RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY BRYŁY
SZTYWNEJ
1
RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ
• Ciało Doskonale Sztywne (Bryła Sztywna) = model ciała rzeczywistego = układ „n”
oddziaływujących cząstek których wzajemne odległości nie ulegają zmianie
• Ciało wykonuje ruch obrotowy względem osi obrotu, tj. układu punktów, które znajdują się w spoczynku
• Wektor prędkości kątowej ω jest wektorem, którego kierunek pokrywa się z kierunkiem osi obrotu
r r
(
m
,
r
• Wielkości opisujące ruch układu cząstek: ni = i - ta cząstka
i i , vi , ω )
wszystkie cząstki posiadają tę samą prędkość kątową
2
ŚRODEK MASY UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH (ŚRODEK MASY BRYŁY SZTYWNEJ)
Rys. 22.
Rys. 23.
z
ω
y
układ n punktów
materialnych
mi
ri -RCM
ri
(CM)
0′
vi
x
m
0
y
RCM
oś z = oś obrotu
Definicja CM (= Center Mass)
r
RCM =
r
m
r
∑ ii
i =1
n
∑ mi
i =1
x
z
ri
n
0
0′ - POCZĄTEK UKŁADU CM
Uwaga: w dalszym zapisie wzorów sumowanie po liczbie
cząstek nie będzie oznaczane wskaźnikami przy znaku
sumy, tzn.
n
∑ xi = ∑ xi
i =1
3
UKŁAD DWÓCH PUNKTÓW MATERIALNYCH (DWÓCH CZĄSTEK), przykład
Rys. 24.
z
m1
r
r
r
m1r1 + m2 r2
RCM =
m1 + m2
m2
CM
Gdy początek układu odniesienia
r1
0′
znajduje się w środku masy (O’=CM)
r2
r
RCM = 0
r
r
m1 r1 + m2 r2 = 0
RCM
m1 r2
=
m2 r1
y
x
0
Rys. 25.
r2
m1
r1
m2
0′ = CM
4
PĘD, MOMENT PĘDU, MOMENT SIŁY
Rys. 26.
Rys. 27.
vii
vi (Pi)
Ji
mii
m
mi
ω
0
rii
0
ri
Ji ⊥ ri oraz Ji ⊥ Pi
MOMENT
PĘDU
moment pędu
Punkt materialny
Pęd
Moment pędu
Moment siły
r
r
pi = mi vi
r r r
r r
Ji = ri × pi = mi ri × vi
r r r
vi = ϖ × ri
r
r
r
N i = ri × F i
Układ punktów materialnych (bryła sztywna)
r
r
r
P = ∑ pi = ∑ mi vi
r
J =
r
∑ Ji =
r
r
r
r
∑ ri × pi = ∑ mi ri × vi
r
r
r r
N = ∑ N i = ∑ ri × pi
5
ROLA MOMENTU PĘDU I MOMENTU SIŁY W RUCHU OBROTOWYM BRYŁY SZTYWNEJ
• CM = środek masy bryły sztywnej
• RCM = wektor położenia środka masy
Rys. 28.
r
r
r r
r r
r
r
J = ∑ mi ri × vi = ∑ mi ( ri − RCM ) × vi + ∑ mi RCM × vi
r r
r
r
J = J CM + RCM × P
z
0′
ri - RCM
RCM
0
x
SPIN = moment pędu bryły sztywnej względem
środka masy (własny moment pędu, nie zależy od
mi
ri
y
układu odniesienia):
r
r r
r
J CM = ∑ mi ( ri − RCM ) × vi
Moment pędu środka masy względem początku
układu (zależy od wyboru układu odniesienia):
r
r
r r
RCM × ∑ mi vi =RCM × P
6
RÓWNANIE RUCHU OBROTOWEGO BRYŁY SZTYWNEJ
r
• Aby wprawić bryłę sztywną w ruch obrotowy należy zadziałać momentem siły N .
r
r
dJ
=N
dt
r r
r
r
J = J CM + RCM × P
r
r
r
dJ
N ≡0→
= 0 → J = const
dt
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.
Zmiana całkowitego momentu pędu przypadająca na jednostkę czasu jest
równa wypadkowemu momentowi sił działającemu na bryłę sztywną.
Prawo zachowania momentu pędu
Gdy na bryłę sztywną nie działa zewnętrzny moment sił, lub wypadkowy moment sił
jest równy zeru, to moment pędu jest wielkością stałą w czasie.
