Nierówności 1. Udowodnić, że dla każdych a, b > 0 zachodzi 2√a +

Nierówności 1. Udowodnić, że dla każdych a, b > 0 zachodzi 2√a +

Nierówności
1. Udowodnić, że dla każdych a, b > 0 zachodzi
√
√
√
3
5
2 a + 3 b ­ 5 ab
2. Udowodnić, że jeśli abc = 1, to
(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) ­ 27
3. Udowodnić, że dla każdych a, b, c > 0 dla których a2 + b2 + c2 = 8 zachodzi
a3 + b3 + c3 ­ 16
s
2
3
4. Udowodnić, że dla dowolnych a, b, c, d > 0 zachodzi
64
1 1 4 16
+ + +
­
a b c
d
a+b+c+d
5. Niech n ­ 1 bedzie
liczba, całkowita, dodatnia., Udowodnij, że dla każdych liczb rzeczywi,
stych dodatnich x1 , x2 , . . . , xn zachodzi nierówność:
n
X
4i−1
(2n − 1)2
­ Pn
.
i=1 xi
i=1 xi
6. Udowodnić, że dla dowolnego n ∈ N zachodzi
2n + 1
3
n(n+1)
2
n
Y
n+1
i >
>
2
i=2
i
n(n+1)
2
7. Udowodnić, że jeśli a, b, c, x, y, z > 0, to
(a + b + c)3
a 3 b3 c3
+ +
­
x
y
z
3(x + y + z)
8. Udowodnij, że jeśli a, b, c, d > 0 i abcd = 4, to
1
1
1
1
1
1
3
√ + √ + √ + √ + √ + √ ¬ (a + b + c + d)
ac
4
ab
bc
ad
bd
cd
9. Udowodnij, że dla dowolnych x, y, z ∈ R zachodzi
sin x sin y sin z + cos x cos y cos z ¬ 1
10. Udowodnić, że jeśli a, b, c sa, długościami boków trójkata,
to:
,
3
a
b
c
¬
+
+
<2
2
b+c c+a a+b
1
1
1
1 1 1
+ + ¬
+
+
a b c
a + b − c a − b + c −a + b + c
√
√
√
√
√
√
a + b − c + a − b + c + −a + b + c ¬ a + b + c
√
a(a + c − b) +
q
√
√
b(a + b − c) + c(b + c − a) ¬ (a2 + b2 + c2 )(a + b + c)
√
√
√
1
1
3( a + b + b)
1
√
√
√
√
√ +√
√ + √
√ ­
a+b+c
a+ b− c
a− b+ c − a+ b+ c
11. Wykazać, że jeśli a, b, p, q > 0 i
1
p
+
1
q
= 1 to
a p bq
+
­ ab
p
q
11. Udowodnić, że jeśli ai , bi , ci > 0 dla i = 1, 2, 3, . . . , n to
X
n
i=1
a3i
X
n
i=1
b3i
X
n
c3i
i=1
­
X
n
i=1
12. Udowodnij, że jeśli a, b, c > 0 i a + b + c = 1, to
2
ln(a5 + b5 + c5 )
­
7
7
7
ln(a + b + c )
3
13. Udowodnić, że jeśli n ∈ N, to
q
n
(n + 1)! −
√
n
n! ­ 1
a i bi ci
3