Zadania dodatkowe

Zadania dodatkowe
Poniższe zadania są zadaniami dla chętnych. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania można otrzymać
1 punkt. Ostateczny termin oddania rozwiązań 25/01/2017 do godziny 23:59 czasu polskiego. Punkty w ten
sposób zdobyte są punktami dodatkowymi.
Zadanie 1 (BG 1, 9/59). Niech p będzie dowolną liczbą
o współczynnikach w ciele Zp :

x1 + 2x2 + 3x3
2x + x2 + 3x3
 1
x1 + x2 + x3
pierwszą. Rozwiązać następujący układ równań
= 1
= 2
= 3
Zadanie 2 (BG 1, 12/60). Na twardym dysku o pojemności 124 GB dokonano partycji w celu instalacji czterech
różnych systemów operacyjnych. Pliki systemowe i programy obliczeniowe zajmują 25% pierwszej, drugiej i
czwartej partycji oraz 20% trzeciej partycji, łącznie 29 GB na wszystkich partycjach. Katalogi z różnorodnymi
edytorami tekstu zajmują 10% pierwszej, trzeciej i czwartej partycji oraz 12, 5% drugiej partycji, łącznie 13 GB
na wszystkich partycjach. Gry zajmują 12, 5% trzech pierwszych partycji i 10% czwartej partycji, łącznie 15
GB na wszystkich partycjach. Jaki jest rozmiar każdej partycji?
a b
d b
Zadanie 3 (BG 1, 5c/137). Niech a, b, c, d ∈ K, gdzie K jest ciałem. Wykazać, że rz
= rz
.
c d
c a
Zadanie 4 (BG 1, 14/140). Niech

x1
x2
A=
x3
x4
x2
−x1
x4
−x3
x3
−x4
−x1
x2

x4
x3 
,
−x2 
−x1

y1
y2
B=
y3
y4
y2
−y1
y4
−y3
y3
−y4
−y1
y2

y4
y3 

−y2 
−y1
• Obliczyć macierze: AAT , AT A, BB T , B T B, AB T (AB T )T .
• Wykazać, że zachodzi tożsamość Eulera, tzn.:
(x21 + x22 + x23 + x24 )(y12 + y22 + y32 + y42 ) =
= (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 )2 + (x1 y2 − x2 y1 − x3 y4 + x4 y3 )2 +
+ (x1 y3 + x2 y4 − x3 y1 − x4 y2 )2 + (x1 y4 − x2 y3 + x3 y2 − x4 y1 )2 .
√
Zadanie 5 (BG 1, 3/185). Wykazać, że zbiór V = {a + b 2 ∈ R : a, b ∈ Q} z działaniami ograniczonymi z R
jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych Q.
Zadanie 6 (BG 1, 8/211). Niech V = M2 (R) będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych R (z
dodawaniem macierzy i mnożeniem przez skalar).
• Czy wektor
−1
v=
1
jest kombinacją liniową wektorów
−1
v1 =
0
1
,
2
v2 =
1
,
2
v2 =
3
5
1
−1
0
,
1
v3 =
2
3
1
?
0
0
,
1
v3 =
2
3
1
0
• Czy następujące wektory z V
v1 =
−1
0
są liniowo niezależne?
1
1
−1
Zadanie 7 (BG 1, 16/249). Niech będą dane bazy w przestrzeni R4 :
S1 = (v1 , v2 , v3 , v4 )
S2 = (w1 , w2 , w3 , w4 ),
gdzie


1
 1

v1 = 
 0 ,


1
 2

v2 = 
 1 ,
 
−1
 1

v3 = 
 3 ,

2
 3

v4 = 
 0 ,
−1
 
0
4

w1 = 
2 ,
−1
 
−2
 0

w2 = 
−1 ,
1

1
 1

w3 = 
 1 ,
−1
 
−1
 0

w4 = 
 0 .

−1
2
1

1
Znaleźć macierz przejścia od bazy S1 do bazy S2 .
Zadanie 8 (BG 1, 20/250). Niech będą dane trzy bazy: S1 , S2 , S3 przestrzeni liniowej R3 . Niech A będzie
macierzą przejścia od bazy S1 do bazy S2 , natomiast B macierzą przejścia od bazy S1 do bazy S3 , gdzie:




1 2 0
−7 −1 1
A =  0 1 1 ,
B= 0
3 1 .
−1 0 1
2
1 0
Niech będzie dany wektor v ∈ R3 taki, że:
hviS3
 
−2
= −1 .
3
Znaleźć hviS2 .
Zadanie 9 (BG 1, 5d/307). Znaleźć macierz przekształcenia liniowego
 
x1


x 
2x1 − x2 + 4x3 − 5x4 + 2x5
 2


T : R5 → R3 ,
T (x3 ) =  −3x1 + 2x2 + x4 + 6x5 
 
x4 
−x1 + 7x3 − x4 + 4x5
x5
w bazach:
SR5
SR3
 
1
0
 
 
= 0 ,
 
0
1
 
0
= 1 ,
1
 
1
2
 
 
0 ,
 
1
0
 
1
1 ,
0
 
−1
 0
 
 
 1 ,
 
 0
1
 
1
0 .
1
 
0
0
 
 
1 ,
 
1
1
Zadanie 10 (BG 2, 21/68). Niech będzie dana macierz:


0 0 −c
A = 1 0 −b ∈ M3 (R).
0
1
−a
Pokazać, że wielomian charakterystyczny macierzy A jest postaci:
fA (t) = t3 + at2 + bt + c.
2
 
0
1
 
 
0 ,
 
0
1