MATEMATYKA DYSKRETNA - wprowadzenie(2003 rozszerzone).
Transkrypt
MATEMATYKA DYSKRETNA - wprowadzenie(2003 rozszerzone).
Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 1 MATEMATYKA DYSKRETNA doc. dr hab. inż. Marek Libura Instytut Badań Systemowych PAN 01-447 Warszawa, Newelska 6, pok. 324 [email protected] tel.(48)(22)8373578 w.193 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 2 NOTACJA Dla dowolnego zdania Q 1 Q = 0 jeśli zdanie Q jest prawdziwe, jeśli zdanie Q jest fałszywe. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Funktory zdaniotwórcze: ∨ – lub ∧ – i ¬ – nie ⇒ – jeśli . . . , to . . . (implikacja), ⇔ – wtedy i tylko wtedy, gdy (równoważność). (alternatywa, suma logiczna) (koniunkcja, iloczyn logiczny) (negacja) 3 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Rachunek zdań p, q – zdania 4 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 5 FUNKCJE podłoga i sufit Dla dowolnej liczby rzeczywistej x: x = max{y ∈ : y x}, – podłoga x x = min{y ∈ : y x}. – sufit x Dla x, y ∈ , y = 0, symbol x mod y oznacza resztę z dzielenia x przez y: x mod y = x − y · x/y. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Zbiory: = {0, 1, 2, . . .} – zbiór liczb naturalnych = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} – zbiór liczb całkowitych = {0, 1} – zbiór liczb rzeczywistych – zbiór liczb zespolonych 6 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 7 Dla dowolnego zbioru A, zapis x ∈ A oznacza, że x jest elementem tego zbioru. Dla zbiorów A, B, zapis A ⊆ B oznacza, że A jest podzbiorem zbioru B. Zapis A ⊂ B oznacza, że A jest podzbiorem właściwym zbioru B, tzn. A⊂B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B \ A = ∅). Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 8 Zbiory: ∅ – zbiór pusty {a} – zbiór jednoelementowy, zawierający tylko element a {a1, a2, . . . , an} – zbiór, którego elementami są a1, a2, . . . , an {x ∈ X : W (x)} – zbiór tych elementów zbioru X, dla których funkcja zdaniowa W (x), x ∈ X, staje się zdaniem prawdziwym Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA |X| P(X) – liczność (moc) zbioru skończonego X – rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X Operacje na zbiorach: ∪ – suma (mnogościowa) zbiorów ∩ – przecięcie zbiorów \ – różnica zbiorów ⊗ – różnica symetryczna zbiorów × – iloczyn kartezjański zbiorów 9 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Diagramy Venna 10 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Dla a, b ∈ E, gdzie E jest dowolnym zbiorem, symbol (a, b) oznacza parę uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b. Iloczyn kartezjański zbiorów A i B A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. 11 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 12 RELACJE BINARNE Definicja Relacją binarną w iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy dowolny podzbiór zbioru A × B. W przypadku, gdy oba zbiory są identyczne, tzn. A = X oraz B = X, mówimy o relacji binarnej w zbiorze X. Jeśli R ⊆ A×B jest relacją binarną w iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B, to dla zaznaczenia faktu, że para (a, b) jest elementem relacji R piszemy: (a, b) ∈ R albo aRb Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 13 Zbiór wszystkich poprzedników par należących do relacji R nazywamy dziedziną relacji R. Zbiór wszystkich następników par należących do relacji R nazywamy przeciwdziedziną relacji R. W iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B możemy zdefiniować co najwyżej 2m·n różnych relacji binarnych, gdzie m = |A| oraz n = |B|, bowiem dokładnie tyle elementów liczy rodzina wszystkich podzbiorów zbioru A × B. R=∅ – relacja pusta w A × B R =A×B – relacja pełna w A × B Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA GRAF RELACJI A = {1, 2, 3, 4}, B = {{1, 2}, {1, 4}} R ⊆ A × B – relacja przynależności do zbioru w A × B R = {(1, {1, 2}), (1, {1, 4}), (2, {1, 2}), (4, {1, 4})} Dziedzina relacji R: {1, 2, 4} Przeciwdziedzina relacji R: {{1, 2}, {1, 4}} 14 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA TABLICA RELACJI A = {1, 2, 3, 4}, B = {{1, 2}, {1, 4}} R ⊆ A × B – relacja przynależności do zbioru w A × B R = {(1, {1, 2}), (1, {1, 4}), (2, {1, 2}), (4, {1, 4})} Dziedzina relacji R: {1, 2, 4} Przeciwdziedzina relacji R: {{1, 2}, {1, 4}} 15 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA R⊆X ×X 16 – relacja w zbiorze X O relacji R mówimy, że jest: zwrotna – jeśli xRx dla każdego x ∈ X przechodnia – jeśli (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz dla dowolnych x, y, z ∈ X symetryczna – jeśli xRy ⇒ yRx dla dowolnych x, y ∈ X antysymetryczna – jeśli (xRy∧yRx) ⇒ x = y dla dowolnych x, y ∈ X Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 17 Definicja Relacją równoważności w zbiorze X nazywamy relację, która jest zwrotna, przechodnia i symetryczna. Relacja równoważności R w zbiorze X dzieli ten zbiór na podzbiory, nazywane klasami równoważności (albo – klasami abstrakcji) relacji R w zbiorze X. Dla x ∈ X definiujemy zbiór oznaczany symbolem x/R, gdzie x/R = {y ∈ X : xRy}. Zbiór taki nazywamy klasą abstrakcji relacji R wyznaczoną przez element x. Zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji R w zbiorze X oznaczamy symbolem X/R. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 18 Przykład Rozważmy relację oznaczoną symbolem , zdefiniowaną w zbiorze + = {x ∈ : x 0} w sposób następujący: x y wtedy i tylko wtedy, gdy x − y ∈ . Relacja jest symetryczna, zwrotna i przechodnia, a zatem jest relacją równoważności. Klasą abstrakcji tej relacji, wyznaczoną przez element x ∈ + , jest zbiór liczb rzeczywistych, które mają tę samą część ułamkową co x. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 19 Definicja Relacją częściowego porządku w zbiorze X nazywamy relację, która jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna. Parę uporządkowaną (X, ), gdzie X jest dowolnym zbiorem, a jest relacją częściowego porządku w X, nazywamy zbiorem (częściowo) uporządkowanym. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 20 Przykład Rozważmy relację podzielności, oznaczaną symbolem | , którą definiujemy w zbiorze liczb naturalnych w sposób następujący: a | b dla a, b ∈ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k ∈ , dla którego b = k · a. Relacja podzielności w jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, a zatem jest relacją częściowego porządku. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 21 FUNKCJE Definicja Funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywamy dowolną relację f ⊆ X × Y , mającą tę właściwość, że dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden element y ∈ Y , taki że (x, y) ∈ f . Dziedziną relacji f ⊆ X × Y , będącej funkcją, jest więc cały zbiór X. Ponieważ dla danego elementu x, należącego do dziedziny funkcji f , istnieje dokładnie jedna para (x, y) ∈ f , zwykle piszemy y = f (x) na oznaczenie faktu, że (x, y) ∈ f . Taki element y ∈ Y nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x. Dla zaznaczenia, że relacja f ⊆ X × Y jest funkcją, stosujemy zapis: f :X→Y Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 22 Zbiór wszystkich funkcji f : X → Y oznaczamy symbolem F un(X, Y ). Dla dowolnego zbioru A ⊆ X oraz funkcji f ∈ F un(X, Y ), zbiór f (A) ⊆ Y , gdzie f (A) = {y ∈ Y : istnieje x ∈ A, taki że y = f (x)}, nazywamy obrazem zbioru A przez funkcję f . Dla podzbioru B ⊆ Y , zbiór f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} nazywamy przeciwobrazem zbioru B przez funkcję f . Rodzinę przeciwobrazów wszystkich jednoelementowych podzbiorów zbioru Y , to znaczy rodzinę N (f ) = {f −1 ({y}), y ∈ Y }, nazywamy jądrem funkcji f . Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 23 SURJEKCJE Jeśli dla funkcji f ∈ F un(X, Y ) zachodzi warunek f (X) = Y , to mówimy, że jest to funkcja ze zbioru X na zbiór Y . Funkcja o tej własności nazywana jest też surjekcją. Podzbiór wszystkich surjekcji w zbiorze F un(X, Y ) oznaczamy symbolem Sur(X, Y ). Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 24 INJEKCJE Jeśli f ∈ F un(X, Y ) oraz dla dowolnych elementów a, b ∈ X zachodzi warunek a = b ⇒ f (a) = f (b), to funkcję f nazywamy funkcją różnowartościową lub injekcją. Podzbiór wszystkich injekcji w zbiorze F un(X, Y ) oznaczamy symbolem Inj(X, Y ). Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA BIJEKCJE Funkcja, która jest jednocześnie surjekcją i injekcją, jest nazywana bijekcją. Podzbiór wszystkich bijekcji w zbiorze F un(X, Y ) oznaczamy symbolem Bij(X, Y ). 25 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 26 CIĄGI Funkcję f ∈ F un(X, Y ), której dziedziną jest k-elementowy zbiór liczb naturalnych X = {0, 1, 2, . . . , k − 1} (albo X = {1, 2, . . . , k}), nazywamy k-elementowym ciągiem o wyrazach ze zbioru Y i oznaczamy symbolem (a0, a1, . . . , ak−1) (albo (a1, . . . , ak )). Jeśli dla dowolnych dwóch różnych argumentów, wartości tej funkcji są różne, to wówczas mówimy o ciągu różnowartościowym. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 27 ZAGADNIENIA ZLICZANIA ¯ Na ile sposobów można przydzielić n programów do m procesorów? ¯ Ile nazw plików można utworzyć przy zadanym alfabecie i zadanych ograniczeniach na długość nazwy? ¯ Na ile sposobów można rozmieścić n obiektów w m pudełkach, jeśli istotna jest kolejność obiektów? ¯ Na ile sposobów można skonstruować system wieloprocesorowy typu hypercube mając do dyspozycji zadany zestaw procesorów? ¯ Ile jest różnych łańcuchów DNA, zawierających dane liczby nukleotydów C, G, T, A ? Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 28 ZLICZANIE FUNKCJI Dane są zbiory skończone X, Y Ile elementów ma zbiór F un(X, Y ) ? Twierdzenie Jeśli |X| = n oraz |Y | = m, to liczba wszystkich funkcji f : X → Y jest równa mn. |F un(X, Y )| = |Y ||X| = mn Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 29 X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4} X × Y = (x1, y1), (x1, y2), (x1, y3), (x1, y4), (x2, y1), (x2, y2), (x2, y3), (x2, y4), (x3, y1), (x3, y2), (x3, y3), (x3, y4) Przykład funkcji w X × Y : f = (x1, y3), (x2, y1), (x3, y1), Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 30 Ile elementów ma zbiór Inj(X, Y ) ? Twierdzenie Jeśli |X| = n oraz |Y | = m, to liczba wszystkich funkcji różnowartościowych f : X → Y jest równa m · (m − 1) · . . . · (m − n + 1). Oznaczenie (n-ta potęga ubywająca liczby m): Dla m, n ∈ , 0 < n m, mn = m · (m − 1) · . . . · (m − n + 1) Dla m < n, mn = 0 Dla m ∈ przyjmujemy, że m0 = 1 |Inj(X, Y )| = mn Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 31 Ile elementów ma zbiór Bij(X, Y ) ? Wniosek Jeśli |X| = |Y | = n, to liczba wszystkich bijekcji w zbiorze F un(X, Y ) jest równa nn = n · (n − 1) · . . . · 1 Oznaczenie (n silnia) Dla 0 < n ∈ n! = nn = n · (n − 1) · . . . · 1 0! = 00 = 1 |Bij(X, Y )| = n! Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 32 Permutacje Definicja Permutacją zbioru X nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f ∈ F un(X, X). Wniosek Liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa n!. Dla n ∈ , n>0 √ n n n! ≈ 2πn , e gdzie e jest podstawą logarytmów naturalnych, e ≈ 2, 7182 . . . . Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Rozmieszczenia uporządkowane Dane: n obiektów, m pudełek Wszystkie rozmieszczenia uporządkowane obiektów ze zbioru {a, b} w trzech pudełkach. 33 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Oznaczenie ( n-ta potęga przyrastająca liczby m ) Dla m, n ∈ , n > 0: mn = m · (m + 1) · . . . · (m + n − 1). Dla m ∈ przyjmiemy, że m0 = 1. Twierdzenie Liczba wszystkich rozmieszczeń uporządkowanych n obiektów w m pudełkach jest równa mn. 34 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 35 Twierdzenie Dla m, n ∈ , dla których wyrażenia poniższe są dobrze określone, zachodzą następujące tożsamości: 1n = n! (1) mn = (m + n − 1)n (2) mn = mn−1 · (m − n + 1) (3) mn = (m − 1)n−1 · m n! n m−n m = m · (m − n)! m n n m = (m − 1) · m−n m! n m = (m − n)! (4) (5) (6) (7) Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 36 PERMUTACJE Permutacją zbioru X nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : X → X. Zapis permutacji f w postaci tablicy: – w górnym wierszu umieszczamy elementy zbioru X, – pod nimi w dolnym wierszu – odpowiednie wartości funkcji f dla tych argumentów. Przykład X = {a, b, c, d} f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b. Zapis permutacji f w postaci tablicy jest następujący: a b c d . f= d a c b Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 37 Jeśli X = {1, . . . , n}, to permutacje zbioru X są ciągami różnowartościowymi o wyrazach ze zbioru X. Permutację f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} identyfikujemy z wektorem (a1, . . . , an), gdzie ai = f (i), i = 1, . . . , n. Oznaczenie Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, . . . , n} oznaczamy symbolem Sn. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 38 Składanie permutacji Wynikiem złożenia dwóch permutacji f i g ze zbioru Sn jest również permutacja należąca do tego zbioru, którą oznaczamy symbolem f g. Zgodnie z zasadą składania funkcji mamy: f g(i) = f (g(i)) dla i = 1, . . . , n Permutację f nazywamy permutacją zewnętrzną, natomiast permutację g – permutacją wewnętrzną. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 39 Przy składaniu permutacji istotna jest ich kolejność. W ogólnym przypadku permutacja f g jest różna od permutacji gf . Przykład Rozważmy dwie permutacje f oraz g zbioru {1, . . . , n}, gdzie 1 2 3 4 5 f= , 5 3 2 1 4 1 2 3 4 5 g= . 2 5 3 1 4 Złożeniem permutacji f i g jest następująca permutacja f g: 1 2 3 4 5 fg = . 3 4 2 5 1 Natomiast złożeniem permutacji g i f jest permutacja gf : 1 2 3 4 5 gf = . 4 3 5 2 1 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 40 Permutacja identycznościowa e ∈ Sn e(i) = i dla i = 1, . . . , n 1 2 . . . n e= 1 2 ... n Dla każdego f ∈ Sn mamy zależności ef = f e = f Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 41 Permutacja odwrotna Permutacją odwrotną do permutacji f ∈ Sn nazywamy permutację f −1 ∈ Sn, spełniającą warunek f −1f = e. Dla każdej permutacji f ∈ Sn permutacja odwrotna istnieje i jeśli . . . i . . . , f = ... j ... to . . . j . . . . f −1 = ... i ... Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Działanie dwuargumentowe (operacja binarna) S, T – zbiory Definicja Działaniem dwuargumentowym w zbiorze S nazywamy dowolną funkcję ze zbioru S × S w zbiór T . Zwykle dla oznaczenia działania dwuargumentowego stosujemy specjalny symbol (na przykład ∗, +, − itp.). Na oznaczenie faktu, że element c ∈ T jest wartością funkcji ∗ dla argumentu, będącego parą uporządkowaną (a, b) ∈ S × S, piszemy a ∗ b = c. W przypadku złożenia permutacji symbol działania jest zwykle pomijany dla uproszczenia zapisu. 