badania numeryczne utraty stateczności belek cienkościennych z

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 56, ISSN 1896-771X
BADANIA NUMERYCZNE UTRATY
STATECZNOŚCI BELEK CIENKOŚCIENNYCH
Z PROFILOWANYM ŚRODNIKIEM
Michał Grenda1a
1
a
Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska
[email protected]
Streszczenie
Tematem pracy są badania numeryczne i eksperymentalne cienkościennych belek o przekrojach ceowych z profilowanym środnikiem. Proponowany temat jest rozwinięciem badań prowadzonych w Zakładzie Wytrzymałości
Materiałów i Konstrukcji Politechniki Poznańskiej. Uzyskane wyniki pomogą zweryfikować wciąż ulepszane rozwiązania analityczne oraz badania doświadczalne.
Słowa kluczowe: wytrzymałość materiałów, utrata stateczności, badania numeryczne, metoda elementów skończonych
NUMERICAL STUDIES ON STABILITY LOSS OF THINWALLED CORRUGATED WEB BEAMS
Summary
The subject of this paper is numerical and experimental research of thin-walled C beams with corrugated web.
The proposed topic expands on research conducted at the Department of Strength of Materials and Structures,
Poznań University of Technology. The obtained results will contribute to a verification of the ever advancing analytical solutions and experimental studies.
Keywords: strength of materials, stability loss, numerical studies, finite element method
1. WSTĘP
Materiały konstrukcyjne wykorzystywane do budowy
nowoczesnych maszyn i urządzeń pozwalają na przenoszenie większych obciążeń przy jednoczesnym zmniejszeniu masy. Konstrukcje cienkościenne stosowane są w
wielu gałęziach przemysłu w Polsce i na całym świecie.
Wykorzystywane są one w budowie maszyn, przemyśle
samochodowym, lotniczym oraz budownictwie i cieszą
się dużą popularnością wśród inżynierów i konstruktorów. Popularność swoją zyskały dzięki dużej wytrzymałości przy stosunkowo niewielkiej masie. Przykładowe
belki cienkościenne przedstawiono na rys. 1. Zostały
wykonane technologią gięcia na zimno.
Rys. 1. Widok wybranych belek cienkościennych [200]
Zapotrzebowanie na tego typu konstrukcje wynika
głównie z prostej technologii wytwarzania oraz łatwości
ich montażu. W świecie od kilku lat wzrasta zainteresowanie praktycznym wytwarzaniem belek cienkościennych o nietypowych przekrojach. Prace naukowe opisujące belki ceowe o nietypowych przekrojach poprzecznych opisali Paczos, Magnucki i Mahendran [133, 166].
Proponowane przekroje podlegają często procesowi
optymalizacji kształtu w celu doboru jak najlepszego
stosunku masy do wytrzymałości czy siły odpowiadają-
11
BADANIA NUMERYCZNE UTRATY STATECZNOŚCI BELEK CIENKOŚCIENNYCH…
cej utracie stateczności. Optymalizację belek cienkocienk
ściennych opisali Magnucka-Blandzi,
dzi, Magnucki, KaK
sprzak i Paczos [111÷155].
]. Optymalizacji poddano nie
tylko proponowane kształty belek cienkościennych,
cienkościennych lecz
także rodzaje obciążeń oraz same obciążenia odpowiadaodpowiad
jące siłom krytycznym czy postaciom wyboczenia.
Możliwość przenoszenia stosunkowo dużych obciążeń jest
często ograniczana nie przez samą wytrzymałość matemat
riału, z którego wytworzona jest konstrukcja,
konstrukcja lecz w
głównej mierze przez utratę stateczności konstrukcji
cienkościennej. Spowodowane jest to często zbyt wysowys
kim stosunkiem wymiarów poprzecznych do grubości
ścianek. Dlatego przy projektowaniu konstrukcji należy
zwrócić szczególną uwagę na ograniczenia związane
z utratą stateczności miejscowej, ogólnej czy dystorsyjdystorsy
nej. Poprzez niewielką korektę zmiany przekroju pop
przecznego lub niewielkie zwiększenie masy konstrukcji
cienkościennej można uzyskać dużo większą wytrzymawytrzym
łość konstrukcji, czy zabezpieczyć ją przed przedwczesna
utratą stateczności.. Wysoki stosunek wymiarów pop
przecznych do grubości ścianek profili cienkościennych
cienkoś
powoduje występowanie w nich miejscowych postaci
wyboczenia oraz interakcje zachodzące miedzy nimi.
