Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9
Funkcja pierwotna
9.1
Funkcja pierwotna
Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P . Mówimy, że funkcja F : P → R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P , gdy F jest
funkcją różniczkowalną i F 0 (x) = f (x) dla x ∈ P .
Własność 9.1.1. Niech P będzie przedziałem oraz niech F : P → R będzie funkcją
pierwotną funkcji f w przedziale P . Wówczas funkcja F1 : P → R jest funkcją pierwotną
funkcji f w przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy F − F1 jest funkcją stałą (w P ).
Dowód. Załóżmy, że F1 jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P . Wówczas
mamy, że F 0 (x) = f (x) = F10 (x) dla x ∈ P . Zatem z wniosku 7.3.11 dostajemy, że F − F1
jest funkcją stałą. Odwrotnie, jeśli F − F1 iest funkcją stałą, to F10 (x) = F 0 (x) = f (x) dla
x ∈ P , czyli F1 jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P .
Wniosek 9.1.2. Jeśli funkcja f ma w przedziale P funkcję pierwotną, to dla każdego
x0 ∈ P oraz y0 ∈ R istnieje dokładnie jedna funkcja pierwotna F : P → R funkcji f w
przedziale P taka, że F (x0 ) = y0 .
Dowód. Weźmy dowolne x0 ∈ P oraz y0 ∈ R. Niech F1 : P → R będzie funkcją
pierwotną funkcji f w przedziale P . Kładąc F (x) = F1 (x) + y0 − F1 (x0 ), x ∈ P , w
myśl własności 9.1.1 mamy, że F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P oraz
F (x0 ) = y0 .
Pokażemy, że funkcją pierwotna F funkcji f w P taka, że F (x0 ) = y0 jest określona
jednoznacznie. Istotnie, niech F2 : P → R będzie funkcją pierwotną funkcji f w P taką,
że F2 (x0 ) = y0 . W myśl własności 9.1.1 mamy, że istnieje C ∈ R, że F (x) − F2 (x) = C
dla x ∈ P . Ponieważ F (x0 ) − F2 (x0 ) = 0, więc C = 0. To daje tezę.
Z własności pochodnej funkcji dostajemy poniższe własności funkcji pierwotnej.
Twierdzenie 9.1.3. Niech P będzie przedziałem oraz α, β ∈ R. Jeśli F1 , F2 : P → R
są funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji f1 , f2 w przedziale P , to αF1 + βF2 jest
funkcją pierwotną funkcji αf1 + βf2 w przedziale P .
207
208
ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA
Dowód. Bezpośrednio z twierdzenia o działaniach na pochodnej funkcji (twierdzenie
7.2.2) dostajemy (αF1 + βF2 )0 = αF10 + βF20 = αf1 + βf2 w przedziale P .
Uwaga 9.1.4. Odpowiednik twierdzenia 9.1.3 dla iloczynu funkcji nie zachodzi. Mianowicie, w punkcie 9.2 pokażemy że, istnieją funkcje posiadające funkcje pierwotne w przedziale, których iloczyn nie ma funkcji pierwotnej.
Twierdzenie 9.1.5. Niech P będzie przedziałem oraz niech f, g będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale P . Jeśli F : P → R jest funkcją pierwotną funkcji f · g 0 w przedziale
P , to f g − F jest funkcją pierwotną funkcji f 0 · g w przedziale P .
Dowód. Istotnie, bezpośrednio z twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji
(twierdzenie 7.2.2) dostajemy (f g)0 = f 0 g + f g 0 , więc (f g − F )0 = f 0 g w przedziale
P.
Twierdzenie 9.1.6. Niech P, Q będą przedziałami oraz niech ϕ : Q → R będzie funkcją
różniczkowalną taką, że ϕ(Q) ⊂ P . Jeśli F : P → R jest funkcją pierwotną funkcji f w
przedziale P , to F ◦ ϕ : Q → R jest funkcją pierwotną funkcji f ◦ ϕ · ϕ0 w przedziale Q.
Dowód. Z twierdzenia 7.2.3, mamy (F ◦ ϕ)0 = (F 0 ◦ ϕ) · ϕ0 = (f ◦ ϕ) · ϕ0 w P .
Uwaga 9.1.7. Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale P taką, że f (x) > 0
dla x ∈ P . Wprost z definicji funkcji pierwotnej mamy
0
(a) Funkcja F (x) = ln f (x), x ∈ P jest funkcją pierwotnę funkcji ff w przedziale P .
0
q
f
(b) Funkcja F (x) = 2 f (x), x ∈ P jest funkcją pierwotnę funkcji √
w przedziale P .
f
Uwaga 9.1.8. Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale P taką, że f (x) < 0
dla x ∈ P . Wprost z definicji funkcji pierwotnej mamy
(a) Funkcja F (x) = ln |f (x)|, x ∈ P jest funkcją pierwotnę funkcji
q
f0
f
w przedziale P .
(b) Funkcja F (x) = −2 |f (x)|, x ∈ P jest funkcją pierwotnę funkcji √f
0
|f |
w P.
Twierdzenie 9.1.9. Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale P , to f spełnia
w P własność Darboux, to znaczy dla każdych x1 , x2 ∈ P , x1 < x2 oraz każdego c ∈ R,
(a) jeśli f (x1 ) < c < f (x2 ), to istnieje x0 ∈ (x1 , x2 ), że f (x0 ) = c,
(b) jeśli f (x1 ) > c > f (x2 ), to istnieje x0 ∈ (x1 , x2 ), że f (x0 ) = c.
Dowód. Niech F : P → R będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P . Wówczas F 0 (x) = f (x) dla x ∈ P i z twierdzenia Darboux 7.3.3 dostajemy, że f spełnia (a) i
(b).
Uwaga 9.1.10. W myśl twierdzenia 9.1.9 mamy, że funkcja f (x) = [x], x ∈ R, gdzie
[x] oznacza całość z liczby x, nie ma funkcji pierwotnej, bowiem funkcja ta nie spełnia
warunków (a) i (b) w twierdzeniu 9.1.9. Można rẃnież udowodnić, że istnieją funkcje
spełniające powyższe warunki (a) i (b), które nie mają funkcji pierwotnych.
9.2. O FUNKCJI PIERWOTNEJ FUNKCJI CIĄGŁEJ
209
Własność 9.1.11. Niech P będzie przedziałem, x0 ∈ P będzie takim punktem, że zbiory
P1 = {x ∈ P : x 6 x0 }, P2 = {x ∈ P : x > x0 } są przedziałami. Niech f : P → R. Jeśli
(i)
F1 : P1 → R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P1 ,
(ii)
F2 : P2 → R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P2 ,
(iii)
F1 (x0 ) = F2 (x0 ),
to funkcja F : P → R określona wzorami
F (x) = F1 (x) dla x ∈ P1
i
F (x) = F2 (x) dla x ∈ P2
jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P .
Dowód. Wobec (iii) mamy, że funkcja F jest poprawnie określona. Weźmy dowolny
x ∈ P . Jeśli x < x0 , to z (i) mamy F 0 (x) = F10 (x) = f (x). Jeśli x > x0 , to z (ii) mamy
F 0 (x) = F20 (x) = f (x). Jeśli x = x0 , to z określenia F i z (i) oraz (iii) mamy
lim−
F1 (x) − F1 (x0 )
F (x) − F (x0 )
= lim−
= f (x0 )
x − x0
x − x0
x→x0
lim+
F (x) − F (x0 )
F2 (x) − F2 (x0 )
= lim+
= f (x0 ).
x − x0
x − x0
x→x0
x→x0
oraz z (ii)
x→x0
Zatem F 0 (x0 ) = f (x0 ). Reasumując F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P . 9.2
O funkcji pierwotnej funkcji ciągłej
Twierdzenie 9.2.1. Jeśli ciąg funkcyjny fn : [a, b] → R, n ∈ N, jest jednostajnie zbieżny
do funkcji f : [a, b] → R oraz każda funkcja fn , n ∈ N ma w przedziale [a, b] funkcję
pierwotną Fn : [a, b] → R, to funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale [a, b]. Jeśli
∞
dodatkowo dla pewnego x0 ∈ [a, b], ciąg (Fn (x0 ))∞
n=1 jest zbieżny, to ciąg (Fn )n=1 jest
jednostajnie zbieżny i jego granica jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale [a, b].
