Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Transkrypt

Reprezentacje grafów nieskierowanych
Reprezentacje grafów skierowanych
Wykład 2.
Reprezentacja komputerowa grafów
1 / 69
Reprezentacje macierzowe
Reprezentacja za pomocą list
Macierz incydencji
Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach
(x1 , x2 , ..., xn ) i m krawędziach (e1 , e2 , ..., em ).
2 / 69
Macierz incydencji
Definicja
Określmy macierz A(G ) = [aij ]n×m dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., m w następujący
sposób:
3 / 69
Macierz incydencji
Definicja
sposób:
(
1 krawędź ej jest incydentna do i − tego wierzchołka xi ,
aij =
0 w przeciwnym przypadku.
4 / 69
Macierz incydencji
Definicja
sposób:
(
aij =
Tak określona macierz A(G ) nazywa się macierzą incydencji.
5 / 69
Macierz incydencji
Definicja
sposób:
(
aij =
x1
a
b
x2
x3
c
g
f
d
e
x5
x4
6 / 69
Macierz incydencji
Definicja
sposób:
(
aij =
x1
a
b
x2
x3
A(G ) =
c
g
f
d
e
x5
x4
x1
x2
x3
x4
x5
a b c d
1 0 0 0
 1 1 0 0

 0 1 1 1

 0 0 1 1
0 0 0 0
e
0
0
0
1
1
f
0
0
1
0
1
g
0
1
0
0
1






7 / 69
Własności macierzy incydencji
każda kolumna A(G ) zawiera dokładnie
dwie jedynki, ponieważ każda krawędź
jest incydentna do dokładnie dwóch
wierzchołków
x1
a
b
x2
x3
c
g
f
d
e
x4
x5
Krawędź a jest incydentna do wierzchołków
x1 i x2 .
x1
x2
x3
x4
x5
a b c d
1 0 0 0
 1 1 0 0

 0 1 1 1

 0 0 1 1
0 0 0 0
e
0
0
0
1
1
f
0
0
1
0
1
g
0
1
0
0
1






8 / 69
wierzchołków
x1
a
b
x2
liczba jedynek w każdym wierszu równa
się stopniowi odpowiadającego mu
wierzchołka
x3
c
g
f
d
e
x4
x5
deg (x2 ) = 3
x1
x2
x3
x4
x5
a b c d
1 0 0 0
 1 1 0 0

 0 1 1 1

 0 0 1 1
0 0 0 0
e
0
0
0
1
1
f
0
0
1
0
1
g
0
1
0
0
1






9 / 69
wierzchołków
x1
a
b
x2
wierzchołka
x3
c
g
f
d
e
wiersz złożony z samych zer
reprezentuje wierzchołek izolowany
x4
x5
x1
x2
x3
x4
x5
a b c d
1 0 0 0
 1 1 0 0

 0 1 1 1

 0 0 1 1
0 0 0 0
e
0
0
0
1
1
f
0
0
1
0
1
g
0
1
0
0
1






10 / 69
wierzchołków
x1
a
b
x2
wierzchołka
x3
c
g
f
d
e
wiersz złożony z samych zer
reprezentuje wierzchołek izolowany
x4
x5
krawędzie równoległe tworzą
identyczne kolumny
Krawędzie c i d są równoległe
x1
x2
x3
x4
x5
a b c d
1 0 0 0
 1 1 0 0

 0 1 1 1

 0 0 1 1
0 0 0 0
e
0
0
0
1
1
f
0
0
1
0
1
g
0
1
0
0
1






11 / 69
Własności macierzy incydencji c.d.
Z algorytmicznego punktu widzenia macierz incydencji jest najgorszą formą
reprezentacji grafu.
12 / 69
1
wymaga zdefiniowania tablicy o n · m komórkach, z których większość
jest wypełniona zerami,
13 / 69
1
wymaga zdefiniowania tablicy o n · m komórkach, z których większość
jest wypełniona zerami,
2
odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź łącząca konkretne
wierzchołki wymaga wykonania m kroków (przeszukania m kolumn).
14 / 69
Modyfikacje macierzy incydencji
W przypadku, gdy graf G ma pętle, wówczas macierz incydencji A(G ) można
zdefiniować następująco:
15 / 69
Modyfikacje macierzy incydencji
W przypadku, gdy graf G ma pętle, wówczas macierz incydencji A(G ) można
zdefiniować następująco:
aij =







