Pobierz - mikroekonomia.net

Robert Kruszewski
ROZDZIAŁ 8
WIELOSTABILNOŚĆ W NIELINIOWYM MODELU CYKLU
KONIUNKTURALNEGO Z OCZEKIWANIAMI
Wprowadzenie
Głównym celem opracowania jest zbadanie wpływu prostego mechanizmu oczekiwań
na dynamikę modelu cyklu koniunkturalnego, opartego na mnożniku i zasadzie akceleracji.
Liniową wersję modelu przedstawił Hicks (1950). Zmodyfikowana funkcja konsumpcji zależy od oczekiwanego poziomu produkcji (dochodu) w okresie bieżącym i jest nieliniowa, w
odróżnieniu od liniowej funkcji konsumpcji uzależnionej od dochodu z poprzedniego okresu.
Zagregowane oczekiwania są średnią ważoną oczekiwań kontynuacji i odwrócenia obecnego
trendu. Wielkość populacji oczekującej kontynuacji jak i odwrócenia trendu zmienia się w
sposób endogeniczny i jest źródłem nieliniowości w proponowanym modelu. Prostota modelu
Hicksa pozwala zbadać, jaki efekt na dynamikę produktu krajowego, wywierają zagregowane
oczekiwania formowane przez gospodarstwa domowe. Zagregowane oczekiwania wielkości
produkcji w okresie t , powstają na koniec okresu poprzedniego tj. okresu t − 1 i są średnią
ważoną oczekiwań kontynuacji trendu oraz oczekiwań odwrócenia trendu. Oczekiwania powstają w odniesieniu do długookresowej równowagi w modelu liniowym. Zakładam, podobnie jak Lines i Wasterhoff (2006), że większe odchylenia produktu krajowego powodują
zmniejszenie wagi związanej z oczekiwaniem kontynuacji trendu. Gospodarstwa domowe,
sytuacje skrajne (duże odchylenia od poziomu równowagi) odbierają, jako niestabilne.
Uwzględnienie umiejętności prognozowania poziomu produktu w okresie bieżącym wpływa
także na sposób modelowania strumienia inwestycji. Inwestycje czynione w okresie bieżącym
zależeć będą, w modelu nieliniowym, od oczekiwanej wielkości produkcji w tym okresie i
znanych poziomów produkcji w dwóch okresach poprzedzających.
W teorii ekonomii modele z czasem dyskretnym są coraz częściej stosowane. Szczególnym zainteresowaniem cieszą się modele nieliniowe ze względu na różnorodność dynamiki, która je charakteryzuje. Rozwiązaniami takich układów dynamicznych mogą być ścieżki
czasowe monotonicznie zbieżne do stanu ustalonego, okresowe, quasi-okresowe aż do rozwiązań, które swym przebiegiem przypominają procesy losowe (atraktory chaotyczne). Różnorodność dynamiki modeli z czasem dyskretnym występuje już modelach jedno i dwuwymiarowych.
Model liniowy
Produkt wytworzony w okresie t w gospodarce ( Yt ) jest przeznaczany na konsumpcję ( C t ),
inwestycje ( I t ) oraz wydatki rządowe ( G t ).
Yt = C t + I t + G t
(1)
Konsumpcja bieżąca jest liniową funkcją dochodu z poprzedniego okresu.
C t = (1 − s)Yt −1 , 0 < s < 1
(2)
Parametr s = const określa krańcową skłonność do oszczędzania. Inwestycje w okresie t są
87
Wielostabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkturalnego z oczekiwaniami
sumą inwestycji autonomicznych ( I at ) i inwestycji indukowanych ( I ind
t ). W niniejszym opracowaniu (bez straty ogólności) zakładać będę stałość inwestycji autonomicznych
( I at = I a = const ). Inwestycje indukowane zależą od zmian produktu krajowego w okresie bieżącym i w okresie poprzednim oraz od stałego w czasie współczynnika akceleracji
( k = const ).
I t = I at + I ind
= I a + k (Yt − Yt −1 ) + k 1 (Yt −1 − Yt −2 ) , k , k 1 > 0
(3)
t
Zakładam także stałość w czasie wydatków rządowych.
G t = g = const , g > 0
(4)
Równania (1), (2), (3) i (4) stanowią kompletny liniowy model gospodarki, którego
matematyczną reprezentacją jest liniowe, niejednorodne równanie różnicowe drugiego rzędu.
1
((1 − s − k + k1 )Yt −1 − k1Yt −2 + I a + g )
Yt =
(5)
1− k
Zgodnie z równaniem (5) produkt krajowy, w bieżącym okresie, zależy od inwestycji
autonomicznych, wydatków rządowych oraz produktu krajowego w poprzednich dwóch okresach. Równanie (5) jest równoważne następującemu układowi dwóch równań liniowych
pierwszego rzędu:
1

