VHDL-AMS Language in Synthesis of Gyrator

VHDL-AMS Language in Synthesis of
Gyrator-Capacitor Filters
Język VHDL-AMS w syntezie filtrów
żyratorowo-pojemnościowych
Streszczenie rozprawy doktorskiej
mgr inż. Piotr Katarzyński
Wydział Informatyki
Politechnika Poznańska
Poznań, 2012
2
Streszczenie
Filtracja jest podstawową operacją w przetwarzaniu sygnałów elektrycznych.
Pozwala na usuwanie z rozpatrywanych sygnałów zakłóceń, stąd stanowi
etap wstępny w obróbce informacji pozyskanych przez układy sensoryczne.
Filtrowanie strumienia informacji przepływających w określonym medium
transmisyjnym pozwala na wyekstrahowanie z niego danych istotnych z punktu
widzenia procesu komunikacji. Te dwa fundamentalne podejścia sprawiają, że
układy filtrujące są obecnie realizowane w olbrzymiej liczbie współczesnych
urządzeń elektronicznych, ukierunkowanych na zastosowania w rozlicznych
dziedzinach: poczynając od elektroniki użytkowej, a kończąc na sondach wyspecjalizowanych do badań kosmosu. Rozwój elektroniki w ostatnich dekadach
przyniósł ze sobą skonkretyzowane wymogi dotyczące funkcjonalności budowanych urządzeń. Wymogi te ugruntowane zostały ekonomicznie jeśli wziąć pod
uwagę analizy popytu na produkty szeroko rozumianej elektroniki użytkowej.
Warto w tym miejscu odnieść się do kwestii mobilności, niskiego zużycia
energii oraz silnego scalenia podzespołów tworzących takie konstrukcje. Z
tej racji zespoły filtrujące stanowią elementy składowe większych jednostek
przetwarzania sygnałów i są obecnie włączane w struktury układów scalonych.
Rewolucja mikroelektroniczna przyniosła wysoko rozwinięte technologie budowy układów cyfrowego przetwarzania sygnałów (ang. DSP1 ), a skojarzony z
nią rozwój informatyki zapewnił narzędzia i metody analizy algorytmów przetwarzających. Niemniej jednak warto podkreślić że każdy, nawet najbardziej
wysublimowany układ cyfrowy jest otoczony światem rzeczywistym, który
jest analogowy. Stąd wszelkie formy akwizycji danych będących przedmiotem interakcji z otoczeniem wymagają przetwarzania analogowo-cyfrowego.
Bezpośrednią konsekwencją takiej konwersji jest utrata części informacji o
sygnale związanej z kwantyzacją. Stąd upowszechnia się układy mieszane analogowo cyfrowe, w których część operacji (w tym filtracja) może być w
całości lub w części zrealizowana po stronie analogowej [19]. Otwiera to nowe
możliwości m. in. w realizacji scalonych układów wizyjnych [12]. Od momentu
wprowadzenia pierwszego komercyjnego układu scalonego przez firmę Texas
1
Digital Signal Processing
2
Instruments, stało się jasne, że poziom złożoności procesu projektowego takich
jednostek przerasta możliwości pojedynczych inżynierów jak i zespołów projektowych. Dla zapewnienia szybkiego i niezawodnego projektowania należało
sięgnąć po techniki komputerowo wspomaganego projektowania w elektronice (ang. EDA2 ) [2]. Dedykowane oprogramowanie komputerowe umożliwiło
wybór optymalnych połączeń, parametrów łączonych elementów i zapewniło
możliwość całościowego lub częściowego symulowania wirtualnego obwodu,
zanim zostanie on zrealizowany fizycznie. Takie podejście przynosi olbrzymie oszczędności czasu i środków finansowych ponoszonych na rozwój. Po
wprowadzeniu na rynek układów logiki programowalnej (CPLD3 , FPGA4 )
możliwe stało się wykorzystanie komputerów do w pełni zautomatyzowanego
syntezowania nowych urządzeń cyfrowych. Skala złożoności tych układów
wzrastała osiągając w roku 2004. poziom autonomicznych systemów komputerowych, realizowanych na jednym czipie układu scalonego (ang. SoPC5 )
[13]. To osiągnięcie stało się realne dzięki intensyfikacji prac nad rozwojem
narzędzi komputerowego wspomagania EDA. Naturalną konsekwencją trendu
obserwowanego w świecie układów cyfrowych jest próba przeniesienia części
rozwiązań na grunt komórek analogowych. To zagadnienie napotyka szereg
trudności natury projektowej, gdyż zachowanie układów analogowych, z racji
chociażby ciągłej reprezentacji danych jest o wiele bardziej złożone. Pomimo
wstępnych trudności, obecnie trwają prace nad adaptacją rozwiązań wypracowanych dla systemów cyfrowych do automatyzacji projektowania układów
analogowych[14, 19]. W odniesieniu do praktycznych realizacji przykładów
automatyzacji niebagatelną rolę odgrywają bloki filtrujące.