Zjawisko to jest niebezpieczne i powoduje gwałtowną
redystrybucję sił wewnętrznych. Polega ono na natychnatyc
miastowym przejściu z jednej
nej postaci deformacji
deform
w inną
[29] (1963). Batista [2, 3]] porównał wartości nośności
granicznej
nicznej kolumn i belek cienkościennych uzyskane z
użyciem metody efektywnych przekrojów z danymi
eksperymentalnymi zaczerpniętymi z literatury. Badał
także zgodność wyników eksperymentalnych z otrzymaotrzym
nymi za pomocą metod opisanych w normach europejeurope
skich (metoda
etoda efektywnej szerokości) i amerykańskich
(direct strength metod). Wyniki teoretyczne otrzymano
przy założeniu interakcji miejscowej i ogólnej postaci
utraty stateczności. W rozważaniach tych pominięto
dystorsyjne wyboczenie kolumn i belek. Istnieje podział
na wyboczenie miejscowe (lokalne) oraz wyboczenie
ogólne (globalne) zwane również wyboczeniem
oczeniem giętnym
(dystorsyjnym) (rys.2).
rys.2). Pracę przeglądową dotyczącą
metody: direct strength metod rozwiązywania belek,
słupów o różnych przekrojach poprzecznych
oprzecznych przedstawił
Schafer w pracy [25].
tego typu badań. W sposób szybki można
moż
uzyskać
wyniki analizy, czy zaobserwować zachowanie się konko
strukcji przy różnego typu obciążeniach. Ważne jest,
jest
aby badania
dania numeryczne były również weryfikowane
przy użyciu metod doświadczalnych. Badania doświaddoświa
czalne belek o niestandardowych przekrojach ceowych
zostały opisane przez Paczosa [19
19, 210]. Wyniki zweryfikowano metodą pasm skończonych
kończonych – FSM, MES oraz
rozwiązaniami analitycznymi. Podobne badania zostały
przeprowadzone przez Pastora i Roure”a [22] oraz
Schafera [24],
], który w swych badaniach rozważał dwa
inne rodzaje obciążenia. Zaproponował formuły, które
umożliwiają obliczanie obciążeń krytycznych, oraz
uwzględnił interakcje pomiędzy ogólną (globalną)
a lokalną utrata stateczności belek cienkościennych.
Badania numeryczne stateczności,
stateczności rozkład naprężeń oraz
przemieszczenia belek cienkościennych kształtowanych
na zimno zostały opisane przez Paczosa,
Paczo
Magnuckiego
i Zawodnego oraz Magnucką-Blandzi
Blandzi [8÷11,
[
18,19]. Inne
prace dotyczące badań eksperymentalnych
eksperymentalnyc przedstawili:
Biegus i inni [4],
], Cheng Yu i inni [5],
[
Paczos i Wasilewicz [177], Mahendran i Jeyaragan
gan [166].
[
Jedną z ostatnich prac dotyczącą rozwiązań parametrycznych utraty
stateczności cienkościennych belek ceowych przedstawili
SudhirSastry i Krishna [2828].
Pierwsze wstępne badania belek cienkościennych
o niestandardowych przekrojach ceowych ze wzmocniowzmocni
nym środnikiem
kiem zostały przedstawione przez Grendę i
Paczosa na konferencji „Modelowanie w mechanice” w
roku 2015. Środnik został zagięty na dwa sposoby,
sposoby co
pokazano na rys. 3, a półki zostały wzmocnione poprzez
dwa zagięcia typu BOX, które opisali
opisa szeroko w swych
pracach Grenda i Paczos [6, 19].
Rys. 3. Przekroje belek cienkościennych z profilowanym środniśrodn
kiem
Wymiary poprzeczne analizowanych belek przedstawiono na rys. 4, a ich wymiary wynoszą odpowiednio:
odpowiednio
wysokość H = 160 mm, szerokość półki b = 80 mm,
grubość ścianki t = 1,0 mm, wysokość półki t = 17 mm,
długość wzmocnienia c = 26,5 mm, wymiar f = 18 mm,
wymiar g = 14 mm i wymiar e = 14 mm. Proponowany
temat
jest
rozwinięciem
badań
prowadzonych
w Zakładzie Wytrzymałości
ości Materiałów i Konstrukcji
Politechniki Poznańskiej.