((1 − s − k + k1 )Yt −1 − k1Z1 + I a + g )
Yt =
1− k

Z t = Yt −1 ,
który posiada dokładnie jeden punkt stały E (Y * , Z* ) reprezentujący długookresowe położenie równowagi, gdzie
Ia + g
s
Równowaga E jest globalnie asymptotycznie stabilna, gdy współczynniki akceleracji ( k , k 1 )
oraz krańcowa skłonność do konsumpcji ( s ) spełniają warunki:
(k, k1 , s )∈ {(k, k1 , s ) : 0 < k < 1 ∧ 0 < s < 2 − 2k + 2k1 ∧ 0 < k1 < 1 − k} .
Pojawiające się wahania produktu krajowego w modelu liniowym (cykl o okresie dwa) są
zanikające (zbieżność do punktu stałego) lub eksplodujące. Trwałe cykle o stałem okresie
równym dwa i amplitudzie występują jedynie dla przypadku granicznego:
s = 2 − 2k + 2k 1 , k ∈ (0,1) .
W dalszej części opracowania, na bazie modelu liniowego, zaproponuję nieliniowy
model cyklu koniunkturalnego poszerzony o zagregowane oczekiwania gospodarstw domowych, co do wielkości produkcji krajowej.
_
Y * = Z* = Y =
Oczekiwania
Gospodarstwa domowe są częściowo racjonalne tzn. ze względu na niewystarczającą
informację i możliwości analityczne nie są w stanie podejmować optymalnych decyzji. W
zastępstwie stosują proste heurystyki, które sprawdziły się w przeszłości. Zakładam, że gospodarstwa domowe, do prognozowania wartości zmiennych ekonomicznych (tu: produktu
krajowego), stosują średnią ważoną dwóch typów oczekiwań. Pierwszy typ, to oczekiwanie
kontynuacji obecnego trendu, a drugi to oczekiwanie odwrócenia się obecnego trendu.
Głównym celem opracowania jest zbadanie wpływu oczekiwań gospodarstw domowych na
zmienność produktu krajowego.
Zagregowane oczekiwania wielkości produkcji w okresie t powstają na koniec okresu poprzedniego tj. okresu t − 1 i są średnią ważoną oczekiwań kontynuacji trendu E1t −1[Yt ] i
(
)
88
Robert Kruszewski
(
)
oczekiwań odwrócenia trendu E 2t −1[Yt ] .
Oczekiwania powstają w odniesieniu do długookresowej równowagi w modelu liniowym
_
I +g
Y= a
, która jest punktem stałym równania (5). Oczekiwania pierwszego typu wyrażają
s
się równością:
_


E1t −1[Yt ] = Yt −1 + µ1  Yt −1 − Y  , µ1 > 0 .
(6)


Oczekiwania drugiego typu opisane są następującą regułą:
_

E 2t −1[Yt ] = Yt −1 + µ 2  Y − Yt −1  , 0 < µ 2 < 1 .
(7)


Zakładam, podobnie jak Lines i Wasterhoff (2006), że większe odchylenia produktu krajowego powodują zmniejszenie wagi związanej z oczekiwaniem kontynuacji trendu. Gospodar_
stwa domowe, sytuacje skrajne (duże odchylenia od równowagi Y ) odbierają, jako niestabilne. Formalnie reguła opisująca zmienność wagi dla oczekiwań kontynuacji trendu przyjmuje
postać:
1
wt =
, γ >0.
(8)
_ 2


