Analiza stabilności parametrów hybrydowych modeli market

Joanna Olbryś*
Analiza stabilności parametrów hybrydowych modeli
market-timing polskich funduszy inwestycyjnych1
Wstęp
Hybrydowe czteroczynnikowe modele market-timing funduszy inwestycyjnych akcji polskich zostały przedstawione w pracy [Olbryś, 2010d]. Celem
pracy [Olbryś, 2011a] była konstrukcja portfela naśladującego WML, reprezentującego czynnik momentum na polskim rynku oraz analiza istotności wpływu
tego czynnika jako zmiennej niezależnej w modelach market-timing grupy funduszy inwestycyjnych w okresie styczeń 2003-grudzień 2010. Otrzymano wynik negatywny, czyli brak istotnego wpływu czynnika WML na stopy zwrotu z
portfeli funduszy. Wynik ten różni się od wniosków Carharta [1997] dla rynku
amerykańskiego, stąd kolejnym etapem badań jest analiza stabilności parametrów uzyskanych modeli ekonometrycznych w celu potwierdzenia interpretacji
oraz własności modeli. Wykorzystano uniwersalne testy stabilności parametrów
modeli budowanych w oparciu o szeregi czasowe, z nieznanym punktem zwrotnym.
1. Hybrydowe modele market-timing
1.1. Konstrukcja czynników Famy i Frencha na polskim rynku
W artykule z 1993 r. Fama i French przedstawili trójczynnikowy model
równowagi cenowej akcji, w którym jako zmienne objaśniające zaproponowali:
nadwyżkę rynkowej stopy zwrotu nad wolną od ryzyka stopą zwrotu, czynnik
SMB (Small-minus-Big), skonstruowany głównie w oparciu o wartość rynkową
MV, oraz HML (High-minus-Low) – czynnik skonstruowany głównie w oparciu
o wartość wskaźnika BV/MV. Czynniki SMB oraz HML, nazwane portfelami
naśladującymi (mimicking portfolios), uwzględniały zaobserwowaną wcześniej
znaczącą wartość informacyjną wskaźnika BV/MV. W literaturze znajdujemy
różnorodne zastosowania portfeli naśladujących SMB i HML. Przykładem mogą
być wieloczynnikowe modele wspomagające ocenę umiejętności menadżerów
funduszy inwestycyjnych w zakresie stosowania techniki market-timing, w
których czynniki Famy i Frencha występują jako dodatkowe zmienne objaśniające [Bollen, Busse, 2001]. Czynniki SMB i HML na polskim rynku zostały
skonstruowane w pracy [Olbryś, 2010a], z wykorzystaniem procedury zaproponowanej przez Famę i Frencha [1993], następnie dokonano aktualizacji bazy
danych na potrzeby pracy [Olbryś, 2011a]2. Wykonano cykliczne sortowanie 60
*
dr, Wydział Informatyki, Politechnika Białostocka, [email protected]
Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 2009-2011 jako projekt badawczy
własny Nr N N113 173237
2
Szczegóły konstrukcji czynników SMB i HML przedstawione zostały w pracach [Olbryś, 2010a]
oraz [Olbryś, 2010c].
1
248
Joanna Olbryś
spółek z utworzonej bazy według wartości wskaźników MV oraz BV/MV odpowiednio w ostatnich dniach roboczych czerwca, w latach 2002 - 2010.
Spółki posortowane według wartości rynkowej MV na 1 akcję były następnie dzielone, na podstawie wartości mediany, na dwie grupy: spółki duże
(B–Big) oraz spółki małe (S–Small). Spółki posortowane według wartości
wskaźnika BV/MV były dzielone, na podstawie wartości percentyli 30% i 70%,
na trzy grupy: spółki o wysokich wartościach wskaźnika BV/MV (grupa H–
High), spółki o średnich wartościach wskaźnika BV/MV (grupa M–Medium)
oraz spółki o niskich wartościach wskaźnika BV/MV (grupa L–Low).
W kolejnym kroku procedury odbywał się podział spółek na sześć rozłącznych grup: BH, BM, BL, SH, SM, SL. Do każdej z grup wchodziły te spółki,
które spełniały oba warunki jednocześnie, czyli np. do grupy BH spółki duże, o
wysokiej wartości wskaźnika BV/MV. Otrzymano w ten sposób po sześć, ważonych wartościami rynkowymi, portfeli pomocniczych w każdym roku. Ostatnim
krokiem procedury było utworzenie portfeli naśladujących SMB i HML oraz
wyznaczenie ich dziennych stóp zwrotu w okresie 2.01.2003 r. – 31.12.2010 r.
