analogiczne do znanego równania
drgań harmonicznych:
x +
k
x = 0,
m
(5)
gdzie k jest współczynnikiem sprężystości zdefiniowanym przez równanie (2), a m jest masą
ciała drgającego. Rozwiązanie tego typu równania różniczkowego pokazuje, że stojąca w nim
wielkość mk , oznaczona jako ω2, jest kwadratem częstości drgań oscylatora harmonicznego, z
czego można otrzymać okres drgań:
T=
2π
ω
= 2π
m
.
k
(6)
Ponieważ równanie (4) jest identyczne z równaniem (5) pod względem matematycznym, to
2
D
I = ω , z czego wynika, że okres drgań skrętnych jest równy:
T = 2π
I
.
D
(7)
Jeżeli wahadło balistyczne wprawimy w ruch z masami M umieszczonymi w odległości
R=R1 od osi, a potem z masami umieszczonymi w odległości R=R2 od osi, to jego momenty
bezwładności I1 i I2 w obu tych przypadkach można rozłożyć na moment I0 części stałych
wahadła oraz moment przesuwnych mas M:
I 1 = I 0 + 2MR12 , I 2 = I 0 + 2MR 22 .
(8)
Wynikają stąd wzory na okres drgań wahadła balistycznego w obu tych przypadkach:
T1 = 2 π
I + 2 MR22
I 0 + 2 MR12
, T2 = 2 π 0
.
D
D
2
(9)
Ze wzorów (9) można wyliczyć, potrzebny w dalszej części, moment kierujący D sprężyny
wahadła oraz stałą część momentu bezwładności wahadła I0:
D=
8π 2 M (R12 − R22 )
,
T12 − T22
I0 =
2 M (R12T22 − R22T12 )
.
T12 − T22
(10)
Nieruchome początkowo wahadło, znajdujące się w położeniu równowagi, zostaje
pobudzone do drgań przez uderzający pocisk. Dlatego, zgodnie z zasadą zachowania
momentu pędu, moment pędu pocisku przed uderzeniem jest równy momentowi pędu
wahadła razem z pociskiem tuż po uderzeniu:
mν r = Iω max ,
(11)
gdzie: m - masa pocisku, przy czym m<<M,
ν - prędkość pocisku tuż przed uderzeniem w wahadło,
r - odległość od osi wahadła do punktu, w którym pocisk wbije się w tarczę,
I - moment bezwładności wahadła (wraz z pociskiem),
ωmax - maksymalna wartość prędkości kątowej wahadła balistycznego, tuż po uderzeniu.
W celu obliczenia ωmax, posłużmy się kinematycznym równaniem drgań skrętnych:
α (t ) = α max sin (Ωt + ϕ ) ,
(12)
gdzie αmax jest kątową amplitudą drgań skrętnych, a Ω jest częstością drgań (oznaczoną od
tego miejsca wielką literą, żeby nie myliła się z prędkością kątową ω):
Ω=
2π
.
T
(13)
Równanie to jest rozwiązaniem różniczkowego równania drgań (4), podobnie jak
kinematyczne równanie x(t)=Asin(Ωt+ϕ) zwykłych drgań jest rozwiązaniem różniczkowego
równania drgań (5). Ponieważ prędkość kątowa ω(t) wahadła jest pochodną kąta α(t), to jej
wyznaczenie z równania (12) daje wynik:
ω (t ) = α (t ) = α max Ω cos(Ωt + ϕ ) ,
(14)
z którego wyznaczamy maksymalną prędkość kątową wahadła:
ωmax=αmaxΩ,
czyli
ω max =
2 πα max
.
T
(15)
Wstawiając do równania (11) prędkość kątową ωmax obliczoną w równaniu (15) oraz
całkowity moment bezwładności wahadła obliczony z równania (7), otrzymujemy równanie:
mν r =
Dα max T
,
2π
(16)
z którego można obliczyć prędkość uderzającego pocisku:
ν=
Dα max T
.
2 πmr
3
(17)
III.
Metodologia wykonania pomiarów
Układ pomiarowy przedstawiony jest na rys. 2. Poziomy pręt metalowy 5, z dwiema
przesuwnymi masami 4 oraz z tarczą 6, jest zamocowany na osi 2 wykonanej z napiętego
drutu. Wyrzutnia 8 służy do wprawiania w ruch pocisku, który uderzy w tarczę 6. Regulator 1
umożliwia ustawienie położenia równowagi wahadła dla kąta α=0 odczytywanego na
podziałce umieszczonej na obudowie 7. Za pomocą cyfrowego miernika 9 jest wykonywany
pomiar czasu i liczby wahań. Wyniki tych pomiarów są wyświetlane na wskaźnikach 10 i 11.