 Y −Y
1 +  γ t −1_


Y 

Równanie opisujące zagregowane oczekiwania co do wielkości produkcji przyjmuje postać:
E t −1[Yt ] = w t E1t −1[Yt ] + (1 − w t )E 2t −1[Yt ] , 0 < w t < 1 .
(9)
Nieliniowa funkcja konsumpcji i inwestycji
W proponowanym nieliniowym modelu gospodarki zmianie ulegnie równanie opisujące zagregowany strumień konsumpcji oraz inwestycji. Konsumpcja w okresie bieżącym,
zależeć będzie od oczekiwanego poziomu produktu krajowego w tym okresie. Oczekiwania
są formowane na koniec poprzedniego okresu. Równanie opisujące strumień konsumpcji
przyjmuje postać:
C t = (1 − s )E t −1[Yt ] , 0 < s < 1 .
(10)
Gospodarstwa domowe wykorzystują także przewidywania poziomu produktu w okresie bieżącym przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych. Nowe równanie opisujące zagregowany
strumień inwestycji przyjmuje postać:
I t = I at + I ind
= I a + k (E t −1[Yt ] − Yt −1 ) + k 1 (Yt −1 − Yt −2 ) , k , k 1 > 0
(11)
t
Podstawiając równania (4), (10) i (11) do równania (1) otrzymujemy nieliniową wersję modelu z oczekiwaniami:
Yt = (1 − s + k )E t −1[Yt ] − (k − k 1 )Yt −1 − k 1Yt −2 + I a + g ) .
(12)
Równanie (11) jest autonomicznym nieliniowym równaniem różnicowym drugiego rzędu. W
dalszej analizie stosować będziemy narzędzia jakościowej teorii układów dynamicznych.
Równanie (10) jest równoważne następującemu dwuwymiarowemu układowi dynamicznemu:
Yt = (1 − s + k )E t −1[Yt ] − (k − k 1 )Yt −1 − k 1 Z t −1 + I a + g
(13)

Z t = Yt −1 .
Analizę układu dynamicznego (13) rozpoczynamy od wyznaczenia ilości równowag (rozwiązań stacjonarnych).
89
Wielostabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkturalnego z oczekiwaniami
Twierdzenie 1.
Gospodarka opisana równaniem (13) posiada jedną równowagę długookresową E1 Y1* , Z1* ,
I +g
gdzie Y1* = Z1* = a
dla s > (1 − s + k )µ1 i trzy równowagi długookresowe E1 Y1* , Z1* ,
s
*
*
*
E 2 Y2* , Z*2 , E 3 Y3* , Z*3 dla 0 < s < (1 − s + k )µ1 , takie, że Z*2 = Y2 < Y1 < Y3 = Z*3 .
Dowód:
Punkty stałe układu (13) spełniają układ równań
Yt = Yt −1 = Y *
(14)

Z t = Z t −1 = Z* ,
który jest równoważny równaniom
_
_

1− s + k *
Y* − Y =  Y* − Y 
w (µ1 + µ 2 ) − µ 2 ,
(15)

 s
Z* = Y *
(16)
gdzie
(
(
(
(
)
)
)
)
(
)
_ 2
w* =
Y
_ 2
_


Y + γ 2  Y* − Y 


(17)
2
_
jest wagą równowagi długookresowej. Y1* = Y jest pierwiastkiem równanie (15) dla wszyst_
I +g
kich wartości parametrów. Zatem Y1* = Y = a
jest punktem stałym równania (12). Pods
stawiając zależność (17) do równania (15) otrzymujemy
_ 2
Y ((1 − s + k )µ1 − s )
 * _
(18)
Y − Y = 2
γ (s + µ 2 (1 − s + k ) )


