Algebra liniowa 4
Transkrypt
Algebra liniowa 4
Algebra liniowa 4. Przestrzenie unitarne. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem F. Odwzorowanie h·, −i : V × V −→ F nazywamy iloczynem skalarnym, jeśli (1) (2) (3) (4) hx, xi = 0 ⇔ x = 0, hx + y, zi = hx, zi + hy, zi dla wszystkich x, y, z ∈ V , hαx, yi = αhx, yi dla wszystkich α ∈ F oraz x, y ∈ V , hx, yi = hy, zi dla wszystkich x, y ∈ V . Parę (V, h·, −i) nazywamy przestrzenią unitarną. Jeśli (V, h·, −i) jest przestrzenią unitarną, to funkcja k · k : V → [0, ∞) p dana wzorem kxk = hx, xi dla x ∈ V jest normą na przestrzeni V . Zadania Zadanie 1. Niech V := {f : [0, 1] −→ C : f jest funkcją ciągłą} oraz niech Z1 hf, gi := f (x)g(x)dx, f, g ∈ V. 0 Udowodnić, że h·, −i jest iloczynem skalarnym na V . Zadanie 2. Sprawdzić, że R2 × R2 3 ((a, b), (c, d)) → 8ac − 2ad − 2bc + bd ∈ R jest iloczynem skalarnym. W przestrzeni euklidesowej R2 z tym iloczynem skalarnym obliczyć (1) długość wektora (2, 1), (2) kąt między wektorami (1, 0) i (0, 1), (3) pole równoległoboku rozpiętego na wektorach (1, 0) i (0, 1). Zadanie 3. Zastosować procedurę ortonormalizacyjną Grama-Schmidta do następujących baz przestrzeni R4 : a) v1 = (1, 1, 1, 1), b) v1 = (2, 3, −4, 6), v2 = (3, 3, −1, −1), v3 = (−2, 0, 6, 8), v2 = (12, 5, −14, 5), v4 = (0, 1, 3, 0), v3 = (3, 11, 4, −7), v4 = (1, 8, −2, −16). Zadanie 4. Niech x ∈ X, L : X −→ X będzie odwzorowaniem liniowym oraz niech e1 , . . . , en będzie bazą ortonormalną przestrzeni X. Znaleźć współrzędne wektora x w bazie e1 , . . . , en oraz macierz odwzorowania L jeśli w dziedzinie i obrazie ustalimy bazy e1 , . . . , en . 1 2 ALGEBRA LINIOWA Zadanie 5. W R3 ze standardowym iloczynem skalarnym obliczyć trzema sposobami pole równoległoboku rozpiętego na wektorach (6, −2, 3), (4, 1, 9) i objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach (6, −2, 3), (4, 1, 9) oraz (7, 7, 7). Zadanie 6. Sprawdzić, że następujące wektory w przestrzeni euklidesowej R3 są ortogonalne, a następnie rozszerzyć ten układ do bazy przestrzeni R3 , gdzie a) e1 = (1, 2, 2), e2 = (0, 1, −1), 2 2 2 14 1 11 b) e1 = (− , − , ), e2 = (− , − , − ). 15 15 5 15 15 5 Zadanie 7. W R3 ze standardowym iloczynem skalarnym i standardową orientacją obliczyć iloczyn wektorowy wektorów (1, 5, 4) i (2, 3, 6) oraz iloczyn mieszany wektorów (1, 5, 4), (2, 3, 6) i (1, 1, 1). Zadanie 8. Wyznaczyć dopełnienie ortogonalne prostej lin{(1, 2, 1)} w R3 . Zadanie 9. Wyznaczyć dopełnienie ortogonalne płaszczyzny lin{(1, 2, 1), (2, 2, 1)} w R3 . Zadanie 10. Obliczyć kąt między dwoma płaszczyznami {(x, y, z) ∈ R3 : 9x − y − 4z = 0} i {(x, y, z) ∈ R3 : 8x + 3y + 5z = 0} w Rs ze standardowym iloczynem skalarnym. Zadanie 11. Obliczyć kąt między prostą {(x, y, z) ∈ R3 : x + 9y = 0, 4y − z = 0} a płaszczyzną {(x, y, z) ∈ R3 : 8x + 3y + 5z = 0} w R3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Zadanie 12. W R3 ze standardowym iloczynem skalarnym znaleźć płaszczyznę prostopadłą do prostej {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y = 0, x + y − z = 0}. Zadanie 13. Niech x1 , . . . , xn będzie ciągiem wektorów przestrzeni euklidesowej X. Skalar hx1 , x1 i · · · hx1 , xn i .. .. .. G(x1 , . . . , xn ) := det . . . hxn , x1 i · · · hxn , xn i nazywamy wyznacznikiem Grama wektorów x1 , . . . , xn . Dowieść, że (1) jeśli wektory x1 , . . . , xn są ortogonalne, to G(x1 , . . . , xn ) = kx1 k2 · . . . · kxn k2 , (2) jeśli podprzestrzenie wektorowe generowane odpowiednio przez wektory x1 , . . . , xs oraz przez wektory xs+1 , . . . , xn , gdzie s < n są prostopadłe, to G(x1 , . . . , xn ) = G(x1 , . . . , xs ) · G(xs+1 , . . . , xn ), (3) wektory x1 , . . . , xn są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy G(x1 , . . . , xn ) 6= 0, p (4) jeśli A = [x1 , . . . , xn ] ∈ M (n, n, C) to | det A| = G(x1 , . . . , xn ).