Rys. 2.. Typy wyboczenia dla ściskanego ceownika: a) lokalne
wyboczenie, b) zniekształcenie, c) niedoskonałość [266]
Tematem pracy są badania numeryczne cienkościennych
belek o zmodyfikowanych przekrojach ceowych z profiprof
lowanym (wzmocnionym) środnikiem. W literaturze
dosyć często pojawiają się analizy numeryczne różnego
typu konstrukcji cienkościennych co świadczy o ważności
12
Michał Grenda
W niniejszym opracowaniu podjęto się jedynie rozwiązania numerycznego MES ze szczególnym uwzględnieniem utraty stateczności belek kształtowanych na zimno. W późniejszym czasie zostaną również przeprowadzone badania doświadczalne oraz analizy opisujące
nośność konstrukcji.
Zagadnienia wytrzymałości i stateczności analizowanych konstrukcji dotyczą rozkładów naprężeń w ściankach zginanej belki (półkach i środniku), jej ugięcia pod
obciążeniem poprzecznym oraz jej wyboczenia – obciążeń krytycznych przy czteropunktowym zginaniu.
Zaprezentowane modele utworzono z użyciem oprogramowania do komputerowego wspomagania projektowania (CAD) SolidWorks 2012 [26]. Zwiększa to praktyczne znaczenie przeprowadzonych obliczeń, ponieważ
pokazuje, że również narzędzia wykorzystywane
w codziennej praktyce inżynierskiej mogą być z powodzeniem stosowane do modelowania belek cienkościennych kształtowanych na zimno. Ważnym aspektem
podczas przeprowadzania analiz numerycznych MES jest
odpowiednie i poprawne modelowanie, tj. nadawanie
warunków brzegowych, odpowiedni dobór właściwości
mechanicznych czy poprawny podział na elementy
skończone. Belka została umocowana (podparta) w
dwóch przekrojach (zgodnie ze stanowiskiem badawczym
opisanym w pracy [200]) przez odebranie stopni swobody
w następujący sposób (rys. 7):
ux = 0 (przemieszczenia w kierunku osi x),
uy = 0 (przemieszczenia w kierunku osi y)
Rys. 4. Przekroje badanych belek
Wymiary podłużne belek przedstawiono na rys. 5,
wynoszą
one
odpowiednio:
długość
całkowita
Lt = 2000 mm, odległość pomiędzy siłami
L = 500 mm oraz odległość L0 = 730 mm.
Lt
L
L0
1
‫ܨ‬
2
1
‫ܨ‬
2
L0
Rys. 5. Wymiary wzdłużne belki
Badania te pomogą zweryfikować wyniki otrzymane
za pomocą rozwiązań analitycznych oraz badań
doświadczalnych, które rozpocząć się mają na początku
przyszłego roku. Belki zostały wykonane przy pomocy
giętarek numerycznych zgodnie z normą Eurokod 3 [233]
przez polską firmę Blachy Pruszyński Sp. z o.o z Sokołowa k. Warszawy.
2. BADANIA NUMERYCZNE
Metoda elementów skończonych (MES) jest jednym
z podstawowych narzędzi wykorzystywanych do komputerowego wspomagania badań naukowych oraz w praktyce inżynierskiej. Posiada ona szerokie zastosowanie
oraz cieszy się dużą popularnością wśród inżynierów.
Dzięki MES mamy możliwość skrócenia czasu potrzebnego do zaprojektowania elementów lub całych konstrukcji oraz sprawdzenia ich pod względem wytrzymałościowym. Modelowanie i analizy za pomocą metody
elementów skończonych są procesem złożonym. Podczas
projektowania numerycznego należy uwzględnić szereg
założeń, o których musi wiedzieć projektant lub konstruktor. Zastosowanie MES służy do rozwiązywania
konkretnego zadania naukowego lub inżynierskiego
i składa się z odrębnych procesów:
opracowanie modelu MES (SOLIDWORKS) badanych
belek cienkościennych,
rozwiązanie numeryczne w zakresie:
wytrzymałości,
stateczności,
nośności,
porównanie wyników otrzymanych doświadczalnie
i numerycznie.