Pomiar trwa od momentu przejścia wahadła przez położenie równowagi, następujące po
uprzednim przyciśnięciu przełącznika W2. Mierzenie czasu trwa do momentu przejścia
wahadła przez położenie równowagi, następujące po uprzednim przyciśnięciu przełącznika
W3.
1. Regulator położenia równowagi
2. Oś wahadła
3. Statyw
4. Masa M
5. Poziomy pręt
6. Tarcza
7. Przezroczysta obudowa
8. Wyrzutnia
9. Cyfrowy miernik
10. Wskaźnik liczby
wahnięć
11. Wskaźnik czasu
12. Przyciski W1, W2 i W3
a.
b.
Rys. 2. Wygląd ogólny urządzenia pomiarowego (a.) oraz jego schemat (b.)
Kolejność wykonywania czynności:
1. Maksymalnie zsunąć ciężarki o masie M i zmierzyć odległość R1 (rys. 1). Przy ustalaniu
położenia R1 należy kierować się znakami naciętymi na pręcie w odstępach co 1 cm.
2. Wyzerować położenie wahadła ( α = 0 ).
3. Wystrzelić pocisk z urządzenia strzelającego i zmierzyć na skali kątowej maksymalny kąt
wychylenia αmax. Zmierzyć także odległość r od osi punktu, w który trafił pocisk.
Zanotować niepewności maksymalne ∆α i ∆r dla obu pomiarów.
4
4. Włączyć i wyzerować miernik czasu (przycisk W1).
5. Zmierzyć czas t1 n=10 wahnięć. W tym celu odchylić wahadło o dowolny kąt, zwolnić
miernik czasu (przycisk W2) i puścić wahadło. Gdy miernik pokaże liczbę 9 wahnięć,
nacisnąć wyłącznik W3.
6. Pomiar czasu t1 powtórzyć N=12 razy.
7. Rozsunąć ciężarki na maksymalną odległość R2 , zmierzyć ją i powtórzyć czynności z
punktów 4 ÷ 6, mierząc czas t2 n wahnięć.
8. Zważyć pocisk m na wadze analitycznej. Zanotować wielkość działki elementarnej ∆m.
Tabela pomiarowa
Lp.
R1
t1
R2
t2
α max
r
m
M
D
I0
ν
U(ν)
-
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[rad]
[ ]
[ ]
[kg]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
0.194
IV.
Obliczenia
1. Obliczyć wartości średnie t1śr i t2śr oraz okresy drgań T1śr= t1śr/n i T2śr= t2śr/n.
2. Ze wzorów (10) obliczyć moment kierujący D sprężyny oraz stałą część momentu
bezwładności wahadła I0. We wzorach użyć średnich wartości okresów.
3. Ze wzoru (17) obliczyć prędkość ν pocisku. W obliczeniach należy użyć okresu drgań
właściwego dla takiego rozsunięcia ciężarków, jak podczas wystrzelenia pocisku.
4. Obliczyć niepewności standardowe u(t1śr) i u(t2śr) metodą typu A. Należy zwrócić uwagę
na to, aby nie pomylić liczby N powtórzeń pomiarów czasów t1 i t2 z liczbą n okresów
składających się na jeden czas t1 lub t2.
5. Obliczyć niepewności standardowe u(T1śr) i u(T2śr) z prawa przenoszenia niepewności.
6. Obliczyć niepewności standardowe u(R1) i u(R2) metodą typu B, przyjmując niepewność
maksymalną ∆R1 = ∆R2 = 1 mm.
7. Obliczyć niepewności standardowe u(D) i u(I0) z prawa przenoszenia niepewności. Masę
M przyjąć jako znaną z pomijalnie małą niepewnością.
8. Obliczyć niepewności standardowe u(αmax), u(r) i u(m) metodą typu B na podstawie
działki elementarnej. Zadbać o to, żeby działka elementarna dla pomiaru kąta była
wyrażona w radianach.
9. Obliczyć niepewność standardową prędkości pocisku u(ν) z prawa przenoszenia
niepewności. Obliczyć niepewność rozszerzoną U(ν), przyjmując współczynnik
rozszerzenia równy 3. Poprawnie zapisać końcowy wynik wraz z niepewnością.
5