• Gdy początek układu odniesienia znajduje się w środku masy CM, całkowity moment pędu równy jest
spinowi. Wówczas:
r
r
RCM × P = 0
r
r
r
dJ dJ CM
=
=N
dt
dt
oraz
r
r
N = 0 → J CM = const
7
RUCH OBROTOWY BĄKA SYMETRYCZNEGO (ELEMENTARNA TEORIA ŻYROSKOPU)
• Bąk symetryczny = ciało o symetrii osiowej i jednorodnym rozkładzie masy,
np. bąk – zabawka, krążek z bolcami umożliwiającymi przyłożenie momentu sił
• Ruch bąka symetrycznego w polu grawitacyjnym. Bąk wirujący ze stałą prędkością kątową wokół osi
poziomej doznaje działania pary sił: siły ciężkości i reakcji w punkcie podparcia osi, co powoduje, że
moment sił działający na bąka jest różny od zera.
Rys. 29.
R - siła reakcji
podłoża
Q – moment siły
ciężkości
• Własności żyroskopu posiada wiele ciał np: ciała niebieskie w tym Ziemia, pociski karabinowe, wirniki
maszyn, koła.
• Żyroskop ma on postać metalowego krążka, który raz wprawiony w ruch obrotowy zachowuje swoje
pierwotne położenie osi obrotu. Żyroskop został wynaleziony w 1852 przez Leona Foucaulta, jako
demonstracja zasady zachowania momentu pędu.
8
Założenia:
x
Rys. 31.
Duża wartość momentu pędu
N
Moment siły prostopadły do momentu pędu
oraz
r
N ≠0,
r
J = const
r
,
∆J ≠ 0
Rys. 30.
∆J
∆ϕ
Ω
r
r
r dJ ∆J
N=
=
dt
∆t
J
z
x
y
F
N
0
y
J
F
z
∆ϕ
Ω
=
Prędkość kątowa precesji:
∆t
∆J
∆
ϕ
=
w mierze łukowej kąta:
J
Ω=
(0 = CM)
punkt podparcia
r
1 ∆J 1 ∆J 1
∆ϕ
=
=
= N
J ∆t
J
∆t ∆t J
N
J
r
r r
N =Ω×J
Ω =
9
MOMENT BEZWŁADNOŚCI BRYŁY SZTYWNEJ
• Wirująca swobodnie kula jednorodna
Rys. 32
J
ω
• Zawsze J jest
ω. Wówczas moment pędu jest
równoległe do
proporcjonalny do prędkości kątowej.
r
r
J = Iω
gdzie I jest współczynnikiem proporcjonalności. Współczynnik ten nosi
nazwę
momentu
bezwładności,
w
tym
przypadku
momentu
bezwładności kuli. Określa on pewną charakterystyczna cechę ciała –
rozkład masy ciała względem osi obrotu.
• Powyższa relacja pomiędzy J i ω jest również słuszna w przypadku ciał o
wirująca swobodnie kula jednorodna
zawsze
symetrii osiowej i jednorodnym rozkładzie masy oraz ciał wykonujących
ruch obrotowy względem jednej z tzw. osi głównych ciała.
J ω
Rysunek
Wzór na moment
bezwładności
I = 0,4mR2
Opis
Kula o promieniu R –
oś obrotu przechodzi przez środek kuli
10
• Moment bezwładności obręczy
Cienka obręcz kołowa o masie M i promieniu R wykonująca ruch obrotowy względem osi przechodzącej
przez środek masy i prostopadłej do płaszczyzny obręczy.
Rys. 33
Prędkość liniowa i kątowa wszystkich Punktów materialnych, z których
ω
składa się obręcz jest taka sama:
J
M
vn
rn
R
r
r
vi = v = ω ⋅ r
r
ri = R
r r
v
r r
J = ∑ mi ( ri × vi ) = MR × v
J = MRv = MR 2ω
Z definicji, moment bezwładności obręczy względem osi obrotu wynosi:
oś obrotu
cienka obręcz kołowa o masie M
i promieniu R
Rysunek
I = MR2
Wzór na moment
bezwładności
2
I = mR
Opis
Pierścień o promieniu R
(także cylinder i obręcz)
11
• Ciało sztywne o dowolnym kształcie i dowolnym rozkładzie masy
r
r
• J = Iω , gdy J równoległe do ω
• Na ogół J nie jest równoległe do ω. Jest tak w przypadku, gdy wypadkowy ruch obrotowy jest złożeniem
wielu ruchów.