Rys. 6. Stanowisko badawcze – 4 punktowe zginanie [20]
Podczas analizy numerycznej MES obciążono belkę
parą sił skupionych o wartości 1N tak, aby otrzymany
współczynnik obciążenia po przeprowadzonych badaniach stateczności można było uznać za wartość siły
krytycznej wywołującej miejscowe wyboczenie konstrukcji.
Miejsca zablokowania przemieszczeń (podparcia) są
odległe od końców belki o 50 mm i utworzone przez
zastosowanie linii podziałowych na szkicu. Graficzną
reprezentację
powyższych
warunków
brzegowych
i przyłożonych obciążeń przedstawiono na rys. 7.
Siatka elementów skończonych – powłokowych dla
analizowanych belek została przedstawiona na rys. 9.
Przystąpiono do analizy wyboczeniowej.
13
BADANIA NUMERYCZNE UTRATY STATECZNOŚCI BELEK CIENKOŚCIENNYCH…
Rys. 8. Lokalna postać wyboczenia
Podczas przeprowadzanych obliczeń numerycznych
zauważono, że zmiana warunków brzegowych prowadzi
do różnych rozwiązań, a otrzymane wyniki różnią się
znacznie między sobą. W pracy [6] sprawdzono wpływ
zmiany warunków brzegowych na otrzymane wartości sił
krytycznych poprzez odebranie stopni swobody przekrojów poprzecznych w różnych kierunkach, a otrzymane
wyniki porównano z eksperymentem. Jednym z głównych parametrów programu prowadzących do prawidłowo przeprowadzonej analizy MES jest odpowiednie
ustawienie siatki elementów skończonych, tzw. zbadanie
zbieżności metody numerycznej. W celu poprawienia
obliczeń numerycznych i uzyskania zadowalających
wyników zastosowano sterowanie siatki dla środkowego
odcinka o rozmiarze elementu 5 mm i proporcji 1,5
krotnej. Wyraźnie widać zaciemnienie części centralnej
(miejsce zagęszczenia siatki przedstawiono na rys. 9)
spowodowane większą liczbą elementów i węzłów ze
względu na obszar objęty szczególną analizą. Dąży się do
tego, aby wyboczenie było uwidocznione jedynie na
środkowej części profilu cienkościennego podczas badań
numerycznych i doświadczalnych. Siatkę dla usztywnionych części belki utworzono z zastosowaniem standardowych ustawień. Siatka ta oparta została na krzywiźnie, a jej zagęszczenie nie miało wpływu na końcowe
wyniki. Jednocześnie spowodowało to skrócenie czasu
obliczeń numerycznych.
Tworzenie siatki generuje trójwymiarowe czworościenne elementy bryłowe, dwuwymiarowe trójkątne
elementy skorupowe i jednowymiarowe elementy belkowe. Siatka może składać się z jednego typu elementów,
chyba że określono siatkę typu mieszanego.
Rys. 7. Schemat obciążenia belki
Analizę numeryczną (MES) przeprowadzono z wykorzystaniem modelu powłokowego, który w przypadku
konstrukcji cienkościennych daje lepsze wyniki od modelu bryłowego. Modele bryłowe wykorzystywane są
poprawnie tylko wtedy, gdy jest to konstrukcja krępa,
gdzie stosunki wymiarów podzespołów mają proporcje
ok. 1:1 do 1:5. Pozostałe przypadki to elementy cienkościenne, które powinny być modelowane elementami
powłokowymi, gdzie grubość do szerokości boku to około
1:10. Zależność ta została sprawdzona i potwierdzona w
pracy [6]. Ze względu na bardzo małą grubość ścianki w
stosunku do wymiarów poprzecznych belkę modelowano
za pomocą dwuwymiarowych elementów skończonych,
siatką trójkątów. Symulację przeprowadzono, wykorzystując komercyjny program do komputerowego wspomagania projektowania SolidWorks 2012 z modułem do
analizy MES – Simulation. Umożliwia on przeprowadzenie obliczeń jedynie za pomocą bryłowych lub powłokowych elementów trójkątnych. W przyszłości planowane są również badania w profesjonalnym programie
Ansys Workbench v.15, którym dysponuje Zakład
Wytrzymałości Materiałów i Konstrukcji Politechniki
Poznańskiej. Do badań wykorzystany zostanie element
cienkościenny SHELL181. Jest to czterowęzłowy element
powłokowy 3D drugiego rzędu o sześciu stopniach
swobody w każdym węźle.