42 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Grupa Definicja Parę uporządkowaną (S, ∗), gdzie S jest zbiorem, a ∗ jest działaniem dwuargumentowym w S, nazywamy grupą, jeśli: ¯ dla dowolnych a, b ∈ S, a ∗ b ∈ S; ¯ dla dowolnych a, b, c ∈ S, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c); ¯ istnieje taki element e ∈ S, że dla każdego a ∈ S, a ∗ e = a; ¯ dla każdego a ∈ S istnieje taki element a−1 ∈ S, dla którego a ∗ a−1 = e. 43 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Liczność zbioru S nazywamy rzędem grupy (S, ∗). Element e w definicji grupy nazywamy elementem neutralnym grupy. Element a−1, dla którego a ∗ a−1 = e, nazywamy elementem odwrotnym dla elementu a. Jeśli rząd grupy spełnia warunek |S| < ∞, to grupę taką nazywamy grupą skończoną. 44 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Grupa symetryczna stopnia n Zbiór permutacji Sn z działaniem złożenia spełnia wszystkie warunki definicji grupy; grupa ta jest nazywana grupą symetryczną stopnia n. ¯ Wynikiem złożenia permutacji f, g ∈ Sn jest permutacja f g ∈ Sn. ¯ Dla dowolnych permutacji f, g, h ∈ Sn mamy (f g)h = f (gh). ¯ Elementem neutralnym grupy Sn jest permutacja e. ¯ Elementem odwrotnym dla elementu f ∈ Sn jest permutacja odwrotna f −1 ∈ Sn. 45 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 46 Grupa permutacji stopnia n Definicja Grupą permutacji stopnia n nazywamy dowolny podzbiór G ⊆ Sn, spełniający następujące warunki: ¯ f ∈ G ∧ g ∈ G ⇒ fg ∈ G ¯ f ∈ G ⇒ f −1 ∈ G dla wszystkich f, g ∈ G; dla każdego f ∈ G. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 47 Przykład Rozważmy zbiór S4 = {π1, . . . , π24}, składający się ze wszystkich permutacji zbioru {1, 2, 3, 4}. Niech G = {π1, π2, π3, π4} będzie podzbiorem zbioru S4, przy czym 1 2 3 4 , π1 = 1 2 3 4 1 2 3 4 , π3 = 1 2 4 3 1 2 3 4 , π2 = 2 1 3 4 1 2 3 4 . π4 = 2 1 4 3 Zbiór G z działaniem złożenia jest grupą permutacji stopnia 4. Rząd tej grupy jest równy 4. Elementem neutralnym jest permutacja π1. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 48 Rozkład permutacji na cykle rozłączne Przykład 1 2 3 4 5 f= 5 3 2 1 4 Rysunek grafu permutacji f : Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA (ai1 , . . . , aik ) – ciąg różnowartościowy o wyrazach w zbiorze {1, . . . , n} Definicja Permutację π ∈ Sn nazywamy cyklem wyznaczonym przez ciąg (ai1 , . . . , aik ), jeśli: π(aij ) = aij+1 dla j = 1, . . . , k − 1; π(aik ) = ai1 ; π(al ) = al dla l = i1, . . . , ik . Cykl wyznaczony przez ciąg (ai1 , . . . , aik ), oznaczamy symbolem [ai1 , . . . , aik ]. Liczbę k nazywamy długością cyklu. 49 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 50 Rysunek grafu permutacji π ∈ Sn, będącej cyklem wyznaczonym przez ciąg (ai1 , . . . , aik ): Cykle wyznaczone przez ciągi (ai1 , . . . , aik ) oraz (ai1 , . . . , ail ) nazywamy cyklami rozłącznymi, jeśli {ai1 , . . . , aik } ∩ {ai1 , . . . , ail } = ∅ Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 51 Definicja Rozkładem permutacji f ∈ Sn na cykle rozłączne nazywamy zbiór cykli parami rozłącznych, których złożeniem jest permutacja f . Rozkład permutacji na cykle rozłączne jest wyznaczony jednoznacznie. Dla permutacji f ze zbioru Sn jej rozkład na cykle rozłączne zawiera od jednego do n elementów. Z pierwszą sytuacją mamy do czynienia w przypadku permutacji, która sama jest cyklem o długości n, natomiast druga dotyczy permutacji identycznościowej. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 52 Przykład 1 2 3 4 5 f= 5 3 2 1 4 1 2 3 4 5 = [1, 5, 4], f = 5 2 3 1 4 1 2 3 4 5 = [2, 3] f = 1 3 2 4 5 f = f f = f f = [1, 5, 4][2, 3] = [2, 3][1, 5, 4] Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 53 Typ permutacji Mówimy, że permutacja f ∈ Sn jest typu (λ1, . . . , λn), jeśli jej rozkład na cykle rozłączne zawiera dokładnie λi cykli o długości i dla i = 1, . . . , n. Typ permutacji będziemy również podawać w postaci następującego równoważnego zapisu: 1λ1 2λ2 . . . nλn . Często dla uproszczenia będziemy pomijać w takim zapisie elementy, dla których λi = 0. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 54 Przykład Rozważmy permutację f ∈ S9, gdzie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . f= 7 5 1 4 2 3 6 9 8 Rozkład tej permutacji na cykle rozłączne ma postać: f = [1, 7, 6, 3][2, 5][4][8, 9]. Permutacja f jest więc typu (1, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0), co możemy również zapisać w postaci 1 1 22 41 . Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 55 Inwersje permutacji Definicja Inwersją permutacji f = (a1, . . . , an) ∈ Sn nazywamy parę (ai, aj ), dla której i < j n oraz ai > aj . Liczbę wszystkich inwersji permutacji f oznaczamy symbolem I(f ). Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 56 Znak permutacji Definicja Znakiem permutacji f ∈ Sn nazywamy liczbę sgn(f ) = (−1)I(f ). Permutację f nazywamy: permutacją parzystą, jeśli sgn(f ) = 1, permutacją nieparzystą, jeśli sgn(f ) = −1. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 57 Przykład Rozważmy permutację f ∈ S5, gdzie 1 2 3 4 5 . f= 5 3 2 1 4 Inwersjami tej permutacji są następujące pary: (5, 3), (5, 2), (5, 1), (5, 4), (3, 2), (3, 1), (2, 1). Zatem I(f ) = 7 oraz sgn(f ) = (−1)7 = −1. Permutacja f jest więc permutacją nieparzystą. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 58 Transpozycje Definicja Transpozycją nazywamy permutację, która jest cyklem o długości 2. Permutacją odwrotną do dowolnej transpozycji jest ta sama permutacja. Jeśli permutacja t ∈ Sn jest transpozycją o postaci [i, i + 1] dla pewnego i ∈ {1, . . . , n−1}, to taką permutację nazywamy transpozycją sąsiednich elementów. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 59 Twierdzenie Dowolną permutację f ∈ Sn można przedstawić w postaci złożenia I(f ) transpozycji sąsiednich elementów. Jeśli f = (a1, . . . , an) ∈ Sn oraz t = [i, i + 1] dla pewnego i = 1, . . . , n − 1, to f t = (a1, . . . , ai−1, ai+1, ai, ai+2, . . . , an) Przykład f = (2, 4, 3, 5, 1) ∈ S5, I(f ) = 5 f [4, 5][3, 4][2, 3][1, 2][3, 4] = e f = (2, 4, 3, 5, 1) = ([4, 5][3, 4][2, 3][1, 2][3, 4])−1 = [3, 4][1, 2][2, 3][3, 4][4, 5] Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA M. Rejewski – An application ot the theory of permutations in breaking the Enigma cipher. Applicationes Mathematicae, (1980) nr 4. 60 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 61 Dla f ∈ Sn i dowolnej transpozycji sąsiednich elementów t ∈ Sn mamy sgn(f t) = −sgn(f ). sgn(f g) = sgn(f t1 . . . tI(g)) = sgn(f ) · (−1)I(g) = sgn(f ) · sgn(g). Twierdzenie Dla dowolnych permutacji f, g ∈ Sn, sgn(f g) = sgn(f ) · sgn(g). Wniosek Dla dowolnej permutacji f ∈ Sn, sgn(f −1) = sgn(f ). Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 62 Twierdzenie Każda transpozycja jest permutacją nieparzystą. Twierdzenie Znak cyklu o długości k jest równy (−1)k−1. [a1, . . . , ak ] = [a1, a2][a2, a3] . . . [ak−1, ak ]. Twierdzenie Znak dowolnej permutacji f typu 1λ1 . . . nλn wyraża się wzorem sgn(f ) = (−1) n/2 j=1 λ2j . Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Przykład 63 Rozważmy permutację 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . f= 7 5 1 4 2 3 6 9 8 Rozkładając f na cykle rozłączne otrzymujemy: f = [1 7 6 3][2 5 ][4][8 9]. Permutacja f jest więc typu 11 22 41 . Z twierdzenia o znaku mamy: sgn(f ) = (−1) 4 λ j=1 2j = (−1)λ2+λ4+λ6+λ8 = (−1)2+1 = −1. Permutacja f jest zatem permutacją nieparzystą. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 64 PODZBIORY ZBIORÓW SKOŃCZONYCH X = {x1, . . . , xn} P(X) – rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X Ile jest wszystkich podzbiorów zbioru X? |P(X)| = 2|X| Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 65 Wektory charakterystyczne podzbiorów Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między elementami zbioru P(X) dla |X| = n a elementami zbioru n. Każdemu podzbiorowi Y ⊆ X = {x1, . . . , xn} odpowiada jednoznacznie wektor ξ(Y ) = (b1, . . . , bn) ∈ n nazywany wektorem charakterystycznym zbioru Y , gdzie bi = xi ∈ Y dla i = 1, . . . , n. Podobnie, wektorowi b = (b1, . . . , bn) ∈ n możemy jednoznacznie przyporządkować podzbiór Y zbioru X = {x1, . . . , xn}, biorąc Y = {xi ∈ X : bi = 1, i = 1, . . . , n}. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 66 Generowanie wszystkich podzbiorów zbioru X Wektory charakterystyczne ξ(Y ) ∈ n dla Y ⊆ X, można traktować jako zapisy w dwójkowym systemie pozycyjnym wszystkich 2n liczb naturalnych z przedziału domkniętego [0, 2n − 1]. Metoda wyznaczenia elementów rodziny P(X): Wypisz kolejno podzbiory zbioru X, których wektory charakterystyczne są reprezentacjami dwójkowymi kolejnych liczb naturalnych z przedziału [0, 2|X| − 1]. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Przykład 67 Dany jest zbiór X = {a, b, c} W kolejnych wierszach tabeli wypisane są: podzbiór Y zbioru X, jego wektor charakterystyczny ξ(Y ) i liczba naturalna η(Y ), dla której ten wektor jest reprezentacją w systemie dwójkowym. Y ∅ {c} {b} {b, c} {a} {a, c} {a, b} {a, b, c} ξ(Y ) η(Y ) (0, 0, 0) 0 (0, 0, 1) 1 (0, 1, 0) 2 (0, 1, 1) 3 (1, 0, 0) 4 (1, 0, 1) 5 (1, 1, 0) 6 (1, 1, 1) 7 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA ( ∅, {c}, {b}, {b, c}, {a}, {a, c}, {a, b}, {a, b, c} ) 68 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA ( ∅, {a}, {a, b}, {b}, {b, c}, {a, b, c}, {a, c}, {c} ) 69 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 70 Kod Graya rzędu n: Ciąg wszystkich wektorów należących do zbioru n , uporządkowanych w taki sposób, aby sąsiednie wektory ciągu oraz wektory pierwszy i ostatni różniły się dokładnie na jednej pozycji. Taki ciąg wektorów ze zbioru n istnieje dla dowolnego n 1 i nosi nazwę kodu Graya rzędu n. Na przykład w przypadku n = 3 jeden z możliwych kodów Graya rzędu 3 ma postać następującego ciągu: ( (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1) ) Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 71 Zwierciadlany kod Graya Jeśli mamy kod Graya rzędu k dla pewnego k ∈ , k 1, zapisany w postaci ciągu: ( (C1), (C2), . . . , (Cm−1), (Cm) ), gdzie m = 2k , (Ci) ∈ k , to następujący ciąg wektorów należących do k+1 jest kodem Graya rzędu k + 1: ( (C1, 0), (C2, 0), . . . , (Cm−1, 0), (Cm, 0), (Cm, 1), (Cm−1, 1), . . . , (C2, 1), (C1, 1) ). Zapisy (Ci, 0) oraz (Ci, 1) oznaczają dla k-elementowego wektora (Ci), gdzie i = 1, . . . , m, odpowiednio (k + 1)-elementowe wektory, otrzymywane przez uzupełnienie wektora (Ci) przez zero albo jedynkę na ostatniej pozycji. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 72 Przykład Kody Graya rzędu n dla n = 1, 2, 3, 4 (dla uproszczenia zapisu pominięte są nawiasy i przecinki w oznaczeniach wektorów): n=1 n=2 n=3 n=4 0 1 00 10 11 01 000 100 110 010 011 111 0000 1000 1100 0100 0110 0011 1011 1111 0111 0101 101 001 1110 1010 1101 1001 0010 0001 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 73 Podzbiory k-elementowe zbiorów skończonych X = {x1, . . . , xn} – zbiór, k – liczba naturalna Ile jest wszystkich różnych podzbiorów zbioru X, mających dokładnie k elementów? Liczbę k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem n k i nazywać współczynnikiem dwumianowym. Symbol n w tym zapisie nazywamy indeksem górnym, natomiast symbol k – indeksem dolnym. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 74 Wzór dwumianowy Newtona Dla x, y ∈ oraz n ∈ zachodzi następująca równość: n n i n−i n x y . (x + y) = i=0 i Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 75 Twierdzenie n! n nk n(n − 1) . . . (n − k + 1) = = = k! 1 · 2 · ... · k k! (n − k)! k Dowód Dowolna injekcja f ∈ F un(A, X), gdzie |A| = k oraz |X| = n, wyznacza dokładnie jeden k-elementowy podzbiór f (A) n-elementowego zbioru X. Liczba wszystkich takich funkcji jest równa nk . Ale jednocześnie dla f ∈ F un(A, X) oraz dowolnej permutacji π zbioru A również funkcja f π ∈ F un(A, X) wyznacza ten sam podzbiór. Oznacza to, że liczba wszystkich różnych podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego jest dokładnie k! razy mniejsza niż liczba injekk cji w zbiorze F un(A, X), to znaczy jest równa nk! . Pozostałe zależności otrzymuje się w wyniku prostych przekształceń algebraicznych. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 76 Współczynniki dwumianowe – tożsamości n n − 1 n − 1 = + k k k − 1 n n = k n − k n n = 2 i=0 i n n i · = n · 2n−1 i i=0 n m + n k m n = · s=0 s k k − s Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Trójkąt Pascala 77 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 78 Współczynniki wielomianowe Ile jest wszystkich funkcji f ∈ F un(X, Y ), gdzie |X| = n, Y = {1, . . . , m}, dla których |f −1({i})| = ki, i = 1, . . . , m? Liczbę takich funkcji oznaczamy symbolem n k1 k2 . . . km i nazywamy współczynnikiem wielomianowym. Symbol n w tym zapisie nazywamy indeksem górnym, natomiast symbole k1, . . . , km – indeksami dolnymi. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 79 Twierdzenie Dla n ∈ oraz liczb naturalnych k1, k2, . . . , km, spełniających warunek k1 + k2 + . . . + km = n, zachodzi równość n n! = . k1! · k2! · . . . · km! k1 k2 . . . km Dla m = 2 oraz k1 = k i k2 = n − k, gdzie k, n ∈ , k n, mamy: n n n n! = = . = k! (n − k)! k n−k k n − k k Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 80 Przykład Sekwencjonowanie RNA Interesuje nas struktura fragmentu łańcucha RNA, o którym wiemy, że składa się z dziesięciu nukleotydów. Wiemy ponadto, że w łańcuchu występuje czterokrotnie adenina (A), trzykrotnie guanina (G), dwukrotnie cytozyna (C) i jeden raz uracyl (U). Dodatkowo wiemy, że na początku łańcucha znajduje się guanina. Chcemy policzyć, ile jest wszystkich różnych łańcuchów RNA zgodnych z taką analizą. Mamy tutaj m = |{A, G, C, U }| = 4, k1 = 4, k2 = 2, k3 = 2, k4 = 1, n = 9. Liczba wszystkich możliwych łańcuchów RNA, odpowiadających powyższym warunkom jest równa: 9! n 9 = = = 3780 . k1 k2 k3 k4 4221 4! · 2! · 2! · 1! Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 81 Wzór wielomianowy Twierdzenie Dla m, n ∈ oraz x1, . . . , xm ∈ równość: zachodzi następująca (x1 + . . . + xm)n = k1, . . . , km ∈ k1 + . . . + km = n n k1 km . · x · . . . · x m k1 . . . km 1 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 82 Tożsamości dla współczynników wielomianowych n n = m k . . . k m k1, . . . , km ∈ 1 k1 + . . . + km=n n k1 k2 k3 . . . km = n−1 + k1 − 1 k2 k3 . . . km n−1 + . . . + k1 k2 − 1 k3 . . . km n−1 ... + k1 k2 k3 . . . km − 1 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 83 Dla zbioru z powtórzeniami Q = (X, (k1, . . . , kn)) stosujemy następujące oznaczenie: Q = k1 ∗ x1, . . . , kn ∗ xn . Liczność zbioru z powtórzeniami Q = k1 ∗ x1, . . . , kn ∗ xn oznaczamy symbolem |Q| i definiujemy jako sumę krotności wszystkich jego elementów, tzn. |Q| = k1 + . . . + kn. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 84 Podzbiory zbioru z powtórzeniami Zbiór z powtórzeniami S = m1 ∗ x1, . . . , mn ∗ xn jest podzbiorem zbioru z powtórzeniami Q = k1 ∗ x1, . . . , kn ∗ xn wtedy i tylko wtedy, gdy 0 mi ki dla każdego i = 1, . . . , n. Dla zaznaczenia faktu, że S jest podzbiorem zbioru z powtórzeniami Q, używamy zapisu: S ⊆ Q. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 85 Rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru z powtórzeniami Q oznaczamy symbolem P(Q). Liczba wszystkich podzbiorów zbioru z powtórzeniami Q = k1 ∗ x1, . . . , kn ∗ xn jest równa |P(Q)| = (1 + k1) · (1 + k2) · . . . · (1 + kn). Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 86 Podzbiory k-elementowe zbioru z powtórzeniami Twierdzenie Liczba wszystkich k-elementowych podzbiorów zbioru z powtórzeniami k1 ∗ x1, . . . , kn ∗ xn, gdzie ki k dla i = 1, . . . , n, jest równa n + k − 1 . = k! k nk Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Przykład 87 Rozważmy liniowe równanie diofantyczne: x1 + x2 + . . . + xn = k. (∗) Chcemy wyznaczyć liczbę wszystkich nieujemnych rozwiązań równania (*), czyli liczbę wektorów (x1, . . . , xn) ∈ n , spełniających powyższą równość. Każdy taki wektor (x1, . . . , xn) ∈ n jednoznacznie odpowiada k-elementowemu podzbiorowi x1∗z1, . . . , xn∗zn zbioru z powtórzeniami Q = k ∗ z1, . . . , k ∗ zn. Liczba wszystkich nieujemnych całkowitoliczbowych rozwiązań równania (*) jest więc równa liczbie wszystkich n+k−1 k-elementowych podzbiorów zbioru Q, tzn. . k Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 88 PODZIAŁY ZBIORU NA BLOKI X – zbiór skończony k – liczba naturalna Definicja Podziałem zbioru skończonego X na k bloków nazywamy rodzinę zbiorów A = {A1, . . . , Ak }, spełniającą następujące warunki: (i) Ai = ∅ dla 1 i k; (ii) A1 ∪ . . . ∪ Ak = X; (iii) Ai ∩ Aj = ∅ dla 1 i < j k. Podzbiory A1, . . . , Ak , nazywamy blokami podziału A. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 89 Przykład X = {a, b, c, d}, k=3 Istnieje dokładnie sześć podziałów zbioru X na trzy bloki: A1 = { {a}, {b}, {c, d} }, A2 = { {a}, {b, c}, {d} }, A3 = { {a, b}, {c}, {d} }, A4 = { {a, c}, {b}, {d} }, A5 = { {a}, {b, d}, {c} }, A6 = { {a, d}, {b}, {c} }. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 90 Oznaczenia: Πk (X) – zbiór wszystkich podziałów zbioru X na k bloków; Π(X) – zbiór wszystkich podziałów zbioru X. Π(X) = Π1(X) ∪ . . . ∪ Πn(X). n = |Πk (X)|, gdzie |X| = n. k Wielkości { nk } noszą nazwę liczb Stirlinga drugiego rodzaju albo liczb podzbiorowych Stirlinga. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 91 Liczby Stirlinga drugiego rodzaju Przyjmiemy, że istnieje dokładnie jeden podział zbioru 0 pustego na 0 bloków, tzn. 0 = 1. n = 0 dla k > n k n = 1 dla n 0 n n = 0 dla n > 0 0 n = 1 dla n > 0 1 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 92 Wyznaczanie liczby podziałów zbioru na bloki Twierdzenie Dla n ∈ oraz k ∈ , gdzie 0 < k < n, zachodzi następująca równość: n n−1 n−1 = + k · . k k−1 k Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 93 Liczby Bella Liczności zbioru |Π(X)|, gdy |X| = n, n ∈ nazywamy n-tą liczbą Bella i oznaczamy symbolem Bn. Zachodzi następująca równość: n Bn = k=0 k n Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Tabela liczb Stirlinga drugiego rodzaju dla k, n = 0, 1, . . . , 10. 94 n k i liczb Bella Bn Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 95 Wyznaczanie wszystkich podziałów zbioru na bloki Załóżmy, że dla pewnego k, gdzie 1 k < n, mamy rodzinę zbiorów A = {A1, . . . , Al }, będącą podziałem zbioru {1, . . . , k − 1} na bloki. Wówczas następujące rodziny zbiorów są podziałami zbioru {1, . . . , k}: {A1 ∪ {k}, A2, . . . , Al }, {A1, A2 ∪ {k}, . . . , Al }, .. {A1, A2, . . . , Al ∪ {k}}, {A1, A2, . . . , Al , {k} }. Zaczynając od rodziny, która zawiera tylko jednoelementowy zbiór {1}, i powtarzając opisany wyżej krok procedury rekurencyjnej n − 1 razy, otrzymamy drzewo, którego liście odpowiadają wszystkim możliwym podziałom zbioru {1, . . . , n}. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Przykład Drzewo podziałów zbioru {1, 2, 3}. 96 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 97 Tożsamości dla liczb Stirlinga i liczb Bella Dla k, n, x ∈ zachodzą następujące równości: n n n n n n−k n. · x = (−1) · · x x = k k=0 k k=0 n Dla n ∈ zachodzi zależność: n B . Bn+1 = i i=0 i n Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 98 Podziały zbiorów a relacje Z dowolnynm podziałem A zbioru X na bloki można związać pewną relację, którą oznaczymy symbolem RA i zdefiniujemy następująco: RA = A∈A A × A. Powyższy zapis oznacza, że dwa elementy x oraz y zbioru X są w relacji RA wtedy i tylko wtedy, gdy należą do tego samego bloku podziału. Jeśli na przykład X = {a, b, c, d} i A = {{a}, {b, d}, {c}}, to: RA = {(a, a), (b, b), (b, d), (d, b), (d, d), (c, c)}. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 99 Podziały zbiorów a relacje Z dowolnyn podziałem A zbioru X na bloki można związać pewną relację, którą oznaczymy symbolem RA i zdefiniujemy następująco: RA = A∈A A × A. Dla dowolnego podziału A zbioru X relacja RA jest symetryczna, zwrotna i przechodnia, a zatem jest relacją równoważności w zbiorze X. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 100 Dowolnej relacji równoważności R w zbiorze X można przyporządkować jednoznacznie podział AR = X/R zbioru X na bloki, będący zbiorem wszystkich klas abstrakcji relacji równoważności R w X. Przykład Jeśli X = {x ∈ : x 10} i jako relację równoważności weźmiemy relację R zdefiniowaną następująco: xRy ⇔ x mod 3 = y mod 3, to otrzymamy podział AR zbioru X na bloki, gdzie: AR = X/R = {{0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7, 10}, {2, 5, 8}}. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 101 Wniosek Liczba wszystkich różnych relacji równoważności w zbiorze n-elementowym jest równa n-tej liczbie Bella Bn. Zatem na przykład liczba wszystkich możliwych relacji równoważności, które można zdefiniować w zbiorze pięcioelementowym, jest równa 52. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 102 Podziały zbioru na bloki i relacja rozdrobnienia A, A – podziały zbioru X na bloki. Podział A zbioru X jest rozdrobnieniem podziału A wtedy i tylko wtedy, gdy każdy blok podziału A jest sumą pewnej liczby bloków podziału A. Fakt ten zapisujemy następująco: A A i mówimy, że podział A jest w relacji rozdrobnienia z podziałem A. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Przykład Podział zbioru X = {x ∈ : x 10} na bloki A = {{0, 3}, {6, 9}, {1, 4, 7}, {10}, {2, 5, 8}} jest rozdrobnieniem podziału AR = X/R = {{0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7, 10}, {2, 5, 8}}. Relacja rozdrobnienia jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, a zatem jest relacją częściowego porządku w zbiorze podziałów danego zbioru na bloki. 103 Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 104 Podziały zbiorów a zliczanie surjekcji Przykład Mamy do dyspozycji m ponumerowanych procesorów i n m programów, z których każdy może być wykonany na dowolnym z tych procesorów. Chcemy przydzielić wszystkie programy do procesorów w taki sposób, by każdy procesor otrzymał co najmniej jeden program. (Zakładamy przy tym, że każdy program jest wykonywany w całości przez jeden procesor.) Należy policzyć, na ile sposobów można dokonać takiego przydziału. Każdy przydział programów do procesorów może być opisany przez pewną funkcję z n-elementowego zbioru programów X w m-elementowy zbiór procesorów Y . Z warunku, że każdy procesor ma dostać do wykonania co najmniej jeden program wynika, że funkcja ta musi być surjekcją. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 105 Zliczanie surjekcji Niech X, Y będą dowolnymi zbiorami i niech |X| = n oraz |Y | = m. Chcemy policzyć: Ile jest wszystkich surjekcji w zbiorze F un(X, Y )? Liczbę wszystkich surjekcji w zbiorze F un(X, Y ), gdzie |X| = n oraz |Y | = m, będziemy oznaczać symbolem sn,m , tzn. sn,m = |Sur(X, Y )| dla |X| = n, |Y | = m. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 106 Twierdzenie Liczba sn,m surjekcji w zbiorze F un(X, Y ), gdzie |X| = n, |Y | = m, spełnia zależność n sn,m = m! · . m Dowód Jądro każdej surjekcji f ze zbioru F un(X, Y ) wyznacza podział N (f ) zbioru X na m bloków: N (f ) = {f −1({y}) : y ∈ Y }. Dla dowolnej permutacji π zbioru Y jądra funkcji f i πf są identyczne, a zatem dokładnie m! surjekcji ze zbioru F un(X, Y ) ma to samo jądro A ∈ Πm(X). Liczba wszystkich surjekcji w zbiorze F un(X, Y ) jest więc m! razy większa niż liczba wszystkich podziałów n-elementowego zbioru X na m bloków. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 107 PODZIAŁY LICZBY n, k – liczby naturalne Definicja Podziałem liczby n na k składników nazywamy ciąg liczb naturalnych (a1, . . . , ak ), spełniający warunki a1 + . . . + ak = n oraz a1 . . . ak > 0. Liczbę wszystkich podziałów liczby n ∈ na k ∈ składników oznaczamy symbolem P (n, k), a liczbę wszystkich podziałów liczby n – symbolem P (n). Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 108 Podziały liczby na składniki Zachodzi zależność: P (n) = n k=1 P (n, k) Przyjmiemy, że P (0, 0) = P (0) = 1. Dla n, t ∈ , liczność zbioru wszystkich podziałów (a1, . . . , ak ) liczby n, dla których spełniony jest warunek ai t, i = 1, . . . , k, będziemy oznaczać symbolem Pt(n). Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 109 Twierdzenie Dla n, k ∈ , gdzie n k > 0, zachodzi zależność P (n, k) = P (n − 1, k − 1) + P (n − k, k) Twierdzenie powyższe pozwala na rekurencyjne obliczanie wartości P (n, k) dla dowolnych parametrów n k > 0, korzystając z faktu, że P (0, k) = P (k, 0) = k = 0. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA 110 Liczność podziałów liczby naturalnej n na składniki dla n, k = 0, . . . , 12. Marek Libura – MATEMATYKA DYSKRETNA Diagramy Ferrersa i podziały sprzężone 111