Zestaw zadań z podstawowych zasad zliczania i wstępu do teorii

Zestaw zadań z podstawowych zasad zliczania i wstępu do teorii grafów
1. Zasada włączania–wyłączania
Z. 1. Ile jest liczb naturalnych od 1 do 100 niepodzielnych ani przez 2, ani przez 3, ani 5 ?
Z. 2. Wśród 30 pracowników, z których każdy jest z matematyki (M), fizyki (F) lub biologii (B), z M jest 15,
z F – 12, tych, którzy nie pracują na B – 15, pracowników M, którzy nie pracują na F – 12, ludzi z B, którzy
nie są na F - 11, a zatrudnionych jednocześnie na B i M – 6. Ilu pracuje na wszystkich trzech wydziałach
jednocześnie ?
Z. 3. W grupie 80 osób każdy biega, pływa lub skacze. Biegaczy jest 50, 45 pływaków, 40 skoczków, 27 osób
zarówno pływa jak i biega, 10 trenuje wszystkie 3 dyscypliny, a 32 osób na pewno nie skacze, ale na pewno
biega.
a) Ile uprawia samo bieganie? A samo pływanie ?
b) Ilu ludzi biega lub pływa ?
c) Ilu tylko skacze ?
Z. 4. Na ile sposobów można rozdać n różnych nagród wśród 4 osób A, B, C, D tak, aby
(a) A dostała przynajmniej jedną nagrodę ?
(b) A lub B nie dostała nic ?
(c) Zarówno A jak i B dostała przynajmniej jedną nagrodę ?
(d) Przynajmniej jedna spośród A, B, C nic nie dostała ?
(e) Każda z czterech osób coś dostała ?
Z. 5. Ile jest rozdań w brydżu, przy których każdy gracz ma jakiegoś pika ? Poniżej znajduje się propozycja
rozwiązania. Czy rozwiązanie jest poprawne ? Jeśli nie – uzasadnij, na czym polega błąd i rozwiąż zadanie
poprawnie.
Rozwiązanie: Wybieramy 4 piki na 13
sposobów, dajemy je graczom na 4! sposobów, a pozostałe karty
4
rozdajemy po 12 dla każdego. Czyli rozdań jest
13
48!
.
· 4! ·
12!12!12!12!
4
2. Nieporządki
Z. 6. Wypisać wszystkie nieporządki dla n = 3 i n = 4. Ile ich jest ?
Z. 7. Roztargniona sekretarka napiała 20 listów do 20 różnych firm i odpowiednio zaadresowała 20 kopert,
po czym losowo włożyła listy do kopert (po jednym liście do każdej koperty). Ile jest możliwości, że żaden list
nie trafił do właściwej koperty?
Z. 8. Ile jest nieporządków „prawie totalnych” dla n = 4, tzn. takich rozłożeń, w których dokładnie jeden
element (nie wiemy jaki) pozostał na swoim miejscu ?
Ile jest nieporządków „prawie totalnych” dla n ?
Z. 9. Grupa s studentów zajmuje miejsca w s-osobowej auli, a w następnym tygodniu siada w tej samej auli
losowo. Ile jest możliwości tego, że przynajmniej jedna osoba usiadła na tym samym miejscu co poprzednio ?
Z. 10. W pewnej klasie jest 28 dzieci. Każde z nich ma w szatni swój wieszak, na którym zostawia swój worek,
idąc do domu. Do szatni wpadł rozrabiaka i pozrzucał wszystkie worki. Pani szatniarka pozawieszała worki
na wieszakach w sposób losowy. Ile jest możliwości tego, że dokładnie pięć worków wisi na swoim miejscu?
Z. 11. Niech Dn oznacza liczbę totalnych nieporządków dla n. Podać zależność rekurencyjną dla Dn .
3. Zasada szufladkowa
Z. 12. Uzasadnij, że wśród dowolnych 14 liczb naturalnych znajdziemy dwie, które przy dzieleniu przez 13
dają tę samą resztę.
2
Z. 13. Kabel długości 100cm tniemy dowolnie na 6 części. Zakładamy przy tym, że długości wyrażają się są
całkowitą liczbą centymetrów.
a) Uzasadnić, że zawsze któraś z części będzie miała przynajmniej 17 cm.
b) Czy zawsze musi powstać część dłuższa niż 17 cm ?
Z. 14. Pokaż, że wśród 10 punktów rzuconych na trójkąt równoboczny o boku 1 znajdziemy dwa w odległości
nie większej niż 1/3.
