docSformu lowanie Lagrange`a dynamiki uk ladu punktów materialnych
download 
Reklamacja Transkrypt
Sformu lowanie Lagrange`a dynamiki uk ladu punktów materialnych
Sformulowanie Lagrange’a dynamiki ukladu punktów materialnych Polożenie ukladu N punktów materialnych w przestrzeni wymaga określenia N wektorów wodzacych, tzn. 3N wspólrzednych. Liczba niezależnych wielkości, których znajomość jest ι ι niezbedna do jednoznacznego określenia polożenia ukladu jest nazywana liczbaι stopni swoι body ukladu. Oznaczmy jaι przez s. Wspólrzednymi uogólnionymi nazywamy s dowolnych ι wielkości q1 , q2 , ..., qs charakteryzujacych ca lkowicie po lożenia skladowych ukladu o s stopι d niach swobody. Pochodne tych wielkości, q̇i ≡ dt qi , noszaι nazweι predkości uogólnionych. ι W myśl tzw. zasady najmniejszego dzialania (inaczej zasady Hamiltona) każdy uklad mechaniczny jest określony przez pewnaι funkcjeι L(q1 , q2 , ..., qs , q̇1 , q̇2 , ..., q̇s , t) ≡ L(q, q̇, t), któraι nazywamy funkcjaι Lagrange’a danego ukladu. Niech w chwilach t = t1 i t = t2 uklad posiada polożenia scharakteryzowane przez dwa zbiory wartości wspólrzednych q (1) ι i q (2) . Pomiedzy tymi polożeniami uklad porusza sieι tak, że calka (tzw. dzialanie ukladu) ι S= Zt2 L(q, q̇, t)dt (1) t1 przyjmuje najmniejszaι możliwaι wartść. Ten warunek prowadzi do równań ruchu ukladu, czyli równań Lagrange’a-Eulera: d dt ∂L ∂ q̇i ! − ∂L = 0 (i = 1, 2, ..., s). ∂qi (2) Funkcja Lagrange’a nie jest określona jednoznacznie: Dwie funkcje Lagrange’a różniace sieι ι d o zupelnaι pochodnaι czasowaι dowolnej funkcji dt f (q, t) prowadzaι do tych samych równań ruchu. Z tego, co zostalo dotychczas powiedziane, nie wynika, jak szukać funkcji Lagrange’a dla konkretnego ukladu. Nie ma na to jednej reguly. Można próbować różnych przepisów na L(q, q̇, t) i badać, czy prowadzaι do równań ruchu prawidlowo opisujacych ewolucjeι ι ukladu w czasie. Dla pewnych sytuacji wiemy jednak, jakaι postać powinna mieć funkcja Lagrange’a. • W przypadku ruchu jednej czastki w zewnetrznym polu ogólna postać funkcji Laι ι grange’a jest dana wzorem 1 (3) L = m~v 2 − U (~r, t), 2 gdzie U (~r, t) jest energiaι potencjalna.ι • Dla odosobnionego ukladu N punktów materialnych oddzialujacych ze sobaι i nie ι oddzialujacych z zewnetrznymi cialami postuluje sie,ι że ι ι L= N X 1 a 2 ma~va2 − U (~r1 , ~r2 , ..., ~rN ) 1 • Dla ukladów mechanicznych, w których oddzialywanie miedzy cialami narzuca ograι niczenia na wzajemne polożenie cial (tzw. wiezy), przy czym tarcie posuwiste w ι ukladzie jest tak male, że nie wplywa w istotny sposób na ruch i można zaniedbać masy elementów wiaż uklad, używamy tej samej funkcji Lagrange’a, co w ι acych ι poprzednim przypadku. Wystepowanie wiezów prowadzi jedynie do zmniejszenia ι ι liczby stopni swobody. • Dla ukladów mechanicznych z punktowymi masami oraz brylami sztywnymi, w których wystepuje tarcie, ale ze wzgledu na brak poślizgu sily tarcia nie zmieniajaι ι ι calkowitej energii mechanicznej ukladu. Energia kinetyczna, opócz energii kinetycznej ruchu postepowego, musi uwzgledniać także energie kinetyczne ruchu obroι ι towego bryl sztywnych bed skladowymi ukladu. ι acych ι Uwaga: Dla ukladów, w których nastepuje dysypacja energii mechanicznej