MODELOWANIE ROZKŁADU INDUKCJI W SZCZELINIE

Nr 62
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Politechniki Wrocławskiej
Nr 62
Studia i Materiały
Nr 28
2008
maszyny z magnesami trwałymi, ekscentryczność wirnika
Tomasz WĘGIEL*
MODELOWANIE ROZKŁADU INDUKCJI W SZCZELINIE
POWIETRZNEJ MASZYNY SYNCHRONICZNEJ
Z MAGNESAMI TRWAŁYMI UWZGLĘDNIAJĄCE
EKSCENTRYCZNOŚCI WIRNIKA
W artykule przedstawiono analityczną metodykę analizy rozkładu pola w szczelinie powietrznej
maszyny synchronicznej z magnesami trwałymi z ekscentrycznym wirnikiem. Praca prezentuje wyniki
obliczeń rozkładu pola, uzyskane na podstawie modelowania w sposób uproszczony, bazujący na zaproponowanych analitycznych zależnościach oraz metodą elementów skończonych (FEM). Otrzymane rezultaty potwierdzają dobrą zgodność wyników analitycznych z polowymi, co daje możliwości
ograniczenia konieczności stosowania modeli polowych.
1. WPROWADZENIE
Maszyny synchroniczne z magnesami trwałymi stanowią w obecnym czasie stosunkowo nową, ale już bardzo popularna klasę maszyn, dlatego problem ich modelowania jest zagadnieniem ważnym i ciągle aktualnym. Podstawowym problemem modelowania tej klasy maszyn jest znajomości rozkładu pola magnetycznego
w szczelinie powietrznej maszyny. Do problemu tego można podejść poprzez modelowanie pola magnetycznego metodami elementów skończonych (FEM) lub w sposób
uproszczony metodami analitycznymi. W artykule właśnie ten drugi sposób zostanie
użyty, a rezultaty analiz będą porównane z wynikami polowymi (FEM). W odróżnieniu od klasycznych modeli, podjęto zadanie uwzględnienia oprócz żłobkowania, również możliwość analiz wpływu ekscentryczności wirnika.
__________
* Politechnika Krakowska, Instytut Elektromechanicznych Przemian Energii, 31-155 Kraków,
ul. Warszawska 24
288
2. ANALITYCZNY OPIS ROZKŁADU POLA MAGNETYCZNEGO
W SZCZELINIE POWIETRZNEJ MASZYNY Z MAGNESAMI TRWAŁYMI
2.1. ROZKŁAD POLA MAGNETYCZNEGO DLA PRZYPADKU 1-D
Do analiz rozkładu pola magnetycznego rozważony będzie przykładowy model
maszyny synchronicznej z magnesami trwałymi przedstawiony na rysunku 1.
Rys. 1. Model maszyny z magnesami trwałymi
Fig. 1. Model of a permanent magnet machine
Dla tej maszyny rozważania będą prowadzone przy następujących założeniach:
– nie uwzględnia się spadków napięć magnetycznych w żelazie;
– magnesy są mocowane powierzchniowo do wirnika;
– charakterystyka odmagnesowania magnesów jest liniowa ( Bm = Br + µ 0 µ r H m )
Zależność przedstawiająca rozkład pola magnetycznego w szczelinie powietrznej
w stanie bezprądowym można zapisać następująco [2]
x + 2π
,
,
,
∫ λ ( x ,ϕ ) Br ( x − ϕ ) lm dx
B
PM
( x ,ϕ ) = λ ( x ,ϕ ){B ( x − ϕ ) l m −
r
x
x + 2π
}
(1)
,
,
∫ λ ( x ,ϕ )dx
x
gdzie
λ ( x, ϕ ) =
1
l g ( x,ϕ ) µ r + l m ( x − ϕ )
(2)
jest funkcją permeancji jednostkowej [2], natomiast lg(x,ϕ) i lm(x-ϕ) są zastępczymi
długościami linii sił pola magnetycznego, odpowiednio w szczelinie powietrznej
i magnesie.
289
l m (x- ϕ )
lm
x- ϕ
- π /p
-β
π /p
β
Rys. 2. Zastępcza funkcja długości linii sił pola magnetycznego w magnesie
Fig. 2. Substitutional function of the line length of the magnetic field in PM
Funkcja Br ( x − ϕ ) w formule (1) jest specjalną funkcją indukcji remanentu, będącą odzwierciedleniem prostokątnej funkcji magnetyzacji. Funkcja ta uwzględnia
właściwy znak indukcji remanentu na obwodzie wirnika.
(3)
Br ( x − ϕ ) = Br sgn NS ( x − ϕ )
Br(x- ϕ)
Br
x-ϕ
-π /p
-β
β
π/p
Rys. 3. Specjalna funkcja indukcji remanentu
Fig. 3. Special function of residual flux density
Dla symetrycznej maszyny cylindrycznej z gładką szczeliną powietrzną (rys. 1.), powyższą zależności można zmodyfikować i zredukować do postaci
D
BPM ( x , ϕ ) = B1PM
( x − ϕ ) = λ B ( x − ϕ ) lm
r
gdzie
λ=
1
l g µ r + lm
(4)
290
2.2. ROZKŁAD POLA MAGNETYCZNEGO DLA MODELU 2-D
Przedstawione równanie (1) opisuje w sposób analityczny rozkład pola magnetycznego
w stanie bezprądowym dla maszyny z magnesami trwałymi o dowolnej szczelinie powietrznej dla modelu 1-D. Zhu and Howe [1] wyprowadzili analityczny dwuwymiarowy
2D
model 2-D rozkładu pola BPM
( x − ϕ ) (uwzględniający składowe radialne, jak i tangencjalne rozkładu pola) dla gładkiej, cylindrycznej, symetrycznej maszyny z magnesami trwałymi z rysunku 1. Dla tego modelu składowa radialna rozkładu indukcji BPM ( x, ϕ ) , wytwarzana przez magnesy trwałe, dla punktów leżących na powierzchni gładkiego stojana (przy
założeniu liczby par biegunów p > 1) zgodnie z [1] ma postać
2D
BPM ( x, ϕ ) = BPM
(x − ϕ) =
∑
ς
BςPM ⋅ e jς ( x−ϕ )
(5)
∈Q
gdzie:
BςPM