Cel i zakres pracy.
Niniejsza praca ma na celu stworzenie systemu EDA przeznaczonego do wspomagania wczesnych etapów projektowania analogowych filtrów elektrycznych.
Pod pojęciem systemu (ang. FDS 6 ) rozumiany jest zestaw programów komputerowych, które automatyzują wczesne procesy projektowania i syntezy układów wielobramowych. Punktem wyjścia dla procesu projektowego z założenia
miało być wprowadzenie prototypowego obwodu żyratorowo-pojemnościowego.
Takie podejście daje możliwość wprowadzenia ekwiwalentów obwodowych
dla elementów indukcyjnych co pozwala wyeliminować indukcyjności z bez2
Electronic Design Automation
Complex Programmable Logic Device
4
Field Programmable Gate Array
5
System on Programmable Chip
6
Filter Design System
3
3
pośredniej realizacji w układzie scalonym [10, 4]. Dzięki temu otwierają się
również możliwości implementacji prototypów żyratorowo-pojemnościowych
w technologii CMOS przez konwersję do układów z przełączanymi prądami
(SI), pojemnościami (SC) lub opartych o wzmacniacze transkonduktancyjne i
pojemności(OTA-C). Tym samym zyskujemy możliwość wykonania zarówno
sekcji analogowych jak i cyfrowych w jednym procesie produkcji układu
scalonego. Struktura obwodu dla FDS winna być podana przez użytkownika w postaci skryptu wyrażonego w języku opisu sprzętu VHDL-AMS [11].
Następnie, system FDS, na drodze założonej ścieżki projektowania powinien umożliwić zadanie charakterystyki częstotliwościowej filtru. Dalej, w
sposób w pełni zautomatyzowany powinien dobierać parametry elementów
składowych obwodu, aby jego odpowiedź częstotliwościowa pokrywała się z
obraną charakterystyką. W finalnym etapie wejściowy plik definiujący prototyp żyratorowo-pojemnościowy należy przepisać w nowy model VHDL-AMS
ujmujący występowanie atomowych elementów składowych zadanego prototypu żyratorowo-pojemnościowego wraz z informacją o wartościach dobranych
parametrów. Tak sformułowany model jest traktowany jako zbiór danych
wyjściowych w systemie. Może on dalej posłużyć do bezpośredniej realizacji
layoutu układu scalonego w wybranej technice. System FDS jest kompatybilny
Rysunek 1: Schemat blokowy kompilatora krzemowego
ze zbiorem narzędzi wspierających implementację w technice SI. Wybrane
zagadnienia z tej dziedziny przedstawiono w pracach [6, 7, 5, 18]. System
FDS wraz z narzędziami wspierającymi implementację na czipie w wybranej
technice tworzą narzędzie zgodne z ideą kompilatora krzemowego. W ogólności
pojęcie to sprowadza się do rozbudowanego systemu EDA, który zapewnia
wysoki poziom abstrakcji w interakcjach z użytkownikiem w procesie projektowym, dając jednoczesny wgląd na wszystkie etapy pośrednie tego procesu (Rys.
1). Wybrane przykłady kompilatorów krzemowych przedstawiono dla porównania w pracach [8, 1]. Z uwagi na przedstawioną powyżej koncepcję systemu
4
FDS główną tezą rozprawy należy obrać stwierdzenie: ”Istnieje możliwość
adaptacji języka VHDL-AMS do komputerowo-zautomatyzowanego opisu
prototypów filtrów żyratorowo-pojemnościowych”. Praca obejmuje swoim
zakresem zagadnienie realizacji FDS z uwzględnieniem określonych aproksymacji projektowanych filtrów typu SISO górno- i dolno- przepustowych jak
również par filtrów [6, 21] opisanych w domenie analogowej.
