Przekrojowe zadanie przed egzaminem gimnazjalnym

Przekrojowe zadanie przed egzaminem gimnazjalnym

Dwa łyki matematyki
czyli ostatnie szlify przed egzaminem
1. Cztery prostopadłościenne kostki lodu o wymiarach 2x2x3cm
wrzucono do szklanki z sokiem bananowym. Ile otrzymamy wody ze
stopionych kostek jeżeli wiadomo, że lód przy topieniu traci 10%
swojej objętości.
2. Na jaką wysokość podniesie się poziom soku w szklance po
wrzuceniu kostek lodu, jeżeli średnica szklanki to 6cm?
3. Jakie będzie stężenie procentowe otrzymanego soku,
jeżeli wcześniej, przed wrzuceniem lodu do szklanki,
znajdowało się w niej 250 cm3 soku bananowego
o stężeniu 90%.
4. Na ile centymetrów będzie wystawała ze szklanki parasolka (na rysunku)
o długości patyczka 15cm wstawiona do niej wzdłuż przekątnej, jeśli wysokość
szklanki to 12cm?
Pamiętaj o wykorzystaniu wszystkich danych z treści oraz sformułowaniu poprawnej
stylistycznie odpowiedzi. Powodzenia :)
Rozwiązania poszczególnych zadań znajdują się na następnej stronie.
Jeżeli miałeś problem z jakimś zadaniem prześledź i przeanalizuj tok proponowanego
rozwiązania. Odpowiedz sobie na pytanie z czego ten problem wynikał. Czy to był brak
znajomości niezbędnego wzoru, twierdzenia? Złe zinterpretowanie danych? Błąd
rachunkowy? Jeżeli już wiesz na czym polega błąd spróbuj samodzielnie rozwiązać
podobne ćwiczenia z podręcznika lub zbioru zadań.
Rozwiązanie:
Ad. 1
Vk – objętość jednej kostki
Vw – objętość wody z kostek
Vw = 4* Vk – 10% * 4 * Vk = 90% * 4 * Vk
Vw = 90% * 4 * (2 * 2 * 3) cm3
Vw = 90% * 48 cm3
Vw = 43,2 cm3
Ad. 2
Korzystamy ze wzoru na objętość walca, czyli V = π * r2 * h, gdzie h to w tym przypadku to
wysokość względna słupa soku w walcu, czyli szukany przez nas poziom soku.
Vw = π * r2 * h
43,2 = 3,14 * 32 * h
43,2 = 3,14 * 9 * h
43,2 = 28,26 * h
43,2 : 28,26 = h
h = 1,53 cm
Uwaga!
r = 0,5 * średnica
r = 3 cm.
Ad. 3
Skorzystamy z zapisów w formie proporcji:
Obliczmy najpierw ilość czystego soku w roztworze 90%:
100% to 250 cm3
90% to x cm3
x = (90 * 250) : 100
x = 225 cm3 (ilość czystego koncentratu owocowego w soku bananowym)
Obliczmy teraz ilość soku w szklance po wrzuceniu kostek lodu: 250 + 43,2 = 293,2 cm3
Ilość czystego koncentratu owocowego w soku bananowym się nie zmieniła, czyli mamy:
100% to (250 + 43,2) cm3 (objętość soku + wrzucony lód)
y% to 225 cm3
y = (225 * 100) / 293,2
y = 76,3 %
Tą samą sytuację możemy zilustrować graficznie:
+
=
90%
pierwszy sok
250 cm3
y%
roztopione kostki lodu
43,2 cm3
otrzymany sok
250 cm3 + 43,2 cm3
Stąd otrzymujemy równanie:
90 ∗250= y ∗ 25043,2
90
y
∗250=
∗293,2
100
100
90∗250= y∗293,2
90∗250
=y
293,2
76,3= y
Otrzymaliśmy oczywiście identyczny wynik.
x cm
Ad. 4
Wykorzystamy oczywiście twierdzenie Pitagorasa:
d2 = 122 + 62
d2 = 144 + 36
d2 = 180
d = 13,4
d cm
12 cm
stąd x = 15 – 13,4 = 1,6 cm.
Rozwiązałeś wszystko poprawnie?
Moje gratulacje :)
6 cm