1






jeśli krawędź ej jest incydentna do
i − tego wierzchołka xi
i nie jest pętlą przy xi ,




2






0
jeśli krawędź ej jest pętlą przy wierzchołku xi ,
w pozostałych przypadkach
16 / 69
Macierz sąsiedztwa
Niech będzie dany graf G nieskierowany o n wierzchołkach (x1 , x2 , ..., xn ).
17 / 69
Macierz sąsiedztwa
Definicja
Określamy macierz A(G ) = [aij ]n×n w następujący sposób:
(
aij =
liczbie krawędzi łączących wierzchołek xi z wierzchołkiem xj
0 jeśli nie istnieje krawędź od xi do xj
18 / 69
Macierz sąsiedztwa
Definicja
(
aij =
Tak określoną macierz kwadratową stopnia n nazywamy macierzą sąsiedztwa
(przyległości).
19 / 69
Macierz sąsiedztwa
Definicja
(
aij =
Tak określoną macierz kwadratową stopnia n nazywamy macierzą sąsiedztwa
(przyległości).
k
h
x1
x2
i
j
c
d
b
e
x4
g
a
x3
f
A(G ) =
x1
x2
x3
x4
x5
 x1
0
 2

 0

 1
3
x2
2
1
0
1
0
x3
0
0
0
1
0
x4
1
1
1
1
1
x5
3
0
0
1
0






x5
20 / 69
Własności macierzy sąsiedztwa
elementy wzdłuż głównej przekątnej są
wszystkie zerami wtedy i tylko wtedy, gdy graf
nie ma pętli.
k
h
x1
x2
i
x3
j
c
d
a
e
x4
g
f
b
x5
Krawędź f jest pętlą przy wierzchołku x4 , więc
a44 = 1 oraz k jest pętlą przy wierzchołku x2 , więc
a22 = 1.
x1
x2
x3
x4
x5
 x1
0
 2

 0

 1
3
x2
2
1
0
1
0
x3
0
0
0
1
0
x4
1
1
1
1
1
x5
3
0
0
1
0






21 / 69
nie ma pętli.
jeżeli graf nie ma pętli (albo na przekątnej ma
0), to stopień wierzchołka jest równy sumie
elementów w odpowiednim wierszu lub
kolumnie macierzy A(G )
k
h
x1
x2
i
x3
j
c
d
a
e
x4
g
f
b
x5
deg (x5 ) = 4
x1
x2
x3
x4
x5
 x1
0
 2

 0

 1
3
x2
2
1
0
1
0
x3
0
0
0
1
0
x4
1
1
1
1
1
x5
3
0
0
1
0






22 / 69
nie ma pętli.
k
h
x1
x2
i
x3
j
c
d
a
e
x4
g
f
b
x5
deg (x5 ) = 4
x1
x2
x3
x4
x5
 x1
0
 2

 0

 1
3
x2
2
1
0
1
0
x3
0
0
0
1
0
x4
1
1
1
1
1
x5
3
0
0
1
0






23 / 69
nie ma pętli.
macierz sąsiedztwa grafu nieskierowanego jest
macierzą symetryczną
k
h
x1
x2
i
x3
j
c
d
a
e
x4
g
f
b
x5
x1
x2
x3
x4
x5
 x1
0
 2