według wzorów:
1
(1)
RSMB   ( RSH  RSM  RSL  RBH  RBM  RBL )
3
1
(2)
RHML   ( RBH  RSH  RBL  RSL )
2
1.2. Konstrukcja czynnika momentum na polskim rynku
Strategie momentum polegają na możliwości osiągania przez inwestorów
ponadprzeciętnych zysków dzięki nabywaniu tych akcji, których ceny w ostatnim okresie znacząco zyskały na wartości (Winners) oraz krótkiej sprzedaży
tych, których ceny w największym stopniu zmniejszyły się (Losers). Jegadeesh
i Titman [1993] stwierdzili występowanie efektu momentum na amerykańskim
rynku akcji w latach 1965-1989. Carhart [1997] zaproponował konstrukcję czteroczynnikowego modelu wyjaśniającego kształtowanie się stóp zwrotu z portfeli funduszy inwestycyjnych, w którym, oprócz czynników SMB i HML,
uwzględnił efekt momentum, zidentyfikowany przez Jegadeesha i Titmana.
Rouwenhorst [1998] testował efekt momentum w 12 krajach europejskich w
latach 1980-1995 i uzyskał wyniki w większości zgodne z wynikami Jegadeesha i Titmana. Z kolei, analizując polski rynek, Buczek [2005] stwierdził występowanie efektu momentum na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych
w latach 2001 – 2004. Możliwość inwestowania z wykorzystaniem strategii
momentum na WGPW analizowali również Gajdka i Brzeszczyński [2008].
W celu wprowadzenia zmiennej momentum do hybrydowych, wieloczynnikowych modeli market–timing oraz zbadania istotności wpływu tej zmiennej
na stopy zwrotu z portfeli funduszy inwestycyjnych, dokonano konstrukcji nowej zmiennej objaśniającej WML (Winners-minus-Losers), reprezentującej
czynnik momentum na polskim rynku. Czynnik WML został skonstruowany z
wykorzystaniem procedury przedstawionej przez Carharta [1997]. W pierwszej
Analiza stabilności parametrów hybrydowych modeli …
249
kolejności dokonano selekcji spółek giełdowych, które uwzględniono w bazie
danych, na podstawie następujących kryteriów [Olbryś, 2011a]:
1. spółka była notowana na GPW w Warszawie co najmniej od 31 grudnia
2001r.,
2. dane dzienne spółki miały możliwe do uzupełnienia luki; luki uzupełniono
poprzez wykorzystanie średniej arytmetycznej sąsiednich notowań.
Do bazy danych utworzonej zgodnie z warunkami 1- 2 weszło ostatecznie
71 spółek. W celu konstrukcji wartości indeksu WML obliczono 11-miesięczne,
opóźnione o 1 miesiąc stopy zwrotu. Obliczenia wykonano na koniec każdego
miesiąca, od 31.12.2002 r. do 31.12.2010 r., wykorzystując dane dzienne. W
następnej kolejności dokonano sortowania spółek według wartości 11miesięcznej, opóźnionej stopy zwrotu, w ostatnim dniu roboczym każdego miesiąca. Łącznie wykonano sortowanie 96 razy. Spółki posortowane według wartości 11-miesięcznej, opóźnionej stopy zwrotu były dzielone na trzy grupy:
 spółki, dla których wartość 11-miesięcznej, opóźnionej stopy zwrotu była
nie mniejsza od percentyla 70% (grupa W-Winners); w skład tej grupy weszły 22 spółki o najwyższych wartościach 11-miesięcznej, opóźnionej stopy zwrotu;
 spółki, dla których wartość 11-miesięcznej, opóźnionej stopy zwrotu była
mniejsza od percentyla 70%, ale nie mniejsza od percentyla 30%; ta grupa
spółek nie brała udziału w tworzeniu wartości indeksu WML;
 spółki, dla których wartość 11-miesięcznej, opóźnionej stopy zwrotu była
mniejsza od percentyla 30% (grupa L–Losers); w skład tej grupy weszły 22
spółki o najniższych wartościach 11-miesięcznej, opóźnionej stopy zwrotu.
Ostatnim krokiem procedury było utworzenie portfela WML jako różnicy
średnich ważonych stóp zwrotu spółek z grup W i L oraz wyznaczenie dziennych stóp zwrotu z tego portfela w okresie 2.01.2003 r. – 31.12.2010 r., ze wzoru:
1
(3)
RWML 
 ( RW   RL )
22
1.3. Wartość dodana Goetzmana-Ingresolla-Ivkoviča jako efekt perfekcyjnego stosowania techniki market-timing
Goetzmann, Ingersoll i Ivkovič [2000] analizowali problem stosowania w
klasycznych modelach market-timing danych miesięcznych w przypadku zarządzających, którzy codziennie (lub częściej niż raz w miesiącu) podejmują decyzje związane ze stosowaniem tej techniki. Zaproponowali odpowiednią modyfikację klasycznego modelu Henrikssona-Mertona – test G-I-I, polegającą na
wprowadzeniu do modelu market-timing nowej zmiennej objaśniającej PM,t w
miejsce zmiennej objaśniającej yM,t = max{0, – rM,t} [Henriksson, Merton 1981].