|ς | +1
2|ς |
 rr 
 rr 






−
+
−
+
(|
|
1
)
2
(
n
1
)
ς
|ς | +1








r
r
4 Br
p
r

 m
 m
(6)
 m 
=
sin( | ς | β ) 2


2|ς |
2|ς |
2|ς | 

π µr
ς − 1  rs   µ + 1   r   µ − 1  r 
r 

r
1 −  r   − r
 m  −  r   

r  
r 
r  
µ
µ


r
 m   
 r   s  
 s 
natomiast zbiór Q = {−ς max K − 5 p,−3 p,− p, p,3 p,5 p Kς max } .
Stosując rezultaty rozważań (5) dla formuły (1), można otrzymać przez wprowadzoną funkcję permeancji jednostkowej, wyrażenie opisujące składową pola pochodzącą od magnesów trwałych dla maszyny o dowolnym kształcie szczeliny powietrznej z uwzględnieniem rozkładu 2-D. Wyrażenie to ma następującą formę
x + 2π
,
2D
,
,
∫ λ ( x , ϕ ) B PM ( x − ϕ ) dx
λ ( x, ϕ ) 2 D
x
B ( x, ϕ ) =
{B PM ( x − ϕ ) −
}
x + 2π
PM
λ
,
,
∫ λ ( x , ϕ )dx
(7)
x
Ponadto należy zauważyć, że wprowadzenie funkcji permeancji jednostkowej, daje
możliwość modelowania użłobkowania jak i również ekscentryczności wirnika.
λ ( x, ϕ ) =
∑ ∑Λ
m ,n e
jmx
e jnϕ
m∈M n∈N
gdzie zbiory M i N mogą zawierać wszystkie liczby całkowite.
(8)
291
Wyrażenia całkowe w formule (7) można przekształcić do następującej postaci
∑ ∑ ∑ Bς
2π
 ς ∈Q
,
2D
,
,
∫ λ ( x , ϕ ) B PM ( x − ϕ ) dx = 
x

