Egzamin 2015

Egzamin z matematyki dyskretnej, informatyka stosowana, studia magisterskie, rok 1
26 II 2015
Informacje dla zdających:
1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10
minut.
2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów
otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być
pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności
nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce,
obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny”
pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.
4. Progi procentowe konieczne do uzyskania kolejnych ocen są takie same, jak na ćwiczeniach.
5. Definicje w zadaniu 5 nie muszą być zapisywane formalnie, mogą być podane własnymi słowami.
Zadania:
1. (400 punktów)
a) Rozwiąż poniższy układ równań:
{
b) Zastosuj algorytm
prywatny (46, 5).
A Ą
2 3
Ł M
17 18
Y Z
32 33
7𝑥 − 4𝑦 ≡13 𝜑(2123)
4𝑥 + 9𝑦 ≡13 151719
RSA do odkodowania wiadomości ”KŹTA KDŹN”wykorzystując klucz
B
4
N
19
Ź
34
C
5
Ń
20
Ż
35
Ć
6
O
21
@
36
D
7
Ó
22
#
37
E
8
P
23
$
38
Ę F G H
9 10 11 12
R S Ś T
24 25 26 27
% ˆ & *
39 40 41 42
I
13
U
28
(
43
J
14
V
29
)
44
K L
15 16
W X
30 31
?
45
2. (400 punktów) Pan Lewkonik jest ogrodnikiem w Akademii Pana Kleksa. Właśnie chce zaprojektować nowy układ ogrodu. Zaczyna od rabaty z kwiatami, na której chce posadzić tulipany, dalie
i lilie. Pan Lewkonik zakupił 10 cebulek tulipanów, 12 cebulek dalii oraz 9 cebulek lilii, przy czym
każda z tych cebulek da kwiat innego koloru. Aby nie pomylić ich między sobą, każda z nich ma
etykietkę mówiącą o tym, jakiego typu to kwiat oraz jakiego koloru. Na rabacie ma on rozmieścić 17
kwiatów.
a) Na ile sposobów może on wybrać zestaw cebulek, jeśli nie ma znaczenia jakie kwiaty będą
posadzone oraz jaki będzie ich układ?
b) Na ile sposobów może on wybrać zestaw cebulek, jeśli na rabacie mają być posadzone dokładnie 4 dalie oraz co najwyżej 5 tulipanów i nie ma znaczenia jaki będzie ich układ?
c) Na ile sposobów może on wybrać układ i kolor kwiatów na rabacie, jeśli kwiaty mają być
posadzone w trzech rzędach: w pierwszym 4 tulipany, w drugim 6 lilii, a w trzecim - 7 dalii?
d) Ile zestawów kwiatów różniących się między sobą liczbą kwiatów danego typu powinien
rozważyć, jeśli kolor kwiatów nie ma znaczenia, ale na rabacie mają się znaleźć przynajmniej
4 kwiaty z każdego typu?
e) Aby ograniczyć wydatki na ziemniaki pan Lewkonik zaproponował też Panu Kleksowi przygotowanie dodatkowych grządek, w których posadzone będą ziemniaki. Pan Kleks przystał na
tę propozycję, ale tylko pod warunkiem, że liczba posadzonych ziemniaków będzie podzielna
przez co najmniej jedną z liczb 14 i 21, nie będzie mniejsza niż 200 i nie większa niż 500. Ile
różnych opcji posadzenia ziemniaków ma pan Lewkonik?
2
3. (400 punktów)
a) Rozwiąż zależność rekurencyjną:
𝑠𝑛+1 = 10𝑠𝑛 − 25𝑠𝑛−1 − 4(−5)𝑛+1 , 𝑠0 = 0, 𝑠1 = 20
b) Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej 𝑛 wyrażenie 4𝑛3 − 3𝑛2 + 5𝑛 jest podzielne przez 6.
4. (400 punktów)
a) Pewien spójny graf prosty, nieeulerowski, o indeksie chromatycznym 7, w którym istnieje
droga Eulera, liczy dokładnie 4 wierzchołki stopnia drugiego oraz dokładnie 9 wierzchołków
stopnia czwartego. Jaka jest długość drogi Eulera w tym grafie, jeśli w grafie nie ma wierzchołków stopnia szóstego, wierzchołki stopnia nieparzystego mają różne stopnie oraz liczba
krawędzi jest liczbą nieparzystą? Ile krawędzi będzie liczyło drzewo spinające tego grafu?
Zapisz cały przebieg rozumowania.
b) Zastosuj algorytm Dijkstry do znalezienia najkrótszej drogi pomiędzy wierzchołkami 𝐴 i 𝐻
grafu 𝐺. Przebieg algorytmu zapisz w tabeli o nagłówkach jak poniżej.
Nr etapu Zbiór L D(B) D(C) D(D) D(E) D(F) D(G) D(H)
5. (400 punktów) a) Dla każdego z poniższych podpunktów narysuj graf spójny 𝐺 o 9 wierzchołkach
(lub uzasadnij dlaczego nie da się narysować), taki, że:
I. 𝐺 = (𝑉1 , 𝑉2 ) jest dwudzielny, ∣𝑉1 ∣ < ∣𝑉2 ∣ oraz w grafie tym nie istnieje skojarzenie pełne (zaznaczyć podział na 𝑉1 i 𝑉2 )..
II. 𝐺 jest drzewem o 4 liściach i liczbie chromatycznej 4.
III. 𝐺 jest drzewem o 5 liściach i indeksie chromatycznym 4.
IV. 𝐺 jest dwudzielny, eulerowski i istnieje w nim skojarzenie pełne.
V. 𝐺 jest dwudzielny, nie jest eulerowski i istnieje w nim skojarzenie pełne.
b) Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.