Realizacja
Podczas wstępnej analizy wymagań funkcjonalnych stawianych systemowi
uzgodniono przebieg procesu projektowego. Rysunek 2
Rysunek 2: Przebieg procesu projektowania w ramach FDS
Na wstępie system powinien zapewnić możliwość zinterpretowania pliku z
opisem obwodu żyratorowo-pojemnościowego. Przetwarzanie tego pliku ma
na celu wyodrębnienie:
1. zbioru definicji portów wejściowych oraz wyjściowych
2. zbioru zdefiniowanych zmiennych, które reprezentować mają potencjały
węzłów zawartych w obwodzie
3. listy elementów tworzących obwód i przynależących do trzech podstawowych klas: żyratorów, pojemności i konduktancji
4. informacji o sposobie wzajemnego połączenia elementów ze sobą
Na podstawie tak pozyskanych danych system winien wykonać analizę symboliczną obwodu celem wyznaczenia zbioru jego transmitancji operatorowych.
Proces formułowania transmitancji symbolicznych winien uwzględniać wszystkie kombinacje wejść oraz wyjść zdefiniowanych w sprzętowym opisie obwodu. Wynikiem analizy symbolicznej jest opis obwodu wyrażony zmiennymi
symbolicznymi, które reprezentują parametry jego elementów składowych
5
(pojemności, żyracje, konduktancje). Do uzyskanych transmitancji należy
następnie dobrać model matematyczny filtru, który określa explicite odpowiedź częstotliwościową obwodu (w szczególności charakterystykę wartości
tłumienia układu filtrującego w funkcji częstotliwości przetwarzanego sygnału).
Jednym z pobocznych założeń funkcjonalnych związanych z systemem jest
próba uniezależnienia działania FDS od dostarczania danych pochodzących
z innych aplikacji inżynieryjnych. Stąd funkcjonalności dostępne w programie Matlab, (związane z procesami doboru modelu matematycznego filtru)
zostały zaimplementowane w sposób niezależny w FDS. Po uzyskaniu modelu
matematycznego oraz tego z analizy symbolicznej można je porównać ze sobą
celem wyznaczenia zbioru wartości dla zmiennych symbolicznych a tym samym elementów obwodu. Ostatnim etapem procesu jest zapisanie rezultatów
w postaci wynikowego pliku VHDL-AMS, którego format jest zrozumiały dla
dalszych narzędzi implementujących na czipie [15, 18, 6].
Wyniki
Cykl projektowy przedstawiony w poprzedniej sekcji został zdekomponowany
na poszczególne etapy, a ich realizację przypisano określonym programom
konsolowym. Programy wymieniają ze sobą dane za pośrednictwem plików
tekstowych o ustalonym formacie. Rysunek 3 prezentuje zależności pomiędzy
tymi programami oraz kierunki przepływu informacji.
Rysunek 3: Etapy i narzędzia wyróżnione na ścieżce projektowej filtru
Wejściowy plik opisujący topologię jest przetwarzany przez analizator
symboliczny. Wynikiem przetwarzania jest symboliczna postać transmitancji
operatorowej obwodu zapisana w postaci zbioru liczb strukturalnych w pliku
6
SN. Liczby strukturalne przechowywane są w postaci tekstowej o ustalonym
formacie, rozpoznawalnym dla innych narzędzi FDS. Każda z liczb strukturalnych przechowuje symboliczną postać wielomianu zmiennej operatorowej s.
Dla obwodu o N wejściach i M wyjściach plik SN zawiera jeden wielomian
reprezentujący mianownik transmitancji oraz N · M wielomianów dla liczników. Każdy z nich wyraża transmitancję n − tego wejścia względem m − tego
wyjścia (m = 1...M , n = 1...N ). Wielomiany symboliczne są otrzymywane
przez analizę obwodu zmodyfikowaną metodą potencjałów węzłowych. Metoda została adaptowana na potrzeby analizy symbolicznej, w której zamiast
jawnych wartości elementów obwodu występują ich symbole. Na podstawie
wielomianów zawartych w pliku SN szacowany jest rząd transmitancji, który
może posłużyć dalej do dobrania modelu matematycznego względem jednej z
dostępnych aproksymacji odpowiedzi częstotliwościowych filtru. Zadaniem
doboru aproksymacji zajmuje się narzędzie opisane jako kreator transmitancji.
