spis treści

SPIS TREŚCI
Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literatura uzupełniająca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XI
XI
ROZDZIAŁ 1. KONSTRUKCJE TEORIOGRUPOWE . . . . . . .
1
§1. Grupy klasyczne małych wymiarów . .
1. Ogólne definicje . . . . . . . . . . . . . .
2. Parametryzacja grup SU(2) i SO(3) . . . .
3. Epimorfizm SU(2) → SO(3) . . . . . . . .
4. Geometryczne przedstawienie grupy SO(3)
5. Kwaterniony . . . . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Warstwy względem podgrupy . . . . . .
1. Własności elementarne . . . . . . . . . . .
2. Struktura grup cyklicznych . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Działanie grup na zbiorach . . . . . . . .
1. Homomorfizmy G → S(Ω) . . . . . . . . .
2. Orbity i podgrupy stacjonarne punktów .
3. Przykłady działań grup . . . . . . . . . .
4. Przestrzenie jednorodne . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Grupy ilorazowe i homomorfizmy . . . .
1. Grupa ilorazowa . . . . . . . . . . . . . .
2. Twierdzenia o homomorfizmach grup . . .
3. Komutant . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Iloczyny grup . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Generatory i relacje . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
3
5
6
9
11
11
13
14
15
15
16
17
21
22
24
24
25
29
31
33
38
VI
SPIS TREŚCI
ROZDZIAŁ 2. STRUKTURA GRUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1. Grupy rozwiązalne i proste . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Grupy rozwiązalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Grupy proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Twierdzenia Sylowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Skończenie generowane grupy abelowe . . . . . . . . . .
1. Przykłady i rezultaty wstępne . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Grupy abelowe beztorsyjne . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Skończenie generowane grupy abelowe wolne . . . . . . . .
4. Struktura skończenie generowanych grup abelowych . . . .
5. Inne podejścia do zagadnienia klasyfikacji . . . . . . . . .
6. Podstawowe twierdzenie o skończonych grupach abelowych
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Liniowe grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Definicje i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Krzywe w grupach macierzowych . . . . . . . . . . . . . .
3. Różniczka homomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Algebra Liego grupy Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Logarytm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
43
47
47
53
53
53
55
58
59
60
64
67
68
68
70
73
74
76
77
ROZDZIAŁ 3. ELEMENTY TEORII REPREZENTACJI GRUP
78
§1. Definicje i przykłady reprezentacji liniowych
1. Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . .
2. Przykłady reprezentacji liniowych . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Unitarność i przywiedlność . . . . . . . . . . .
1. Reprezentacje unitarne . . . . . . . . . . . . . .
2. Całkowita przywiedlność . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Skończone grupy obrotów . . . . . . . . . . . .
1. Rzędy skończonych podgrup w SO(3) . . . . . .
2. Grupy obrotów wielościanów foremnych . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Charaktery reprezentacji liniowych . . . . . .
1. Lemat Schura i wnioski . . . . . . . . . . . . .
2. Charaktery reprezentacji . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81
81
86
91
91
91
95
97
98
99
101
104
105
105
107
113
SPIS TREŚCI
§5. Reprezentacje nieprzywiedlne grup skończonych
1. Liczba reprezentacji nieprzywiedlnych . . . . . . . .
2. Wymiary reprezentacji nieprzywiedlnych . . . . . . .
3. Reprezentacje grup abelowych . . . . . . . . . . . . .
4. Reprezentacje niektórych specjalnych grup . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§6. Reprezentacje grup SU(2) i SO(3) . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§7. Iloczyny tensorowe reprezentacji . . . . . . . . . .
1. Reprezentacja kontragredientna . . . . . . . . . . . .
2. Iloczyn tensorowy reprezentacji . . . . . . . . . . . .
3. Pierścień charakterów . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Niezmienniki grup liniowych . . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
113
113
115
117
119
122
125
128
128
128
129
130
133
137
ROZDZIAŁ 4. PIERŚCIENIE, ALGEBRY, MODUŁY . . . . . . .
139
§1. Pewne konstrukcje w teorii pierścieni . . . . . . . .
1. Ideały i pierścienie ilorazowe . . . . . . . . . . . . . . .
2. Ciało rozkładu wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Twierdzenia o izomorfizmie dla pierścieni . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Wybrane twierdzenia o pierścieniach . . . . . . . . .
1. Liczby całkowite Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Rozkład na sumę dwóch kwadratów . . . . . . . . . . .
3. Rozszerzenia wielomianowe dziedzin z jednoznacznością
4. Struktura grupy multiplikatywnej U (Zn ) . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Moduły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Wstępne informacje o modułach . . . . . . . . . . . . .
2. Moduły wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Elementy całkowite pierścienia . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Algebry nad ciałem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Definicje i przykłady algebr . . . . . . . . . . . . . . .
2. Algebry z dzieleniem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Algebry grupowe i moduły nad nimi . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5. Moduły nieprzywiedlne nad algebrą Liego sl(2) . .
1. Informacje wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Wagi i krotności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Wektor najwyższej wagi . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Twierdzenie klasyfikujące . . . . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
rozkładu
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
139
139
141
145
147
148
148
149
151
153
156
157
157
162
165
166
167
167
170
174
183
185
185
187
187
189
190
SPIS TREŚCI
VIII
ROZDZIAŁ 5. WSTĘP DO TEORII GALOIS . . . . . . . . . . . . .
§1. Skończone rozszerzenia ciał . . . . . . . . . . . . . .
1. Elementy algebraiczne i stopnie rozszerzeń . . . . . . .
2. Izomorfizm ciał rozkładu . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Istnienie elementu pierwotnego . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2. Ciała skończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Istnienie i jednoznaczność . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Podciała i automorfizmy ciał skończonych . . . . . . .
3. Wzór Möbiusa na odwrócenie i jego zastosowania . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. Odpowiedniość Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Rezultaty wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois . . . . . . . . . . .
3. Ilustracja zasadniczego twierdzenia . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4. Znajdowanie grupy Galois . . . . . . . . . . . . . . .
1. Działanie grupy Gal(f ) na pierwiastkach wielomianu f
2. Wielomiany, których stopień jest liczbą pierwszą . . . .
3. Redukcja modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Bazy normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§5. Zagadnienia związane z rozszerzeniami Galois . . .
1. Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych . . . . . . .
2. Rozszerzenia abelowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Norma i ślad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Rozszerzenia cykliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Kryterium rozwiązalności równań przez pierwiastniki .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§6. Sztywność i wymierność w grupach skończonych .
1. Definicje i sformułowanie podstawowego twierdzenia . .
2. Liczenie rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Przykłady sztywności . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§7. Epilog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
191
191
196
198
200
200
200
202
204
208
210
210
213
214
218
219
219
221
224
229
232
233
233
234
235
238
240
243
244
244
246
249
250
251
DODATEK. PROBLEMY NIEROZWIĄZANE . . . . . . . . . . . . . . .
253
1.
2.
3.
4.
5.
Klasyfikacja skończonych grup prostych . . . . . .
Automorfizmy regularne . . . . . . . . . . . . . .
Dziwna algebra Liego . . . . . . . . . . . . . . .
Problem Burnside’a . . . . . . . . . . . . . . . .
Skończone grupy automorfizmów wielomianowych
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
191
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
253
254
254
254
255
SPIS TREŚCI
IX
6. SR-grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Odwrotne zagadnienie Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
256
Odpowiedzi i wskazówki do ćwiczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
Uwagi metodyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pytania egzaminacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Program wykładu algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
267
269
Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270