Mianownik prawej strony (18) jest zawsze dodatni (0 < s, µ 2 < 1) . Równanie (18) dla
2
_
Y (1 - s)µ1 − s
posiada dwa pierwiastki rzeczywiste Y = Yγ s + µ 2 (1 − s)
0 < s < (1 − s + k )µ1
*
2
_
oraz
_
_
Y (1 - s)µ1 − s
spełniające nierówność Y2* < Y < Y3* . Zatem układ dynamiczny
Y = Y+
γ s + µ 2 (1 − s)
*
3
_
(
)
(13) ma jedną równowagę E1 Y1* , Z1* dla s > (1 − s + k )µ1 i trzy równowagi długookresowe
E1 Y1* , Z1* ,
E 2 Y2* , Z*2 ,
E 3 Y3* , Z*3
dla
0 < s < (1 − s + k )µ1
takie,
że
(
)
*
(
*
)
(
)
*
Z*2 = Y2 < Y1 < Y3 = Z*3 .
Stabilność równowagi i bifurkacje lokalne
Kolejnym elementem badania dynamiki układu (13) będzie określenie obszarów
zmienności parametrów, dla których wyznaczone równowagi są lokalnie asymptotycznie stabilne. Następnie zbadana będzie dynamika modelu związana z utratą stabilności przez istniejące punkty stałe oraz opisane będą, występujące w badanym modelu, bifurkacje lokalne. Stabilność równowag oraz bifurkacje lokalne związane są z wartościami własnymi macierzy linearyzacji (macierzy Jakobiego). Badanie charakteru położenia równowagi E1 rozpoczynamy
90
Robert Kruszewski
od wyznaczenia macierzy Jakobiego układu (13):

(1 − s + k ) dE t −1[Yt ] − (k − k 1 ) − k1 

.
J (Yt −1 , Z t −1 ) =
dYt −1


1
0 

Równowaga E1 będzie lokalnie asymptotycznie stabilna, gdy wszystkie wartości własne macierzy Jacobiego,
(1 − s + k )(1 + µ1 ) − (k − k 1 ) − k 1 
J ( E1 ) = 


1
0 
co do modułu, będą mniejsze od jedności. Warunki te będą spełnione (Medio, Lines, 2001)
wtedy i tylko wtedy gdy:
1 + Tr J (E1 ) + Det J (E1 ) > 0
(a)
1 − Tr J (E1 ) + Det J (E1 ) > 0
(b)
1 − Det J (E1 ) > 0
(c)
gdzie Tr J (E1 ) = (1 − s + k )(1 + µ1 ) − (k − k 1 ) , det J (E1 ) = k 1 .
Pierwszy warunek jest zawsze spełniony, gdyż ślad i wyznacznik macierzy Jakobiego
są zawsze dodatnie. Zatem obszar zmienności parametrów modelu, dla których równowaga
E1 jest lokalnie asymptotycznie zadany jest przez warunki (ii) oraz (iii).
Wniosek 1.
Równowaga E1 układu dynamicznego (13) jest lokalnie asymptotycznie stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy


(k, k1 , s, µ 1 )∈ (k, k1 , s ) : 0 < k < 1 ∧ (1 + k )µ1 < s < 1 ∧ 0 < k1 < 1 ∧ µ 1> 0 .■
µ1
1 + µ1


Utrata stabilności przez jedyną równowagę E 1 w modelu liniowym, skutkuje niesta-
bilnością całego modelu. W przypadku modelu nieliniowego utrata stabilności przez równowagę E 1 , będącą punktem stałym, nie musi oznaczać niestabilności całego modelu. Dla
kombinacji parametrów, przy których równowaga E 1 jest niestabilna mogą istnieć stabilne
równowagi E 2 i E 3 lub atraktory o bardziej złożonej strukturze (okresowe, quasi-okresowe,
chaotyczne) oraz może występować zjawisko wielostabilności. Wielostabilność oznacza istnienie kilku traktorów dla zadanej kombinacji parametrów. Współistniejące atraktory są zbiorami granicznymi dla różnych podzbiorów warunków początkowych (pozycji wyjściowych
modelowanej gospodarki).
Ponieważ
_ 2 



−
Y
Y
 t −1
 

γ
_



 Y  
dE t −1[Yt ]
(µ1 + µ 2 )



=
+ (1 − µ 2 ) ,
1−
2 
2
_
_
dYt −1

 

 
 Y −Y
 Yt −1 − Y 
1 +  γ t −1_
_
  1+  γ
 




Y  
Y  


zatem
Wielostabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkturalnego z oczekiwaniami
91
dE t −1[Yt ]
dE [Y ]
= t −1 t
dYt −1 Y =Y
dYt −1 Y =Y
t
2
t
3
i wówczas macierze Jakobiego dla równowag E 2 i E 3 są sobie równe.