Wartość dodana PM ,t w miesiącu t, będąca efektem perfekcyjnego stosowania
techniki market-timing przez zarządzającego portfelem, wyraża się wzorem
[Goetzmann, Ingersoll, Ivkovič, 2000, s. 262]:
250
Joanna Olbryś
 N
 
PM ,t    max{1  RM , ;1  RF , }  1  RM ,t
 
  1
(4)
gdzie:
N - liczba dni roboczych w miesiącu t, τ = 1, 2, …, N;
Do oszacowania wartości zmiennej objaśniającej PM,t (4) użyto dziennych
oraz miesięcznych stóp zwrotu z portfela rynkowego (RM,t), jak również wartości dziennej wolnej od ryzyka stopy zwrotu (RF,t). Konstrukcję zmiennej niezależnej PM,t na polskim rynku wykonano w pracy [Olbryś, 2011b].
1.4. Wieloczynnikowy hybrydowy model market-timing
W pracy [Olbryś, 2010d] przedstawiono hybrydowy model czteroczynnikowy jako modyfikację modeli trójczynnikowych T-M-FF oraz H-M-FF [Olbryś, 2010a], zawierającą nową zmienną objaśniającą PM,t (4), będącą wartością
dodaną w miesiącu t, która zastąpiła zmienne reprezentujące w danym modelu
efekt perfekcyjnego stosowania strategii market-timing przez zarządzającego
funduszem, czyli:
2
 kwadrat rynkowej zmiennej objaśniającej (rM,t) w modelu T-M-FF [Treynor, Mazuy, 1966],
 zmienną yM,t = max{0, – rM,t} w modelu H-M-FF [Henriksson, Merton,
1981].
W rezultacie otrzymano model postaci [Olbryś, 2010d]:
rP,t   P   P  rM ,t  1P  rSMB,t   2 P  rHML,t   P  PM ,t   P,t
(5)
gdzie:
rP,t = RP,t – RF,t jest nadwyżką zwykłej stopy zwrotu z portfela P nad wolną od
ryzyka stopą zwrotu w okresie t,
rM,t = RM,t – RF,t jest nadwyżką zwykłej stopy zwrotu z portfela rynkowego M
nad wolną od ryzyka stopą zwrotu w okresie t,
rSMB,t = RSMB,t – RF,t jest nadwyżką zwykłej stopy zwrotu z portfela naśladującego SMB nad wolną od ryzyka stopą zwrotu w okresie t,
rHML,t = RHML,t – RF,t jest nadwyżką zwykłej stopy zwrotu z portfela naśladującego HML nad wolną od ryzyka stopą zwrotu w okresie t,
PM,t jest wartością dodaną, określoną wzorem (4),
αP jest miarą umiejętności zarządzającego portfelem P w zakresie selektywności
aktywów (współczynnik alfa [Jensen, 1968]),
βP jest miarą ryzyka systematycznego portfela P,
γP jest miarą umiejętności zarządzającego portfelem P w zakresie stosowania
techniki market-timing,
δ1P jest miarą wrażliwości stopy zwrotu z portfela P na zmiany stopy zwrotu
portfela SMB,
δ2P jest miarą wrażliwości stopy zwrotu z portfela P na zmiany stopy zwrotu
portfela HML,
εP,t jest składnikiem losowym, spełniającym następujące standardowe założenia
modelu CAPM: E ( P,t )  0; E ( P,t  P,t 1 )  0 .
Analiza stabilności parametrów hybrydowych modeli …
251
Hybrydowy, pięcioczynnikowy model market-timing został skonstruowany w pracy [Olbryś, 2011a], jako rozszerzenie modelu (5) o dodatkową zmienną
objaśniającą - portfel naśladujący WML (3), reprezentujący czynnik momentum
na polskim rynku. Hybrydowy model pięcioczynnikowy ma zatem postać:
rP,t   P   P  rM ,t  1P  rSMB,t   2 P  rHML,t   3P  rWML,t   P  PM ,t   P,t (6)
gdzie:
rWML,t = RWML,t – RF,t jest nadwyżką zwykłej stopy zwrotu z portfela naśladującego WML nad wolną od ryzyka stopą zwrotu w okresie t,
δ3P jest miarą wrażliwości stopy zwrotu z portfela P na zmiany stopy zwrotu
portfela WML,
pozostałe oznaczenia jak we wzorze (5).
