Analiza matematyczna I Lista 0 – Własności prostej rzeczywistej

Analiza matematyczna I
Lista 0 – Własności prostej rzeczywistej
Zadanie 1. Wykazać, że następujące zbiory są przeliczalne:
(a) Q,
Q ∩ [0, 1),
Q ∩ [0, ∞),
(b) Zbiór przedziałów o końcach w punktach wymiernych.
(c) Zbiór wielomianów o współrzędnych wymiernych oraz zbiór tych liczb rzeczywistych, które są miejscami zerowymi
funkcji wielomianowych o współczynnikach wymiernych.
(d) Nieskończona rodzina parami rozłącznych kół na płaszczyźnie.
(e) Zbiór skończonych ciągów zerojedynkowych.
(f ) Zbiór skończonych podzbiorów zbioru Q.
(g) Dowolna rodzina parami rozłącznych przedziałów otwartych na prostej.
√
(h) {x ∈ R : sin(x) = 22 },
(i) Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych wymiernych.
Zadanie 2. Wykazać, że następujące zbiory są nieprzeliczalne:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
R × {0}, [0, 1) × N, {1} × R × Q.
Zbiór wszystkich liczb zespolonych.
[0, 1],
R \ Q,
R \ N,
R \ [0, ∞),
Zbiór wszystkich nieskończonych podzbiorów zbioru Q.
Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru A w B, gdzie A jest co najmniej przeliczalny a B co najmniej dwuelementowy.
Zadanie 3. Sprawdzić, definiując odpowiednią bijekcję, że następujące pary zbiorów są równoliczne:
(0, 1) oraz [0, 1],
R oraz (0, 1),
{(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y < 1} oraz
R2 ,
{(k, l) : k, l ∈ N, k | l} oraz
N,
R oraz (0, ∞),
[0, ∞) oraz
R,
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} oraz
R2 .
{(n, n2 ) : n ∈ N} oraz
N.
Zadanie 4. Wykazać, że jeżeli X, Y, A, B są nieskończone oraz X ∼ Y (tzn. X jest równoliczny z Y) i A ∼ B, to
X
P (X) ∼ P (Y ),
(X ∪ A) ∼ (Y ∪ B),
(X × A) ∼ (Y × B),
A ∼Y B.
Zadanie 5.? Udowodnić, że zbiór punktów nieciągłości funkcji monotonicznej f : R → R jest co najwyżej przeliczalny.
(WSKAZÓWKA: Pokazać, że w każdym punkcie istnieje granica prawostronna i granica lewostronna. Następnie zbadać nierówności
pomiędzy granicami jednostronnymi w różnych punktach. Wyciągnąć stąd wniosek o rodzinie przedziałów wyznaczanych przez
granice lewostronną i prawostronną w punktach nieciągłości. Na koniec skorzystać z zad.1(g).)
Zadanie 6.? Udowodnić, że wszystkich funkcji ciągłych jest continuum.
(WSKAZÓWKA: Każda funkcja stała jest ciągła, zatem funkcji ciągłych jest nie mniej niż continnum. Korzystając z twierdzenia
o rozszerzaniu funkcji jednostajnie ciągłej określonej na zbiorze gęstym otrzymujemy informację, że każda funkcja jednostajnie
ciągła jest jednoznacznie określona przez zbiór wartości na zbiorze gęstym i przeliczalnym zbiorze Q. Funkcji rzeczywistych na
zbiorze przeliczalnym jest continuum. Zatem funkcji jednostajnie ciągłych jest co najwyżej continuum. Na koniec należy skorzystać
z twierdzenia o jednostajnej ciągłości funkcji ciągłej na przedziale domkniętym.)
Zadania dla ambitnych (do samodzielnego rozwiązania)
Zadanie 7.?? Zbiór wszystkich ciągów zerojedynkowych dzielimy na dwa podzbiory:
C = {(xn )n∈N : (∃ n0 ∈ N) (∀ n ­ n0 ) xn0 = 0 ∧ xn = 1} oraz jego dopełnienie R = {0, 1}N \ C.
Wykazać, że funkcja
h : R 3 (xn )n∈N →
∞
X
xn
∈ [0, 1]
2n+1
n=0
jest bijekcją.
(WSKAZÓWKA: Surjektywność sprawdzamy definiując indukcyjnie ciąg kolejnych przybliżeń liczby x ∈ [0, 1] odwrotnościami
potęg dwójki.)
2
Zadanie 8.? Konstrukcja zbioru Cantora.
Zbiór Cantora można zdefiniowa na (co najmniej) dwa sposoby:
Konstrukcja indukcyjna: W kolejnych krokach indukcji konstruujemy zstępujący ciąg zbiorów Cn .
Krok początkowy dla n = 1: Definiujemy C0 = [0, 1]. Punkty 31 , 23 wyznaczją w zbiorze C0 trzy przedziały:
(0, 13 ), ( 31 , 23 ), ( 23 , 1). C1 powstaje przez wyrzucenie z C0 przedziału środkowego, czyli C1 = C0 \ ( 31 , 32 ).
Krok następnika: Zakładamy, że n ­ 1 oraz zdefiniowaliśmy zstępujący ciąg zbiorów Ci , i ¬ n. Zakładamy,
n
2
S
że zbiór Cn jest sumą mnogościową 2n domkniętych przedziałów parami rozłącznych Cn =
[ai , bi ]. Każdy z
hi=1
i
2(bi −ai )
2(bi −ai )
bi −ai
i
,
a
+
tych przedziałów dzielimy na trzy przedziały ai , ai + bi −a
,
a
+
,
a
+
,
b
i
i
i
i .
3
3
3
3
Kładziemy:
2n [
bi − a i
2(bi − ai )
Cn+1 =
[ai , bi ] \ ai +
, ai +
.
3
3
i=1
Otrzymany zbiór zawiera się w Cn oraz jest sumą mnogościową 2n+1 parami rozłącznych przedziałów domkniętych.
∞
T
Finał konstrukcji: Zbiór Cantora jest przecięciem zbiorów Cn , tzn. C =
Cn .
n=0
Równoważna definicja:
(
C=
∞
X
2 · xn
: (xn )n∈N jest ciągiem zerojedynkowym
3n
n=1
)
(a) Pokazać, że definicje są równoważne.
(b) Udowodnić, że zbiór Cantora ma moc continuum.
2n
P
(c) Definiujmy miarę zbioru Cn jako
(bi − ai ). Zastanowić się, jaką miarę należy przypisać zbiorowi C a jaką
i=1
zbiorowi R.
(d) Własność topologiczna zbioru Cantora (do wykazania w późniejszym terminie): Zbiór Cantora jest domknięty i
nigdzie gęsty.
Zadanie 9.?? Zbiór wszystkich ciągów o wartościach naturalnych (z pewną topologią) nazywamy przestrzenią Baire’a.
Korzystając z ułamków łańcuchowych zdefiniować bijekcję pomiędzy przestrzenią Baire’a a zbiorem wszystkich liczb
niewymiernych.
Zadanie 10.? Ile asymptot pionowych może mieć funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej? (Czy istnieje funkcja, która
ma continuum asymptot pionowych?)
Zadanie 11.? Czy dowolny przedział otwarty można przedstawić jako przeliczalną sumę mnogościową przedziałów otwartych o końcach wymiernych?