dE t −1[Yt ]
− (k − k 1 ) − k 1 
(1 − s + k )
J (E 2 ) = J (E 3 ) = 
dYt −1 Y = Y ,Y
.
t
2 3

1
0 
Ponownie, równowagi E 2 i E 3 są lokalnie asymptotycznie stabilne, wtedy i tylko wtedy,
gdy:
1 + Tr J (E 2,3 ) + Det J (E 2,3 ) > 0
(a’)
1 − Tr J (E 2,3 ) + Det J (E 2,3 ) > 0
(b’)
1 − Det J (E 2,3 ) > 0
(c’)
Wyznacznik i ślad macierzy J (E 2,3 ) są równe odpowiednio:
Det J (E 2,3 ) = k 1 ,
(1 − s)µ 2 − s 
s 

Tr J (E 2,3 ) =  µ 2 +
 1 −
 +1− µ 2 − k + k 1 .
1 − s   γ (1 − s)(µ 1 + µ 2 ) 

Wniosek 2.
Równowagi E 2 i E 3 układu dynamicznego (11) są lokalnie asymptotycznie stabilne wtedy i
tylko wtedy, gdy
µ 1 +1

−1
k > s
µ
1

k 1 < 1

k <  µ + s  1 − (1 − s)µ 2 − s  + 2 − µ + 2k
2
1
  2 1 − s   γ (1 − s)(µ 1 + µ 2 ) 



(1 − s)µ 2 − s 
s 


>
µ
+
−
k
1


 +1− µ 2.

2

γ
−
µ
+
µ
−
1
s
(
1
s
)(
)