Dowód. Niech x0 ∈ [a, b]. Przyjmując F̃n (x) = Fn (x) − Fn (x0 ), x ∈ [a, b], z wniosku
9.1.2, mamy, że F̃n jest funkcją pierwotną funkcji fn dla n ∈ N. Zatem ciąg funkcji
∞
różniczkowalnych (F̃n )∞
n=1 jest zbieżny w punkcie x0 i ciąg jego pochodnych (fn )n=1 jest
jednostajnie zbieżny do funkcji f w przedziale [a, b]. W myśl twierdzenia 8.5.1, ciąg (F̃n )∞
n=k
jest, więc jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji różniczkowalnej F̃ : [a, b] → R oraz
F̃ 0 (x) =n→∞
lim F̃n0 (x) =n→∞
lim fn (x) = f (x)
dla x ∈ [a, b].
W konsekwencji F̃ jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale [a, b] oraz F̃n ⇒ F̃ .
Jeśli dodatkowo ciąg (Fn (x0 ))∞
n=1 jest zbieżny, to analogicznie jak powyżej, w myśl
∞
twierdzenia 8.5.1, ciąg (Fn )n=k jest jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji różniczkowalnej
F : [a, b] → R oraz F jest funkcją pierwotną funkcji f w [a, b]. To kończy dowód.
Z twierdzenia 9.2.1 dostajemy natychmiast
210
ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA
Wniosek 9.2.2. Jeśli szereg funkcyjny
∞
P
n=1
fn , gdzie fn : [a, b] → R, n ∈ N, jest jedno-
stajnie zbieżny do funkcji f : [a, b] → R oraz każda funkcja fn , n ∈ N ma w przedziale
[a, b] funkcję pierwotną Fn : [a, b] → R, to funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale
[a, b]. Jeśli dodatkowo dla pewnego x0 ∈ [a, b], szereg
∞
P
n=1
∞
P
n=1
Fn (x0 ) jest zbieżny, to szereg
Fn jest jednostajnie zbieżny i jego suma jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
[a, b].
W oparciu o twierdzenie 9.2.1, pokażemy, że każda funkcja ciągła w przedziale ma
funkcję pierwotną w tym przedziale. Udowodnimy najpierw lemat.
Lemat 9.2.3. Jeśli f : R → R jest wielomianem postaci f (x) =
n
P
j=0
wielomian F (x) =
n
P
j=0
aj j+1
x ,
j+1
aj xj , x ∈ R, to
x ∈ R jest funkcją pierwotną funkcji f w R.
Dowód. Przy oznaczeniach lematu dostajemy F 0 = f w R. To daje tezę.
Twierdzenie 9.2.4. (o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji ciągłej). Jeśli P jest
przedziałem, to każda funkcja ciągła f : P → R ma funkcję pierwotną w przedziale P .
Dowód. Niech f : P → R będzie funkcją ciągłą.
Załóżmy najpierw, że P jest przedziałem domkniętym. Wówczas z twierdzenia Weierstrassa 8.8.7 mamy, że istnieje ciąg wielomianów (Wn )∞
n=1 zbieżny jednostajnie do funkcji
f na przedziale P . W myśl lematu 9.2.3, każdy wielomian Wn , n ∈ N ma funkcję pierwotną
w P . Zatem z twierdzenia 9.2.1 dostajemy tezę w tym przypadku.
Niech teraz P będzie dowolnym przedziałem oraz niech a, b, a < b będą końcami
przedziału P . Niech x0 ∈ P będzie ustalonym punktem takim, że a < x0 < b.
Jeśli b ∈ P , to z przypadku rozważonego na początku dowodu, istnieje funkcja pierwotna F̃ funkcji f w przedziale [x0 , b]. Ponadto, wobec wniosku 9.1.2, można założyć, że
F̃ (x0 ) = 0. Jeśli b 6∈ P , to istnieje ciąg rosnący (xn )∞
n=1 ⊂ P taki, że x0 < xn dla n ∈ N
oraz lim xn = b. W myśl poprzedniego, w każdym przedziale [x0 , xn ] istnieje funkcja
n→∞
pierwotna Fn : [x0 , xn ] → R funkcji f . Ponadto można założyć, że Fn (x0 ) = 0. Wówczas,
z własności 9.1.1 mamy Fn (x) = Fm (x) dla n < m oraz x ∈ [x0 , xn ]. Ponieważ
[
[x0 , xn ] = [x0 , b),
n∈N
więc funkcja F̃ : [x0 , b) → R określona wzorem
F̃ (x) = Fn (x),
jeśli
x ∈ [x0 , xn ],
jest poprawnie określona. Ponadto F̃ (x0 ) = 0 oraz F̃ 0 (x) = f (x) dla x ∈ [x0 , b), czyli
dla x ∈ P , x > x0 . Reasumując istnieje funkcja pierwotna F̃ funkcji f w przedziale
{x ∈ P : x > x0 } taka, że F̃ (x0 ) = 0.
9.2. O FUNKCJI PIERWOTNEJ FUNKCJI CIĄGŁEJ
211
Analogicznie jak powyżej pokazujemy, że istnieje funkcja pierwotna F̃˜ funkcji f w
przedziale {x ∈ P : x 6 x0 } taka, że F̃˜ (x0 ) = 0.
Ponieważ F̃ (x0 ) = F̃˜ (x0 ), więc biorąc funkcję F : P → R określoną wzorami F (x) =
F̃ (x) dla x ∈ P , x > x0 oraz F (x) = F̃˜ (x) dla x ∈ P , x 6 x0 , w myśl własności 9.1.11
dostajemy, że F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P .
Uwaga 9.2.5. Niech (fn )∞
n=1 będzie ciągiem funkcji określonych na przedziale P . Załóżmy,
że każda funkcja fn ma w P funkcję pierwotną. W dowodzie twierdzenia 9.2.4 pokazaliśmy,
że jeśli ciąg (fn )∞
n=1 jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale domkniętym zawartym
w P , to granica ciągu (fn )∞
n=1 ma funkcję pierwotną.
Uwaga 9.2.6. Funkcja f : R → R określona wzorem f (x) = 2x sin x1 − cos x1 dla x 6= 0
oraz f (0) = 0 posiada funkcję pierwotnę F : R → R określoną wzorami F (x) = x2 sin x1
dla x 6= 0 oraz F (0) = 0. Funkcja f nie jest jednak funkcją ciągłą w punkcie 0.
Uwaga 9.2.7. Istnieją funkcje posiadające funkcje pierwotne w przedziale, których iloczyn
nie ma funkcji pierwotnej w tym przedziale. Pokażemy, że funkcja f : R → R określona
wzorami
1
f (x) = cos
dla x 6= 0
oraz f (0) = 0.
x
ma funkcję pierwotną w R lecz f 2 nie ma w R funkcji pierwotnej. Niech F : R → R,
g : R → R będą funkcjami określonymi wzorami
1
F (x) = x2 sin
dla x 6= 0
oraz F (0) = 0,
x
1
g(x) = 2x sin
dla x 6= 0
oraz g(0) = 0.
x
Funkcja g, jako funkcja ciągła, ma funkcję pierwotną G : R → R (twierdzenie 9.2.4).
Wtedy F 0 (x) = g(x) − f (x) dla x ∈ R, więc F1 = G − F jest funkcją pierwotną funkcji f
w R.
Przypuśćmy teraz, że funkcja f 2 ma w R funkcję pierwotną F2 : R → R. Pokażemy,
że istnieje C ∈ R, że
(9.1)
F2 (2x) = F1 (x) + x + C
dla x ∈ R.