formalizm Lagrange’a ι nie ma bezpośrednio zastosowania. Można jednak w pewnych wypadkach uogólnić równania Lagrange’a wprowadzajac ι tzw. funkcje dysypacji Rayleigha. Nie zawsze jednak energia ukladu musi być stala. Możliwe saι uklady z tzw. wiezami ι reonomicznymi (inaczej niestacjonarnymi), czyli jawnie zależnymi od czasu, w których równania wiezów nie zależaι explicite od skladowych wektora predkości (wiezy holonoι ι ι miczne). Dla takich ukladów formalizm Lagrange’a ma jak najbardziej zastosowanie. Przyklad 1: ruch czastki w jednorodnym ziemskim polu grawitacyjnym ι z z v m g r O y y x x Uklad ma oczywiście trzy stopnie swobody: x, y i z. Energia kinetyczna punktu materialnego T wynosi 1 T = m ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 , 2 (4) a energia potencjalna U w jednorodnym ziemskim polu grawitacji zależy tylko od z i dana jest wzorem U = mgz. 2 (5) Dlatego funkcja Lagrange’a ma postać 1 L = m ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 − mgz, 2 (6) co prowadzi do nastepuj acego ukladu równań ι ι mẍ = 0 mÿ = 0 mz̈ = −mg. (7) (8) (9) Przyklad 2: dwie masy oddzialujace grawitacyjnie ι y y1 v1 m1 r r1 m2 y2 v2 r2 x2 x1 O x Zakladamy, że obie masy poruszajaι sieι w plaszczyźnie xy. Uklad ma wówczas cztery stopnie swobody: x1 , y1 , x2 i y2 . Energia kinetyczna T ukladu wynosi 1 1 1 1 T = m1~v12 + m2~v22 = m1 x˙1 2 + y˙1 2 + m2 x˙2 2 + y˙2 2 , 2 2 2 2 (10) a energia potencjalna U grawitacji zależy tylko od dlugości wektora ~r i dana jest wzorem U = −G m1 m2 m1 m2 = −G q | ~r | (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 (11) Dlatego funkcja Lagrange’a ma postać 1 1 m1 m2 L = m1 x˙1 2 + y˙1 2 + m2 x˙2 2 + y˙2 2 + G q 2 2 (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 (12) co prowadzi do nastepuj acego ukladu równań ι ι x¨1 = − G m 2 ( x1 − x2 ) (( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 )3/2 3 (13) x¨2 = y¨1 = − y¨2 = G m 2 ( x1 − x2 ) (( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 )3/2 G m 2 ( y1 − y2 ) (( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 )3/2 G m 2 ( y1 − y2 ) (( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 )3/2 (14) (15) (16) Przyklad 3: wahadlo matematyczne 111 000 000 111 00000 O11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 l 00000 11111 00000 11111 00000 11111 ϕ 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 m y11111 x Wahadlo matematyczne to uklad o jednym stopniu swobody, bo polożenie ukladu określone jest przez kat ι ϕ: x = l sin ϕ , y = l cos ϕ. (17) Energia kinetyczna wahadla T wynosi 1 1 T = m ẋ2 + ẏ 2 = ml2 ϕ̇2 , 2 2 (18) a energia potencjalna U w jednorodnym ziemskim polu grawitacji dana jest wzorem U = −mgy = −mgl cos ϕ. (19) Dlatego funkcja Lagrange’a ma postać 1 L = ml2 ϕ̇2 + mgl cos ϕ, 2 (20) co prowadzi do nastepuj acego równania ruchu wahadla ι ι ml2 ϕ̈ = −mgl sin ϕ (21) g ϕ̈ = − sin ϕ. l (22) czyli 4 R O r Fs l T α h mg α Przyklad 4: staczanie sieι walca bez poślizgu z nieruchomej równi pochylej Przy zalożeniu, że oś symetrii znajdujacego sieι na równi walca jest stale prostopadla ι do plaszczyzny rysunku, jego polożenie można opisać dwoma parametrami: na przykld odleglościaι l środka masy walca od górnego krańca równi oraz katem ϕ, o jaki walec