r
r r r
J
=
(
J
Składowe wektora momentu pędu:
x ,J y ,J z )
r
r r r
Składowe wektora prędkości kątowej: ω = ( ω x ,ω y ,ω z )
Związek między J i ω ma postać równania macierzowego:
 J x   I xx
 
 J y  =  I yx
 J   I
 z   zx
Ix y
I yy
I zy
I xz  ω x 
 
I yz  ω y 

I zz  ω z 
• Moment bezwładności wyrażony jest za pomocą macierzy bezwładności (tensor bezwładności) o
własnościach:
Wyrazy poza przekątne są symetryczne, tzn. I xy = I yx , I xz = I zx , I yz = I zy
2
Suma wyrazów przekątnych wynosi: I xx + I yy + I zz = 2∑ mi ri
12
• Ogólne wzory na obliczanie wyrazów macierzy bezwładności mają postać całkową
Rys. 34.
Wyrazy przekątne macierzy bezwładności:
r
I xx = ∫∫∫ ρ ( r )( r 2 − x 2 )dV
z
Podobna postać mają wzory na Iyy i Izz.
ρ
r
y
0
x
Wyrazy poza przekątne tensora bezwładności:
r
I xy = − ∫∫∫ ρ ( r )xydV
r
I xz = − ∫∫∫ ρ ( r )xzdV
podobna postać mają pozostałe wyrazy.
Gęstość materii bryły sztywnej w dowolnym punkcie
wynosi:
Ponadto
r
ρ( r )
Wektor położenia ma współrzędne
r
r ( x, y, z )
r
I xx + I yy + I zz = 2 ∫∫∫ ρ ( r )r 2 dV
oraz wyrazy poza przekątne są symetryczne.
Obliczenia upraszczają się, gdy rozkład masy ciała
posiada wysoka symetrię względem osi obrotu.
13
TWIERDZENIE O OSIACH RÓWNOLEGŁYCH (Twierdzenie Steinera)
• Osie obrotu x i x’ są równoległe i odległe o odcinek a
• Oś x przechodzi przez środek masy CM, M = masa ciała
x1
Rys. 35.
CM
x2
a
I x' = I x + Ma 2
M
Jakob Steiner
(1796 - 1863)
Twierdzenie:
Moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi obrotu, równoległej do osi
przechodzącej przez środek masy, jest sumą momentu bezwładności względem osi przechodzącej
przez CM i iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości między osiami obrotu.
14
ENERGIA ROTACJI = ENERGIA KINETYCZNA CIAŁA DOSKONALE SZTYWNEGO W RUCHU
OBROTOWYM
• Ciało doskonale sztywne wykonuje obrót wokół nieruchomego środka masy,
• Całkowita energia kinetyczna ciała jest równa sumie energii kinetycznych poszczególnych punktów
materialnych, z których ciało się składa:
1
Ek = ∑ mi vi 2
2
r
r r
vi = ω × ri
Ek =
Rys. 36.
x
ω
r r
r r r
1
1
mi ( ω × ri )2 = ∫∫∫ ρ ( r )( ω × r )2 dV
∑
2
2
• Ciało o symetrii osiowej (stożek, walec, kula, itp.)
15
OSIE GŁÓWNE CIAŁA
• Wzór na energię kinetyczną ciała można zapisać w postaci:
Ek =
[
]
1 2
ω x I xx + ω y 2 I yy + ω z 2 I zz + 2ω xω y I xy + 2ω yω z I yz + 2ω yω z I yz )
2
Wyrażenie powyższe upraszcza się dla ciał o regularnym kształcie w układzie tzw. osi głównych ciała.
