u(x)

Opracowanie danych pomiarowych
dla studentów realizujących program
Pracowni Fizycznej
Pomiar
Działanie mające na celu
wyznaczenie wielkości
mierzonej. Do pomiarów
stosuje się przyrządy
pomiarowe – proste lub
złożone. Przyrządy nie są
idealne – mają określoną
dokładność
W celu weryfikacji pomiarów
stosuje się powtórzenia
– czyli serie pomiarowe
Nazewnictwo
Dokładność
dotyczy urządzenia pomiarowego, mówi o jego precyzji, oznaczana jako ∆x
Błąd pomiarowy
to różnica między wartością rzeczywistą a wartością zmierzoną, oznaczany jako ∆x
Niepewność
to statystyczne oszacowanie błędu, oznaczane jako u(x) = u A2 ( x) + u B2 ( x) , gdzie
•
uA(x) - niepewność statystyczna (typu A)
wynikająca ze statystycznej analizy serii pomiarów (obliczanie średnich, regresji itd.)
•
uB(x) - niepewność pomiarowa (typu B)
wynikająca z informacji o pojedynczym pomiarze (dokładności przyrządów pomiarowych
i ograniczeń wynikających z procedury pomiaru)
Błędy pomiarowe
Pomiar pojedynczy:
W wyniku pojedynczego bezpośredniego pomiaru jednej wielkości fizycznej,
otrzymuje się wynik zmierzony x
Błąd pomiaru = |wartość rzeczywista – wartość zmierzona|
∆ x = x0 − x
Błędy pomiarowe
Błędy przypadkowe
Błędy systematyczne
Błędy grube
Seria pomiarowa:
w wyniku wielokrotnego pomiaru jednej wielkości fizycznej, przy pomocy tego samego
narzędzia otrzymuje się n – pomiarów.
każdy z pomiarów jest obarczony własnym błędem ∆ xi = x0 − xi ,
gdzie xi oznacza pomiar o numerze i = 1..n.
każdy z pomiarów wykonywany jest z dokładnością wynikającą z użytego narzędzia pomiarowego
W serii pomiarów występują oprócz błędów pojedynczego pomiaru:
błędy przypadkowe
błędy systematyczne
błędy grube
Błędy przypadkowe
Błędy systematyczne
Błędy grube
Błędy pomiarowe
Seria pomiarowa:
Błędy przypadkowe – rozrzut wyników pomiaru wokół wartości rzeczywistej x0
xi
x
x0
Błędy przypadkowe
Błędy systematyczne
Błędy grube
Błędy pomiarowe
Seria pomiarowa:
Błędy systematyczne – rozrzut wyników pomiaru przesunięty względem wartości rzeczywistej x0
xi
x
x0
Zwykle wynikają z jakości używanego przyrządu (np. błąd zera skali), czasem z błędu wykonania pomiaru.
Błędy przypadkowe
Błędy systematyczne
Błędy grube
Błędy pomiarowe
Seria pomiarowa:
Błędy grube – o takim błędzie mówi się, gdy różnica między wynikiem pomiaru i wartością
rzeczywistą x0 jest drastycznie duża – takie pomiary się odrzuca i nie analizuje dalej
xi
x
x0
Zwykle wynikają z nieumiejętności wykonania pomiaru, pomyłek, trudności obiektywnych
Niepewność statystyczna
serii pomiarowej uA(x)
Seria pomiarowa:
w wyniku wielokrotnego pomiaru jednej wielkości fizycznej, przy pomocy tego samego
narzędzia otrzymuje się n >6 pomiarów.
każdy z pomiarów jest obarczony własnym błędem ∆ xi = x0 − xi ,
gdzie xi oznacza pomiar o numerze i = 1..n
każdy z pomiarów wykonywany jest z niepewnością wynikającą
z użytego narzędzia pomiarowego uB(x)
1 n
wynikiem pomiaru jest średnia arytmetyczna x = ∑ xi
n i =1
n
niepewnością typu A jest
- odchylenie standardowe wartości średniej u A ( x) =
∑ (x − x)
2
i
i =1
n(n − 1)
x0 – wartość rzeczywista
[
xi
]
x
Niepewność statystyczna
serii pomiarowej uA(x)
10 - krotny pomiar (n=10)
współczynnika lepkości powietrza
dał następujące wyniki:
x=
n
1
xi
∑
n i =1
n
∑ (x − x)
i
u A ( x) =
i =1
n(n − 1)
2
i
xi,kg/m·s
1
2.055E-05
2
2.000E-05
3
1.988E-05
4
2.055E-05
5
2.000E-05
6
1.952E-05
7
2.032E-05
8
1.953E-05
9
1.982E-05
10
2.020E-05
n=10
2.004E-05
wartość średnia
2.004E-05
od. std. średniej
1.16861E-07
Niepewność statystyczna
serii pomiarowej uA(x)
Krótka seria pomiarowa:
wykonywana w celu sprawdzenia powtarzalności pomiarów
każdy z pomiarów jest obarczony własnym błędem ∆ xi = x0 − xi ,
gdzie xi oznacza pomiar o numerze i = 1..n
każdy z pomiarów wykonywany jest z niepewnością wynikającą
z użytego narzędzia pomiarowego uB(x)
1 n
wynikiem pomiaru jest średnia arytmetyczna x = ∑ xi
n i =1
niepewnością typu A jest największy z wszystkich w serii błąd pomiarowy
– błąd maksymalny serii u A ( x) = max xi − x
x0 – wartość rzeczywista
[
x2
x4
x1 x3
]
x
Niepewność statystyczna
serii pomiarowej uA(x)
Seria pomiarowa:
w wyniku wielokrotnego pomiaru jednej wielkości fizycznej, z różną dokładnością,
otrzymuje się n pomiarów
każdy z pomiarów został wykonany z niepewnością pomiarową uB(xi),
gdzie xi oznacza pomiar o numerze i = 1..n
n
xi wi
∑
,
rezultatem pomiaru jest średnia ważona xw = i =1n
∑ wi
i =1
wi =
a
∆ xi2
wielkość
niepewnością typu A jest
- odchylenie standardowe średniej ważonej u A ( x) =
jest wagą pomiaru, określa jego „ważność” w serii
1
n
∑w
2
i
i =1
Dokładność przyrządów pomiarowych
i niepewność pomiarowa uB(x)
Przyrządy z podziałką
DOKŁADNOŚĆ PRZYRZĄDU czyli maksymalną niepewność pomiaru przyrządem
z podziałką określa najmniejsza działka
∆ x = 0.1cm
7
Przedział maksymalnej
niepewności pomiarowej
( x0 − ∆x, x0 + ∆x)
Dokładność przyrządów pomiarowych
i niepewność pomiarowa uB(x)
Przyrządy z podziałką
NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWĄ czyli przeciętną niepewność pomiaru
przyrządem z podziałką określa u B ( x) =
∆x
3
7
Przedział standardowej
niepewności pomiarowej
∆x
∆x 