Istotnie, ponieważ cos 2α = 2 cos2 α − 1 dla α ∈ R, więc
(9.2)
2f 2 (2x) = f (x) + 1
dla
x 6= 0.
Funkcja F1 (x) + x jest w R funkcją pierwotną funkcji f + 1 oraz z twierdzenia 9.1.6
mamy, że funkcja F2 (2x) jest w R funkcją pierwotną funkcji 2f 2 (2x). Stąd, z (9.2) i
własności 9.1.1, istnieją C1 , C2 ∈ R, że F2 (2x) = F1 (x) + x + C1 dla x ∈ (−∞, 0) oraz
F2 (2x) = F1 (x) + x + C2 dla x ∈ (0, +∞). Wobec ciągłości funkcji F1 , F2 , przechodząc do
granicy przy x → 0 dostajemy F2 (0) = F1 (0) + C1 oraz F2 (0) = F1 (0) + C2 . Stąd wynika,
że C1 = C2 . Reasumując pokazaliśmy (9.1). Z (9.1) i określenia funkcji F1 , F2 mamy
0 = 2f 2 (0) = 2F20 (0) = F10 (0) + 1 = f (0) + 1 = 1,
co jest niemożliwe. Z otrzymanej sprzeczności wynika, że przypuszczenie o istnieniu w R
funkcji pierwotnej funkcji f 2 było fałszywe.
212
9.3
ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA
Całka nieoznaczona
Dla uproszczenia zapisu wprowadzimy pojęcie całki nieoznaczonej.
Definicja całki nieoznaczonej. Niech P będzie przedziałem oraz f funkcją określoną
na P . Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale P , to zbiór wszystkich funkcji
pierwotnych funkcji
f w przedziale
P nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale
R
R
P i oznaczamy f dx lub f (x)dx. Jeśli funkcja f nie ma funkcji pierwotnej w przedziale
P , to mówimy, że funkcja ta nie ma całki nieoznaczonej w tym przedziale.
Uwaga 9.3.1. Jeśli F : PR→ R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P , to wobec
własności 9.1.1 mamy, że f (x)dx = {G : P → R : istnieje
stała C ∈ R, że G = F + C}.
R
W związku z tym, w dalszym ciągu będziemy pisali f (x)dx = F (x) + C, gdzie C ∈ R
jest dowolną stałą. Aby wyznaczyć całkę nieoznaczoną funkcji w przedziale wystarczy więc
obliczyć jedną funkcję pierwotną tej funkcji w tym przedziale.
Uwaga 9.3.2. W literaturze wyznaczanie funkcji pierwotnej oraz całki nieoznaczonej nazywa się całkowaniem.
R
Uwaga 9.3.3. Oznaczenie f (x)dx, całki nieoznaczonej funkcji f w przedziale P , pochodzi od Leibniza. W oznaczeniu tym nie występuje oznaczenie przedziału P . Należy jednak
pamiętać, że proces szukania całki nieoznaczonej jest ściśle związany z przedziałem. Symbol dx, w oznaczeniu całki, ma ułatwić rozróżnienie po której zmiennej całkujemy funkcję,
jeśli funkcja zależy od wielu zmiennych.
Podamy teraz twierdzenia o całce nieoznaczonej sumy dwóch funkcji. Zgodnie z definicją będziemy musieli dodawać rodziny funkcji. Przyjmijmy więc następujące oznaczenia.
Definicja Dla zbiorów A, B ⊂ RX , funkcji określonych na zbiorze X, przyjmujemy
A + B = {f + g : f ∈ A ∧ g ∈ B},
aA = {af : f ∈ A}, gdzie a ∈ R.
g + A = {g + f : f ∈ A}, gdzie g : X → R.
A ◦ ϕ = {f ◦ ϕ : f ∈ A}, gdzie ϕ : Y → R, ϕ(Y ) ⊂ X.
Bezpośrednio z twierdzenia 9.1.3 i powyższej definicji dostajemy
Twierdzenie 9.3.4. Jeśli funkcje f i g mają całki nieoznaczone w przedziale P , to funkcje
f + g oraz αf , gdzie α ∈ R, mają całki nieoznaczone w przedziale P i
Z
(f + g)dx =
Z
f dx +
Z
gdx
oraz
Z
αf dx = α
Z
f dx.
Z twierdzenia 9.1.5 mamy
Twierdzenie 9.3.5. (o całkowaniu przez części). Niech P będzie przedziałem oraz
niech f, g będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale P . Jeśli funkcja f · g 0 ma w
przedziale P całkę nieoznaczoną, to funkcja f 0 · g ma w przedziale P całkę nieoznaczoną
oraz
Z
Z
f 0 · gdx = f g − f · g 0 dx.
9.3. CAŁKA NIEOZNACZONA
213
Z twierdzenia 9.1.6 mamy
Twierdzenie 9.3.6. (o całkowaniu przez podstawienie). Niech P, Q będą przedziałami oraz niech ϕ : Q → R będzie funkcją różniczkowalną taką, że ϕ(Q) ⊂ P . Jeśli funkcja
f ma w przedziale P całkę nieoznaczoną, to funkcja f ◦ ϕ · ϕ0 ma w przedziale Q całkę
nieoznaczoną oraz
Z
Z
f ◦ ϕ(x) · ϕ0 (x)dx =
f (t)dt ◦ ϕ(x).
Bepośrednio z twierdzeń 7.2.11 oraz 7.2.12 dostajemy
Twierdzenie 9.3.7. Niech α, a ∈ R. Wówczas w odpowiednim przedziale, mamy
R
xα dx
=
xα+1
α+1
+ C,
w
(0, +∞),
gdy α ∈ R \ {−1}
R
xα dx
=
xα+1
α+1
+ C,
w
R,
gdy α ∈ N
R
xα dx
=
xα+1
α+1
+ C,
w
(−∞, 0),
gdy α ∈ Z \ {−1}
R
x−1 dx
= ln x + C,
w
(0, +∞),
R
x−1 dx
= ln(−x) + C,
w
(−∞, 0),
R
ex dx
= ex + C,
w
R,
R
ax dx
=
ax
ln a
w
R,
R
sin xdx
= − cos x + C,
w
R,
R
cos xdx
= sin x + C,
w
R,
R
1
dx
cos2 x
=
tg x + C,
w
R
1
dx
sin2 x
= − ctg x + C,
w
(kπ, π + kπ) ,
R
1
dx
1+x2
= arctg x + C,
w
R
R
√ 1
dx
1−x2
= arcsin x + C,
w
(−1, 1).
+ C,
gdy a > 0, a 6= 1,
− π2 + kπ, π2 + kπ ,
gdzie k ∈ Z,
gdzie k ∈ Z,
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą.
Przykład 9.3.8. Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy, że
Z
ln xdx = x ln x − x + C
w przedziale
(0, +∞),
214
ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Z punktu widzenia obliczania całek nieoznaczonych ważny
jest również sposób w jaki można taką całkę ”zgadnąć”. Stosując mianowicie twierdzenie o
całkowaniu przez części 9.3.5, dla funkcji f (x) = x, g(x) = ln x, x ∈ (0, +∞), dostajemy
Z
ln xdx = x ln x −
Z
1dx = x ln x − x + C
w przedziale (0, +∞),
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą.
Przykład 9.3.9. Z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy łatwo, że
Z
(9.3)
ex sin xdx =
ex
(sin x − cos x) + C,
2
w zbiorze
R,
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Stosując zaś dwa razy twierdzenie o całkowaniu przez
części 9.3.5, dostajemy
Z
x
x
e sin xdx = e sin x −
Z
x
x
x
e cos xdx = e sin x − e cos x −
Z
ex sin xdx
w zbiorze
R,
przy czym całki w powyższym wzorze istnieją. Oznaczając przez F : R → R dowolną
funkcję pierwotną funkcji ex sin x dostajemy, że istnieje C0 ∈ R, że
F (x) = ex (sin x − cos x) − F (x) + C0 ,
x ∈ R.
Stąd dostajemy (9.3).
