PIKOMAT

XIX edycja
Międzynarodowego Konkursu Matematycznego
„PIKOMAT”
rok szkolny 2010/2011
Etap II
Klasa IV
Zadanie 1
Według jakiej zasady utworzono ciąg liczb?
3, 7, 15, 31, 63, ?
Dopisz następną liczbę.
Zadanie 2
Z 6 widocznych na rysunku kostek z liczbami ułóż kwadrat magiczny, w którym sumy liczb
w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na obu przekątnych są takie same.
8
7
10
5
6
11
9
12
13
Zadanie 3
Czterech kolegów ma łącznie 60 filmów video o różnorodnej tematyce. Marek ma 3 razy
mniej filmów niż Janek, a Jakub ma ich więcej niż Marek, ale mniej niż Janek. Ile filmów
video ma każdy z nich, jeżeli Jakub ma ich dwa razy mniej niż Michał?
Zadanie 4
Pan Jurek ma działkę w kształcie prostokąta o powierzchni 2 arów. Długości boków tego
prostokąta są liczbami naturalnymi metrów. Ile metrów bieżących siatki ogrodzeniowej musi
kupić pan Jurek, aby ogrodzić swoją działkę?
Klasa V
Zadanie 1
Przez wąski i ciemny tunel mogą przejść tylko dwie osoby jednocześnie i to z latarką. Przed
wejściem do tunelu stoją 4 chłopcy: Wojtek, Kacper, Jacek i Maciek mając z sobą jedną
latarkę. Wiadomo, że Wojtek pokonuje drogę przez tunel w ciągu 1 minuty, Kacper – w ciągu
2 minut, Jacek – potrzebuje na to 5 minut, a Maciek – aż 6 minut. Jak wszyscy chłopcy mogą
przedostać się na drugą stronę tunelu, jeśli baterie latarki wystarczają tylko na 15 minut? Czy
możliwe jest, aby ci czterej chłopcy dokonali tego w 13 minut?
Zadanie 2
W puste pola wstaw liczby od 1 do 9 tak, aby wszystkie działania – wykonywane
w kolejności występowania – zarówno poziomo jak i pionowo, się zgadzały.
+
:
= 3
–
–
–
·
+
+ 3 =
·
+
:
:
· 2 :
=
=
=
=
=
9 –
+
=
Zadanie 3
Kasia idąc na zakupy miała w portfelu około 150 zł w postaci pewnej liczby banknotów
dziesięciozłotowych i pewnej liczby monet dwuzłotowych. Po powrocie z zakupów miała tyle
banknotów dziesięciozłotowych ile wcześniej monet dwuzłotowych, a monet dwuzłotowych
tyle ile przed zakupami banknotów dziesięciozłotowych. Ogółem w portfelu została jej
po zakupach trzecia część pieniędzy z jakimi wyszła na zakupy. Ile pieniędzy wydała Kasia
na zakupach?
Zadanie 4
W świetlicy szkolnej stoi 5 stolików, których blaty mają kształt kwadratów o boku długości
1 metra. Jeśli stoliki stoją oddzielnie to przy każdym z nich może usiąść czterech uczniów
(po jednym z każdej strony). Zaprojektuj ustawienia stolików tak, aby mogło przy nich usiąść:
10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 i 24 uczniów. W danym ustawieniu stolików powinny być zajęte
wszystkie miejsca.
Klasa VI
Zadanie 1
Oto przykład dodawania ułamków dziesiętnych, w którym tylko jeden przecinek jest na
właściwym miejscu. Zmień położenie czterech pozostałych przecinków tak, aby działanie
było poprawne.
5 7 , 4
4 8 , 6 3 9
2 1 5 , 7
+ 3 4 8 2 , 1
5 8 0 7 , 6 8
Zadanie 2
Agnieszka rozwiązała 26 łamigłówek sudoku w ciągu 4 dni. Każdego dnia zwiększała liczbę
rozwiązanych łamigłówek. Ile łamigłówek sudoku rozwiązała Agnieszka trzeciego dnia, jeżeli
wiadomo, że czwartego dnia rozwiązała ich trzy razy więcej niż pierwszego dnia?
Zadanie 3
Dane są trzy jednakowe kwadraty. Każdy z kwadratów rozetnij na 3 części w taki sposób, aby
(bez nakładania na siebie) z części pierwszego kwadratu można było złożyć trójkąt
ostrokątny, z części drugiego kwadratu – trójkąt prostokątny, a z części trzeciego kwadratu –
trójkąt rozwartokątny. Przedstaw zarówno linie cięcia każdego z kwadratów, jak i sposób
ułożenia z otrzymanych części odpowiednich trójkątów.
Zadanie 4
Poniższą figurę z 9 dziurami wypełnij 12 zielonymi klockami (rysunek). Każdego klocka
wolno użyć tylko jeden raz. Przedstaw rozwiązanie zadania na rysunku zaznaczając
zewnętrzne krawędzie poszczególnych klocków.