x
−
,
x
+
0
 0

3
3

Dokładność przyrządów pomiarowych
i niepewność pomiarowa uB(x)
Przyrządy z podziałką – przykłady
Linijka
Dokładność
przyrządu
Niepewność
standardowa
∆ x = 0.1cm
u B ( x) =
∆x 0.1
=
= 0.058 cm
3
3
Śruba mikrometryczna
Dokładność
przyrządu
Niepewność
standardowa
∆x = 10µ m
u B ( x) =
∆x
1
=
= 0.58 µm
3
3
Dokładność przyrządów pomiarowych
i niepewność pomiarowa uB(x)
Analogowe mierniki elektryczne
(klasa miernika ) ⋅ ( zakres pomiarowy )
100
Dokładność
przyrządu
∆x =
Niepewność
standardowa
u B ( x) =
∆x
3
Dokładność przyrządów pomiarowych
i niepewność standardowa pomiaru
Analogowe mierniki elektryczne
zakres
klasa
Dokładność
przyrządu
Niepewność
standardowa
∆x =
0 . 5 ⋅ 30
= 0 . 15 V
100
u B ( x) =
15
= 0.087 V
3
Dokładność przyrządów pomiarowych
i niepewność standardowa pomiaru
Cyfrowe mierniki elektryczne
Wskazanie: 599.9 mV
Dane podawane przez producenta:
C1– oznacza procent wskazania


 z instrukcji
C2 – liczba naturalna


waga cyfry znaczącej – oznacza, na którym
miejscu dziesiętnym jest ostatnia cyfra
Dokładność
przyrządu
Niepewność
standardowa
∆x = C1
u B ( x) =
wskazanie
+ C 2 ⋅ waga cyfry zn.
100
∆x
3
Dokładność przyrządów pomiarowych
i niepewność standardowa pomiaru
Cyfrowe mierniki elektryczne
Wskazanie: 599 mV
Dane podane przez producenta:

C1=0.5

 z instrukcji
C2=3


waga cyfry znaczącej
= 0.1mV
Dokładność
przyrządu
Niepewność
standardowa
∆ x = 0.5 ⋅
u B ( x) =
599.9
+ 3 ⋅ 0.1 = 3.3 mV
100
3.3
= 1.9 mV
3
Dokładność przyrządów pomiarowych
i niepewność standardowa pomiaru
Urządzenia zliczające
Wskazanie: 8946132 zliczeń
Niepewność
standardowa
u B ( x) = = 8946132 = 2991 ≅ 3000
Prawo propagacji (przenoszenia)
niepewności
wiele wielkości fizycznych nie da się zmierzyć pojedynczym przyrządem bezpośrednio, bo są
skomplikowane
y = f ( x1 , x2 , x3 ,..., x ),
stosuje się wówczas pomiary pośrednie,
(na przykład pole powierzchni P=a·b – trzeba zmierzyć a i b)
mierzy się wielkości wchodzące w skład wyrażenia na wyznaczaną wielkość: x1, x2,...,x
niepewności pomiarów pośrednich przenosi się na wynik,
stosując prawo przenoszenia niepewności
2
2
2
2