Przykład 9.3.10. Z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy łatwo, że
Z
(9.4)
arcsin xdx = x arcsin x +
√
1 − x2 + C,
w przedziale
(−1, 1),
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Stosując zaś twierdzenie o całkowaniu przez części mamy
(9.5)
Z
arcsin xdx = x arcsin x −
Z
√
x
dx,
1 − x2
w przedziale
(−1, 1).
Przyjmując ϕ(x) = 1 − x2 , x ∈ (−1, 1) dostajemy
ϕ(x) ∈ (0, 1]
oraz
√
x
−1
= q
ϕ0 (x)
2
1−x
2 ϕ(x)
dla x ∈ (−1, 1).
√
R 1
Ponadto 2√
dt = t + C w przedziale (0, 1], gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Zatem
t
stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie 9.3.6 dostajemy
Z
Z
q
√
x
1
0
q
√
dx
=
−
ϕ
(x)dx
=
−
ϕ(x)
+
C
=
−
1 − x2 + C
1 − x2
2 ϕ(x)
w przedziale (−1, 1), gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Stąd i z (9.5) wynika (9.4).
9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH
9.4
215
Informacje o obliczaniu funkcji pierwotnych
W punkcie 9.2 pokazaliśmy istnienie funkcji pierwotnych funkcji ciągłych w przedziale. W
tym punkcie podamy metody efektywnego obliczania funkcji pierwotnych pewnych funkcji. Podamy najpierw metodę obliczania funkcji pierwotnych funkcji wymiernych a następnie pokażemy, jak sprowadzić pewne inne rodziny funkcji do tego przypadku. Wszystkie
rozważane tutaj funkcje będą miały funkcje pierwotne, które można zapisać przy użyciu
funkcji elementarnych. Na uwagę zasługuje fakt, że nie wszystkic funkcje elementarne mają funkcje pierwotne będące funkcjami elementarnymi. Można na przykład pokazać (lecz
nie jest to łatwe), że funkcje określone wzorami
f (x) =
h(x) =
√
1 + x3 ,
1
,
ln x
sin x
,
x
x > −1,
g(x) =
x > 1,
p(x) = e−x ,
2
x > 0,
x ∈ R,
mają funkcje pietrwotne, które jednak nie są funkcjami elementarnymi.
Dla uproszczenia zapisu będziemy w tym punkcie stosowali całki nieoznaczone.
9.4.1
Całkowanie ułamków prostych
Definicja ułamków prostych. Niech n ∈ N oraz a, b, c, d, p, q ∈ R. Ułamkami prostymi
nazywamy funkcje wymierne postaci
f (x) =
(9.6)
(9.7)
g(x) =
(x2
a
,
(x − b)n
cx + d
,
+ px + q)n
x 6= b,
x ∈ R,
gdzie p2 − 4q < 0.
Uwaga 9.4.1. Funkcja g w powyższej definicji jest poprawnie określona, bowiem z warunku p2 − 4q < 0 wynika, że x2 + px + q > 0 dla wszystkich x ∈ R.
Pokażemy, że funkcje pierwotne ułamków prostych (w odpowiednich przedziałach) są
funkcjami elementarnymi.
Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej mamy dwie poniższe własności.
Własność 9.4.2. Niech a, b ∈ R, Wówczas
Z
a
dx = a ln(b − x) + C,
x−b
w przedziale
(−∞, b),
Z
a
dx = a ln(x − b) + C,
x−b
w przedziale
(b, +∞),
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą.
216
ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA
Własność 9.4.3. Niech n ∈ N, n > 1 oraz a, b ∈ R. Wówczas
Z
a
a
dx =
+ C,
n
(x − b)
(1 − n)(x − b)n−1
w przedziale
(−∞, b),
Z
a
a
dx
=
+ C,
(x − b)n
(1 − n)(x − b)n−1
w przedziale
(b, +∞),
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą.
Przejdźmy teraz do ułamków prostych postaci (9.7).
Lemat 9.4.4. Niech n ∈ N, c, d, p, q ∈ R oraz p2 − 4q < 0 oraz niech
g(x) =
cx + d
,
(x2 + px + q)n
x ∈ R.
Wówczas przyjmując
p
a=− ,
2
b=
4q − p2
4
mamy, że b > 0 oraz
g(x + a) =
c
2x
ca + d
+ 2
,
2
n
2 (x + b)
(x + b)n
x ∈ R.
Dowód. Ponieważ
x2 + px + q = x +
więc przyjmując a = − p2 , b =
g(x + a) =
4q−p2
,
4
p
2
2
+
4q − p2
,
4
dostajemy
xc + ca + d
c
2x
ca + d
=
+ 2
,
2
n
2
n
(x + b)
2 (x + b)
(x + b)n
x ∈ R,
co daje tezę.
Lemat 9.4.5. Niech g : R → R będzie funkcją ciągłą, a ∈ R oraz niech funkcja ϕ : R → R
będzie określona wzorem ϕ(x) = x − a, x ∈ R. Wówczas
Z
Z
g(x)dx =
g(t + a)dt ◦ ϕ(x).
Dowód. Ponieważ g(x)dx = g(ϕ(x) + a)ϕ0 (x)dx, więc z twierdzenia o całkowaniu
przez podstawienie 9.3.6 dostajemy tezę.
R
R
Z lematów 9.4.4 i 9.4.5 dostajemy
9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH
217
Własność 9.4.6. Niech n ∈ N, c, d, p, q ∈ R oraz p2 − 4q < 0. Wówczas oznaczając
p
a=− ,
2
b=
4q − p2
4
ϕ(x) = x − a,
oraz
x∈R
mamy
!
!
Z
Z
cx + d
c
ca + d
2t
dx =
dt ◦ ϕ +
dt ◦ ϕ,
(x2 + px + q)n
2 (t2 + b)n
(t2 + b)n
Z
w R.
W świetle własności 9.4.6 dla obliczania całek nieoznaczonych ułamków prostych wystarczy rozważyć ułamki proste postaci
(x2
2x
+ b)n
oraz
(x2
1
.
+ b)n
Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej mamy
Własność 9.4.7. Niech b ∈ R, b > 0. Wówczas
Z
2x
dx = ln(x2 + b) + C,
+b
x2
Z
(x2
2x
1
dx =
+ C,
α
+ b)
(1 − α)(x2 + b)α−1
w zbiorze
w zbiorze
R,
R,
gdzie α ∈ R \ {1},
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą.
Pozostaje rozważyć ułamki proste postaci
1
.
(x2 +b)n
Własność 9.4.8. Niech b ∈ R, b > 0 oraz niech ϕ : R → R będzie funkcją określoną
wzorem
x
ϕ(x) = √ ,
x ∈ R.
b
Wówczas
Z
√ Z
!
1
b
1
dx = n
dt ◦ ϕ
(x2 + b)n
b
(t2 + 1)n
w zbiorze
R.
Dowód. Ponieważ
√
√
1
b
1
1
b
1
√ = n
= n
ϕ0 (x),
x 2
2
n
n
2
n
√
(x + b)
b (( b ) + 1)
b ((ϕ(x)) + 1)
b
więc z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie 9.3.6 dostajemy tezę.
1
W świetle powyższej własności pozostaje rozważyć ułamki proste postaci (x2 +1)
n . Całki nieoznaczone takich funkcji obliczamy przy pomocy następujących wzorów rekurencyjnych.
218
ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA
Twierdzenie 9.4.9. Oznaczmy
In =
Z
1
dx,
(x2 + 1)n
w zbiorze
gdzie
R,
n ∈ N.
Wówczas
I1 = arctg x + C
(9.8)
w zbiorze R,
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą oraz
In+1 =
(9.9)
x
2n − 1
1
+
In
2
n
2n (x + 1)
2n
dla n ∈ N.