• Definicja osi głównych:
W układzie osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną przyjmuje postać:
Ek =
1
1
1
1
1
1
I xxω x 2 + I yyω y 2 + I zzω z 2 = I1ω12 + I 2ω 2 2 + I 3ω3 2
2
2
2
2
2
2
Indeksy 1, 2, 3 numerują osie główne ciała: osie obrotu o największej, najmniejszej i pośredniej wartości momentu
bezwładności
• W układzie osi głównych moment pędu posiada składowe
(
r r r r
J J 1 .J 2 .J 3
J 1 = I1ω1
J 2 = I 2ω 2
J 3 = I 3ω 3
)
I1 = I 2 = I 3 = I
ω 12 = ω 2 2 = ω 3 2 = ω 2
Ek =
1
Jω 2
2
I1, I2, I3 - główne momenty bezwładności (maksymalny, minimalny, pośredni)
• Jeżeli ciało obraca się wokół którejś z osi głównych, to wektor momentu pędu ciała jest równoległy do
wektora prędkości kątowej.
16
Rys. 37.
Rys. 38.
ω
(3)
ω
ω
(2)
CM
CM
ω
(1)
• Kula,
kulista
• Walec jednorodny – oś podłużna i
o jednorodnym rozkładzie masy –
dwie osie do niej prostopadłe są
wszystkie osie przechodzące przez
osiami głównymi.
powłoka
środek masy są osiami głównymi.
• Ciało sztywne wirujące swobodnie wokół osi o maksymalnym lub minimalnym momencie
bezwładności zachowuje stały kierunek tej osi w przestrzeni (zasada działania stabilizatorów).
17
PRAWA ZACHOWANIA W MECHANICE (PĘDU, ENERGII, MOMENTU PĘDU)
• PRAWO ZACHOWANIA PĘDU
• Całkowity pęd cząstek (ciał) tworzących układ zamknięty (izolowany) pozostaje stały w czasie
UKŁAD IZOLOWANY = układ na który nie działają siły zewnętrzne
r
r
r
r
r
r
P = [m1v1 + m2 v 2 + m3 v3 + ... + mn v n = ∑ mi vi = const ]
( t = −∞ , t = +∞ )
r
r
p i = mi v i
Rys.39.
y
• Klasycznie, masa i-tej cząstki
v2
mi=const
v1
m1
• Relatywistycznie, masa i-tej cząstki wynosi
r
r
1
1−
0
vi
2
c2
z
vi
m2
ri
mi = γ i mi0
γi =
mi
x
Układ izolowany
18
• PRAWO ZACHOWANIA ENERGII
• Całkowita energia izolowanego układu cząstek (ciał) pozostaje stała w czasie
Układ izolowany = układ, który nie wymienia energii z otoczeniem
r
Ek = E p (r ) = const
(t = −∞, t = +∞ )
Ek = ∑ Eki
E p = ∑ E pi
1
2
E
=
• Klasycznie, energia kinetyczna i-tej cząstki wynosi: ki 2 mi vi
2
• Relatywistycznie: Eki = ( γ i − 1 )m0i c
• Energia potencjalna Ep(r) jest określona dla potencjalnego pola sił, tj. pola sił zachowawczych
(grawitacyjnych, kulombowskich)
• PRAWO ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU
• Całkowity moment pędu izolowanego układu cząstek (ciał) pozostaje stały w czasie
Układ izolowany = układ, na który nie działa zewnętrzny moment sił, lub wypadkowy moment sił jest
równy zeru
r
r
r r
r r
J = ∑ J i = ∑ mi ri × vi = ∑ ri × pi
( t = −∞ ,t = +∞ )
r
r
N = ∑ Ni = 0
19
RUCH CIAŁ W POTENCJALNYM POLU SIŁ
Rys. 40.
N
linie sił pola
Centralne pole sił - pole sił, w którym linie sił są
półprostymi zbiegającymi się w jednym punkcie, np.
m
pole grawitacyjne masy punktowej, pole elektrostatyczne
ładunku punktowego. Siła działająca między ciałami jest
M
zawsze skierowana wzdłuż prostej łączącej ciała.
F
m
l2
S
Pole centralne
Pole niecentralne
Rys.41.
l1
punkt pola (1)
F1
m
(2) punkt pola
m
r1
r2
centrum sił
F2
M
20
POLE GRAWITACYJNE MAS PUNKTOWYCH
• Siłę działającą między dwoma masami punktowymi można zapisać za pomocą wzoru, który wyraża
matematyczna postać prawa powszechnego ciążenia (prawa grawitacji, prawa Newtona).
r
r r
Mm r
F (r ) = −G 2
r r
G = 6.67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 / kg 2
Rys. 42
F
M
-F
r
m
21
NATĘŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO
Rys. 43
g
Miarą natężenia pola grawitacyjnego jest siła działająca
g
F
M
r
na ciało o masie jednostkowej, umieszczone w danym
punkcie pola:
r
r F
g=
m
Gdy
oddziaływają
masy
punktowe,
wzór
na
g przybiera postać:
M - masa ciała wytwarzającego pole grawitacyjne,
m – masa ciała „próbnego”
r
r
M r
g = −G 2
r r
Wartość natężenia pola grawitacyjnego opisuje dynamiczne własności pola: zależy tylko od masy ciała
wytwarzającego pole i położenia punktu pola w przestrzeni; nie zależy od własności ciała próbnego.
