Dodatkowy czas regulacji

PODSTAWY AUTOMATYKI
LABORATORIUM
Ćw. 3. Analiza układu zamkniętego
Układem otwartym regulacji automatycznej nazywamy układ z rozwartą przy
węźle sumacyjnym pętlą sprzężenia zwrotnego. Transmitancja tego układu K o  s 
(rys. 1) jest równa iloczynowi transmitancji połączonych szeregowo w nim członów.
Układ zamknięty regulacji definiujemy jako układ wykorzystujący ujemne sprzężenie
zwrotne pomiędzy wyjściem (wielkością regulowaną) a wejściem (wielkością
zadaną). Układ z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego nazywamy układem
zamkniętym (rys. 1).
Ko  s 
wartość
zadana

uchyb
regulacji

sygnał
sterujący
wielkość
regulująca
ELEMENT
WYKONAWCZY
REGULATOR
OBIEKT
wielkość
regulowana
Rys 1. Schemat blokowy układu zamkniętego
Transmitancja układu wyznaczona w ramach ćwiczenia 2 jest prawdziwa
jedynie wokół punktu pracy
 u0 , y0 
. Właściwości obiektu liniowego opisanego
transmitancją K m  s  poprawnie oddają właściwości obiektu jedynie dla niewielkich
odchyłek od punktu pracy (stanu ustalonego). Należy tak dobrać punkt pracy aby
wartość
sygnału
wyjściowego
zdefiniowana
była
w
połowie
jego
zakresu
zmienności:  u0 , y0    f 1  0.5  H 2  ,0.5  H 2  . Dodatkowo należy zapewnić aby obiekt
regulacji wyposażony był w model elementu wykonawczego (np. układ sterujący
(3) - 1 -
natężeniem przepływu q1  t  ). Jako urządzenie wykonawcze K w  s  zamodelować
należy element o dynamice opisanej następującym równaniem różniczkowym:
q1  t  
1
1
u  t   q1  t  .
T
T
Stałą czasową T należy dobrać w zależności od dynamiki (stałych czasowych)
zlinearyzowanego obiektu regulacji: T   0, 2  0,5  min T1 , T2  1.
Charakterystyka statyczna urządzenia wykonawczego (rys. 2) dana jest zależnością:
 tg    u dla u  0
q1  
dla u  0
0
 m3 
q1  
 s 
(*)
tg α=1
α
u  
Rys 2. Charakterystyka statyczna urządzenia wykonawczego
W rezultacie obiekt regulacji można przedstawić za pomocą następującego
schematu blokowego przedstawionego na rysunku 3.
Du
Du[-]
Kw(s)
 m3 
Dq1 