Zbadano stacjonarność procesów rM,t, rSMB,t, rHML,t, rWML,t oraz PM,t na podstawie rozszerzonego testu Dickeya-Fullera (ADF) i odrzucono we wszystkich
przypadkach hipotezę o istnieniu pierwiastków jednostkowych.
Obecnie celem badań jest analiza stabilności parametrów hybrydowych,
pięcioczynnikowych modeli market-timing OFI akcji polskich, w okresie
2.01.2003 r. – 31.12.2010 r., z wykorzystaniem wybranych testów stabilności
parametrów modelu ekonometrycznego.
2. Testowanie stabilności parametrów modelu ekonometrycznego
Szacując model regresji wielorakiej przyjmujemy, że parametry są stałe
(stabilne) w okresie estymacji oraz predykcji, jeśli wykorzystujemy model w
celach prognostycznych [Maddala, 2008]. Do weryfikacji hipotezy o stabilności
parametrów w literaturze najczęściej proponuje się cztery typy testów [Kennedy, 2003, s. 114]:
 Testy oparte na analizie wariancji (np. tzw. test Chowa, test QLR),
 Testy predykcyjne (np. predykcyjny test Chowa),
 Testy oparte o reszty rekursywne (CUSUM, CUSUMSQ),
 Testy oparte na rekursywnej estymacji parametrów.
2.1. Test CUSUM (1975)
Autorami testu stabilności parametrów modelu ekonometrycznego, opartego o tzw. reszty rekursywne - CUSUM (CUmulated SUM of Residuals) są
Brown, Durbin i Evans [1975]. Test CUSUM można stosować do analizy stabilności modeli zbudowanych w oparciu o szeregi czasowe, gdy nie znamy
momentu zmiany strukturalnej (czyli tzw. punktu zwrotnego) i nie zakładamy,
że ona wystąpi [Greene, 2003, s. 134-143]. Zatem jest on bardziej uniwersalny
niż np. predykcyjny test Chowa, którego realizacja wymaga wskazania momentu czasowego – punktu zwrotnego, w którym nastąpiła zmiana strukturalna procesu [Kufel, 2007, s. 110].
Załóżmy, że estymowany model regresji ma postać [Brown, Durbin,
Evans, 1975, s. 150-151]:
(7)
yt  xtT   t   t , t  1,, T
gdzie:
yt jest obserwacją zmiennej zależnej w okresie t,
Joanna Olbryś
252
xt jest kolumnowym wektorem obserwacji k zmiennych niezależnych w okresie
t; pierwsza zmienna niezależna x1t jest równa 1 dla każdego t, jeśli model zawiera wyraz wolny,
βt jest kolumnowym wektorem parametrów w okresie t,
εt jest składnikiem losowym w okresie t; przyjmujemy, że składniki losowe
mają rozkład normalny ze średnią zero i wariancją σt2, t=1, …, T.
Testowana hipoteza zerowa ma postać:
(8)
H 0 : 1   2    T   ;  12   22   T2   2
Reszta rekursywna o numerze t jest błędem predykcji wartości zmiennej
zależnej y t , gdy estymacja modelu odbywa się z wykorzystaniem (t-1) obserwacji [Greene, 2003, s. 135]:
(9)
e t  y t  x tT  b t  1
gdzie bt 1 jest wektorem współczynników.
Wariancja reszty rekursywnej jest równa:
 2pt   2  [1  xtT  ( X tT1  X t 1 ) 1  xt ]
(10)
gdzie X tT1  [ x1 , x2 ,, xt 1 ] , t=k + 1, …, T.
Przeskalowaną resztę rekursywną, czyli stosunek reszty rekursywnej et do
obciążenia prognozy w okresie t oznaczamy przez wt i obliczamy ze wzoru:
wt 
et
(11)
1  xtT  ( X tT1  X t 1 ) 1  xt
Test CUSUM tworzony jest na podstawie prób od (k + 1) do T. Test ten
oparty jest na wykresie skumulowanych sum przeskalowanych reszt rekursywnych postaci [Greene, 2003, s. 135]:
1 j t
(12)
Wt    w j
s j k 1
gdzie:
T
1
s2 
  ( w j  w) 2 jest wariancją przeskalowanych reszt rekursywT  k  1 j k 1
nych, s  s 2 ;
T
1
w
  w j jest średnią arytmetyczną przeskalowanych reszt rekursywT  k j k 1
nych, wyznaczonych ze wzoru (11).