Pozwala ono na wygenerowanie współczynników licznika (liczników) i mianownika transmitancji operatorowej zmiennej s dla następujących aproksymacji
filtrów:
1. Butterwortha (górno- i dolnoprzepustowy
2. Chebysheva I (górno- i dolnoprzepustowy
3. Chebysheva II (górno- i dolnoprzepustowy
4. Cauera (filtr eliptyczny) (górno- i dolnoprzepustowy
5. Pary filtrów [21]
Uzyskane postacie wielomianów są zapisywane w pliku TFF definiującym
transmitancję. Wielomiany z tego pliku są następnie porównywane z ich
odpowiednikami, uzyskanymi podczas analizy symbolicznej. Dzięki temu możliwe jest znalezienie zbioru wartości zmiennych symbolicznych, dla których
odpowiadające sobie współczynniki wielomianów transmitancji symbolicznej
i tej z TFF zrównują się. Tym zadaniem zajmuje się narzędzie analizatora parametrycznego. Jako podstawę działania wykorzystuje ono algorytm Hooke’aJeeves’a [9, 20]. Po uzyskaniu zestawu parametrów dla elementów obwodu
istnieje możliwość automatycznego wyeksportowania modelu żyratorowopojemnościowego do postaci skryptu VHDL-AMS, którego składnia jest
zrozumiała dla kolejnych narzędzi procesu syntezy na czipie [18]. Warto podkreślić, że wydatnym wsparciem dla pomyślnej realizacji procesu projektowego
jest zastosowanie narzędzi symulacyjnych. Do systemu FDS wprowadzono
symulator odpowiedzi częstotliwościowej obwodu. Pozwala on na uzyskanie
charakterystyk obrazujących zmiany amplitudy i fazy sygnału wejściowego
7
względem zadanego przedziału zmienności częstotliwości pobudzenia. Jako
pobudzenie przyjmuje się w tym przypadku przebieg sinusoidalny. Symulator
umożliwia badanie odpowiedzi zarówno modelu obwodu na podstawie jego
transmitancji symbolicznej przy zadanym zestawie wartości podstawianych
pod zmienne symboliczne. Dodatkowo możliwe jest również symulowanie
odpowiedzi częstotliwościowych z modelu matematycznego, ujętego w pliku
TFF. Tym samym istnieje możliwość wykonania analizy porównawczej charakterystyk dla obu opisów. Zbiór funkcjonalności symulatora został poszerzony
dodatkowo o możliwość wykonywania analizy wrażliwościowej obwodu [3]. W
ten sposób możliwe opisanie ilościowe tego na ile zmiana wartości określonego
parametru obwodu względem wartości nominalnej wpłynie na zachowanie
się obwodu jako całości. Zapewnienie możliwości wykonywania analiz wrażliwościowych w obwodach żyratorowo-pojemnościowych pozwala dalej na ich
badanie pod kątem strategii projektowania obwodów mało wrażliwych [5].
Symulator zapisuje wyniki analizy w postaci plików tekstowych. W każdym
wierszu pliku znajdują się dwie liczby reprezentujące aktualną wartość częstotliwości pobudzenia oraz skojarzoną z nią odpowiedź: amplitudową, fazową
bądź częstotliwościową. Zawartość plików może być zilustrowana graficznie
w postaci wykresów charakterystyk poprzez wykorzystanie narzędzia GNU
Plot. Narzędzia zaznaczone na rysunku 3 zostały zaimplementowane w postaci aplikacji konsolowych systemu Windows. Powstały łącznie 4 programy
zapisane w języku C++ i kompilowane narzędziami pakietu GNU Compiler
Collection w wersji 4.3.3:
1. gc_analyser.exe odpowiadający funkcjonalnie analizatorowi symbolicznemu
2. filter.exe tworzący transmitancje w postaci plików TFF
3. gc_sim.exe realizuje symulacje struktur obwodowych
4. param_calc.exe odpowiada za dobór parametrów obwodu poprzez
porównanie współczynników modeli transmitancyjnych. Stanowi zmodyfikowaną wersję narzędzia opisanego w [16]
Poza wymienionymi powyżej narzędziami konsolowymi zrealizowano aplikację z graficznym interfejsem użytkownika o nazwie gc_studio. Została
ona napisana w C++ z wykorzystaniem biblioteki Qt w wersji 4.6.2 i środowiska Qt Creator w wersji 1.3.1. Rolą aplikacji graficznej jest zarządzanie
projektami struktur żyratorowo-pojemnościowych. Do podstawowych zadań
aplikacji graficznej zaliczyć należy:
8
1. Tworzenie i utrzymanie głównego pliku projektu, który zawiera odwołania do lokalizacji wszystkich plików pośrednich (ujętych na rys.