 s 
Dh2[m]
Km(s)
Dy

Du
K(s)
Dy
Rys 3. Schemat blokowy liniowego obiektu regulacji składającego się z układu dwóch
zbiorników i elementu wykonawczego
1
W rzeczywistości wartość tej stałej czasowej nie zależy od właściwości (stałych czasowych) obiektu a jest
wielkością opisującą właściwości elementu wykonawczego, która wynika z jego konstrukcji – jednak na
potrzeby laboratorium zakładamy że jest to wielkość rząd mniejsza od mniejszej stałej czasowej obiektu
(wartość ta podawana jest przez prowadzącego ćwiczenie)
(3) - 2 -
W konsekwencji układ regulacji wykorzystujący model zlinearyzowany obiektu
prawdziwy jest jedynie dla niewielkich przyrostów odpowiednich wielkości (rys. 4).
uo
f-(uo)
y0
De(t)
Dw(t)
Du(t)
Kr(s)
K(s)
Dy(t)
y(t)
Rys 4. Układ regulacji z modelem zlinearyzowanym obiektu wokół punktu pracy i opisanym
transmitancją K(s)
Celem ćwiczenia, między innymi, jest analiza odpowiedzi czasowych układu
regulacji. W celu rejestracji i obserwacji reakcji układu na zmianę punktu pracy o
Dw  t  do sygnału zmiany wartości wyjściowej Dy dodawana jest wartość
odpowiedniego sygnału w punkcie pracy y0 . Należy w modelu nieliniowym obiektu
uwzględnić zakres dopuszczalnych
wartości sygnału wyjściowego elementu
wykonawczego (równanie (*)). W Matlabie/Simulinku można użyć elementu
Saturation.
u0=q10
u
u[-]
(-∞,∞)
Kw(s)
 m3 
q1  
 s 
<0,∞)
Nieliniowy
model obiektu
h2[m]
y
<0,∞)
Rys 5. Schemat blokowy nieliniowego obiektu regulacji składającego się z układu dwóch
zbiorników
Reakcje
układu
z zlinearyzowanym
modelem
obiektu
porównywane
są
z
odpowiedzią układu z nieliniowym modelem obiektu (rys. 5) na tą samą zmianę
wartości zadanej. Model nieliniowy opisany jest układem równań różniczkowych
nieliniowych modelujących zjawiska zachodzące w układzie dwóch zbiorników (patrz
ćwiczenie 1).
(3) - 3 -
Układ regulacji, z modelem nieliniowym obiektu, pozwalający na analizę odpowiedzi
czasowych na zmianę skokową wartości zadanej (o odchyłkę od punktu pracy)
pokazano na rys. 6.
wo
Dw(t)
f--1(wo)
w(t)
De(t)
Kr(s)
Du(t)
u0
Obiekt
nieliniowy
y(t)
Rys 6. Układ regulacji z modelem nieliniowym obiektu (opisanym równaniami różniczkowymi)
pracującym wokół punktu pracy
Celem ćwiczenia jest analiza własności układów regulacji (rys. 1) oraz
wskazanie możliwości poprawy jego działania poprzez dobór wartości wzmocnienia
k r regulatora o działaniu proporcjonalnym. W ramach ćwiczenia należy ocenić jakość
regulacji badanego układu zamkniętego. Oceny jakości można dokonać w oparciu o
przyjęte kryterium. Jednym z nich może być zestaw kilku wskaźników jakości
regulacji2. Podczas laboratorium badany jest wpływ nastaw regulatora dobieranych
według: kryterium M max , zadanego zapasu fazy (lub zapasu modułu), oraz dla
„dowolnie” wybranej wartości wzmocnienia regulatora.
PRZEBIEG ĆWICZENIA
1. Analiza układu zamkniętego (model zlinearyzowany obiektu K  s  objęty
ujemnym jednostkowym sprzężeniem zwrotnym)
2
Patrz DODATEK „B”
(3) - 4 -
Dla układu (rys. 4) wyznaczyć zbiór wskaźników2 pozwalających ocenić
właściwości oraz jakość regulacji. Uzyskane wyniki będą punktem odniesienia do
dalszej części ćwiczenia.
2. Analiza UR z regulatorem typu P (model zlinearyzowany obiektu K  s  )
Dla układu regulacji (rys. 4) wyznaczyć zbiór wskaźników2 pozwalających
ocenić właściwości oraz jakość regulacji. Wartości nastawy regulatora P o
transmitancji K r  s   kr należy dobrać wg następujących kryteriów:
2.1.
Kryterium M max :
- wartość wzmocnienia k r regulatora P dobierana jest tak aby wartość
wskaźnika nadążania (amplitudowej charakterystyki częstotliwościowej)
M   dla częstotliwości rezonansowej rez zawierała się w przedziale
od 1,1 do 1,5.
2.2.
Kryterium zapasu fazy D lub zapasu modułu DK 3:
a) zapas fazy D : wartość wzmocnienia k r regulatora P
dobierana jest tak aby wartość zapasu fazy D wynosiła 
6
;
b) zapas modułu DK : wartość wzmocnienia k r regulatora P
dobierana jest tak aby zapas modułu DK wynosił 2 .
2.3.
Analiza linii pierwiastkowych układu zamkniętego:
- wyrysować linie pierwiastkowe układu zamkniętego oraz dobrać
wartość wzmocnienie k tak aby:
a) odpowiedź stabilnego układu zamkniętego na skok wartości zadanej
była aperiodyczna;
b) odpowiedź stabilnego układu zamkniętego na skokową zmianę
wartości zadanej była oscylacyjna;
Znajdź
wszystkie
pierwiastki
równania
charakterystycznego
przy
wybranym
wzmocnieniu. Narysuj charakterystykę amplitudowo-fazową układu oraz odpowiedź
układu zamkniętego na skokową zmianę wartości zadanej Dw(t ) .
3
Patrz DODATEK „A”
(3) - 5 -
3. Analiza UR z regulatorem P (model nieliniowy obiektu)
Dla układu regulacji (rys. 6) wyznaczyć wartości wskaźników jakości regulacji,
związanych z odpowiedzią czasową układu, dla wszystkich wartości nastaw
regulatora P (uzyskanych w punkcie 2. - dla układu regulacji z modelem
obiektu), oraz dla układu regulacji bez regulatora ( kr  1 ).
OPRACOWANIE WYNIKÓW
1. Opracować i przedstawić wszystkie charakterystyki pozwalające ocenić
zmianę poszczególnych wskaźników jakości w zależności od wartości nastaw
regulatora (należy zamieścić odpowiednio dla danego wskaźnika cztery
charakterystyki odpowiadające czterem analizowanym przypadkom).
2. Przeanalizować
i
porównać
(np.
w
postaci
tabelarycznej)
wielkości
uzyskanych wskaźników jakości regulacji dla układu (rys. 4) bez regulatora
(pkt. 1) oraz z regulatorem typu P, dla którego wartość nastawy dobrano na
różne sposoby (pkt. 2).
3. Dla układu z liniowym modelem obiektu wybrać optymalną nastawę
wzmocnienia regulatora P dla którego wskaźniki jakości regulacji są najlepsze
(tzn. jakość regulacji ulega poprawie w stosunku do układu bez regulatora –
pkt. 1). Wybór uzasadnić.
4. Przeanalizować i porównać wartości wskaźników jakości regulacji (bazujące
na analizie odpowiedzi czasowej) wyznaczone dla układu regulacji z modelem
nieliniowym obiektu (pkt. 3) z regulatorem o nastawach dobranych dla układu
z obiektem liniowym (pkt. 2).
5. Wybrać, w oparciu o analizę uzyskanych wskaźników jakości, optymalną
nastawę regulatora typu P dla układu regulacji z nieliniowym modelem
obiektu. Wybór uzasadnić.
6. Sprawozdanie powinno zawierać zbiorcze omówienie otrzymanych wyników i
końcowe wnioski z przeprowadzonego ćwiczenia laboratoryjnego.
(3) - 6 -
POLECENIA MATLABA
plot();
nyquist();
bode();
bodemag();
rlocus();
pzmap();
(3) - 7 -
DODATEK „A”
METODY STROJENIA REGULATORA TYPU „P”
1. Strojenie regulatora z wykorzystaniem zapasu fazy D :

