Wstęp

Wstęp
Pojęcie grupy funkcjonuje w matematyce od prawie dwustu lat, a od pewnego czasu jest
w niej wszechobecne. Praktycznie w każdym dziale matematyki jest wykorzystywane
albo do klasyfikacji, albo do opisu strukturalnych własności obiektów, którymi się ten
dział zajmuje.
W pewnym uproszczeniu grupę można przedstawić jako zbiór przekształceń ustalonego zbioru, zamknięty na składanie funkcji i branie funkcji odwrotnych. Dokładniej,
zbiór przekształceń G zbioru X jest grupą jeżeli spełnia następujące warunki:
1. g, h ∈ G =⇒ g ◦ h ∈ G;
2. g ∈ G =⇒ g −1 ∈ G.
Te, z pozoru mało znaczące warunki niosą silne ograniczenia i dzięki nim grupy
przekształceń mają bardzo regularną strukturę wewnętrzną. W badaniach konkretnego zbioru X (przestrzeni liniowej, metrycznej, figury płaskiej, itp.) na ogół rozważa
się zbiory przekształceń, które zachowują pewne konkretne własności jego elementów
(iloczyn skalarny wektorów, wzajemna odległość punktów itp.). To pozwala na opis wewnętrznych własności zbioru X mających znaczenie w twierdzeniach klasyfikacyjnych.
Z drugiej strony, sam X może być wyposażony w naturalne wewnętrzne dwuargumentowe działanie, narzucające nań strukturę grupy. Ogólne twierdzenia teorii grup mogą
dostarczyć informacji o jego wewnętrznej budowie.
Samo narodzenie pojęcia grupy jest związane z zaskakującym, choć niedostrzeżonym
i niedocenionym zastosowaniem go do ostatecznego wyjaśnienia kwestii rozwiązalności
przez pierwiastniki równań postaci
xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0,
gdzie a0 , a1 , . . . , an są elementami ustalonego ciała. Po raz pierwszy pojawiło się ono
w pracach Ewarysta Galois na początku lat trzydziestych dziewiętnastego wieku. Jednak pierwsze idee związane z wykorzystaniem jeszcze nieuświadamianych, strukturalnych własności obiektów, które z czasem okazały się być szczególnymi przykładami
grup występują na długo przed Galois. Najpierw Fermat zauważył, że jeśli p jest
liczbą pierwszą to 2p−1 ≡ 1 (mod p). Obserwacja ta póüniej rozszerzona do obecnego kształtu małego twierdzenia Fermata i twierdzenia Eulera, mówi, że w grupach
5
6
Wstęp
Zn∗ rząd elementu dzieli rząd grupy. W pracy z 1772 roku Lagrange dowodzi, że jeśli
f : Rn −→ R jest funkcją n zmiennych, to dla dowolnego a = (a1 , a2 , . . . , an ) liczba
różnych wartości funkcji f przyjmowanych dla argumentów otrzymanych z a przez permutację współrzędnych jest dzielnikiem n!. Wynik ten sprawił, że twierdzenie mówiące,
że rząd podgrupy dzieli rząd grupy zostało nazwane Twierdzeniem Lagrange’a. Rezultat Lagrange’a był niewątpliwie impulsem do badań Cauchy’ego, który w 1815 roku
wykazał, że liczba wspomnianych wartości funkcji f o n zmiennych (n ≥ 5) jest równa
1, 2 lub ≥ n, co oznacza, że grupa permutacji Sn nie ma podgrup o indeksie ≤ n i większym od 2. Gauss zauważył, że w Zp∗ istnieje pierwiastek pierwotny stopnia p − 1 z 1,
co w języku teorii grup oznacza, że Zp∗ jest grupą cykliczną, zresztą wkrótce wynik ten
został uogólniony na przypadek multyplikatywnej grupy dowolnego ciała skończonego
przez Galois. Gauss zajął się także jeszcze jednym przykładem grup, które do dziś
stanowią bardzo ważny i aktualny obiekt zainteresowania matematyków — grupą klas
idełów. Ruffini i Abel zajmując się rozwiązalnością równań stopnia ≥ 5 badali pewne
podgrupy grup permutacji.