 0

 1
3
x2
2
1
0
1
0
x3
0
0
0
1
0
x4
1
1
1
1
1
x5
3
0
0
1
0






24 / 69
Zaleta
Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z xi do xj dostajemy po jednym
kroku.
25 / 69
Zaleta
kroku.
Wada
Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n2 jednostek pamięci.
26 / 69
Zaleta
kroku.
Wada
Niech P oznacza pewną własność grafu G = hV , E i. Jeśli graf G ma
własność P, to P(G ) = 1, w przeciwnym wypadku — P(G ) = 0.
27 / 69
Zaleta
kroku.
Wada
Załóżmy, że cecha P ma własności
28 / 69
Zaleta
kroku.
Wada
(a) P(G ) = P(G 0 ), jeśli grafy G i G 0 są izomorficzne,
29 / 69
Zaleta
kroku.
Wada
(b) P(G ) = 0 dla grafu pustego (bez krawędzi) oraz P(G ) = 1 dla grafu
pełnego o dostatecznie dużej liczbie wierzchołków,
30 / 69
Zaleta
kroku.
Wada
(c) dodawanie krawędzi nie narusza własności P.
31 / 69
Zaleta
kroku.
Wada
(c) dodawanie krawędzi nie narusza własności P.
Przykładem takiej własności jest istnienie cyklu.
32 / 69
Twierdzenie
Jeśli P jest własnością spełniającą (a)–(c), to każdy algorytm testujący P na
podstawie macierzy sąsiedztwa wykonuje, w najgorszym przypadku Ω(n2 )
kroków.
33 / 69
Twierdzenie
Jeśli P jest własnością spełniającą (a)–(c), to każdy algorytm testujący P na
podstawie macierzy sąsiedztwa wykonuje, w najgorszym przypadku Ω(n2 )
kroków.
Twierdzenie
Niech A(G ) będzie macierzą sąsiedztwa grafu G . Wówczas liczba dróg
długości k pomiędzy wierzchołkami xi i xj jest równa bij , gdzie B = Ak .
34 / 69
Przykład
k
h
x1
x2
i
j
c
d
b
e
x4
g
a
x3
f
x5
Drogi długości 2 obliczamy
wyznaczając A2 .
35 / 69
Przykład
k
h
x1
x2
i
x3
j
c
d
a
e
x4
g
f
b
x5



B = A2 = 


0
2
0
1
3
2
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
3
0
0
1
0






0
2
0
1
3
wyznaczając A2 .
 
2 0 1 3
14 3

1 0 1 0 
  3 6

0 0 1 0 
= 1 1
1 1 1 1   6 4
0 0 1 0
1 7
1
1
1
1
1
6
4
1
5
4
1
7
1
4
10






36 / 69
Przykład
Na przykład
k
h
x1
x2
i
x3
j
c
e
x4
g
d
a
b42 = a41 a12 + a42 a22 + a43 a32 + a44 a42
+a45 a52
=1·2+1·1+1·0+1·1+1·0=4
Są to drogi gh, gi, jk, fj
f
b
x5



B = A2 = 


0
2
0
1
3
2
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
3
0
0
1
0






0
2
0
1
3
wyznaczając A2 .
 
2 0 1 3
14 3

1 0 1 0 
  3 6

0 0 1 0 
= 1 1
1 1 1 1   6 4
0 0 1 0
1 7
1
1
1
1
1
6
4
1
5
4
1
7
1
4
10






37 / 69
Przykład
k
h
x2
i
x1
x3
j
c
d
a
e
x4
g
Wykonując odpowiednie działania
otrzymujemy
f
b
x5



A3 = 


15
37
6
25
48
37
16
4
21
13
6
4
1
5
4
25
21
5
20
23
48
13
4
23
7




 4 
A = 




243
92
25
131
70
92
111
21
91
132
25
21
5
20
23
131
91
20
94
95
70
132
23
95
167






38 / 69
Przykład
Nie są to najkrótsze drogi.
k
h
x2
i
x1
x3
j
c
d
a
e
x4
g
Wykonując odpowiednie działania
otrzymujemy
f
b
x5