1
2



Pierwszy warunek w powyższym wniosku gwarantuje istnienie równowag E 2 i E 3 .■
Zanim przejdziemy do analizy scenariuszy utraty stabilności i lokalnych bifurkacji
przytoczymy podstawowe pojęcia z teorii bifurkacji.
Dla jednoparametrowej rodziny dyskretnych układów dynamicznych, stabilne położenie równowagi traci stabilność w wyniku bifurkacji podwajania okresu, gdy przy zmianie
parametru bifurkacyjnego, jedna z rzeczywistych wartości własnych macierzy linearyzacji
zmniejszając swoją wielkość przekracza -1. Podczas, gdy pozostałe wartości własne są co do
modułu mniejsze od jedynki. Skutkiem tej bifurkacji jest powstanie orbity okresowej o okresie 2, która może być stabilna lub niestabilna. W wyniku następujących po sobie bifurkacji
podwajania okresu mogą powstawać orbity o okresie 4,8,16,..., a także może wystąpić zjawisko chaosu deterministycznego. Możliwa jest także odwrotna bifurkacja podwajania okresu,
w wyniku której dynamika systemu ulega uproszczeniu. Utrata stabilności w wyniku bifurkacji typu pitchfork (bifurkacja widelcowa) następuje, gdy jedna z wartości własnych macierzy
linearyzacji, przy zmianie parametru bifurkacyjnego, zmieniając swoją wartość przekracza 1.
Ponownie pozostałe wartości własne macierzy linearyzacji są co do modułu mniejsze od jedności. W wyniku tej bifurkacji, pojawiają się dwie dodatkowe równowagi – pierwszy scena-
92
Robert Kruszewski
riusz. Drugi z możliwych przebiegów bifurkacji widelcowej polega na redukcji liczby równowag.
Przekraczanie granicy obszaru wyznaczonego przez warunki (a-c) dla równowagi E 1 ,
(a’-c’) dla równowag E 2 i E 3 , prowadzi do utraty stabilności i wiąże się z występowaniem
różnych typów bifurkacji. Naruszenie warunku pierwszego (a, a’) jest konieczne do zaistnienia bifurkacji podwajania okresu (flip bifurcation). Wówczas jedna z wartości własnych macierzy linearyzacji jest równa -1. Opisany scenariusz ma miejsce gdy
1 + Tr J (E i ) + Det J (E i ) = 0 oraz Tr J (E i ) ∈ (−2,0) i Det J (E i ) ∈ (−1,1) (pozostałe warunki są
spełnione). Naruszenie drugiego warunku (b, b’) jest konieczne do zaistnienia bifurkacji
stycznej (fold bifurcation) zwanej także bifurkacją typu siodło-węzeł (sadle-node bifurcation).
Wówczas jedna z wartości własnych macierzy linearyzacji jest równa 1. Opisany scenariusz
ma miejsce gdy 1 − Tr J (E i ) + Det J (E i ) = 0 oraz Tr J (E i ) ∈ (0,2) i Det J (E i ) ∈ (−1,1) (pozostałe warunki są spełnione). W szczególnych przypadkach naruszenie warunku (b, b’) może
prowadzić do bifurkacji transkrytycznej (transcritical bifurcation) lub bifurkacji typu pitchfork (pitchfork bifurcation). Naruszenie warunku (c, c’) jest konieczne do zaistnienia bifurkacji Hopfa (Hopf bifurcation). Wówczas macierzy linearyzacji ma parę zespolonych
sprzężonych wartości własnych, których moduł jest równy jedności. Opisany scenariusz ma
miejsce gdy 1 − Det J (E i ) = 0 oraz warunki (a, a’) i (b, b’) są spełnione tj. Tr J (E i ) ∈ (−2,2) .
Warunek (a) określający lokalną asymptotyczną stabilność równowagi E 1 jest zawsze
spełniony (ślad macierzy linearyzacji jest dodatni), zatem utrata stabilności przez punkt stały
E 1 nie prowadzi do bifurkacji podwajania okresu. Naruszenie warunku (b), przy spełnieniu
dwóch pozostałych, prowadzi do bifurkacji widelcowej. Wraz ze wzrostem parametru k stabilna równowaga staje się niestabilna i po przekroczeniu punktu bifurkacji pojawiają się dwie
dodatkowe równowagi E 2 i E 3 , które są lokalnie asymptotycznie stabilne. Po lewej stronie
na rysunku 1 przedstawiony jest diagram bifurkacyjny ilustrujący istnienie bifurkacji widelcowej. Nieciągłości w stabilnych gałęziach równowag E 2 i E 3 spowodowane są zmieniającą
się strukturą basenów przyciągania tychże równowag, wraz z rosnącą wartością parametru
bifurkacyjnego. Symulacje numeryczne wykluczają występowanie bifurkacji Hopfa. Przekroczenie krytycznej wartości przez parametr k 1 prowadzi do całkowitej niestabilności badanego modelu. Warunki (a)-(c) są jednie warunkami koniecznymi do zaistnienia określonego
typu bifurkacji.
Utrata stabilności przez równowagi E 2 i E 3 wiąże się z występowaniem bifurkacji