Dowód. Z twierdzenia 9.3.7 dostajemy (9.8). Funkcje
fn (x) =
(x2
1
,
+ 1)n
x ∈ R,
gdzie
n ∈ N,
jako funkcje ciągłe mają funkcje pierwotne w R. Niech więc Fn : R → R będzie funkcją
pierwotną funkcji fn dla n ∈ N. Wtedy dla x ∈ R mamy
0
Fn+1
(x) = fn+1 (x)
oraz
!0
1
x
2n − 1
+
Fn (x)
2
n
2n (x + 1)
2n
=
1
x
2
2n (x + 1)n
!0
+
Z powyższych dwóch równości dostajemy (9.9).
2n − 1
1
= fn+1 (x).
2
2n (x + 1)n
Zbierając wyniki tego punktu dostajemy
Wniosek 9.4.10. Funkcje pierwotne ułamków prostych (w przedziałach, w których ułamki
te są określone) są funkcjami elementarnymi.
9.4.2
Całkowanie funkcji wymiernych
Pokażemy, że każda funkcja wymierna ma funkcję pierwotną w każdym przedziale w którym jest określona i funkcja pierwotna jest funkcją elementarną. W świetle wyników poprzedniego punktu wystarczy pokazać, że zachodzi następujące twierdzenie.
Twierdzenie 9.4.11. Dla każdej funkcji wymiernej f istnieje wielomian W oraz skończony ciąg ułamków prostych g1 , ..., gk , że
f = W + g1 + · · · + gk ,
w punktach, gdzie funkcja f jest określona.
9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH
219
Dowód powyższego twierdzenia jest czysto algebraiczny. Można więc go pominąć, odwołując się do algebray. Przyjmując za znane, że każdy niezerowy wielomian o współczynnikach rzeczywistych jest iloczynem wielomianów pierwszego i drugiego stopnia, podajemy
jednak szkic dowodu twierdzenia 9.4.11.
Kluczowym w dowodzie twierdzenia 9.4.11 jest następujący fakt algebraiczny. Twierdzenia tego dowodzi się również w Analizie Zespolonej.
Lemat 9.4.12. Każdy wielomian dodadniego stopnia (o współczynnikach rzeczywistych) jest iloczynem
skończonej ilości wielomianów stopnia pierwszego oraz wielomianów stopnia 2, które nie mają pierwiastków.
Następnym ważnym twierdzeniem w dowodzie twierdzenia 9.4.11 jest poniższy Algorytmu Euklidesa.
Lemat 9.4.13. Niech P, Q będą wielomianami niezerowymi. Wówczas istnieją wielomiany W i R takie,
że deg R < deg Q oraz
(9.10)
P = W Q + R.
Dowód. Niech P = am xm + am−1 xm−1 + · · · a0 , Q(x) = bk xk + bk−1 xk−1 + · · · + b0 , am 6= 0,
bk 6= 0. Wtedy m = deg P , k = deg Q. Jeśli m < k, to kładąc W = 0, R = P dostajemy tezę. Załóżmy,
że m > k. Oznaczmy m = m0 , R0 = P oraz α0 = abm
. Wtedy wielomian R1 = R0 − α0 xm−k Q ma
k
stopień mniejszy od m0 . Jeśli m1 = deg R1 < k, to dla W (x) = αxm−k oraz R = R1 , dostajemy
tezę. Jeśli m1 > k, to analogicznie jak powyżej, istnieje α1 ∈ R, że R2 = R1 − α1 xm1 −k Q oraz m2 =
deg R2 < m1 . Postępując tak dalej znajdziemy skończony ciąg liczb αi ∈ R oraz wielomianów Ri , że
Ri = Ri−1 − αi−1 xmi −k Q dla i = 0, ..., n oraz mi = deg Ri jest ciągiem malejącym, k 6 mn−1 , k > mn .
Wtedy dla W = α0 xm0 −k + α1 xm1 =k + · · · αn−1 xmn−1 −k oraz R = Rn dostajemy (9.10).
Lemat 9.4.14. Niech P, Q będą wielomianami oraz a ∈ R, k ∈ N. Jeśli Q(a) 6= 0, to przyjmując
P (a)
A = Q(a)
, istnieje wielomian P1 taki, że
(9.11)
P (x)
A
P1 (x)
=
+
,
(x − a)k Q(x)
(x − a)k
(x − a)k−1 Q(x)
gdzie
x ∈ R,
(x − a)Q(x) 6= 0.
Dowód. Ponieważ P (a) − AQ(a) = 0, więc z twierdzenia Bezouta 3.9.6 istnieje wielomian P1 taki,
że P (x) − AQ(x) = (x − a)P1 (x). Dzieląc tę ostatnią równość przez (x − a)k Q(x) dostajemy (9.11). Definicja . Niech P, Q będą wielomianami. Mówimy, że wielomian Q dzieli wielomian P , gdy istnieje
wielomian W , że P = W Q. W przeciwnym razie mówimy, że wielomian Q nie dzieli wielomianu P .
Lemat 9.4.15. Niech P, Q będą wielomianami oraz p, q ∈ R, k ∈ N. Jeśli wielomian x2 + px + q nie dzieli
żadnego z wielomianów P i Q oraz p2 − 4q < 0, to istnieją B, C ∈ R oraz istnieje wielomian P1 taki, że
(9.12)
P (x)
Bx + C
P1 (x)
= 2
+ 2
,
(x2 + px + q)k Q(x)
(x + px + q)k
(x + px + q)k−1 Q(x)
gdzie
x ∈ R,
Q(x) 6= 0.
Dowód. Wystarczy pokazać, że istnieją B, C ∈ R oraz istnieje wielomian P1 taki, że
(9.13)
P (x) − (Bx + C)Q(x) = (x2 + px + q)P1 (x)
dla
x ∈ R.
Z lematu 9.4.13 i założenia, że wielomiany P, Q nie dzielą się przez x2 + px + q wynika, że istnieją
a, b, c, d ∈ R oraz wielomiany F, W takie, że a 6= 0 lub b 6= 0 oraz c 6= 0 lub d 6= 0 i dla x ∈ R mamy
P (x) = (x2 + px + q)F (x) + (ax + b),
Q(x) = (x2 + px + q)W (x) + (cx + d).
220
ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA
Zatem dla dowolnych B, C ∈ R oraz x ∈ R mamy
(9.14) P (x) − (Bx + C)Q(x) = (x2 + px + q)(F (x) − (Bx + C)W (x)) + (ax + b) − (Bx + C)(cx + d),
ponadto dzieląc (ax + b) − (Bx + C)(cx + d) przez x2 + px + q dostajemy
(9.15)
(ax + b) − (Bx + C)(cx + d) = (x2 + px + q)(−Bc) + (a − Bd − Cc + Bcp)x + b − Cd + Bcq.
Zauważmy, że istnieją B, C ∈ R, że
a − Bd − Cc + Bcp = 0
(9.16)
i
b − Cd + Bcq = 0.
Układ (9.16) jest układem równań liniowych zmiennych B, C o wyznaczniku głównym A równym
d2 − cpd + c2 q. Wyznacznik ten jest różny od zera. Istotnie, jeśli c = 0, to d 6= 0 i wyznacznik A = d2
jest różny od zera. Jeśli zaś c 6= 0, to A = c2 [(− dc )2 + p( dc ) + q] 6= 0, gdyż − dc nie może być pierwiastkiem wielomian x2 + px + q, bo p2 − 4q < 0. Reasumując układ (9.16) ma rozwiącanie (B, C). Biorąc to
rozwiązanie, z (9.15) i (9.14) dostajemy
P (x) − (Bx + C)Q(x) = (x2 + px + q)(F (x) − (Bx + C)W (x)) + (x2 + px + q)(−Bc).
Oznaczając więc P1 = F (x) − (Bx + C)W (x) − Bc dostajemy (9.12).