Dla obiektu liniowego układu regulacji znaleźć częstotliwość 1 , dla której
wartość przesunięcia fazowego    transmitancji widmowej obiektu K  j 
wynosi:
 1     D ;

Dla danej częstotliwości 1 wyznaczyć wartość modułu transmitancji widmowej
obiektu K 1  ;

Wartość wzmocnienia regulatora typu P (zapewniającego zapas fazy UR na
poziomie D ) wynosi:
kr 
1
K 1 
.
2. Strojenie regulatora z wykorzystaniem zapasu modułu DK :

Dla obiektu liniowego układu regulacji znaleźć częstotliwość  , dla której
wartość przesunięcia fazowego    transmitancji widmowej obiektu K  j 
wynosi:
     ;

Dla danej częstotliwości  wyznaczyć wartość modułu transmitancji widmowej
obiektu K   ;

Wartość wzmocnienia regulatora typu P (zapewniającego zapas modułu UR na
poziomie DK ) wynosi:
kr 
1
.
DK K  
(3) - 8 -
DODATEK „B”
WSKAŹNIKI JAKOŚCI REGULACJI
1. Wskaźniki związane z analizą uchybu układu
W wyniku porównania sygnału wartości zadanej i sygnału rzeczywistego
(wielkości regulowanej) w układzie wyznaczany jest tzw. Uchyb regulacji. Wartość
sygnału uchybu jaki pozostaje po ustaniu procesów przejściowych (stanu
nieustalonego) określany jest mianem uchybu w stanie ustalonym.

Uchyb w stanie ustalonym eust :
Definiuje się jako granicę do której dąży e  t  przy t   - jeśli znana jest
zależność uchybu od czasu można wyznaczyć wartość uchybu w stanie ustalonym z
wzoru:
eust  lim e  t  .
t 
Jeśli znana jest zależność opisująca zmianę uchybu po transformacie
Laplace’a (postać operatorowa) to wartość uchybu w stanie ustalonym można
wyznaczyć z zależności:
eust  lim s  E  s  .
s 0
2. Wskaźniki związane z analizą odpowiedzi skokowej układu
Charakter przebiegów przejściowych (stan nieustalony) w liniowych układach
regulacji często jest badany po podaniu na wejście układu funkcji realizującej
skokowa zmianę wartości zadanej (często w postaci funkcji skoku jednostkowego
1  t  ). Wówczas odpowiedź układu regulacji nazywana jest odpowiedzią skokową
(rys. B1).
(3) - 9 -
yp
yust
90%yust
Dyust
Dymax
50%yust
10%yust
yo
to
tn
tr
Rys. B1. Wskaźniki jakości regulacji związane z analizą odpowiedzi skokowej układu
Na podstawie tej odpowiedzi definiowane są następujące wskaźniki jakości
charakteryzujące liniowe układy sterowania w dziedzinie czasu:

Maksymalne przeregulowanie y p :
y p  ymax  yust
gdzie:
y  t  - odpowiedź skokowa układu;
ymax - maksymalna wartość y  t  ;
yust  lim y  t  - wartość y  t  w stanie ustalonym ( yust  ymax );
t 
yo  lim y  t  - wartość y  t  w chwili początkowej.
t 0
Maksymalne przeregulowanie często definiowane jest jako procentowy udział
końcowej (w stanie ustalonym) wartości odpowiedzi skokowej liczony w skali
względnej (względem p.p.):
y %p 

 ymax  yo    yust  yo  100%   Dymax  1 100%
yust  yo
Czas opóźnienia to :
(3) - 10 -

 Dyust


;
jest to czas po którym wartość sygnału odpowiedzi układu y  t  osiąga 50%
wartości odpowiedzi układu w stanie ustalonym yust ;

Czas narastania tn :
jest to czas potrzebny do wzrostu wartość sygnału odpowiedzi układu y  t  od
10% do 90% swojej wartości końcowej ( yust );

Czas regulacji t r :
Jest to czas po którym wartość przejściowej odpowiedzi skokowej układu y  t 
pozostaje w pewnej określonej strefie dokładności (np. 1%,  2%,  5%, itd.)
od wartości ustalonej yust .
3. Wskaźniki związane z analizą częstotliwościową układu
1
DK
D
Rys. B2. Częstotliwościowe wskaźniki jakości regulacji

Zapas fazy D :
D     1 
gdzie:
   - przesunięcie fazowe jakie wprowadza transmitancja układu
otwartego
(3) - 11 -
Ko  s   K  s  K r  s  ;
(wyrażenie
opisujące
fazę
w
transmitancji
widmowej układu otwartego Ko  j  );
1 - częstotliwość dla której moduł Ko  j  transmitancji widmowej
układu
otwartego
osiąga
wartość
1;
(częstotliwość
przecięcia
charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego z okręgiem
jednostkowym)
Ko  j1   1 ;

Zapas modułu DK :
DK 
1
K o  
gdzie:
Ko  j  - moduł transmitancji widmowej układu otwartego
 - częstotliwość dla której transmitancja widmowa układu otwartego
wprowadza przesunięcie fazowe równe  ; (częstotliwość przecięcia
charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego z ujemną
półosią rzeczywistą płaszczyzny zespolonej Ko  j  );

Wskaźnik nadążania M   :
M max
pasmo przenoszenia
 gr rez
Rys. B3. Wskaźniki jakości regulacji związane z analizą wskaźnika regulacji
(3) - 12 -
M   
K o  j 
1  K o  j 
gdzie:
Ko  j  - transmitancja widmowa układu otwartego.
Często wraz z definicją wskaźnika nadążania definiuje się wskaźniki jakości
układu regulacji związane z charakterem przebiegu M   (rys. B3):
o Częstotliwość rezonansowa rez - częstotliwość dla której występuje
maksymalna wartość wskaźnika nadążania
o Moduł rezonansowy („pik rezonansowy”) M max - wartość jaką
osiąga wskaźnik nadążania dla częstotliwości rezonansowej rez ;
o Pasmo
przenoszenia
–
przedział
częstotliwości
od
zera
do
częstotliwości przy której charakterystyka amplitudowa M   osiąga
wartość 1 (0 dB).
4. Wskaźniki
związane
z
analizą
rozkładu
pierwiastków
równania
charakterystycznego układu regulacji
  tg   


Rys. B4. Wskaźniki jakości regulacji związane z pierwiastków równania charakterystycznego
układu
(3) - 13 -

Stopień stabilności  :

  max Re  si   min Re  si 

gdzie:
Re  si  - rzeczywista część i-tego pierwiastka równania
charakterystycznego układu regulacji 1  Ko  s   0

Stopień oscylacyjności  :
  max
Im  si 
Re  si 
gdzie:
Re  si  , Im  si  - to odpowiednio rzeczywista oraz urojona część i-tego
pierwiastka równania charakterystycznego układu regulacji 1  Ko  s   0
(3) - 14 -