14
Michał Grenda
Założeniem symulacji było otrzymanie przekroju
o najwyższej wytrzymałości (najwyższej wartości siły
krytycznej) przy zachowaniu odpowiedniego kształtu
konstrukcji. Wiązało się to z zachowaniem stałego pola
przekroju przy różnych głębokościach zagięcia środnika i
zmianą jedynie grubość ścianki. Proces optymalizacji
polegał na poszukiwaniu najwyższej siły krytycznej
odpowiadającej miejscowemu wyboczeniu belki dla
różnych głębokości zagięcia środnika (wzmocnienie
środnika) dla analizowanych przekrojów przy zachowaniu stałego pola przekroju. Zauważono, że na każde 5
mm głębokości zagięcia należy zmniejszyć grubość
ścianki profilu cienkościennego o 0,01 mm. Wykonano
kilkanaście badań metodą numeryczną i wyodrębniono
konstrukcje o zbliżonym polu przekroju dla sześciu
różnych głębokości zagięcia środnika profilowanego
i przeprowadzono dokładne analizy. Wyniki przedstawiono na rys. 10. Przeprowadzone badania dały zadowalające rezultaty.Najlepszy rezultat dotyczący uzyskanego
wyniku siły krytycznej otrzymano dla belki cienkościennej z profilowanym środnikiem typu V o głębokości
zagięcia dla wymiaru k=15mm. W dalszym etapie
analizy MES wraz ze wzrostem głębokości zagięcia
środnika od 15 do 30 mm wartość siły krytycznej
zmniejszyła się o około 6%.
Rys. 9. Siatka powłokowa modelu belki z profilowanym środnikiem typu V
współczynnik obciążenia[N]
Przed przystąpieniem do obliczeń numerycznych zamodelowano belkę cienkościenną o dwóch różnych
przekrojach. Badano wpływ głębokości zagięcia środnika
na wartość siły krytycznej odpowiadającej miejscowej
postaci wyboczenia.
Rys. 10. Zagięcie środnika
Na rys. 11 wyraźnie widać jak wraz ze wzrostem
współczynnika k – głębokość zagięcia, siła krytyczna
wzrasta od Fkr= 11,6 kN dla k=5 mm do Fkr= 12,2 kN
dla k=50 mm.
Wykres zależności siły krytycznej od
głebokości zagięcia
24000
23500
23000
22500
22000
5
8
15
20
25
30
Głębokość zagięcia [mm]
Rys. 12. Wykres zależności współczynnika obciążenia od
głębokości zagięcia V
Kolejnym krokiem było ponownie wyodrębnienie belek o zbliżonych wartościach pola przekroju (stałym polu
przekroju). Wraz ze wzrostem głębokości zagięcia
(wzmocnienia) zmniejszano grubość ścianki profilu
cienkościennego. Przeprowadzono symulację dla czterech
głębokości zagięcia: 8, 15, 25 i 30 mm.
Rys. 11. Zależność siły krytycznej od głębokości zagięcia
środnika dla przekroju typu V
15
BADANIA NUMERYCZNE UTRATY STATECZNOŚCI BELEK CIENKOŚCIENNYCH…
3. WNIOSKI
Przeprowadzone badania i otrzymane wyniki mogą
być wykorzystywane nie tylko podczas praktyki inżynierskiej, ale również w badaniach naukowych. Wskazują na pojawiające się problemy podczas rozwiązywania
zagadnień związanych z konstrukcjami cienkościennymi
– szybka, czasami nagła i niekontrolowana utrata stateczności.
Na rys. 16 przedstawiono wykres zależności siły krytycznej od głębokości zagięcia dla belek z zagiętym
środnikiem w odniesieniu do belki o przekroju ceowym z
półkami skrzynkowymi bez zagięcia. Z wykresu można
wywnioskować, że belki z zagiętym środnikiem znacznie
wzmacniają konstrukcje. Dla przekrojów V i S siła
krytyczna zwiększa się wraz ze wzrostem głębokości
zagięcia i wynosi około 12 kN. W przypadku belki
ceowej bez zagięcia siła krytyczna wynosi 10,6 kN.
Poprzez niewielką korektę przekroju poprzecznego lub
niewielkie zwiększenie masy konstrukcji cienkościennej
można uzyskać dużo większą wytrzymałość.