podwajania okresu i pojawieniem się rozwiązań okresowych o okresie dwa w otoczeniu każdej z równowag. (naruszenie warunku a’). Warunki (c) i (c’) są konieczne do zaistnienia bifurkacji Hopfa, jednakże symulacje numeryczne wykluczają istnienie tego typu bifurkacji w
badanym modelu. Przekroczenie krytycznej wartości przez parametr k 1 skutkuje niestabilnością całego modelu. Rysunek 2 przedstawia stabilne gałęzie równowag E 2 i E 3 oraz punkt
bifurkacji, po przekroczeniu którego, w badanym modelu pojawiają się stabilne rozwiązania
okresowe o okresie dwa. Po lewej stronie wybrany warunek początkowy znajduje się w basenie przyciągania równowagi E 2 , a po prawej w basenie przyciągania równowagi E 3 . W szerokim zakresie zmienności parametru k w układzie (13) występuje zjawisko dwu-stabilności
i długookresowe zachowanie systemu ekonomicznego zależy od pozycji wyjściowej gospodarki (warunku początkowego).
Wielostabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkturalnego z oczekiwaniami
93
Rysunek 1. Diagramy bifurkacyjne dla parametrów k i k 1 .
Źródło: opracowanie własne.
Rysunek 2. Diagramy bifurkacyjne dla parametru k . Bifurkacja podwajania okresu.
Źródło: opracowanie własne.
Dynamika globalna
W te części pracy omówione zostaną wybrane elementy dynamiki globalnej badanego
modelu. Symulacje numeryczne długookresowego zachowania hipotetycznej gospodarki
przedstawione będą na odpowiednich diagramach bifurkacyjnych, przedstawiających istnieją-
94
Robert Kruszewski
ce atraktory, w funkcji wybranego parametru modelu dla zadanego warunku początkowego
(pozycji wyjściowej gospodarki). Wpływ zmian akceleratora związanego z inwestycjami
uzależnionymi od oczekiwanego poziomu produkcji przedstawia rysunek 3. Dla wybranych
wartości parametrów modelu równowaga E 1 jest już niestabilna dla każdego k > 0 . Dla
znacznego zakresu zmienności parametru k ( 0 < k < 1.6 ) badana gospodarka charakteryzuje
się występowaniem dwóch stabilnych, stacjonarnych równowag długookresowych tzw. dwustabilność. Po przekroczeniu krytycznej wartości przez parametr k wszystkie punkty stałe
badanego układu są niestabilne, lecz sam układ jest stabilny, gdyż w wyniku bifurkacji widelcowej, pojawiły się atraktory cykliczne (o okresie dwa). Wraz ze wzrostem parametru bifurkacyjnego cykle o okresie dwa stają się niestabilne, w wyniku kolejnej bifurkacji podwajania
okresu. W wyniku kaskady podwajania okresu dynamika hipotetycznej gospodarki staje się
coraz bardziej złożona. Pojawiają się cykle o coraz dłuższych okresach i ostatecznie badany
układ zachowuje się chaotycznie. Przedstawiony scenariusz ma miejsce dla każdej z równowag E 2 , E 3 . Pojawiające się atraktory chaotyczne, wraz ze wzrostem parametru bifurkacyjne
stają się coraz większe i dochodzi do kolizji atraktora chaotycznego z brzegiem swojego basenu przyciągania. W wyniku tej kolizji dynamika modelu się upraszcza, pojawiają się atraktory cykliczne charakteryzujące się krótkim okresem. Dalszy wzrost parametru k ponownie
prowadzi do kaskady podwajania okresu i chaotycznej dynamiki badanego modelu.
Rysunek 3. Diagram bifurkacyjny dla parametru k, poniżej największy wykładnik Lapunowa.
Źródło: opracowanie własne.
Rysunek 4 przedstawia dynamikę hipotetycznej gospodarki jako funkcję parametru µ 1
określającego szybkość reakcji tej części gospodarstw domowych, która oczekuje kontynuacji
aktualnego trędu. W pierwszej fazie badany układ dynamiczny posiada tylko jedną stacjonarną równowagę długookresową E 1 , która traci stabilność w wyniku bifurkacji widelcowej.
Kolejna faza, to istnienie dwóch stacjonarnych, stabilnych równowag długookresowych E 1 i
E 2 pomiędzy którymi następuje przełączanie dynamiki. Przełączanie dynamiki jest konsekwencją bifurkacji widelcowej. Zmieniająca się wartość parametru µ 1 zmienia brzeg base-
Wielostabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkturalnego z oczekiwaniami
95
nów przyciągania. Dla µ 1 ≈ 1.35 równowagi E 1 i E 2 tracą stabilność w wyniku bifurkacji
podwajania okresu. Od tego momentu, dynamika modelu ze względu na zmienność parametru
µ 1 jest zbliżona, do tej wywołanej zmiennością parametru k.
Rysunek 5 ilustruje scenariusz zmian w badanym modelu wywołany zmiennością parametru µ 2 . Dla wybranych wartości parametrów modelu równowaga E 1 jest już niestabilna