 0
x + 2π
PM
Λ m, n e j ( −ς + n )ϕ dla ς + m = 0
(9)
m∈M n∈N
dla ς + m ≠ 0
∑
 2π
Λ 0, n e j n ϕ dla m = 0


n∈N
,
,
∫ λ ( x , ϕ ) dx = 
x

0
dla m ≠ 0
x + 2π
(10)
Ponieważ w maszynach z magnesami trwałymi przeważnie wielkości szczelin powietrznych są duże, można więc w pierwszym przybliżeniu zapisać wyrażenie na rozkład pola w szczelinie powietrznej maszyny w stanie bezprądowym w sposób uproszczony, zaniedbując drugi człon w wyrażeniu (7). Wówczas
B
PM
( x, ϕ ) =
λ ( x, ϕ ) 2 D
BPM ( x − ϕ )
λ
(11)
W konsekwencji bardzo prosty analityczny model 2-D, może być użyty do wyznaczania rozkładu pola w szczelinie powietrznej na powierzchni stojana dla maszyny
z magnesami trwałymi o dowolnych realnych kształtach szczeliny powietrznej.
3. FUNKCJA PERMEANCJI JEDNOSTKOWEJ DLA MASZYNY
Z MAGNESAMI TRWAŁYMI Z EKSCENTRYCZNYM WIRNIKIEM
Funkcja permeancji jednostkowej (2) jest zgodnie z definicją, funkcją odwrotności
długości linii sił pola magnetycznego. Dobre rezultaty dla gładkiego stojana i wirnika
uzyskuje się zakładając, że długości linii sił pola magnetycznego można wyliczyć
przy założeniu prostopadłego kierunku wchodzenie i wychodzenie tych linii ze szczeliny do obwodu magnetycznego jakim jest żelazo oraz magnesy. Założenie to należy
dodatkowo uzależnić od faktu, że względna przenikalność magnetyczna magnesów
jest porównywalna z powietrzem ( µ r ≅ 1.03 L1.08 ), co jest właściwym założeniem
dla magnesów z ziem rzadkich. Dlatego długości tych linii można zapisać następująco
jako lokalną zastępczą długość szczeliny
δ ( x ) = l g ( x, ϕ ) + l m ( x − ϕ )
(12)
Lokalną wartość zastępczej szczeliny δ (x) zgodnie z rysunkiem 4a można przedstawić jako sumę odcinków AB i BC, których długości zależą od położenia na obwodzie szczeliny oraz typu ekscentryczności
292
a) Model do wyznaczenia długości linii sił
pola magnetycznego
b).Model ilustrujący przypadki ekscentryczności
Rys. 4. Uproszczony przekrój maszyny z ekscentrycznością wirnika
Fig. 4. Simplified cross-sections of a motor with rotor eccentricities
δ ( x) = rs − 2rr − de + [(rr + d e ) cos x − d e cos γ e ] 2 + [(rr + d e ) sin x − d e sin γ e ] 2 (13)
Dla ekscentryczności statycznej d e = d s , d d = 0, γ e = γ = const , dla ekscentryczności
dynamicznej d e = d d , d s = 0, γ e = ϕ + χ , natomiast dla ekscentryczności mieszanej
d s ≠ 0,
d d ≠ 0, γ = const
γ e = arcsin(
i
d e = d (ϕ ) = d s2 + d d2 + 2d s d d cos(ϕ − γ ) ;
dd
sin( ϕ − γ )) dla d e ≠ 0 .
de
Rys. 5. Model wyznaczania permeancji
Fig. 5. Permeance calculation model
Żłobki po stronie stojana dodatkowo modyfikują długości linii sił pola magnetycznego. W związku z tym, należy w odpowiednich miejscach na obwodzie szczeliny
powietrznej dodać wartości korygujące ∆δ s (x)
293
δ c ( x,ϕ ) = δ ( x ) + ∆δ s ( x)
(14)
Wielkości tych korekcji można określić używając zależności analitycznych z metody odwzorowań konforemnych do modelowania pola magnetycznego nad żłobkiem,
jak to się robi przy wyprowadzeniu współczynnika Cartera. Zastępcza długość szczeliny δ c ( x, ϕ ) może być zatem wyznaczona lokalnie dla dowolnego położenia wirnika
ϕ . Wówczas staje się ona funkcją dwóch zmiennych x i ϕ , będącą okresową w stosunku do każdej z nich, a jej odwrotność daje funkcję permeancji jednostkowej.
λ ( x, ϕ ) =
1
δ c ( x ,ϕ )
=
∑∑
Λ m ,n e jmx e jnϕ
(15)
m∈M n∈N