 ∂y

 ∂y
  ∂y
  ∂y
u ( y ) =  u ( x1 ) + 
u (x2 ) + 
u ( x3 ) + ... + 
u ( x ) =
 ∂x1
  ∂x2
  ∂x3

 ∂x 
 ∂y

(
)
u
x
∑
k 

k =1  ∂xk

na przykład w przypadku pola P=a·b
2
2
2
 ∂P

 ∂P
  ∂P

u( y) = ∑ 
u ( xk ) =  u (a ) +  u (b ) =
 ∂a
  ∂b

k =1  ∂xk

2
[b ⋅ u (a )]2 + [a ⋅ u (b )]2
2
Tworzenie wykresów
2.5
Osie – jednostka, opis
Punkty pomiarowe – nie łączyć
U, mV
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
T, K
30
40
Tworzenie wykresów
2.5
Osie – jednostka, opis
Punkty pomiarowe – nie łączyć
Słupki błędów – tylko wielkości mierzonych
U, mV
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
T, K
30
40
Tworzenie wykresów
2.5
Osie – jednostka, opis
Punkty pomiarowe – nie łączyć
Słupki błędów – tylko wielkości mierzonych
Dopasowanie – prosta lub gładka krzywa
U, mV
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
T, K
30
40
Tworzenie wykresów
2.5
Ug, mV
Ud, mV
regr Ug
regr Ud
2
Osie – jednostka, opis
Punkty pomiarowe – nie łączyć
Słupki błędów – tylko wielkości mierzonych
Dopasowanie – prosta lub gładka krzywa
Znaczniki, kolory, opisy serii
U, mV
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
T, K
30
40
Dopasowanie prostej do serii punktów
– regresja liniowa
2.5
 n  n 
n∑ xi yi −  ∑ xi   ∑ yi 
 i =1   i =1 
a = i =1
2
n
 n 
2
n∑ xi −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
n
U, mV
 n 2  n   n  n

 ∑ xi   ∑ yi  −  ∑ xi   ∑ xi yi 

b =  i =1   i =1   i =1 2 i =1
n
 n 
n∑ xi2 −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
∑ε
n par (xi,yi)
0
2
i
 n 
2
n∑ xi −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
1
0
i =1
n
1.5
0.5
n
n
u (a ) =
n −1
y = ax + b
2
2
10
20
T, K
 n 2  n 2 
 ∑ xi  ∑ ε i 
1  i =1  i =1 
u (b) =
n − 1 n 2  n 2
n∑ xi −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
30
40
Zapis końcowy
Z pomiarów pola otrzymano wartość:
x=123.04519m2
z niepewnością standardową
u(x)= 0. 04231m2
Aby prawidłowo zapisać wynik końcowy pomiaru należy:
1. Zaokrąglić niepewność pomiaru do dwóch cyfr znaczących:
u(x)=0.04231
2. Zaokrąglić wartość x do tylu miejsc po przecinku co niepewność:
x=123.04519 (3 miejsca)
ZAPIS KOŃCOWY:
(i)
Pole x jest równe 123.045 m2 z niepewnością 0.042 m2
(ii)
x=123.045 m2; u(x)=0.042 m2
(iii) x=123.045(42) m2
Porównanie wyników z inną wartością
(w szczególności z wartością tablicową)
Aby porównać wynik eksperymentu xe z wartością tablicową x0 należy:
obliczyć niepewność rozszerzoną dla danego eksperymentu
U(x)=k⋅u(x), k=2 (norma)
obliczyć wartość |x0-xe|
wartość otrzymana xe jest zgodna z wartością tablicową x0 jeśli spełniona jest zależność
xe∈[x0 –U(x), x0 +U(x)] ⇔ |x0-xe|<U(x)
xe –U(x)
zgodny
zgodny
xi x0
x0
xe
xe – u(x)
xe + U(x)
xe+ u(x)
x0
niezgodny
x
Literatura fachowa
R. Respondowski „Laboratorium z fizyki”, wyd. Pol. Śl.
H. Szydłowski „Niepewności w pomiarach”, UAM, Poznań
2001
M. Nowak „Przewodnik do ćwiczeń laboratoryjnych z
fizyki”, wyd. Pol. Śl.
Przydatne strony internetowe
http://fizyka.polsl.gliwice.pl/dydaktyka/lab
http://www.ftj.agh.edu.pl/zdf/danepom.pdf
http://www.ftj.agh.edu.pl/zdf/przyrzady.pdf
http://www.if.pw.edu.pl/PUK/owp/OWP.html
www.if.pwr.wroc.pl/dydaktyka/LPF/index.html
http://labor.ps.pl/e/er1.html