P
Dowód twierdzenia 9.4.11. Niech f = Q
, gdzie P, Q są wielomianami nie posiadającymi wspólnych
dzielników (tzn. P i Q nie dzielą się przez ten sam wielomian dodatniego stopnia). Zgodnie, z lematem
9.4.12 istnieją wielomiany stopnia pierwszego Li (x) = x − ai , liczby ki ∈ N, i = 1, ..., r oraz wielomiany
stopnia drugiego Ki (x) = x2 + pi x + qi , nie posiadające pierwiastków, liczby li ∈ N, i = 1, ..., s oraz
α ∈ R \ {0}, że
Q(x) = α(x − a1 )k1 · · · (x − ar )kr (x2 + p1 x + q1 )l1 · · · (x2 + ps x + qs )ls ,
przy czym w powyższym wzorze czynniki pierwszego lub drugiego stopnia mogę nie występować, jeśli Q
jest iloczynem czynników liniowych lub, gdy jest iloczynem czynników stopnia drugiego. Ponadto czynniki
Li są różne między sobą i czynniki Ki są różne między sobą. Można założyć, że α = 1. Stosując teraz
k1 + · · · kr razy lemat 9.4.14 oraz l1 + · · · + ls razy lemat 9.4.15 dostajemy tezę twierdzenia 9.4.11.
Z twierdzenia 9.4.11, wniosku 9.4.10 i faktu, że funkcja pierwotna wielomianu jest
wielomianem, dostajemy
Wniosek 9.4.16. Funkcje pierwotne funkcji wymiernych (w przedziałach, w których są
określone) są funkcjami elementarnymi.
Uwaga 9.4.17. Z twierdzenia 9.4.11 dostajemy algorytm wyliczania całki nieoznaczonej
P
dowolnej funkcji wymiernej f = Q
. Należy mianowicie przedstawić funkcję f w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych, a następnie zastosować algorytmy wyliczania funkcji
pierwotnych dowolnego ułamka prostego, podane w poprzednim podpunkcie. Główną trudnością w tym algorytmie jest rozłożenie wielomianu Q na iloczyn wielomianów stopnia
pierwszego i drugiego. Nie mamy efektywnych metod uzyskiwania tego rozkładu.
Metodę ”rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste” przedstawimy na przykładzie.
Przykład 9.4.18. Niech
(9.17)
f (x) =
2x6 + 4x4 − 3x3 + 5x2 − x + 1
,
(x2 + 1)2 (x − 1)2 (x + 1)
x ∈ R \ {−1, 1}.
9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH
221
Mianownik jest iloczynem wielomianów pierwszego i drugiego stopnia. Przy czym wielomian x2 + 1 nie ma pierwiastków rzeczywistych. Przedstawimy funkcję f w postaci sumy
ułamków prostych postaci
Ax + B
Cx + D
E
H
T
+ 2
+
+
+
,
2
2
2
x +1
(x + 1)
x − 1 (x − 1)
x+1
f (x) =
(9.18)
gdzie A, B, C, D, E, H, T ∈ R. Sprowadzając prawą stronę (9.18) do wspólnego mianownika, przyjmuje ona postać
(Ax + B)(x2 + 1)(x − 1)2 (x + 1) + (Cx + D)(x − 1)2 (x + 1) + E(x2 + 1)2 (x − 1)(x + 1)
(x2 + 1)2 (x − 1)2 (x + 1)
H(x2 + 1)2 (x + 1) + T (x2 + 1)2 (x − 1)2
.
(x2 + 1)2 (x − 1)2 (x + 1)
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach liczników w powyższym i (9.17)
otrzymujemy układ równań liniowych. Rozwiązując ten układ dostajemy A = 0, B = −1,
C = 0, D = 1, E = 1, H = 1, T = 1. W konsekwencji z (9.18),
+
f (x) =
(9.19)
−1
1
1
1
1
+ 2
+
+
+
,
2
2
+ 1 (x + 1)
x − 1 (x − 1)
x+1
x2
Przykład 9.4.19. Obliczymy całkę nieoznaczoną funkcji wymiernej z przykładu 9.4.18 w
przedziale (1, +∞). Z twierdzenia 9.4.9 mamy
Z
−1
dx = − arctg x + C
x2 + 1
oraz
1
1 x
1Z
1
1 x
1
dx
=
+
dx =
+ arctg x + C,
2
2
2
2
2
(x + 1)
2x +1 2 x +1
2x +1 2
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Ponadto
Z
Z
1
dx = ln(x − 1) + C,
x−1
Z
1
−1
dx =
+C
2
(x − 1)
x−1
i
Z
1
dx = ln(x + 1) + C.
x+1
W konsekwencji z (9.19) mamy
Z
f (x)dx =
1 x
1
1
−
arctg
x
+
ln(x
−
1)
−
+ ln(x + 1) + C,
2 x2 + 1 2
x−1
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą.
9.4.3
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Definicja funkcji wymiernej dwóch zmiennych. Funkcję f : R × R → R dwóch
zmiennych x, y postaci f (x, y) = axk y l , (x, y) ∈ R × R, gdzie k, l ∈ Z, k, l > 0 nazywamy
jednomianem dwóch zmiennych. Funkcje W : R ×R → R będące sumami skończonej ilości
jednomianów dwóch zmiennych x, y nazywamy wielomianami dwóch zmiennych. Jeśli F ,
G są wielomianami dwóch zmiennych takimi, że G nie znika tożsamościowo, to funkcję
F (x,y)
W (x, y) = G(x,y)
określoną w zbiorze {(x, y) ∈ R × R : G(x, y) 6= 0} nazywamy funkcją
wymierną dwóch zmiennych.
222
ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA
Uwaga 9.4.20. Niech W będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych oraz ϕ, ψ – funkcjami wymiernymi jednej zmiennej. Niech P będzie przedziałem. Bezpośrednio z definicji
(jednomianu, wielomianu dwóch zmiennych i funkcji wymiernej) dostajemy, że jeśli funkcje ϕ, ψ są określone w każdym punkcie x ∈ P , przy czym punkt (ϕ(x), ψ(x)) należy
do dziedziny funkcji W , to funkcja f (x) = W (ϕ(x), ψ(x)), x ∈ P jest obcięciem funkcji
wymiernej.
Pokażemy, że każda funkcja postaci f (x) = W (sin x, cos x), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, ma w każdym przedziale w którym jest określona funkcję pierwotnę będącą funkcją elementarną.
Lemat 9.4.21. Niech ϕ : (−π, π) → R będzie funkcją określoną wzorem
x
ϕ(x) = tg ,
2
x ∈ (−π, π).
Wtedy dla x ∈ (−π, π) mamy
(9.20)
sin x =
2t
1+t2
◦ ϕ(x),
cos x =
1−t2
1+t2
◦ ϕ(x),
1=
2
1+t2
◦ ϕ(x) · ϕ0 (x).
Dowód. Ponieważ dla x ∈ (−π, π) zachodzi
sin x =
2 tg x2
1 + tg 2 x2
oraz
cos x =
1 − tg 2 x2
,
1 + tg 2 x2
więc mamy pierwsze dwie części (9.20). Podobnie dostajemy
ϕ0 (x) =
1 + ϕ2 (x)
,
2
więc mamy ostatnią część (9.20).
Twierdzenie 9.4.22. Niech (a, b) ⊂ (−π, π) oraz niech f : (a, b) → R będzie funkcją postaci f (x) = W (sin x, cos x), x ∈ (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych
(1 ). Jeśli ϕ : (a, b) → R jest funkcją określoną wzorem ϕ(x) = tg x2 , x ∈ (a, b), to

f (x) = 
(9.21)
2W
2
2t
, 1−t
1+t2 1+t2
1 + t2

 ◦ ϕ(x) · ϕ0 (x),
x ∈ (a, b).
W szczególności
(9.22)
1
Z


2t
1−t2
Z 2W
,
2
2
1+t 1+t
f (x)dx = 
dt ◦ ϕ(x)
2
1+t
w przedziale
(a, b).
zakładamy oczywiście, że dla każdego x ∈ (a, b), punkt (sin x, cos x) należy do dziedziny funkcji W .