22
PRACA W POLU GRAWITACYJNYM
• Ciało o masie M wytwarza pole.
l1
Rys. 44.
l2
W polu tym przemieszczamy masę próbną z punktu 1 do punktu 2.
r
r r
r
F( r ) = −F( r )
r
m
Praca wykonana podczas przemieszczenia ciała:
r2
r2
r2
r2
r r r
1 1
GMm r r
dr  GMm 
W = ∫ F (r ) ⋅ dr = − ∫ 3 r ⋅ dr = −GMm ∫ 2 = 
= −GMm − 

r
 r  r1
 r1 r2 
r1
r1
r1 r
r r
(r ⋅ dr = rdr )
r1
r2
M
• Praca wykonana przez siły pola. Ciało o masie m znajduje się pod wpływem siły grawitacji i jego
położenie końcowe znajduje się bliżej źródła pola M: r2 < r1 ⇒ W > 0
• Praca wykonana przez siły zewnętrzne. Ciało ulega przemieszczeniu pod wpływem siły zewnętrznej,
powodującej oddalenie ciała od źródła pola : r2 > r1 ⇒ W < 0
• Siły grawitacyjne są siłami zachowawczymi ⇔ pole grawitacyjne jest polem zachowawczym
r
W =
2
r2
r1 ( l1 )
r1 ( l2 )
r r
F
∫ • dr =
r r
r r
F
•
d
r
⇒
F
∫
∫ • dr = 0
23
ENERGIA POTENCJALNA CIAŁA W POLU SIŁ GRAWITACYJNYCH
•
Praca wykonana w polu grawitacyjnym jest równa różnicy energii potencjalnej ciała w położeniu
początkowym i końcowym
W =
r2
r r
r
r
F
∫ dr =U ( r1 ) − U ( r2 )
r1
• Energia potencjalna ciała określona jest ujemnie
r
r
GMm  GMm 

−  −
U ( r1 ) − U (r2 ) = −
r1
r
2


U (r ) = −
GMm
r
• Energia potencjalna ciała znajdującego się poza zasięgiem sił grawitacyjnych (w nieskończoności) jest
równa zeru
U( ∞ ) = 0
∞
r
r
∞
U ( r ) = − ∫ F ( r )dr = ∫ F ( r )dr = −
GMm
r
Energia potencjalna ciała w danym położeniu (w danym punkcie pola) jest równa pracy jaką trzeba
wykonać, aby ciało przenieść do nieskończoności (poza zasięg sił grawitacji).
24
POTENCJAŁ POLA GRAWITACYJNEGO
• Potencjał pola grawitacyjnego w odległości r od centrum sił jest równy energii potencjalnej ciała
próbnego o masie jednostkowej znajdującego się w danym punkcie pola
r
r
U( r )
Powierzchnie
ekwipotencjalne
(powierzchnie
ϕ( r ) =
m
jednakowego potencjału) stanowią zbiory geometryczne
GM
punktów w przestrzeni, w których potencjał pola posiada tę
U( r ) = −
r
r
samą wartość, tzn. ϕ ( r ) = const
• Potencjał pola opisuje własności statyczne pola:
Jeżeli pole grawitacyjne wytwarza masa punktowa, to
zasób energii potencjalnej, którą pole zawiera.
powierzchnie ekwipotencjalne stanowią powierzchnie kul
współśrodkowych, otaczających masę punktową.
Rys. 45.
ϕ (r) lub U(r)
g (r)
M
r
M
r
Rys. 46.
ϕ (r) = const.