dla każdego µ 2 ∈ (0, 1) . Stabilne równowagi E 1 i E 2 ponownie tracą stabilność w wyniku
bifurkacji podwajania okresu. Pojawiająca się kaskada podwajania okresu prowadzi do chaotycznej dynamiki badanego układu dynamicznego. Scenariusz zmian własności dynamicznych jest bardzo podobny w każdym z zaprezentowanych przypadków.
Rysunek 4. Diagram bifurkacyjny dla parametru µ 1 i największy wykładnik Lapunowa.
Źródło: opracowanie własne.
Rysunek 5. Diagramy bifurkacyjne dla parametru µ 2 .
Źródło: opracowanie własne.
96
Robert Kruszewski
Jednowymiarowe diagramy bifurkacyjne badanego modelu wskazują na występowanie zjawiska multistabilności. Od współistniejących, stacjonarnych równowag przez rozwiązania cykliczne po chaotyczne atraktory. Rysunek 6 przedstawia współistniejące atraktory o
zróżnicowanej strukturze wraz z ich basenami przyciągania. Basen przyciągania atraktora
zawiera wszystkie pozycje wyjściowe gospodarki, które w długim okresie zbiegają do danego
atraktora. Dolne obrazy przedstawiają współistniejące dwuczęściowe atraktory chaotyczne na
lewo i współistniejący atraktor chaotyczny wraz z atraktorem cyklicznym o okresie cztery.
Znajomość basenów przyciągania i pozycji wyjściowej gospodarki pozwala określić długookresową dynamikę gospodarki. Analiza basenów przyciągania pozwala odpowiedzieć na
następujące pytanie: Dlaczego gospodarki o takich samych parametrach i niewiele różniących
się pozycjach wyjściowych charakteryzują się cyklami o różnej długości i amplitudzie
Rysunek 6. Współistniejące atraktory wraz z ich basenami przyciągania.
Źródło: opracowanie własne.
Wielostabilność w nieliniowym modelu cyklu koniunkturalnego z oczekiwaniami
97
Podsumowanie
W pracy zaproponowałem dwa modele opisujące ewolucję w czasie produktu krajowego hipotetycznej gospodarki. Model liniowy, będący modyfikacją modelu Hicksa oraz model nieliniowy, w którym uwzględniono formowanie się strumienia konsumpcji oraz strumienia inwestycji na podstawie oczekiwań dotyczących poziomu produkcji w okresie bieżącym.
Równania opisujące dynamikę modelowanej gospodarki, w modelu liniowym, są proste i zrozumiałe. Stanowi on znakomitą bazę do zbadania wpływu zagregowanych oczekiwań, co do
wielkości produktu krajowego, formowanych przez gospodarstwa domowe. Dynamika modelu nieliniowego jest bardziej złożona, występuje zjawisko wielostabilności oraz zjawisko
chaosu deterministycznego. Równowaga występująca w modelu liniowym jest także stanem
stacjonarnym modelu nieliniowego. Utrata lokalnej stabilności przez równowagę, w modelu
nieliniowym, nie oznacza niestabilności modelu. Pojawiają się atraktory okresowe oraz
atraktory quasi-okresowe, które są matematycznym modelem endogenicznego cyklu koniunkturalnego. Drugą cechą modelu nieliniowego jest występowanie atraktorów chaotycznych o zróżnicowanej strukturze dla szerokiego spektrum parametrów modelu. Wielostabilność jak i istnienie traktorów chaotycznych ma miejsce dla szerokiego spektrum parametrów
modelu. Rozwiązanie cykliczne występujące w modelu liniowym występuje tylko dla ściśle
określonych kombinacji akceleratora i krańcowej skłonności do konsumpcji. Jakiekolwiek
odchylenia od owych wartości prowadziły do trajektorii zbieżnych do punktu stałego lub rozbieżnych. W modelu nieliniowym istnienie stabilnego atraktora cyklicznego możliwe jest w
pewnych przedziałach zmienności wszystkich parametrów modelu i tym samym zaproponowany model jest mniej wrażliwy na błędy pomiaru (estymacji) parametrów.
BIBLIOGRAFIA:
1. Hicks J.R., (1950), A contribution to the theory of the trade cycle. Oxford University
Press.
2. Jakimowicz A., (2003), Od Keynesa do teorii chaosu. PWN, Warszawa.
3. Keynes John. M., (2003), Ogólna teoria zatrudnienia, procentu i pieniądza, PWN, Warszawa.
4. Lines M., Westerhoff F.,(2006), Expectations and multiplier-accelerator model., Business
cycle dynamice. Models and tools. Red. naukowy T. Puu, I. Sushko, Springer, Berlin.
5. Lubiński M., (2002), Analiza koniunktury i badanie rynków, Elipsa, Warszawa.
6. Medio A., Lines M., (2001), Nonlinear dynamice: a primer. Cambridge University Press.,
Cambridge.