9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH
223
Dowód. Ponieważ dla każdego x ∈ (a, b), punkt (sin x, cos x) należy do dziedziny
2t
1−t2
funkcji W , więc z lematu 9.4.21 dla każdego t ∈ ϕ((a, b)), punkt ( 1+t
2 , 1+t2 ) należy do
2t
1−t2
dziedziny funkcji W , zatem funkcja W 1+t
jest funkcją wymierną określoną na
2 , 1+t2
przedziale ϕ((a, b)). W konsekwencji z lematu 9.4.21 dostajemy (9.21). Z (9.21) i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie 9.3.6 dostajemy (9.22).
Z twierdzenia 9.4.22 i wniosku 9.4.16 dostajemy natychmiast
Wniosek 9.4.23. Niech (a, b) ⊂ (−π, π) oraz niech f : (a, b) → R będzie funkcją postaci
f (x) = W (sin x, cos x), x ∈ (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych.
Wówczas każda funkcja pierwotna funkcji f jest funkcją elementarną.
Uwaga 9.4.24. Niech (a, b) ⊂ (0, 2π) oraz f : (a, b) → R będzie funkcją postaci
f (x) = W (sin x, cos x), x ∈ (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych. Jeśli
ϕ : (a, b) → R jest funkcją określoną wzorem ϕ(x) = ctg x2 , x ∈ (a, b), to analogicznie jak
lematu 9.4.21 dowodzimy, że dla x ∈ (a, b) mamy
2t
◦ ϕ(x),
sin x =
1 + t2
−1 + t2
1 + t2
cos x =
!
◦ ϕ(x),
2
1=−
◦ ϕ(x) · ϕ0 (x).
1 + t2
Zatem, analogicznie jak w twierdzeniu 9.4.22,
2


2t
−1+t
2W ( 1+t
2 , 1+t2 )
 ◦ ϕ(x) · ϕ0 (x),

f (x) = −
2
1+t
x ∈ (a, b),
w szczególności
Z
−1+t2
)
1+t2
dt
2
t

Z 2W ( 2t ,
1+t2
f (x)dx = − 
1+

◦ϕ
(a, b).
w przedziale
Uwaga 9.4.25. Z uwagi na okresowość funkcji postaci f (x) = W (sin x, cos x), gdzie W
jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, wystarczy umieć obliczać całki nieoznaczone takich funkcji w przedziałach (a, b) ⊂ (−π, π) oraz przedziałach (a, b) ⊂ (0, 2π).
Przykład 9.4.26. Pokażemy, że
(9.23)
Z
1
dx = ln tg
cos x
x π
+
2 4
+ C,
w przedziale
π π
− ,
,
2 2
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Można sprawdzić bezpośrednio, że (9.23) zachodzi. Można
również zastosować twierdzenie 9.4.22. Biorąc funkcję ϕ : (− π2 , π2 ) → R określoną wzorem
ϕ(x) = tg x2 , x ∈ (− π2 , π2 ), mamy ϕ(x) ∈ (−1, 1) dla x ∈ (− π2 , π2 ) oraz wobec twierdzenia
9.4.22,
1
=
cos x
1 + t2 2
1 − t2 1 + t2
!
2
◦ ϕ(x)ϕ (x) =
◦ ϕ(x)ϕ0 (x)
1 − t2
0
π π
dla x ∈ − ,
.
2 2
224
ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA
Ponieważ w przedziale (−1, 1) mamy
Z
Z
Z
2
1
1
1+t
dt =
dt +
dt = − ln(1 − t) + ln(1 + t) + C = ln
+ C,
2
1−t
1−t
1+t
1−t
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą, więc
Z
1 + tg x2
1
dx = ln
+ C = ln tg
cos x
1 − tg x2
9.4.4
x π
+
2 4
+ C,
w przedziale
π π
− ,
.
2 2
Podstawienia Eulera
Niech w tym punkcie: W będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych, niech a, b, c będą
ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz niech P będzie przedziałem.
Załóżmy, że dla
√
2
2
każdego x ∈ P zachodzi ax + bx + c > 0 oraz punkt (x, ax + bx + c) należy do
dziedziny funkcji W . Niech f : P → R będzie funkcją postaci
√
(9.24)
f (x) = W x, ax2 + bx + c ,
x ∈ P.
Pokażemy, że każda funkcja pierwotna funkcji f w przedziale P jest funkcją elementarną.
Twierdzenie 9.4.27. Niech f będzie funkcją postaci (9.24). Jeśli a = 0 i b 6= 0, to
funkcja ϕ : P → R określona wzorem
√
ϕ(x) = bx + c,
x∈P
jest różniczkowalna,
!
(9.25)
x=
t2 − c
◦ ϕ(x),
b
2t
1=
◦ ϕ(x)ϕ0 (x)
b
dla x ∈ P
oraz
(9.26)
Z
f (x)dx =
"Z
!
W
#
t2 − c
2t
,t
dt ◦ ϕ,
b
b
w przedziale
P.
Dowód. Ponieważ dla x ∈ P mamy bx + c > 0, więc ϕ(x) > 0 oraz ϕ jest funkcją
różniczkowalną, jako złożenie funkcji różniczkowalnych. Ponadto dla x ∈ P mamy
ϕ2 (x) = bx + c
i dalej
x=
ϕ2 (x) − c
.
b
To daje pierwszą część (9.25). Ponadto
ϕ0 (x) =
b
,
2ϕ(x)
więc
1=
2ϕ(x) 0
ϕ (x)
b
dla
x ∈ P.
√
To daje drugą część (9.25). Ponieważ dla każdego x ∈ P , punkt
(x,
bx + c) należy do
2
t −c
, t należy do dziedziny
dziedziny funkcji W , więc dla każdego t ∈ ϕ(P ), punkt
b
2
funkcji W i w konsekwencji funkcja W t b−c , t 2tb jest wymierna i określona w przedziale
ϕ(P ). Z (9.25) i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie 9.3.6 dostajemy (9.26). 9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH
225
Twierdzenie 9.4.28. (I podstawienie Eulera). Niech f będzie funkcją postaci (9.24).
Jeśli a > 0 i b2 − 4ac 6= 0, to funkcja ϕ : P → R określona wzorem
√
√
x∈P
ϕ(x) = ax2 + bx + c + ax,
jest różniczkowalna i dla x ∈ P mamy
√
!
(9.27)
x=
t2 − c
√
◦ ϕ(x),
2 at + b
√
(9.28)
1=2
√
ax2 + bx + c =
√ !
at2 + bt + c a
√
◦ ϕ(x),
2 at + b
√ !
at2 + bt + c a
√
◦ ϕ(x)ϕ0 (x).
(2 at + b)2
W szczególności w przedziale P mamy
(9.29)
Z
f (x)dx = 2
"Z
W
t2 − c
√
,
2 at + b
√
√ #
√ !√ 2
at + bt + c a
at2 + bt + c a
√
√
dt ◦ ϕ.
(2 at + b)2
2 at + b
Dowód. Ponieważ funkcja f jest określoną wzorem (9.24), więc ax2 + bx + c > 0 dla
x ∈ P . Stąd i z założenia a > 0 wynika, że funkcja ϕ jest różniczkowalna. Dla x ∈ P , z
określenia funkcji ϕ, mamy
√
√
√
ϕ(x) − ax = ax2 + bx + c,
więc
ϕ2 (x) − 2 axϕ(x) = bx + c,
zatem
(9.30)
√
x(2 aϕ(x) + b) = ϕ2 (x) − c.
Ponadto
(9.31)
√
2 aϕ(x) + b 6= 0,
gdyż w przeciwnym razie z określenia funkcji ϕ mielibyśmy
√ √
2 a ax2 + bx + c = −2ax − b i dalej 4a2 x2 + 4abx + 4ac = 4a2 x2 + 4abx + b2 ,
zatem b2 − 4ac = 0, wbrew założeniu. Reasumując mamy (9.31). Z (9.31) i (9.30) wynika pierwsza część (9.27). Druga część (9.27) wynika z pierwszej i określenia funkcji ϕ.
Różniczkując funkcję ϕ i stosując (9.27) dostajemy
"
!
!
