Funkcja odwrotna. Ciągi liczbowe. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Funkcja odwrotna. Ciągi liczbowe.
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Definicja funkcji
— DEFINICJA Niech dane będą dwa zbiory D i P . Funkcją f : D → P nazywamy przyporządkowanie, które każdemu
elementowi ze zbioru D przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru P .
— D - dziedzina, zbiór argumentów funkcji f
— P - przeciwdziedzina, zbiór wartości funkcji f
Jeżeli D ⊂ R i P ⊂ R, to wykresem funkcji f nazywamy zbiór
W = {(x, f (x)) : x ∈ D}.
Złożenie funkcji
DEFINICJA Jeżeli f : Df → Y oraz g : Dg → Z, gdzie Y ⊂ Dg , to złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję
h : Df → Z taką, że h(x) = g f (x) dla każdego x spełniającego warunki x ∈ Df oraz f (x) ∈ Dg . Złożenie funkcji f
i g oznaczamy symbolem g ◦ f .
Funkcja odwrotna
DEFINICJA Funkcję f nazywamy różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
^
^
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) .
x1 ∈Df x2 ∈Df
DEFINICJA Jeżeli funkcja f : X → Y jest różnowartościowa, to funkcję g : Y → X nazywamy funkcją odwrotną
do funkcji f , jeżeli
^
^
g ◦ f (x) = x oraz
f ◦ g (y) = y.
y∈Dg
x∈Df
Funkcję g oznaczamy wówczas przez f −1 .
UWAGA: Jeżeli funkcja f : R → R, to wykres funkcji i funkcji odwrotnej są symetryczne względem prostej y = x.
Funkcje cyklometryczne
1
DEFINICJA Funkcje cyklometryczne są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych na pewnych przedziałach, na których funkcje te są różnowartościowe.
DEFINICJA Funkcja arcsin (arcus sinus) jest to funkcja odwrotna do funkcji sinus na przedziale h− π2 , π2 i.
sin : h− π2 , π2 i → h−1, 1i
arcsin : h−1, 1i → h− π2 , π2 i
y
π
2
−1
0
−
1
x
π
2
Wykres funkcji y = arc sin x
Funkcje cyklometryczne – cd.
DEFINICJA Funkcja arccos (arcus cosinus) jest to funkcja odwrotna do funkcji cosinus na przedziale h0, πi.
cos : h0, πi → h−1, 1i
arccos : h−1, 1i → h0, πi
y
π
π
2
−1
0
1
x
Wykres funkcji y = arc cos x
Funkcje cyklometryczne – cd.
DEFINICJA Funkcja arctg (arcus tangens) jest to funkcja odwrotna do funkcji tangens na przedziale (− π2 , π2 ).
tg : (− π2 , π2 ) → R
arctg : R → (− π2 , π2 )
y
π
2
−1
0
−
1
x
π
2
Wykres funkcji y = arc tg x
Funkcje cyklometryczne
DEFINICJA Funkcja arcctg (arcus cotangens) jest to funkcja odwrotna do funkcji cotangens na przedziale (0, π).
ctg : (0, π) → R
arcctg : R → (0, π)
2
y
π
π
2
−1
0
1
x
Wykres funkcji y = arc ctg x
Definicja ciągu liczbowego
DEFINICJA Nieskończonym ciągiem liczbowym nazywamy dowolną funkcję f : N → R określoną na zbiorze liczb
naturalnych o wartościach rzeczywistych.
Zwyczajowo, zamiast f (n) piszemy an .
an oznacza n-ty wyraz ciągu
(an ) oznacza ciąg liczbowy
Ciągi monotoniczne
DEFINICJA
^
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
an+1 > an .
n∈N
^
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
an+1 > an .
n∈N
^
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
an+1 < an .
n∈N
^
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
an+1 6 an .
n∈N
Ciągi ograniczone
DEFINICJA
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy ograniczonym od góry wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
_ ^
an 6 C.
C∈R n∈N
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy ograniczonym od dołu wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
_ ^
an > c.
c∈R n∈N
— Ciąg liczbowy (an ) nazywamy ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
_ ^
|an | 6 M.
M >0 n∈N
3