Proponowane badania pozwolą na dokładne i szczegółowe zbadanie zjawiska uraty stateczności belek
ceowych ze wzmocnionym środnikiem oraz lepsze rozumienie tego zjawiska. Spodziewać się można zaobserwowania nie tylko miejscowych postaci wyboczenia, ale
również wyboczenia „dystorsyjnego”, co trudne jest do
uzyskania w klasycznych badaniach tensometrycznych.
Realizacja proponowanych badań wniesie istotny wkład
do teorii belek cienkościennych przede wszystkim z
uwagi na modelowanie przebiegu utraty stateczności
oraz zniszczenia konstrukcji, czyli wyczerpania jej nośności.
Rys. 13. Belka cienkościenna z zagięciem środnika typu S
i głębokości 8 mm
Wykazały one, że najbardziej wytrzymałym przekrojem jest belka cienkościenna z profilowanym środnikiem
o głębokości zagięcia 8 mm i grubości ścianki 1,25 mm.
Siła krytyczna dla tego przekroju wyniosła Fkr= 11,8 kN
(rys.13).
współczynnik obciążenia[N]
Rys. 14. Zależność siły krytycznej od głębokości zagięcia
środnika dla przekroju typu S
24000
Wykres zależności siły krytycznej od
głebokości zagięcia
23000
22000
21000
Rys. 16. Wykres zależności siły krytycznej od głębokości
zagięcia środnika dla dwóch analizowanych przekrojów
20000
8
15
25
30
Głębokość zagięcia [mm]
Wyniki rozwiązania numerycznego MES uzależnione
były w dużej mierze od warunków brzegowych. Przeprowadzono wiele obliczeń MES poprzedzające główne
Rys. 15. Wykres zależności współczynnika obciążenia od
głębokości zagięcia S
16
Michał Grenda
badania poprzez zmianę pewnych parametrów tak, aby
zminimalizować możliwość powstania błędów numerycznych oraz jak najdokładniej odwzorować swobodne
podparcie belki. W pracy [6] sprawdzono wpływ warunków brzegowych, przyłożonych obciążeń oraz pewnych
parametrów siatki elementów trójkątnych na otrzymane
wyniki MES.
Program SolidWorks Simulation generuje wartości
sił krytycznych jako pewną wartość współczynnika
obciążenia uzależnioną od danych wejściowych.
Współczynnik ten jest mnożnikiem zdefiniowanej siły,
którą obciążono belkę i odpowiada sile krytycznej dla
pierwszej i kolejnych zdefiniowanych postaci wyboczenia.
Problem stateczności belek cienkościennych wymaga
dalszych prac badawczych teoretycznych i doświadczalnych. Rozwiązania zawarte w pracy mogą być poszerzane dla belek o bardziej złożonych schematach obciążeń,
a także dla innych przekrojów poprzecznych.
The presented research results, executed under the subject of No 02/21/DSPB/3452, were funded with grants for
education allocated by the Ministry of Science and Higher Education.
Literatura
1.
2.
3.
4.
AISI S100-2007. North American specification for the design of cold-formed steel members. American Iron and
Steel Institute, 2007.
Batista E.M.: Effectife section method: a general direct method for design of steel cold-formed members under
local-global buckling interaction. „Thin-Walled Structures” 2010, 48, p. 345–356.
Batista E.M.: Local-global buckling interaction procedures for design of cold-formed columns: Effective width and
direct method integrated approach. „Thin-Walled Structures” 2009, 47, p. 1218–1231.
Biegus A., Czepiżak D.: Experimental investigations on combined resistance of corrugated sheets with strengthened cross-sections under bending and concentrated load. „Thin-Walled Structures” 2008, 46, p.303–309.
5.
Cheng Yu, Schafer B.W.: Simulation of cold-formed steel beams in local and distortional buckling with applica-
6.
Grenda M., Pomiar naprężeń, odkształceń i przemieszczeń konstrukcji cienkościennych. Inżynierska praca dyplomowa. Poznań 2013.
Hancock G.J.: Design for distortional buckling of flexural members. „Thin-Walled Structures” 1997, 27, p. 3–12.
Magnucka-Blandzi E., Magnucki K.: Buckling and optimal design of cold-formed thin-walled beams: review of
selected problems. „Thin-Walled Structures” 2011, 49(5), p. 554–561.