#
√
√
√
2ax + b
1
t2 − c
2 at + b
0
√ 2
√ + a ◦ ϕ(x),
ϕ (x) = √ 2
+ a=
2a √
+b
2
2 at + b
at + bt + c a
2 ax + bx + c
więc po łatwych przekształceniach otrzymujemy (9.28). Podobnie jak w twierdzeniu 9.4.27
pokazujemy, że funkcja podcałkowa po prawej stronie (9.29) jest określona w przedziale
ϕ(P ) i z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy (9.29).
226
ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA
Uwaga 9.4.29. Niech f będzie funkcją postaci (9.24). Jeśli a > 0 i b2 − 4ac = 0, to
istnieje x0 ∈ R, że ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 . Wówczas z założenia, że ax2 + bx + c > 0
dla x ∈ P mamy, że P ⊂ (−∞, x0 ) lub P ⊂ (x0 , +∞).
√
√ + x0 ,
Jśli P ⊂ (−∞, x0 ), to przyjmując ϕ(x) = − a(x − x0 ), x ∈ P , mamy x = − ϕ(x)
a
√
√
ax2 + bx + c = ϕ(x) oraz ϕ0 (x) = − a dla x ∈ P . Zatem z twierdzenia o całkowaniu
przez podstawieniu,
Z
(9.32)
"
! #
1 Z
t
f (x)dx = − √
W − √ + x0 , t dt ◦ ϕ
a
a
√
Jśli P ⊂ (x0 , +∞), to przyjmując ϕ(x) = a(x − x0 ), x ∈ P , mamy x =
√
√
ax2 + bx + c = ϕ(x) oraz ϕ0 (x) = a dla x ∈ P . Zatem
Z
(9.33)
"
1 Z
f (x)dx = √
W
a
!
ϕ(x)
√
a
+ x0 ,
#
t
√ + x0 , t dt ◦ ϕ
a
Twierdzenie 9.4.30. (III podstawienie Eulera). Niech f będzie funkcją postaci
(9.24). Jeśli a < 0 i b2 − 4ac > 0, to istnieją p, q ∈ R, p < q, że
ax2 + bx + c = a(x − p)(x − q)
dla
x ∈ R.
Wtedy P ⊂ (p, q) oraz funkcja ϕ : P → R określona wzorem
√
ax2 + bx + c
,
x∈P
ϕ(x) =
x−p
jest różniczkowalna i dla x ∈ P mamy
(9.34)
x=
pt2 − aq
t2 − a
!
◦ ϕ(x),
√
!
ax2
+ bx + c =
a(p − q)t
◦ ϕ(x),
t2 − a
!
(9.35)
1=
2a(q − p)t
◦ ϕ(x)ϕ0 (x).
(t2 − a)2
W szczególności w przedziale P mamy
(9.36)
Z
f (x)dx =
"Z
W
pt2 − aq a(p − q)t
, 2
t2 − a
t −a
!
#
2a(q − p)t
dt ◦ ϕ.
(t2 − a)2
Dowód. Funkcja ϕ
qjest oczywiście różniczkowalna w przedziale P . Ponadto dla x ∈ P
mamy ϕ(x)(x − p) = a(x − p)(x − q), więc po podniesieniu do kwadratu,
(9.37)
x(ϕ2 (x) − a) = ϕ2 (x)p − aq.
Ponadto ϕ2 (x) 6= a, gdyż w przeciwnym razie, po podniesieniu do kwadratu mielibyśmy
a(x − q) = a(x − p), co jest niemożliwe, bo p 6= q. W konsekwencji z (9.37) mamy pierwszą
9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH
227
część (9.34). Druga część (9.34) wynika z pierwszej i określenia funkcji ϕ. Różniczkując
teraz (9.37) mamy
ϕ2 (x) − a + 2xϕ(x)ϕ0 (x) = 2ϕ(x)ϕ0 (x)
dla x ∈ P,
więc uwzględniając (9.34) dostajemy łatwo (9.35). Podobnie jak w twierdzeniu 9.4.27
pokazujemy, że funkcja podcałkowa po prawej stronie (9.36) jest określona w przedziale
ϕ(P ) i z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy (9.36).
Uwaga 9.4.31. Jeśli a < 0 i b2 − 4ac 6 0, to funkcja f postaci (9.24) jest określona co
najwyżej w jednym punkcie, więc nie można mówić o funkcji pierwotnej funkcji f .
Z twierdzeń 9.4.27, 9.4.28. 9.4.30 dostajemy
Wniosek 9.4.32. Niech f będzie funkcją postaci 9.24. Wówczas każda funkcja pierwotna
funkcji f w przedziale P jest funkcją elementarną.
Przykład 9.4.33. Z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy, że dla a ∈ R, a > 0 mamy
√
1
a + x2 ) + C,
w zbiorze R,
dx
=
ln(x
+
a + x2
√
gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Przy czym x+ a + x2 > 0 dla x ∈ R. Można zaś obliczyć
powyższą całkę
Oznaczając mianowicie
√ w oparciu o pierwsze podstawienie Eulera 9.4.28.
1
1
0
ϕ(x) = x + a + x2 , x ∈ R, dostajemy ϕ(x) ∈ (0, +∞) oraz √a+x
2 = ϕ(x) ϕ (x) dla x ∈ R.
R 1
Ponieważ t dt = ln t + C, w przedziale (0, +∞), gdzie C ∈ R, zatem
(9.38)
Z
√
Z
√
1
dx = ln ϕ(t) + C,
a + x2
w zbiorze
R,
co daje (9.38).
Uwaga 9.4.34. Niech f będzie funkcją postaci (9.24). Jeśli c > 0, to można również sprowadzić całkę
nieoznaczoną funkcji f w przedziale P do przypadku całki wymiernej przez II podstawienie Eulera:
√
√
ax2 + bx + c − c
ϕ(x) =
, x ∈ P,
przy złożeniu, że 0 6∈ P.
x
Wtedy można pokazać, że dla x ∈ P mamy
√ 2
√
√ p
ct − bt + c
2 ct − b
2 + bx + c =
ax
◦ ϕ(x),
x=
◦
ϕ(x),
a − t2
a − t2
1
1=
2
(a − t)2
√ 2
√
ct − bt + c
◦ ϕ(x)ϕ0 (x).
Zatem podobnie jak w I i III podstawieniu Eulera sprowadzamy liczenie całki nieoznaczonej funkcji f do
przypadku funkcji wymiernej.
228
ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA
Uwaga 9.4.35. Niech W będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych, niech a, b, c, d ∈ R
będą ustalonymi liczbami rzeczywistymi, niech n ∈ N oraz niech P będzie
przedziałem.
q
ax+b
n ax+b
Załóżmy, że dla każdego x ∈ P zachodzi cx+d > 0 oraz punkt x, cx+d) należy do
dziedziny funkcji W . Niech f : P → R będzie funkcją postaci
f (x) = W x,
(9.39)
q
n
ax+b
cx+d
,
x ∈ P.
Wówczas każda funkcja pierwotna funkcji f w przedziale P jest funkcją
elementarną.
q
n ax+b
Istotnie, jeśli ad − bc = 0, to łatwo sprawdzamy, że funkcja cx+d jest stała, więc
funkcja f jest wymierna i jej całka nieoznaczona jest funkcją elementarną.
Jeśli ad − bc 6= 0, to można sprowadzić liczenia całki nieoznaczonej funkcji f do
przypadku funkcji wymiernej. Mianowicie biorąc funkcję ϕ : P → R określoną wzorem
ϕ(x) =
q
n
ax+b
,
cx+d
x ∈ P,
n
dt −b
dostajemy, że jest to funkcja różniczkowalna oraz dla x ∈ P mamy x = a−ct
n . Podobnie,
jak w poprzednich twierdzeniach pokazujemy, że istnieje funkcja wymierna R, że f (x) =
R(ϕ(x))ϕ0 (x) dla x ∈ P , zatem całka nieoznaczona funkcji f jest postaci
R
f (x)dx = ( R(t)dt) ◦ ϕ,
R
w przedziale P.