Idea testu polega na wyznaczeniu pary prostych leżących symetrycznie
poniżej i ponad prostą E(Wt) = 0 tak, aby prawdopodobieństwo przekroczenia
jednej lub obu linii wynosiło , gdzie  jest wymaganym poziomem istotności.
Jeśli suma reszt rekursywnych, określona wzorem (12), przekracza na wykresie
górną lub dolną linię krytyczną, to można wnioskować o wystąpieniu punktu
Analiza stabilności parametrów hybrydowych modeli …
253
zwrotnego w danym momencie. Oznacza to odrzucenie hipotezy zerowej (8),
czyli model nie jest stabilny w badanym okresie.
Linie krytyczne są to dwie proste łączące punkty o współrzędnych:
(k ;  a  T  k ) i (T ;  3a  T  k ) , odpowiednio, gdzie a jest parametrem,
którego wartość uzależniona jest od ustalonego poziomu istotności . Najczęściej używane w praktyce pary wartości a oraz  to [Brown, Durbin, Evans,
1975, s. 153-154]: ( = 0,01; a = 1,143), ( = 0,05; a = 0,948) oraz ( = 0,10;
a = 0,850).
2.2. Test Harveya-Colliera (1977)
W literaturze przedmiotu testowanie stabilności parametrów modelu w
oparciu o reszty rekursywne występuje też pod nazwą testu Harveya-Colliera
[Kufel, 2007, s. 113]. Często jest on identyfikowany z testem CUSUM. Wynika
to prawdopodobnie z faktu, że Harvey i Collier przyczynili się do rozpowszechnienia tego testu poprzez wykorzystanie go to badania nieliniowości w
modelach ekonometrycznych [Harvey, Collier, 1977]. Model ekonometryczny
jest stabilny, jeżeli statystyka w , wyznaczona ze wzoru (11), ma rozkład nor2
malny o średniej zero i wariancji
. Wartość statystyki testowej t wyT  k 1
znacza się ze wzoru [Kufel, 2007, s. 113]:
w
(13)
t   T  k 1
s
gdzie oznaczenia jak we wzorze (12).
Jeśli empiryczny poziom istotności p statystyki testowej t jest mniejszy niż
nominalny poziom istotności , to należy odrzucić hipotezę zerową o stabilności parametrów modelu. Jeśli natomiast p > α, to nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej, czyli parametry modelu można uznać za stabilne.
2.3. Test CUSUMSQ (1975)
W pracy z 1975 r. Brown, Durbin i Evans zaproponowali również drugi
test, oparty na analizie kwadratów reszt rekursywnych, tzw. test CUSUMSQ
(CUmulated SUM of SQuares Residuals). Test ten jest podobny do testu CUSUM, ale wykres tworzą skumulowane sumy kwadratów przeskalowanych reszt
rekursywnych. CUSUMSQ można traktować jako test uzupełniający do CUSUM, szczególnie w przypadku, gdy brak stabilności modelu ma charakter bardziej przypadkowy, niż systematyczny [Brown, Durbin, Evans, 1975, s. 154].
2.4. Test QLR (1958, 1960)
Badanie stabilności parametrów modelu można zrealizować za pomocą
uniwersalnego testu ilorazu wiarygodności QLR (Quandt Likelihood Ratio).
Test ten można stosować do analizy stabilności modeli zbudowanych w oparciu
o szeregi czasowe, gdy nie znamy momentu wystąpienia załamania strukturalnego, ale zakładamy, że ono nastąpi [Quandt, 1992]. Test działa prawidłowo,
gdy daty punktów krytycznych są stosunkowo odległe od końców przedziału
czasowego próby statystycznej, czyli bierzemy pod uwagę 70% środkowych
254
Joanna Olbryś
obserwacji. Szczegółowy opis testu można znaleźć m.in. w pozycji [Kufel,
2007, s. 111-112].