Z. 15. Pokazać, że wśród 21 studentów zdających egzamin zawsze znajdziemy sześciu, którzy otrzymali tę
samą ocenę. (Skala ocen: 2,3,4,5.)
Z. 16. Studenci zdają 3 egzaminy. Możliwe oceny to 3,4,5. Ilu musi być studentów, abyśmy mieli pewność, że
przynajmniej 10 studentów zaliczy egzaminy z takimi samymi „zestawami” ocen ? Proszę to zrobić w dwóch
wersjach: ważne jest/nie jest ważne z jakiego egzaminu pochodzą oceny.
Z. 17. Maszyna generuje ciągi binarne długości d w sposób, którego nie znamy. Ile ciągów trzeba wygenerować,
aby mieć pewność, że wśród nich będą przynajmniej trzy takie same ? Po znalezieniu odpowiedniej liczby
proszę uzasadnić, że mniejsza nie wystarcza.
Z. 18. Udowodnij przez zaprzeczenie, że w każdej szufladzie, w której jest 20 sztućców, znajdziemy 7 łyżek,
lub 10 noży, lub 5 widelców.
Z. 19. Znaleźć najmniejszą liczbę połączeń między 8 komputerami i 4 drukarkami, gwarantującą, że każda
czwórka komputerów będzie miała bezpośredni dostęp do czterech różnych drukarek (bez konfliktu dostępu).
4. Pojęcia wstępne z teorii grafów
We wszystkich zadaniach chodzi o grafy proste, tzn. bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Z. 20. Ile najmniej, a ile najwięcej krawędzi może mieć graf na zbiorze wierzchołków {1, . . . , n} ?
Ile jest grafów na zbiorze wierzchołków {1, . . . , n}, które mają dokładnie
a) 1 krawędź ?
b) 2 krawędzie ?
c) m krawędzi ?
Z. 21. Czy w każdej grupie witających się osób znajdziemy dwie, które przywitały się z tą samą liczbą ludzi ?
Przetłumacz problem na język grafów (i rozwiąż).
Z. 22. W pewnej grupie n osób każdy przywitał się z czterema osobami. Ile było powitań ?
Z. 23. Niech di oznacza liczbę osób, z którymi przywitała się i-ta osoba (i = 1, . . . , n) w pewnej n-osobowej
grupie.
a) Ile było powitań ?
b) Jak sformułować to zadanie w języku teorii grafów ?
Z. 24. W pewnej klasie było 31 uczniów. Część klasy wyjechała na wycieczkę. Każdy z uczestników wycieczki
wysłał kartkę do każdego do każdego z uczniów, którzy nie wyjechali. Ilu uczniów wyjechało na wycieczkę,
jeżeli wiadomo, że liczba wysłanych kartek jest największa z możliwych? Jak sformułować to zadanie w języku
teorii grafów ?
Z. 25. Czy istnieje 5-wierzchołkowy graf, w którym każdy wierzchołek ma stopień 3?
Z. 26. Są dwie sieci komputerowe, S1 i S2 . Każdy komputer z sieci S1 , liczącej 100 maszyn, jest połączony
z dokładnie 3 komputerami z S2 , a każdy z sieci S2 jest połączony z dokładnie 6 komputerami z S1 . Czy
wiadomo, ile komputerów jest w sieci S2 ?
Z. 27. Z grafu o czterech wierzchołkach, w którym każda para wierzchołków jest połączona krawędzią,
usunięto dwie krawędzie: a) o wspólnym końcu, b) rozłączne. Dla tak powstałych dwóch grafów wyznacz
a) macierz sąsiedztwa A,
b) macierz incydencji M ,
c) listę sąsiadów.
4. POJĘCIA WSTĘPNE Z TEORII GRAFÓW
3
Z. 28.
G0
F0
Dla grafów z rysunku podać stopień każdego wierzchołka, minimalny i maksymalny stopień grafu, wskazać
podgrafy indukowane przez wierzchołki stopnia 2. Napisać macierze sąsiedztwa i incydencji podanych grafów.
Z. 29. Z grafów z powyższego zadania utworzyć digrafy, wprowadzając dowolnie orientację krawędzi, a
następnie napisać macierze incydencji otrzymanych digrafów.
Z. 30. Podać przykład digrafu o 10 węzłach, 17 łukach i maksymalnym stopniu wejściowym 5.