Regionalne Koło Matematyczne
Transkrypt
Regionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 6 (12-16.11.2009) Omówienie zadań II serii zawodów I stopnia LXI OM Rozwiązania zadań II serii zawodów I stopnia LXI Olimpiady Matematycznej znajdują się na stronie http://www.om.edu.pl/zadania/om/. 1. Dane są półpłaszczyzny P1 i P2 o wspólnej krawędzi k. Niech P będzie półpłaszczyzną dwusieczną kąta dwuściennego utworzonego przez P1 i P2 . Wówczas (a) każdy punkt półpłaszczyzny P jest jednakowo odległy od płaszczyzn zawierających P1 i P2 , (b) płaszczyzna zawierająca P jest płaszczyzną symetrii między P1 i P2 . Dowody tez zawartych w zadaniu 1 są identyczne jak w przypadku kąta i jego dwusiecznej na płaszczyźnie. 2. Płaszczyzna przechodząca przez środek sfery (kuli) jest płaszczyzną symetrii sfery (kuli). Rozwiązanie jest równie proste jak w przypadku okręgu na płaszczyźnie. 3. (Twierdzenie sinusów) W dowolnym trójkącie o kątach α, β, γ i bokach długości odpowiednio a, b, c zachodzą równości a b c = = = 2R, sin α sin β sin γ gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie. γ a b β α c 1 Zadanie to jest klasycznym szkolnym zadaniem, więc pomijamy jego rozwiązanie. Podobnie jest z kolejnym zadaniem. 4. W dowolnym trójkącie o bokach długości a, b, c pole tego trójkąta wyraża się wzorem 1 P△ = (a + b + c)r, 2 gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt. 5. (Zad. 5. z II serii) Dany jest czworościan ABCD, którego ściany są trójkątami ostrokątnymi. Na prostej l leży środek sfery wpisanej oraz środek sfery opisanej na czworościanie. Udowodnić, że jeśli prosta l przecina odcinek AB, to |∠ACB| = |∠ADB|. Rozwiązanie. Na płaszczyźnie wyznaczonej przez prostą l i krawędź AB (oznaczmy ją przez P) leżą środek sfery opisanej na czworościanie ABCD oraz środek sfery wpisanej w czworościan. Zatem płaszczyzna P zawiera płaszczyznę dwusieczną kąta dwuściennego czworościanu o krawędzi AB. Zatem płaszczyzny ABC i ABD są symetryczne względem płaszczyzny P. Płaszczyzna P jest płaszczyzną symetrii sfery opisanej na czworościanie ABCD. Częścią wspólną płaszczyzny ABC i sfery opisanej na ABCD jest okrąg opisany na ścianie ABC. Zatem okręgi opisane na ścianach ABC i ABD są symetryczne względem płaszczyzny P, a więc mają równe promienie. Ponieważ okręgi te mają wspólną cięciwę AB, to kąty ACB i ADB, jako wpisane w te okręgi, oparte są na równych cięciwach i ostre są równe. Stwierdzenie to kończy rozwiązanie zadania. Czytelnik może znaleźć inne rozwiązanie na stronie internetowej Olimpiady Matematycznej. 6. Mówimy, że liczby całkowite a, b przystają modulo m, gdzie m jest liczbą naturalną, jeśli różnica a − b jest podzielna przez m, i piszemy a ≡ b (mod m). Relację ≡ nazywamy kongruencją. Relacja ≡ ma następujące własności: (a) a ≡ a (mod m), (b) a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m), (c) (a ≡ b (mod m) ∧ b ≡ c (mod m)) ⇒ a ≡ c (mod m), (d) jeżeli a ≡ b (mod m) i c ≡ d (mod m), to a + c ≡ b + d (mod m) a − c ≡ b − d (mod m) a · c ≡ b · d (mod m) an ≡ bn (mod m), gdzie a, b, c, d są dowolnymi liczbami całkowitymi, n jest dowolną liczbą naturalną i m jest ustaloną liczbą naturalną. 2 Problemy opisane w powyższym zadaniu zostały rozwiązane na zajęciach RKM poświęconych kongruencjom. 7. (Zad. 6. z II serii) Dana jest liczba pierwsza p 6= 5 oraz takie liczby całkowite a, b, c, że p jest dzielnikiem obu liczb a + b + c i a5 + b5 + c5 . Wykazać, że co najmniej jedna z liczb a2 + b2 + c2 i a3 + b3 + c3 jest podzielna przez p. Rozwiązanie. Skoro p | a + b + c, to a + b + c ≡ 0 (mod p). Zatem c ≡ −(a + b) (mod p). Ponieważ p | a5 + b5 + c5 , to także a5 + b5 + c5 ≡ 0 (mod p). Czytelnik sprawdzi, że (∗) 2(a5 + b5 − (a + b)5 ) = −5ab(a + b)(a2 + b2 + (a + b)2 ). Skoro a5 + b5 + c5 ≡ 0 (mod p), to 2(a5 + b5 + (−(a + b))5 ) ≡ 0 (mod p). Zatem 2(a5 + b5 − (a + b)5 ) ≡ 0 (mod p). Z równości (∗) i ostatniej relacji otrzymujemy −5ab(a + b)(a2 + b2 + (a + b)2 ) ≡ 0 (mod p). Ponieważ a + b ≡ −c (mod p), więc mamy 5abc(a2 + b2 + c2 ) ≡ 0 (mod p). Jeżeli p dzieli a2 + b2 + c2 , to teza zadania jest spełniona, gdyby p nie dzieliło a2 + b2 + c2 , to p dzieli iloczyn 5abc. Liczba pierwsza p jest różna od 5, więc p dzieli iloczyn abc, zatem p dzieli jedną z tych liczb. Niech p dzieli liczbę c. Ponieważ p dzieli a + b + c i p dzieli c, to p dzieli sumę a + b. Wtedy c3 i a + b są podzielne przez p. Natomiast suma a3 + b3 + c3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) + c3 jest podzielna przez p jako suma dwóch liczb podzielnych przez p. Czytelnika zainteresowanego innym rozwiązaniem zadania 7 i rozwiązaniami pozostałych zadań drugiej serii odsyłamy do strony internetowej Olimpiady Matematycznej lub opracowania grupy zaawansowanej. 3