A3 = 


15
37
6
25
48
37
16
4
21
13
6
4
1
5
4
25
21
5
20
23
48
13
4
23
7




 4 
A = 




243
92
25
131
70
92
111
21
91
132
25
21
5
20
23
131
91
20
94
95
70
132
23
95
167






39 / 69
Lista krawędzi
Rozważmy graf G o n krawędziach.
Lista krawędzi grafu G implementujemy w postaci dwóch tablic
F = (f1 , f2 , ..., fm ) ,
H = (h1 , h2 , ..., hm ) .
gdzie {fi , hi } reprezentuje krawędź grafu G (łączącą wierzchołki fi i gi ).
2
5
1
3
4
40 / 69
Lista krawędzi
Rozważmy graf G o n krawędziach.
Lista krawędzi grafu G implementujemy w postaci dwóch tablic
F = (f1 , f2 , ..., fm ) ,
H = (h1 , h2 , ..., hm ) .
2
5
Mamy
F = (1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3) ,
1
3
H = (1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5) .
4
41 / 69
Listy krawędzi
Rozważmy graf G o m krawędziach.
Listy krawędzi grafu G implementujemy w postaci dwóch tablic
F = (f1 , f2 , ..., fm ) ,
H = (h1 , h2 , ..., hm ) .
2
5
Mamy
F = (1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3) ,
1
3
H = (1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5) .
np. pętla - krawędź {1}, jest
pamiętana jako {f1 , h1 }
4
42 / 69
Własności listy krawędzi
Zaleta
Do reprezentacji grafu potrzebujemy 2m jednostek pamięci (wygodne dla
grafów rzadkich, gdzie liczba krawędzi jest znacznie mniejsza od liczby
wierzchołków).
43 / 69
Własności listy krawędzi
Zaleta
Do reprezentacji grafu potrzebujemy 2m jednostek pamięci (wygodne dla
grafów rzadkich, gdzie liczba krawędzi jest znacznie mniejsza od liczby
wierzchołków).
Wada
Do uzyskania zbioru wierzchołków, do którego prowadzą krawędzie z danego
wierzchołka potrzeba, w najgorszym przypadku, m kroków.
44 / 69
Listy incydencji
Listę incydencji budujemy dla każdego z wierzchołków grafu.
45 / 69
Listy incydencji
Lista incydencji dla wierzchołka xi ∈ V zawiera listę takich wierzchołków u,
że {xi , u} jest krawędzią w grafie.
46 / 69
Listy incydencji
Lista incydencji dla grafu
2
5
1
3
1:
2:
3:
4:
5:
1
1
2
1
3
2
1
4
2
2
3
4
3
4
4
5
3
4
47 / 69
Listy incydencji
Lista incydencji dla grafu
2
5
1
3
1:
2:
3:
4:
5:
1
1
2
1
3
2
1
4
2
2
3
4
3
4
4
5
3
4
48 / 69
Własności list incydencji
lista incydencji składa się z wektora list
49 / 69
każdą krawędź, w grafach nieskierowanych, musimy pamiętać w dwóch
różnych miejscach, jeżeli rozważymy krawędź {u, w }, to wierzchołek w
znajduje się na liście incydencji wierzchołka v i na odwrót (powyższe
spostrzeżenie nie dotyczy pętli)
50 / 69
Zalety
liczba komórek potrzebnych do zapamiętania grafu o n wierzchołkach i
m krawędziach jest, w najgorszym wypadku, proporcjonalna do m + n
(na ogół wystarczy 2m komórek pamięci),
51 / 69
Zalety
testowanie istnienia pojedynczej krawędzi, w reprezentacji przy pomocy
listy incydencji, pochłania czas proporcjonalny do n,
52 / 69
Zalety
testowanie istnienia pojedynczej krawędzi, w reprezentacji przy pomocy
listy incydencji, pochłania czas proporcjonalny do n,
listy incydencji umożliwiają śledzenie wszystkich połączeń wychodzących
z wierzchołka.
53 / 69
Lista incydencji
Macierz incydencji
Niech graf G będzie grafem skierowanym bez
pętli o wierzchołkach x1 , x2 , ..., xn i krawędziach
e1 , e2 , ..., em .
54 / 69
Lista incydencji
Macierz incydencji
e1 , e2 , ..., em .
Macierz incydencji A(G ) = [aij ]n×m dla
i = 1, ..., n, j = 1, ..., m określamy jako:


1
aij = −1


0
jeśli xi jest początkiem ej
jeśli xi jest końcem ej
55 / 69
Lista incydencji
Macierz incydencji
e1 , e2 , ..., em .


1
aij = −1


0
x2
e4
e2
e3
Macierz incydencji A(G ) = [aij ]n×m dla
i = 1, ..., n, j = 1, ..., m określamy jako:
e1
x1
e7
e6
e8
x5
e5
jeśli xi jest początkiem ej
jeśli xi jest końcem ej
A(G ) =
x1
x2
x3
x4
x5
 e1
1
 −1

 0

 0
0
e2
1
0
−1
0
0
e3
−1
0
1
0
0
x4
x3
e4
0
1
−1
0
0
e5
0
0
−1
1
0
e6
0
−1
0
1
0
e7
0
−1
0
1
0
e8
0
−1
0
1
0






