Teoria mocy

Teoria mocy
1. Sprawdź czy następujące zbiory A i B są równoliczne:
(a) A = {4, 6}, B = {23, 35}
(b) A = {x ∈ N, x < 7}, B = {x ∈ N, 1 < x2 < 70}
(c) A = {x ∈ R, x2 − 2x + 1 = 0}, B = {∅}
2. Udowodnij , że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi:
(a) A ∼ A
(b) Jeśli A ∼ B, to B ∼ A.
(c) Jeśli A ∼ B i B ∼ C , to A ∼ C
Co Ci to przypomina?
3. Pokaż , że :
(a) N ∼ N \ {0}
(b) N ∼ 2N , gdzie 2N oznacza zbiór liczb parzystych.
(c) N ∼ Z
(d) (0, 1) ∼ (a, b)
(e) (a, b) ∼ (c, d)
(f) (0, ∞) ∼ (−∞, 0)
(g) (0, ∞) ∼ (a, ∞)
(h) (0, 1) ∼ (1, ∞)
(i) (− Π2 , Π2 ) ∼ R
4. Udowodnij następujące stwierdzenia:
(a) Jeśli A ∼ B i C ∼ D, to A × C ∼ B × D.
(b) Jeśli A ∼ B i C ∼ D oraz A ∩ C = ∅ i B ∩ D = ∅, to A ∪ C ∼ B ∪ D.
Czy założenie rozłączności zbiorów jest istotne?
(c) Jeśli A ∼ B , to 2A ∼ 2B .
1
5. Pokaż, że następujące zbiory są przeliczalne:
(a) {n ∈ N, n dzieli się przez 10}
(b) {x ∈ R, x = lny dla pewnego y ∈ N}
6. Pokaż, że
(a) N × N ∼ 2N × (2N + 1)
(b) (0, 1) × N ∼ R × Z
7. Dowieść, że przeliczalne są następujące zbiory:
(a) zbiór Z wszystkich liczb całkowitych,
(b) zbiór Q wszystkich liczb wymiernych,
(c) zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia n o współczynnikach
wymiernych,
(d) zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych,
(e) zbiór wszystkich pierwiastków wielomianów o współczynnikach wymiernych,
(f) dowolny zbiór rozłącznych odcinków otwartych, położonych na prostej rzeczywistej (dowolna rodzina zbiorów postaci (a, b) dla a, b ∈ R i a < b),
8. Dowieść, że każdy z następujących zbiorów jest mocy ℵ0 :
(a) zbiór wszystkich odcinków, położonych na prostej rzeczywistej o końcach wymiernych,
(b) zbiór wszystkich okręgów na płaszczyźnie, których współrzędne środka i promień
są liczbami wymiernymi,
(c) zbiór wszystkich trójkątów równobocznych o środku ciężkości w początku układu
współrzędnych i jednym wierzchołku o współrzędnych wymiernych,
(d) zbiór złożony z parami rozłącznych sześcianów przestrzeni trójwymiarowej,
(e) zbiór złożony z rozłącznych kół położonych na płaszczyźnie,
(f) zbiór macierzy o wyrazach wymiernych.
9. Niech A będzie zbiorem przeliczalnym. Dowieść, że zbiór wszystkich skończonych
ciągów o wyrazach z A jest zbiorem przeliczalnym. Kiedy taki zbiór ma moc ℵ0 .
10. Znaleźć moc zbioru ciągów o wyrazach całkowitych zbieżnych do 0.
11. Znaleźć moc zbioru ciągów o wyrazach wymiernych, stałych od pewnego miejsca.
12. Dowieść, że zbiór R2 jest mocy continuum.
13. Sprawdzić, czy następujące zbiory mają moc continuum:
2
(a) {x ∈ R| − 1 < x < 1},
(b) {x ∈ R|∃n∈N xn ∈ Q},
(c) {x ∈ R|x ≤ 0},
(d) {(x, y) ∈ R2 |x2 = y},
(e) {(x, y) ∈ R2 |x = y},
(f) {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1},
(g) {(x, y) ∈ R2 |y = f (x)}, gdzie f : RRaR jest dowolną funkcją,
(h) {(x, y) ∈ R2 |x − y ∈ Q},
(i) {(x, y) ∈ R2 |x < 1},
(j) {(x, y) ∈ R2 |x2 = 4},
(k) {(x, y) ∈ R × Q|x2 = 4},
(l) {(x, y) ∈ R2 |x < 0 ∧ y < 0},
(m) {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x < 1 ∧ 0 ≤ y < 1},
(n) {(x, y) ∈ R2 |x · y < 1},
(o) {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 < 1},
(p) {(x, y, z) ∈ R3 |x = y = z},
(q) {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ x < 1 ∧ 0 ≤ y < 1 ∧ 0 ≤ z < 1}.
14. Dowieść, że zbiór Rn jest mocy continuum dla dowolnego n ≥ 1.
15. Pokazać, że NN jest mocy continuum. Czy RR jest mocy continuum?
16. Pokazać, że:
(a) jeśli A jest zbiorem przeliczalnym i B ⊆ A, to B także jest przeliczalny.
(b) jeśli A i B są zbiorami przeliczalnymi, to:
(c) A ∩ B jest przeliczalny,
(d) A\B jest przeliczalny,
(e) A ∪ B jest przeliczalny,
S
17. Dowieść, że jeśli (An )n∈N jest rodziną zbiorów skończonych, to zbiór n∈N An jest
przeliczalny.
S
18. Dowieść, że jeśli (An )n∈N jest rodziną zbiorów przeliczalnych, to zbiór n∈N An także
jest przeliczalny.
19. Dowieść, że jeśli A i B są zbiorami mocy continuum, to zbiory A ∪ B i A × B są
również mocy continuum.
3
20. Dowieść, że jeśli A jest zbiorem przeliczalnym, zaś B zbiorem mocy continuum, to
zbiory A ∪ B i B\A są mocy continuum.
21. Co można powiedzieć o mocy zbioru A × B, jeśli A jest mocy continuum, zaś B jest
zbiorem przeliczalnym?
22. Dowieść, że jeśli (At )t∈R jest rodziną (taką, że zbiór indeksów
S jest mocy continuum)
zbiorów przeliczalnych, niepustych i rozłącznych, to zbiór t∈R At jest mocy continuum.
S
23. Dowieść, że jeśli (At )t∈R jest rodziną zbiorów mocy continuum, to zbiór t∈R At
również jest mocy continuum.
4