obróci ι sieι wokól wlasnej osi wzgledem wybranego polożenia poczatkowego. Jednak warunek, że ι ι toczenie odbywa sieι bez poślizgu prowadzi do zwiazku miedzy liϕ ι ι l = rϕ. Dlatego mamy do czynienia z ukladem o jednym stopniu swobody. Energia kinetyczna walca T jest sumaι energii kinetycznej ruchu postepowego T1 ι 1 T1 = m l˙2 (23) 2 oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego T2 wzgledem osi symetrii przechodzacej przez ι ι środek masy walca O (Io jest momentem bezwladności walca wzgledem tek osi) ι 1 1 1 T2 = Io ω 2 = Io ϕ̇2 = Io 2 2 2 l˙ r !2 . (24) Energia potencjalna U w jednorodnym ziemskim polu grawitacji dana jest wzorem (tak jak dla masy punktowej m umieszczonej w punkcie O) U = mgyo = mg (h − l sin α ) . (25) Dlatego funkcja Lagrange’a ma postać 1 1 L = m l˙2 + Io 2 2 l˙ r !2 + mgl sin α, (26) (opuszczam stalaι mgh) co prowadzi do nastepuj acego równania na l(t) ι ι ¨l = mg sin α . m + Io /r2 5 (27) Równania kanoniczne Hamiltona W formaliźmie Lagrange’a ruch ukladu N punktów materialnych opisywaliśmy w 3N wymiarowej przstrzeni konfiguracyjnej, ewentualnie zaweżonej do s wymiarów w wyniku ι nalożenia odpowiednich wiezów i przejściu do wspólrzednych uogólnionych zgodnych z ι ι wiezami. W tej przestrzeni pr edkości uogólnione nie s a traktowane jak zmienne niezależne, ι ι ι bo znajomość zbioru funkcji q(t) pozwala wyznaczyć zbiór q̇(t) przez różniczkowanie. Ruch ukladu w tej przestrzeni opisuje s równań różniczkowych drugiego rzedu. Przez ι wybrany punkt tej przestrzeni może przechodzić nieskończenie wiele trajektorii odpowiadajacych różnym wartściom predkości poczatkowej. ι ι ι Podejście Hamiltona polega na wprowadzeniu 2s-wymiarowej przestrzeni fazowej, w której wspólrzednymi saι nie tylko wspólrzedne uogólnione, ale także pedy uogólnione pi ι ι ι pi ≡ ∂L(q, q̇, t) ∂ q̇i traktowane jako niezależne wielkości dynamiczne. Ruch ukladu w przestrzeni fazowej opisuje 2s równań różniczkowych pierwszego rzedu na qi i pi . Przez wybrany punkt tej ι przestrzeni przechodzi tylko jedna trajektoria, a wiec ι trajektorie nie mogaι sieι przecinać. Aby powiazać formalizm Hamiltona z wcześniej naszkicowanym podejściem Lagrange’a ι wyrażamy najpierw wszystkie predkości uogólnione q̇i przez wspólrzedne qi i pedy uogólι ι ι nione pi : q̇i = q̇i (q, p, t) Funkcjaι Hamiltona (hamiltonianem) nazywamy wielkość H(p, q, t) = s X pi q̇i (q, p, t) − L(q, q̇i (q, p, t), t). (28) i=1 Wariacja tej funkcji obliczona na dwa sposoby prowadzi do tzw. równań kanonicznych Hamiltona. Z jednej strony mamy wprost δH = s X ! ∂H ∂H δqi + δpi . ∂qi ∂pi i=1 (29) Z drugiej strony, korzystajac ι z (28) zachodzi δH = s X i=1 ∂L ∂L δqi − δ q̇i δ q̇i pi + q̇i δpi − ∂qi ∂ q̇i = s X ! = s X i=1 ∂L q̇i δpi − δqi ∂qi ! (q̇i δpi − ṗi δqi ) . (30) ∂H . ∂pi (31) i=1 Porównujac ι (29) i (30) dostajemy ṗi = − ∂H , ∂qi q̇i = 6 Przyklad: oscylator anharmoniczny Zakladamy, że hamiltonian ukladu ma postać 1 1 1 H(p, q) = p2 + k1 q 2 + k2 q 4 . 2 2 4 (32) Prowadzi to do nastepuj acych równań Hamiltona ι ι ∂H p = ∂p m (33) ∂H = −k1 q − k2 q 3 ∂q (34) q̇ = ṗ = − Literatura: 1. L. Landau i E. Lifszic, Mechanika, PWN, Warszawa 1966. 2. G. Bialkowski, Mechanika klasyczna, PWN, Warszawa 1975. (c) Jacek Golak, 2006–2013 7