Klasa I
Zadanie 1
Sześcienne pudełeczko o krawędzi 1 cm, bez wieczka, rozetnij na 3 części, z których można
złożyć kwadrat. Swoje rozwiązanie zilustruj odpowiednim rysunkiem.
Zadanie 2
Oblicz miary kątów trapezu ABCD o podstawach AB i CD wiedząc, że: BC = CD ,
BD = AD oraz CD + AD = AB .
Zadanie 3
Sieć połączeń autobusowych prywatnego przewoźnika w pewnej miejscowości spełnia
następujące warunki: na każdej trasie istnieją dokładnie trzy przystanki oraz dowolne dwie
trasy nie mają żadnych wspólnych przystanków lub mają tylko jeden wspólny. Wiadomo, że
mamy dziewięć różnych przystanków. Jaka może być największa liczba linii autobusowych
tego przewoźnika w tej miejscowości?
Zadanie 4
Skarbiec cesarza Pi-Ko skrywający bezcenne klejnoty jest pilnowany przez 4 nefrytowe
smoki. Plan skarbca przedstawiono poniżej: kółka oznaczają komnaty, linie – mury, a litera
S – smoka. W jaki sposób rozmieszczono w 9 komnatach skarbca 45 klejnotów jeśli
wiadomo, że: w każdej komnacie jest inna liczba klejnotów, każdy smok pilnuje dokładnie
17 klejnotów oraz ilość klejnotów oznaczona odpowiednio A, B i C w narożnych komnatach
spełnia warunek: A < B < C.
A
S
S
Klasa II
S
B
S
C
Klasa II
Zadanie 1
Uzupełnij puste kratki niektórymi liczbami spośród liczb od 1 do 15 w taki sposób, aby suma
trzech liczb na każdej linii poziomej, pionowej i ukośnej zawsze wynosiła 20. Tylko jedną
liczbę możesz wpisać dwukrotnie.
Zadanie 2
Do naczynia z solanką (roztworu wodnego soli kuchennej) dosypano tyle soli, że stężenie
solanki się podwoiło. Następnie dolewano tak długo wodę, aż stężenie wróciło do wartości
początkowej. Co ważyło więcej: dosypana sól czy dolana woda?
Zadanie 3
Oblicz pole zacieniowanej części figury przedstawionej na rysunku.
3
2
2
3
3
2
2
3
Zadanie 4
Lord Hamilton nakazał otoczyć swoją twierdzę podwójnym pierścieniem murów, które na
całej długości będą równoodległe od siebie. Zażądał również, aby między murami stała
obrotowa drabina, którą bez przesuwania będzie można oprzeć o jeden bądź o drugi mur. Jej
koniec będzie sięgał dokładnie wierzchołka każdego muru, a obie pozycje drabiny będą
tworzyć kąt prosty. Ponadto wysokość murów, odległość między nimi oraz długość drabiny
mierzone w jardach mają być liczbami naturalnymi mniejszymi od 20. W jaki sposób
wykonawcy woli swego władcy mają stworzyć taki system obronny?
Klasa III
Zadanie 1
Ze spisanych opowiadań pewnego kupca z XVIII wieku wynika, że odbył on w ciągu paru lat
więcej niż 120, a mniej niż 130 wypraw handlowych. Za każdym razem kupiec zabierał ze
sobą ładunek większy od 1033 kg, a mniejszy od 2033 kg. Ponadto za każdym razem kupiec
zabierał ze sobą 1 tonę tkanin, kilka stukilogramowych worków cukru z trzciny cukrowej oraz
33 kg różnych drobnych wyrobów. Ogółem w ciągu paru lat kupiec przewiózł towaru
o łącznej wadze 188559 kg. W oparciu o powyższe informacje oblicz ile wypraw handlowych
odbył kupiec oraz po ile worków cukru zabierał ze sobą za każdym razem?
Zadanie 2
Dwa promy wyruszają jednocześnie z dwóch przeciwległych brzegów rzeki, płynąc na drugą
stronę prostopadle do jej brzegów. Każdy płynie ze stałą prędkością, ale jeden szybciej niż
drugi. Mijają się w odległości 780 metrów od bliższego brzegu. Po przybyciu do celu każdy
prom czeka przez 10 minut przy nabrzeżu, zanim zacznie kurs powrotny. W czasie drogi
powrotnej spotykają się w odległości 460 metrów od drugiego brzegu. Jaką szerokość ma
rzeka?
Zadanie 3
Wpisz w kółeczka poniższego diagramu 5 jedynek, 4 dwójki, 4 trójki, 2 czwórki, 3 piątki,
3 szóstki, 4 siódemki, 3 ósemki, 4 dziewiątki tak, aby suma dowolnych trzech kolejnych liczb
była podzielna przez 3.
4
5
7
9
1
6
8
2
3
Zadanie 4
Kasia ma o 10% pieniędzy więcej niż Asia, ale o 10% mniej niż Julka. O ile procent więcej
pieniędzy ma Julka niż Asia? Ile pieniędzy ma każda z dziewcząt jeżeli wiadomo, że razem
mają mniej niż 300 zł i każda z nich ma całkowitą liczbę złotych?
Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Katarzyna Żak