Podstawy teorii grup rodziły się z wielkim trudem i chyba trochę za wcześnie. Ceną
tego był brak zrozumienia dla odkryć dokonanych przez zaledwie dwudziestoletniego
Galois, co, jak piszą jego biografowie, mogło być jedną z przyczyn jego tragicznego
losu. Najważniejsza z prac Galois przez lata przeleżała nie zrozumiana i opublikowana
w 1846 roku, w 14 lat po jego śmierci, nie tylko dała podstawy dla teorii grup, ale
wyznaczyła nowe, ważne kierunki w rozwoju matematyki.
Pojęcie grupy, tak powszechne we współczesnej matematyce, jest jednocześnie na
tyle abstrakcyjne, że zrozumienie jego istoty sprawia studentom wiele problemów. Przyczyną tego jest, zapewne, brak wystarczającej liczby atrakcyjnych dydaktycznie zastosowań w matematyce elementarnej. Pierwsze poważniejsze przykłady takich zastosowań wymagają opanowania podstaw abstrakcyjnej aksjomatycznej teorii i w pierwszej
fazie jej poznawania trudno o lepszą motywację, niż chęć przeżycia intelektualnej przygody — nie dla wszystkich dostępnej choćby ze względów psychologicznych.
Materiał zawarty w książce obejmuje jednosemestralny wykład teorii grup dla studentów drugiego roku studiów matematycznych i stanowi pierwszą część rocznego wykładu algebry abstrakcyjnej. Całość jest dość obszerna i raczej trudno byłoby wszystko
przedstawić na wykładzie trwającym 30 godzin. Dla lepszego zrozumienia pojęć, konieczne jest przetestowanie ich na konkretnych przykładach, które nie we wszystkich
podręcznikach są dostępne. Tutaj stanowią one istotną część materiału, przeznaczoną
raczej dla słuchaczy wykładu niż prowadzącego. Mogą one ułatwić zrozumienie pojęć
i dać pewne podpowiedzi ułatwiające rozwiązanie zamieszczonych zadań. Te z kolei,
w części występują w znanych podręcznikach i zbiorach zadań, w części natomiast są
to zadania oryginalne lub nie ma ich w literaturze polskojęzycznej.
Ostatnie dwa rozdziały mają charakter historycznych przeglądów wybranych wyni-
Wstęp
7
ków dotyczących dwóch zagadnień z teorii grup, które przez cały XX wiek przyciągały
uwagę najwybitniejszych specjalistów: klasyfikacji skończonych grup prostych i problemów Burnside’a. Oba rozdziały zostały oparte na nieco obszerniejszych opracowaniach
dotyczących tych tematów1 . Celem zamieszczenia tych opracowań jest zachęcenie Czytelnika do dalszego zainteresowania się teorią grup, w związku z tym zrezygnowano
ze ścisłości wykładu na rzecz przejrzystości historycznej. Mam nadzieję, że niektórzy
Czytelnicy, chcąc lepiej zrozumieć omawiane fakty, sięgną po obszerniejsze monografie
z teorii grup.
Jestem dłużny podziękowania kilku osobom, których wzorce naukowe i etyczne są
mi przewodnikiem od wielu lat mojej drogi zawodowej. Bardzo cenię sobie możliwość
prowadzenia z nimi dyskusji na tematy nie tylko naukowe. Pozytywne cechy przedkładanej książki są ich zasługą, chociać niektórzy być może nie wiedzieli nawet, że ona
powstaje. Szczególne podziękowania składam mojemu pierwszemu nauczycielowi teorii grup Janowi Ambrosiewiczowi i nieustannie mobilizującemu mnie do pracy Janowi
Krempie. Niezależne podziękowania składam recenzentce książki Oldze Macedońskiej,
której wnikliwe uwagi pozwoliły usunąć wiele usterek i niejasności.
Warszawa, 2008.
1
Czesław Bagiński
Cz. Bagiński, O problemach Burnside’a, Wiadomości Matematyczne, 33 (1997), 53-74.
Cz. Bagiński, M. Łuba, O klasyfikacji skończonych grup prostych, Wiadomości Matematyczne, 38
(2002), 37-52.
Cz. Bagiński, Wariacje na temat Problemów Burnside’a, Wiadomości Matematyczne, 43 (2007),
49-65