3. Charakterystyka danych i wyniki empiryczne
Wyniki estymacji modeli (6) dla 15 OFI akcji polskich, na podstawie szeregów nadwyżek stóp zwrotu zmiennej objaśnianej i zmiennych objaśniających,
z wykorzystaniem estymatorów odpornych Neweya-Westa (HAC), przedstawia
Tablica 1. Obserwujemy wysoki stopień dopasowania modeli do danych empirycznych, mierzony skorygowanym współczynnikiem determinacji R 2 . Jak
zwykle w przypadku modeli market-timing, zauważamy istotność wpływu
zmiennej niezależnej reprezentującej portfel rynkowy (dodatnie wartości estymatora ˆ P ) [Olbryś, 2010a-d; 2011a]. Stwierdzamy wyraźną istotność statystyczną wpływu czynnika SMB na wartości stopy zwrotu z portfeli funduszy
(oszacowania parametru ˆ1P ). Czynnik SMB reprezentuje średnią miesięczną
rozpiętość stóp zwrotu pomiędzy spółkami o niskiej i wysokiej wartości rynkowej MV. Analizując z kolei wartości estymatorów ˆ2 P , nie stwierdzamy istotnego wpływu czynnika HML, którego wartości informują o średniej miesięcznej
rozpiętości stóp zwrotu pomiędzy spółkami o potencjale wartości (wysokie
BV/MV) oraz spółkami o potencjale wzrostu (niskie BV/MV), co jest zgodne z
wynikami wcześniejszych prac [Olbryś, 2010d]. Nowe obserwacje dotyczą wartości ocen parametru ˆ3 P przy zmiennej WML, reprezentującej czynnik momentum w weryfikowanych modelach. Wpływ tej zmiennej na stopy zwrotu z portfeli OFI akcji polskich okazał się nieistotny statystycznie. Ostatnią ze zmiennych objaśniających w modelu hybrydowym (6) jest wartość dodana PM,t, będąca efektem perfekcyjnego stosowania techniki market-timing przez zarządzającego portfelem. Wartości oszacowań parametru ˆP informują zatem o poziomie
umiejętności zarządzającego w zakresie stosowania techniki market-timing.
Ujemna oraz istotna statystycznie wartość estymatora tego parametru może
oznaczać negatywny wpływ stosowania tej techniki na wartość stopy zwrotu z
portfela funduszu. Efekt ten obserwujemy w przypadku 11 z 15 badanych funduszy.
W celu potwierdzenia wyników estymacji, weryfikacji oraz interpretacji
dokonano testowania stabilności parametrów otrzymanych modeli ekonometrycznych w okresie 2.01.2003 r. – 31.12.2010 r., z wykorzystaniem uniwersalnych testów CUSUM oraz CUSUMSQ. Jak było wcześniej wspomniane, testy te
można stosować, gdy nie jest znany moment wystąpienia tzw. punktu zwrotnego i nie zakładamy nawet, że taki punkt zwrotny wystąpi. Z taką sytuacją mamy
do czynienia w przypadku hybrydowych modeli market-timing, budowanych w
oparciu o szeregi czasowe z nieznanym punktem zwrotnym. Wykresy testów
CUSUM i CUSUMSQ wybranych funduszy akcji polskich prezentuje Rysunek
1. Ze względu na ograniczoną objętość artykułu pozostałe wykresy są dostępne
na życzenie. Na podstawie testu CUSUM dla żadnego z funduszy nie odrzucono
Analiza stabilności parametrów hybrydowych modeli …
255
hipotezy zerowej (8), co potwierdziło stabilność parametrów wszystkich modeli. Analizując jednak wykresy testu CUSUMSQ stwierdzono, że w przypadku
trzech funduszy: Millennium, Novo oraz PKO mogły wystąpić pozorne wskazania momentów załamań strukturalnych, nie potwierdzone ani na wykresach
testu CUSUM, ani testami Harveya-Colliera i QLR (Tablica 2). Na podstawie
wyników w Tablicy 2. stwierdzamy, że p    0,01 w przypadku funduszu
ING Parasol FIO Subfundusz Akcji, natomiast dla pozostałych funduszy
p    0,10 , co oznacza, że test Harveya-Colliera wskazuje stabilności parametrów wszystkich uzyskanych modeli.
Tablica 1. Hybrydowe modele market-timing (6) (styczeń 2003 – grudzień 2010)
Fundusz akcji
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Arka BZ WBK FIO
Subfundusz Arka BZ
WBK Akcji
Aviva Investors FIO
Subfundusz Aviva
Investors Polskich Akcji
BPH FIO Parasolowy
BPH Subfundusz Akcji
ING Parasol FIO ING
Subfundusz Akcji
Investor Top 25 Małych
Spółek FIO (d. DWS
Top 25)
Investor Akcji Dużych
Spółek FIO (d. DWS
ADS)
Investor Akcji FIO (d.