56 / 69
Lista incydencji
Macierz sąsiedztwa
Macierz sąsiedztwa dla grafu skierowanego definiujemy identycznie jak dla
grafu nieskierowanego. Przypomnijmy więc, że
Definicja
(
aij =
57 / 69
Lista incydencji
Macierz sąsiedztwa
Macierz sąsiedztwa dla grafu skierowanego definiujemy identycznie jak dla
grafu nieskierowanego. Przypomnijmy więc, że
Definicja
(
aij =
58 / 69
Lista incydencji
Przykład
Analogicznie jak dla grafów nieskierowanych, kolejne potęgi macierzy
sąsiedztwa digrafu, odpowiadają macierzy zawierającej liczbę dróg pomiędzy
wierzchołkami.
Macierz sąsiedztwa dla grafu jest postaci


x
a
x4
3
0 0 0 1
 2 0 0 1 

b
A=
 0 0 0 0 
x2
c
d
0 0 1 0
x1
e
59 / 69
Lista incydencji
Przykład
wierzchołkami.


x
a
x4
3
0 0 0 1
 2 0 0 1 

b
A=
 0 0 0 0 
x2
c
d
0 0 1 0
x1
Wówczas

e
0
 0
2
A =
 0
0
0
0
0
0
1
1
0
0


0

2 
 A3 = 

0 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0


0

0 
 A4 = 

0 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0 

0 
0
60 / 69
Lista incydencji
Przykład
wierzchołkami.


x
a
x4
3
0 0 0 1
 2 0 0 1 

b
A=
 0 0 0 0 
x2
c
d
0 0 1 0
x1
e
Są 4 drogi długości 2:
2
a13
= 1 - droga ca
2
a23
= 1 - droga ba
2
a24
= 2 - dwie drogi dc i ec
Wówczas

0
 0
2
A =
 0
0
0
0
0
0
1
1
0
0


0
0
 0
2 
3
A = 
 0
0 
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0


0
0
 0
0 
4
A = 
 0
0 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0 

0 
0
61 / 69
Lista incydencji
Przykład
wierzchołkami.


x3
a
x4
0 0 0 1
 2 0 0 1 

b
A=
 0 0 0 0 
x
c
2
d
0 0 1 0
x1
e
Są 2 drogi długości 3:
3
a23
= 2 - dwie drogi dca i eca
Wówczas

0
 0
2

A =
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0


0
0

2 
 A3 =  0
 0
0 
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0


0
0

0 
 A4 =  0
 0
0 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0 

0 
0
62 / 69
Lista incydencji
Przykład
wierzchołkami.


x
a
x4
3
0 0 0 1
 2 0 0 1 

b
A=
 0 0 0 0 
x2
c
d
0 0 1 0
x1
Wówczas

e
0
 0
2
A =
 0
0
W grafie nie ma dróg długości 4 i więcej
0
0
0
0
1
1
0
0


0

2 
 A3 = 

0 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0


0

0 
 A4 = 

0 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0 

0 
0
63 / 69
Lista incydencji
Lista incydencji
Podobnie jak dla grafu nieskierowanego, listę incydencji dla digrafu budujemy
dla każdego z jego wierzchołków.
64 / 69
Lista incydencji
Lista incydencji
Podobnie jak dla grafu nieskierowanego, listę incydencji dla digrafu budujemy
dla każdego z jego wierzchołków.
Lista incydencji dla wierzchołka xi ∈ V , zawiera listę takich wierzchołków u,
że (xi , u) jest krawędzią w grafie.
65 / 69
Lista incydencji
z
e
d
f
a
x
u
c
b
y
66 / 69
Lista incydencji
z
e
d
u
f
c
b
a
y
x
x:
y:
z:
u:
y
z
x, u
x, y
67 / 69
Lista incydencji
z
e
d
u
f
c
b
a
y
x
x:
y:
z:
u:
y
z
x, u
x, y
W listach incydencji dla digrafów, każda krawędź pamiętana jest tylko raz.
68 / 69
Lista incydencji
Dziękuję za uwagę!!!
69 / 69

Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Transkrypt

Podobne dokumenty

Dr hab. Arkadiusz Gut (prof. KUL) Wydział filozofii (Kognitywistyka

Matematyka Dyskretna – Elektronika

Segmentacja grafów toyo-kanji drukowanego pisma

Zestaw zadań z podstawowych zasad zliczania i wstępu do teorii

Teoria grafów

4 x złoto dla Bogatyni - POWIATZGORZELECKI.iNFO

• gry: samotnik, godziny szczytu, zapałczanki, kostki happy cubes

Relacja z Międzynarodowego Turnieju FILA w zapasach styl