3)
2. Kontrolę czasu modyfikacji plików pośrednich i utrzymanie hierarchii
starszeństwa zgodnej z cyklem projektowym z rys. 2
3. Uruchamianie narzędzi konsolowych
4. Prezentację wyników pośrednich na poszczególnych etapach procesu
projektowego w ramach FDS
Podsumowanie
Oryginalną pracą autora w czasie badań jest opracowanie trzech programów
komputerowych uruchamianych z linii poleceń. Odpowiadają one kolejno za
analizę symboliczną obwodu, znalezienie jego parametrów (optymalizacja
wielokryterialna) oraz zapewnienie symulacji odpowiedzi częstotliwościowych
oraz analizę wrażliwościową. Zostały one zintegrowane z czwartą aplikacją
zawierającą graficzny interfejs użytkownika (GUI). Aplikacja zarządza funkcjonalnością systemu jako całości oraz dostarcza przyjazny użytkownikowi
interfejs na każdym etapie projektowym. Uzyskane środowisko projektowe
pozwala na realizację procesu projektowania w sposób niezależny od oprogramowania udostępnianego przez strony trzecie (np. Matlab, hSpice). Zostało
wyposażone w opcję projektowania transmitancji par filtrów, co jest niedostępne w klasycznych narzędziach inżynierskich. Wyposażono je ponadto w
możliwość przeprowadzania analizy wrażliwościowej, co także jest nowością w
odniesieniu do uznanego za standard narzędzia hSpice. Środowisko projektowe
ma charakter modułowy, przy czym każdy z modułów jest autonomiczną
aplikacją konsolową, która może być używana także poza kontrolą aplikacji
graficznej zarządzającej projektem. Podejście modułowe daje możliwość dalszego rozwijania środowiska projektowego, jak również skalowania dostępnych
w nim narzędzi na architektury wielordzeniowe oraz wieloprocesorowe. Uogólnienia wprowadzone na etapie implementacji algorytmów analizy symbolicznej
sprawiają, że FDS jest środowiskiem, które można zastosować nie tylko do
projektowania klasycznych filtrów SISO, ale także układów wielowrotników,
w tym filtrów 2D, pozwalających na analogowe przetwarzanie obrazów.
9
Układ tekstu
Kolejne rozdziały rozprawy opisują wymogi systemu EDA oraz algorytmy zaproponowane do automatyzacji poszczególnych etapów projektowania filtrów.
W rozdziale pierwszym zawarto krótki rys historyczny związany z rozwojem
narzędzi EDA oraz przegląd podstawowych klas ich zastosowań. Rodział
drugi zawiera opis wymogów funkcjonalnych, jakie zostały sformułowane
na wstępnym etapie realizacji systemu FDS. Następny rozdział przedstawia
zagadnienie analizy symbolicznej w strukturach żyratorowo-pojemnościowych.
Ujmuje on między innymi problem wyrażania topologii obwodu w postaci
skryptu VHDL-AMS, proces interpretacji tego zapisu przez oprogramowanie
jak również symboliczną realizację analizy obwodu metodą potencjałów węzłowych. W rozdziale czwartym zawarto rozważania dotyczące projektowania
transmitancji filtrów typu SISO oraz par filtrów. Przedstawiono tam podstawy
matematyczne oraz algorytmy, które stanowią autorską implementację metod
opisanych w literaturze [23, 22, 17]. W dalszej części rozdziału przedstawiono
problemy związane z analizą parametryczną oraz przeprowadzaniem symulacji
w obwodzie. Rozdział zamyka opis algorytmów używanych do zaimplementowania analizy wrażliwościowej. W rozdziale piątym opisano opracowane
oprogramowanie oraz wyniki projektowania struktur filtrów potraktowane jako
studia przypadków. Pracę zamyka krótkie podsumowanie, które identyfikuje
główne cele dla przyszłego rozwoju systemu.
10
Literatura
[1] Assael J., Senn P., Tawfik M.S.: A switched-capacitor filter silicon
compiler, IEEE Journal of Solid-State Circuits, Vol. 23, No. 1, pp.