DWS Plus)
Legg Mason Akcji FIO
Millennium FIO
Subfundusz Akcji
Novo FIO Subfundusz
Novo Akcji
Pioneer FIO Subfundusz
Pioneer Akcji Polskich
PKO Akcji – FIO
PZU FIO Parasolowy
Subfundusz PZU Akcji
Krakowiak
Skarbiec FIO Subfundusz Akcji Skarbiec –
Akcja
UniFundusze FIO
Subfundusz UniKorona
Akcje
ˆP
ˆ2 P
ˆ3 P
ˆP
1,407**
-0,543
-0,127***
0,93
0,021*** 0,828*** 1,691*** 0,684
-0,410
-0,102***
0,96
0,009**
0,776*** 0,935*** -0,003
0,216
-0,050*
0,95
0,001
0,855*** 0,711
0,359
0,002
0,95
0,058*** 0,633*** 7,817*** 2,92***
0,554
-0,163***
0,89
0,001
-0,381
-0,080***
0,94
0,016*** 0,724*** 1,312*** 0,275
0,021
-0,111***
0,94
0,014**
0,770*** 0,703
-0,353
1,193
-0,059*
0,93
0,010**
0,726*** 1,427**
0,011
-0,278
-0,075**
0,92
0,005
0,796*** 1,094*** 0,188
-0,959
-0,064
0,93
-0,006
0,970*** 0,367
0,476
-1,337
-0,023
0,96
0,165
-0,190
-0,198***
0,94
0,015*** 0,727*** 1,328*** 0,734**
-0,079
-0,095***
0,94
0,013**
0,701*** 1,288**
0,012
-0,751
-0,092***
0,92
0,007
0,822*** 0,889**
-0,046
0,392
-0,014
0,94
̂ P
ˆ1P
0,025*** 0.830*** 1,490**
0,791*** -0,578
0,021*** 0,683*** 1,128**
-0,255
-0,226
R2
Źródło: opracowanie własne (z wykorzystaniem pakietu Gretl 1.8.5)
Parametry istotnie różniące się od zera są oznaczone: * istotność na poziomie 0,1; ** istotność na
poziomie 0,05; ***istotność na poziomie 0,01.
Tablica 2. przedstawia również wyniki testu QLR w postaci maksymalnej
wartości statystyki F (6,84) dla każdego z modeli. 1-procentowa wartość kry-
Joanna Olbryś
256
tyczna tego testu wynosi 4,12. Jeśli wyznaczona wartość statystyki F przekracza wartość krytyczną, to oznacza możliwość wystąpienia załamania strukturalnego w danym momencie [Kufel, 2007, s. 112]. Fakt przekroczenia wartości
krytycznej obserwujemy w przypadku 5 spośród 15 funduszy (Aviva, BPH,
Investor, Legg Mason oraz PZU), ale nie są to jednak te same fundusze, dla
których test CUSUMSQ wskazał ewentualne momenty wystąpienia punktów
zwrotnych. Wykresy testów CUSUM i CUSUMSQ wymienionych funduszy
przedstawia Rysunek 1.
Rysunek 1. Wykresy testów CUSUM i CUSUMSQ modeli market-timing wybranych funduszy akcji polskich w okresie 2.01.2003 r. – 31.12.2010 r.
Aviva - wykres testu CUSUM
Aviva - wykres testu CUSUMSQ
BPH - wykres testu CUSUM
BPH - wykres testu CUSUMSQ
Investor - wykres testu CUSUM
Investor - wykres testu CUSUMSQ
Legg Mason - wykres testu CUSUM
Legg Mason - wykres testu CUSUMSQ
Analiza stabilności parametrów hybrydowych modeli …
Millennium - wykres testu CUSUM
Millennium - wykres testu CUSUMSQ
Novo - wykres testu CUSUM
Novo - wykres testu CUSUMSQ
PKO - wykres testu CUSUM
PKO - wykres testu CUSUMSQ
257
PZU - wykres testu CUSUM
PZU - wykres testu CUSUMSQ
Źródło: opracowanie własne (z wykorzystaniem pakietu Gretl 1.8.5)
Tablica 3 zawiera podsumowanie wyników wszystkich zastosowanych testów stabilności parametrów modeli ekonometrycznych w przypadku hybrydowych modeli market-timing OFI akcji polskich w okresie styczeń 2003grudzień 2010.