M - masa
punktowa
M
-G
M
r2
natężenie pola
-G
M
r
potencjał pola
(lub energia potencjalna)
linie sił
powierzchnia ekwipotencjalna =
powierzchnia kuli
25
PRAWO GAUSSA DLA POLA GRAWITACYJNEGO
•
Strumień wektora natężenia pola (strumień pola grawitacyjnego) przez dowolna powierzchnię
zamkniętą jest równy iloczynowi masy znajdującej się w obszarze ograniczonym ta powierzchnią przez
(-4πG), gdzie G oznacza stałą grawitacji.
r
dS = dS ⋅ n
Rys. 47.
• Elementarny strumień pola grawitacyjnego
r
r r
dΦ = g ⋅ dS = gdS cos( g , n )
.
dS = ds n
dS
dS
S
Strumień pola przez powierzchnię zamkniętą S
g
n
r
Φ = ∫ dΦ = ∫∫ g ⋅ dS = −4πG
M3
dS
S
g
M1
• Prawo Gaussa stosuje się do wyznaczania
M2
natężenia pola, zwłaszcza w przypadkach
pół wytwarzanych przez układ ciał. W
g
S – powierzchnia zamknięta
przypadku pola wytwarzanego przez masę
punktową.
r
g - wektor natężenia pola
r
n
dS
- wektor jednostkowy o kierunku normalnej do powierzchni
- wektor kierunkowy elementu powierzchni
• Prawo Gaussa ma wyjątkowo uproszczoną
postać:
g ⋅ 4πr 2 = −4πGM
g=−
GM
r2
26
RUCH CIAŁ W POLU SIŁ CENTRALNYCH
• Rozważamy oddziaływanie dwóch ciał o porównywalnych masach w układzie laboratoryjnym i układzie
środka masy
Dwa ciała o masie M i m, ich położenie względem początku układu
laboratoryjnego określają wektory
Rys. 48.
y
LAB
r
i rm
r
Położenie środka masy CM wyznacza wektor r0
M
rM ro
0
r
rM
CM
m
r
r
r
r
MrM + mrm
r0 =
M +m
r r
r r
Ciała oddziałują ze sobą siłami centralnymi F ( r ),− F ( r ) , gdzie
r r
r
r = rM − rm
rm
x
• Wskutek oddziaływania ciała wykonują ruch obrotowy wokół
środka masy, którego opis jest skomplikowany w układzie
laboratoryjnym (wymaga rozwiązania układu różniczkowych
równań ruchu).
27
• Opis ruchu ciał, ich energii, znacznie się upraszcza w układzie środka masy, jeżeli wprowadzimy
ciało o masie zastępczej, tzw. masie zredukowanej, i rozważać będziemy zachowanie się tego ciała.
Sprowadzamy w ten sposób problem opisu ruchu dwóch ciał, oddziaływujących siłami centralnymi,
do problemu opisu ruchu jednego ciała o masie równej masie zredukowanej:
Mm
M +m
1
1
1
=
+
µ M m
µ=
(
Rys.49.
)
• Jeżeli siła jest siłą centralną, to moment tej siły względem
rozważanego środka masy jest równy zeru (ramię siły i jej
r = rm- rM
µ
m
CM
kierunek pokrywają się). Z drugiej zasady dynamiki dla
ruchu obrotowego wynika, że moment pędu układu ciał
jest wielkością stałą. Oznacza to również, że ruch jest
płaski (tory ciał leżą w jednej płaszczyźnie).
M
28
ENERGIA CIAŁA W POLU SIŁ CENTRALNYCH
• Układ środka masy ciał, w którym opisujemy ruch masy zredukowanej, stanowić może biegunowy układ
współrzędnych. Masa zredukowana µ porusza się po torze krzywoliniowym, a jej chwilowe położenie
wyznacza wektor r i kąt ϕ.
•
Rys. 50.
v
E k r - energia kinetyczna związana z prędkością radialną
vϕ
Ekr =
µ
r
tor
ϕ
r
Chwilowe
wartości
prędkości
całkowitej oraz jej składowych, tzw.
radialnej
i
azymutalnej
r r r
v
odpowiednio , vr , vϕ
1
p2
µvr 2 = r (1)
2
2µ
pr = µvr jest składową radialną pędu masy zredukowanej
vr
CM
Całkowita energia układu ⇔ energia masy zredukowanej E = E kr + Ekϕ + E p
wynoszą
Ek ϕ - energia kinetyczna związana z prędkością azymutalną
1
J2
2
E kϕ = µvϕ =
(2)
2
2 µr 2
J
Moment pędu jest wielkością stałą w czasie: J = pϕ r = µvϕ r = const vϕ = µr
E p - energia potencjalna układu ciał w polu sił centralnych
A
GMm
E p = − (3)
(E p = −
)
r
r
2
2
pr
J2
A pr
B A
J2
+
− =
+ 2 −
B≡
• Energia całkowita masy zredukowanej E =
2
2 µ 2 µr
r
2µ r
r
2µ
• Energia całkowita masy zredukowanej jest funkcją położenia ciała
pr 2
E( r ) =
+ U ( r ) = const
2µ
29
Rys. 51.