Należy zauważyć, że funkcja permeancji jednostkowej zależy od dwóch zmiennych x i ϕ jedynie dla ekscentryczności dynamicznej i mieszanej, podczas gdy nawet
przy użłobkowanym stojanie dla symetrii i również ekscentryczności statycznej, funkcja permeancji jednostkowej zależy jedynie od jednej zmiennej x .
4. PORÓWNANIE OBLICZEŃ ANALITYCZNYCH Z REZULTATAMI
OBLICZEŃ POLOWYCH
Jako ilustrację użyteczności i poprawności przedstawionych modeli wykonano
testowe obliczenia rozkładu pola w szczelinie powietrznej maszyny z magnesami
trwałymi przy użyciu przedstawionych zależności analitycznych oraz metody elementów skończonych. W obliczeniach skorzystano z danych konstrukcyjnych maszyny
SGPM o parametrach znamionowych: PN = 2.5kW, UN = 230V, IN = 7.67A, p = 3.
Maszyna ta posiadała następujące wymiary geometryczne oraz parametry magnesów:
lg = 3mm, lm = 11mm, rs = 66mm, β = 22o (0.38 rd), Br = 1.06T, Hc = 720kA/m. Analizy metodą elementów skończonych (pakiet do obliczeń polowych – MagNet) oraz
obliczenia analityczne prowadzone były w stanie bezprądowym dla przypadku symetrii oraz ekscentryczności dynamicznej. Poziom ekscentryczności wynosił 66%, co
oznaczało w stosunku do symetrii, gdzie szczelina powietrzna nad magnesami miała
wymiar 3mm, że minimalna szczelina powietrzna wynosiła 1mm.
Rozkłady indukcji na powierzchni stojana przedstawiają rysunki 6a i 6b.
Linia ciągła – rozkład uzyskany na drodze obliczeń polowych FEM,
Linia przerywana – rozkład uzyskany na drodze obliczeń analitycznych.
294
a) Maszyna symetryczna
b) Maszyna z ekscentrycznością
B [T]
B [T]
1.5
1
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0.2
0
0
-0.2
-0.5
-0.4
-0.6
-1
-0.8
-1
0
50
100
150
200
y [deg]
250
300
350
400
-1.5
0
50
100
150
200
y [deg]
250
300
350
400
Rys.6. Obliczenia polowe dla maszyny a) symetrycznej; b) z ekscentrycznością
Fig.6. FEM calculation for machine a) symmetrical; b) with rotor eccentricity
PODSUMOWANIE
Praca prezentuje metodykę modelowania rozkładu pola w szczelinie powietrznej
maszyny synchronicznych z magnesami trwałymi dla przypadków ekscentryczności
wirnika. Zaprezentowane rezultaty potwierdzają dobrą zgodność obliczeń analitycznych z wynikami uzyskanymi metoda elementów skończonych (FEM). Prezentowane
podejście pozwala na ograniczenie konieczności stosowania modeli polowych.
LITERATURA
[1] ZHU Z.Q., HOWE D., EKKEHARD B., AND ACKERMANN B., Instantaneous magnetic field
distribution in brushless permanent magnet motors, part I: Open-circuit field, IEEE Trans. Magn.,
vol. 29, pp. 124–134, Jan. 1993.
[2] SOBCZYK T.J., WĘGIEL T., Determination of flux density distribution in the air-gap of permanent
magnet machines (simplified approch), Proc. of the – ICEMA'96, Harbin, China, 1996.
MODELLING FLUX DENSITY DISTRIBUTION IN AIR-GAP OF PM SYNCHRONOUS MACHINE
WITH ROTOR ECCENTRICITIES
In the paper the method of flux density distribution for synchronous machines with permanent magnets located on the surface of the rotor is presented. The paper contains a computation for machine with
rotor eccentricity and shows the comparison results of calculation for analytical model and FEM. This
computation confirms a good agreement of the FEM analysis with the simplified calculation. The model
reduces the necessity of using the FEM analysis and allowed to describe machine by a very simple way.