1 a3(b + c)

Cztery trudne nierówności
1. Niech a, b, c bed
, a, liczbami dodatnimi, takimi, że abc = 1. Pokazać, że:
1
1
1
3
+
+
­
a3 (b + c) b3 (c + a) c3 (a + b)
2
2. Niech a, b, c bed
ostrokatnego.
Pokazać, że:
,
,
, a, długościami boków trójkata
(a2 b+ab2 +b2 c+bc2 +c2 a+ca2 )−(a3 +b3 +c3 ) ¬
√
q
a2 + b2 + c2 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) − (a4 + b4 + c4 )
3. Pokazać, że jeśli x, y, z sa, liczbami dodatnimi, to zachodzi:
√
√
√
√
y+z
z+x
x+y
3 6
+
+
­√
x
y
z
x+y+z
4. Wykazać, że dla liczb dodatnich a, b, c, d zachodzi nierówność
a4
b4
c4
d4
a+b+c+d
+
+
+
­
3
2
3
3
2
3
3
2
3
3
2
3
a +a b+b
b +b c+c
c +c d+d
d +d a+a
3
1