166-174, 1988.
[2] Brayton R., Cong J.: NSF Workshop on EDA: Past, Present, and
Future (Part 1), IEEE Design Test of Computers, Vol. 27, No. 2, pp.
68-74, 2010.
[3] Eslami M., Marleau R. : Theory of Sensitivity of Network: A
Tutorial, IEEE Transactions on Education Vol. 32, No. 3, pp. 319-334,
1989.
[4] Hamill D.: Gyrator-Capacitor Modeling: A Better Way of Understanding Magnetic Components, Conference for Applied Power Electronics,
Vol. 1, pp. 326-332, 1994.
[5] Handkiewicz A.: Mixed-Signal Systems. A Guide to CMOS Circuit
Design, Wiley-IEEE Press, ISBN 978-0-471-22853-0, 2002.
[6] Handkiewicz A., Katarzynski P., et al.: Analog filter pair design on the basis of a gyrator-capacitor prototype circuit, International
Journal of Circuit Theory and Applications,DOI: 10.1002/cta.741, 2010.
[7] Handkiewicz A., Szczęsny Sz., et. al : Generacja layoutu filtrów
SI w strategii wierszowej, Electrical Review, Vol. 87, No. 10, pp. 80-83,
2011.
[8] Hirayama M.: A Silicon Compiler System Based on Asynchronous Architecture, IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated
Circuits and Systems, Vol. 6, No. 3, pp. 297-304, 1987.
[9] Hooke R., Jeeves T. A.: ”Direct SearchŚolution of Numerical and
Statistical Problems, Journal of the ACM, Vol. 8, No. 2, pp. 212-229,
1961.
12
LITERATURA
[10] Hwang, C. Shim Y et al.: An On-Chip Electromagnetic Bandgap
Structure using an On-Chip Inductor and a MOS Capacitor, Microwave
and Wireless Components Letters, IEEE, Vol. 21, No. 8, pp. 439-441,
2011.
[11] IEEE Standards Committee.: IEEE Standard VHDL Analog and
Mixed-Signal Extensions, IEEE Std 1076.1-2007, 2007.
[12] Jendernalik W., Jakusz J. et al.: Analog CMOS processor for early
vision processing with highly reduced power consumption, Proceedings
of 20th European Conference on Circuit Theory and Design (ECCTD),
pp. 745-748, 2011.
[13] Kilts S.: Advanced FPGA Design(Architecture, Implementation, and
Optimization), John Wiley & Sons 2007,
[14] Lewyn L.L., Ytterdal T. et al: Analog Circuit Design in Nanoscale CMOS Technologies Proceedings of the IEEE, Vol. 97, No.10, pp.
1687-1714, 2009.
[15] Łukowiak L.: Automatyczne Projektowanie Komórek Scalonych Filtrów z Przełączanymi Prądami, Ph.D. dissertation, Poznań University
of Technology, 2001.
[16] Melosik M., Naumowicz M.: Implementacja i porównanie metod
rozwiązywania równań algebraicznych nieliniowych w zastosowaniu do
projektowania prototypowych obwodów bezstratnych., Engineering Thesis,
Poznań University of Technology, 2008.
[17] Rorabaugh B.: DSP Primer, ISBN 978-0070540040, McGraw-Hill,
1998
[18] Rudnicki R.: Wybrane narzędzia automatycznego projektowania obwodów z przełączanymi prądami, Ph.D. dissertation, Poznań University of
Technology, 2006.
[19] Rutenbar R. ,Gielen G., AntaoB.: Computer-Aided Design of
Analog Integrated Circuits and Systems Wiley-IEEE Press, ISBN :
9780470544310, 2002
[20] Schwefel H.P.: Evolution and optimum seeking, Wiley, 1995.
[21] Willson A., Orchard H.J.: Insights into Digital Filters Made as
the Sum of Two Allpass Functions, IEEE Transactions on Circuits and
Systems I, Vol. 42, No. 3, pp. 129-137, 1995
LITERATURA
13
[22] Zieliński T.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, od teorii do zastosowań,
ISBN 978-83-206-1640-8, Warsaw, 2007
[23] Zverev A. I.: Handbook of Filter Synthesis, J. Wiley & Sons, 1967.
W wykazie literatury wymieniono tylko te pozycje, które zostały zacytowane
w niniejszym streszczeniu.