Magnucka-Blandzi E., Paczos P., Wasilewicz P.: Buckling study of thin-walled channel beams with double-box
flanges in pure bending, Blackwell Publishing Ltd. „Strain, An Intl Journal for Experimental Mechanics” 2012,
48, p. 317–325.
Magnucka-Blandzi E., Paczos P., Wasilewicz P.: Buckling study of thin-walled channel beams with double-box
flanges in pure bending. „Strain” 2012, 48(4), p. 317–325.
Magnucka-Blandzi E.: Effective shaping of cold-formed thin-walled channel beams with double-box flanges in
pure bending. „Thin-Walled Structures” 2011, 49, p. 121–128.
Magnucki K., Monczak T.,: Optimum shape of open cross section of a thin-walled beam. „Engineering
Optymization” 2000, 32, p. 335–351.
Magnucki K., Paczos P., Kasprzak J.: Elastic buckling of cold-formed thin-walled channel beams with drop
flanges. „Journal of Structural Engineering” 2010, 136 (7), p. 886–896.
Magnucki K.: Optimization of open cross section of the thin-walled beam with flat web and circular flange.
tions to the direct strength method. „Journal of Constructional Steel Research” 2007, 63, p. 581–590.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
„Thin-Walled Structures” 2002, 40, p. 297–310.
15. Magnucki, K., Paczos, P.: Optimal theoretical shape optimization of cold-formed thin-walled channel beams
with drop flanges in pure bending. „Journal of Construction Steel Research” 2009, 65, p.1731–1737.
16. Mahendran M., Jeyaragan M.: Experimental investigation of the new built-up litesteel beams. In: Proc. 5th Int.
Conference on Thin-Walled Structures, Vol.1, M. Mahendran (Editor) Queensland University of Technology,
Brisbane, Australia, ICTWS, 18-20 June 2008, p. 433–441.
17. Paczos P., Wasilewicz P.: Badania doświadczalne belek cienkościennych kształtowanych na zimno. „Modelowanie Inżynierskie” 2007, 3 (33), p. 113–118.
17
BADANIA NUMERYCZNE UTRATY STATECZNOŚCI BELEK CIENKOŚCIENNYCH…
18. Paczos P., Zawodny P.: Experimental investigations and the application of ABAQUS software to the estimation
of the critical load of cold-formed beams. „Journal of Mechanical Engineering and Production Management”
2007, 7, p. 85–94 (in Polish).
19. Paczos P.: Experimental and numerical (FSM) investigations of thin-walled beams with double-box flanges.
„Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2013, 51, 2, p. 497–504.
20. Paczos P.: Experimental investigations of thin-walled C-beams with nonstandard flanges. „Journal of Constructional Steel Research” 2014, 93, p. 77–87.
21. Paczos P.: Stability and limit load of thin-walled cold-formed channel beams. In: Proc. of Stabilty of Structures
XIII-th Symposium, Zakopane 2012, Ed.: Kowal-Michalska K., Mania R.J., Łódź 2012, p. 539–546.
22. Pastor M. M., Roure F.: Open cross-section beams under pure bending i experimental investigations. „ThinWalled Structures” 2008, 46, p. 476–483.
23. PN-EN 1993-1-3: 2008. Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-3: Reguły ogólne. Reguły
uzupełniające dla konstrukcji z kształtowników i blach profilowanych na zimno. Warszawa: PKN, 2008.
24. Schafer B. W.: Local, distortional, and Euler buckling of thin-walled columns. „Journal of Structural Engineering” 2002, 128 (3), p. 289–299.
25. Schafer B.W.: Review: the direct strength method of cold-formed steel member design. „Journal of Constructional Steel Research” 2008, 64, p. 766-778.
26. Silvestre N., Camotim D.: On the mechanics of distortion in thin-walled open sections. „Thin-Walled Structures”
2010, 48, p. 469–481.
27. SolidWorks 2012 x64 Student Edition, SolidWorks Corporation Headquarters, 175 Wyman Street Waltham, MA
02451, 800-693-9000 US and Canada.
28. SudhirSastry Y.B., Krishna Y., Pattabhi Budarapu R.: Parametric studies on buckling of thin walled channel
beams. „Computational Materials Science” 2015, 96, p. 416–424.
29. Timoshenko S.P., Gere J.M.: Teoria stateczności sprężystej. Warszawa: Wyd. Arkady, 1963.
18