E
U (r)
B
r2
2
pr
2µ
• Całkowita energia masy zredukowanej
może być dodatnia lub ujemna. I tak:
E1
r
0
r1
E2
Gdy E>0 (np. E1) ruch ciała po krzywej
r2
stożkowej otwartej (parabola, hiperbola).
−A
r
Na rysunku r1 i r2 oznaczają odległości największego
i najmniejszego oddalenia ciała od centrum sił.
Gdy E<0 (np. E2)
ruch
ciała
po
krzywej stożkowej zamkniętej (elipsa,
koło).
• Jeżeli jedno z ciał wytwarzających pole grawitacyjne posiada dużą masę tak, że M >> m, to środek
masy układu pokrywa się z położeniem ciała o masie M. Wówczas wartość masy zredukowanej układu
ciał jest w przybliżeniu równa masie ciała mniejszego m, zaś r oznacza odległość ciała m od centrum sił
(M). Warunki te są spełnione np. w naszym układzie planetarnym, modelu planetarnym atomu.
30
SIŁY GRAWITACJI WE WSZECHŚWIECIE
• Kształt Galaktyki, model Hubble’a
Gaz kosmiczny o masie M składający się z pojedynczych obiektów, z których jeden posiada masę np. M1.
Masa posiada moment pędu J=const.
Kształt galaktyki (Model Hubble’a)
Rys. 52.
M
Jo
M1
M - masa galaktyki
M1 – masa pojedynczej cząstki
Edwin Powell Hubble (1889 – 1953)
• Obłok gazu kurczy się pod wpływem oddziaływania grawitacyjnego
31
Rys. 53.
v
CM
J = const
vo
ro
r
M1
M 1v0 r0 = M 1vr
gdzie indeks „0” określa wartość prędkości i położenia masy M1 w chwili t = 0,
r
v = v0 0
r
wielkości bez indeksu – w dowolnej chwili czasu t
• Zmiana energii kinetycznej cząstki M1 wskutek pracy sił grawitacyjnych jest równa zmianie jej energii
potencjalnej i wynosi :
Rys. 54.
1
1
1

2
2 r
∆E k = M 1 v 2 − M 1 v 0 = M 1 v 0 ( 0 ) 2 − 1
2
2
2
 r

∆Ek = ∆Ep
Ep
τmin
• Energia potencjalna obiektu M1 wynosi:
GMM 1 1
r 
+ M 1v0 2  0 
E p = Eg + EJ = −
r
2
r 
2
EJ ∼ 1 / r2
r
0
Emin
Eg ∼ - 1 / r
32
• Kurcząc się grawitacyjnie, obłok gazu osiąga stan równowagi. W stanie równowagi cząstki obłoku
posiadają najmniejsza wartość energii potencjalnej (energia potencjalna osiąga minimum). Minimum energii
określa warunek:
dE p
dr
=0
GM 1M
r2
2
2 r0
− M 1v0 3
r
=0
dla r = rmin
v0 2 r0 2
rmin =
GM
Rys. 55.
Słońce
J
Słońce
Przypuszczalny widok Drogi Mlecznej z boku i z góry z zaznaczonym
położeniem Słońca.
• W przypadku naszej Galaktyki rmin ~ 1020 m
• Galaktyka „naprawdę” posiada kształt dysku
33
NIEKTÓRE PROBLEMY KOSMOLOGII
• rozszerzanie się
Wszechświata
• gęstość krytyczna i los
Wszechświata
• wiek Wszechświata
• wczesny Wszechświat,
jego temperatura, czas
trwania epoki leptonowej i
hadronowej
Kosmologia obejmuje:
- teorię grawitacji,
- fizykę jąder i cząstek
elementarnych,
- termodynamikę,
- fizykę statystyczną.
34