258
Joanna Olbryś
Tablica 2. Wartości statystyk testów stabilności Harveya-Colliera oraz QLR hybrydowych modeli market-timing (styczeń 2003 – grudzień 2010)
Statystyka
Fundusz akcji
Test QLR
Harveya-Colliera
p
(nazwa skrócona)
Max F
wzór (13)
1
Subfundusz Arka BZ WBK Akcji
-1,260
0,2109
2,864
Subfundusz Aviva Investors Pol2
-0,579
0,5641
6,602
skich Akcji
3
BPH Subfundusz Akcji
1,373
0,1733
8,740
4
ING Subfundusz Akcji
-2,017
0,0467
1,327
5
Investor Top 25 Małych Spółek FIO
-1,496
0,1381
3,506
6
Investor Akcji Dużych Spółek FIO
0,389
0,6980
3,738
7
Investor Akcji FIO
-0,329
0,7425
11,540
8
Legg Mason Akcji FIO
1,589
0,1157
7,542
9
Millennium FIO Subfundusz Akcji
1,106
0,2717
3,934
10 Novo FIO Subfundusz Novo Akcji
0,389
0,6980
3,935
11 Subfundusz Pioneer Akcji Polskich
-1,342
0,1831
3,197
12 PKO Akcji – FIO
-0,904
0,3685
3,532
13 Subfundusz PZU Akcji Krakowiak
1,166
0,2466
4,682
14 Subfundusz Akcji Skarbiec – Akcja
-0,020
0,9838
2,430
15 Subfundusz UniKorona Akcje
-0,054
0,9568
1,609
Źródło: opracowanie własne (z wykorzystaniem pakietu Gretl 1.8.5)
Tablica 3. Podsumowanie wyników testów stabilności hybrydowych modeli market-timing (styczeń 2003 – grudzień 2010)
Test
Test
Test Test
Fundusz akcji
CUSUM CUSUMSQ H-C QLR
1
Subfundusz Arka BZ WBK Akcji
+
+
+
+
2
Subfundusz Aviva Investors Polskich Akcji
+
+
+
3
BPH Subfundusz Akcji
+
+
+
4
ING Subfundusz Akcji
+
+
+
+
5
Investor Top 25 Małych Spółek FIO
+
+
+
+
6
Investor Akcji Dużych Spółek FIO
+
+
+
+
7
Investor Akcji FIO
+
+
+
8
Legg Mason Akcji FIO
+
+
+
9
Millennium FIO Subfundusz Akcji
+
+
+
10 Novo FIO Subfundusz Novo Akcji
+
+
+
11 Subfundusz Pioneer Akcji Polskich
+
+
+
+
12 PKO Akcji – FIO
+
+
+
13 Subfundusz PZU Akcji Krakowiak
+
+
+
14 Subfundusz Akcji Skarbiec – Akcja
+
+
+
+
15 Subfundusz UniKorona Akcje
+
+
+
+
+ brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o stabilności parametrów modelu
Źródło: opracowanie własne
Analiza stabilności parametrów hybrydowych modeli …
259
Zakończenie
Wybrane uniwersalne testy stabilności parametrów modeli ekonometrycznych wykazały brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o stabilności parametrów hybrydowych modeli market-timing polskich OFI akcji w badanym,
ośmioletnim okresie styczeń 2003 - grudzień 2010. Potwierdza to zasadność
przedstawionych własności statystycznych oraz interpretacji parametrów
otrzymanych modeli, w szczególności dotyczących wyraźnej istotności statystycznej wpływu czynnika SMB oraz braku istotnego wpływu średnich miesięcznych wartości zmiennych objaśniających HML i WML na wartość miesięcznej stopy zwrotu z portfeli wybranych funduszy, jak również istotnie
ujemnych wartości parametru reprezentującego umiejętności zarządzającego w
zakresie stosowania techniki market-timing.
Literatura
1. Bollen N. P. B., Busse J. A. (2001), On the timing ability of mutual fund
managers, “The Journal of Finance”, Vol. 56, No. 3, s. 1075-1094.
2. Brown R. L., Durbin J., Evans J. M. (1975), Techniques for testing the constancy of regression relationships over time , “Journal of Royal Statistical
Society”, Vol. 37, No. 2, s. 149-192.
3. Buczek B.S. (2005), Efektywność informacyjna rynków akcji. Teoria a rzeczywistość, SGH w Warszawie – Oficyna Wydawnicza.
4. Carhart M.M. (1997), On persistence in mutual fund performance. “The
Journal of Finance”, Vol. 52, No. 1, s. 57-82.
5. Fama E., (1972), Components of investment performance, “The Journal of
Finance”, Vol. 27, No. 2, s. 551-567.
6. Fama E.F., French K.R. (1993) Common risk factors in the returns on
stocks and bonds. “Journal of Financial Economics”, Vol. 33, s. 3-56.
7. Gajdka J., Brzeszczyński J. (2008), Efektywność strategii inwestycyjnych
opartych na autoregresji miesięcznych stop zwrotu z indeksu WIG20. „Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania Uniwersytetu
Szczecińskiego”, Nr 9, s. 221-234.
8. Goetzmann W.N., Ingersoll J. Jr., Ivkovič Z. (2000), Monthly Measurement
of Daily Timers. “Journal of Financial and Quantitative Analysis”, Vol. 35,
No. 3, s. 257-290.
9. Greene W. H. (2003), Econometric Analysis, Wyd. 5, Prentice Hall, New
Jersey.
10. Harvey A.C., Collier P. (1977), Testing for functional misspecification in
regression analysis, “Journal of Econometrics”, Vol. 6, No. 1, s. 103-119.
11. Henriksson R., Merton R. (1981), On market timing and investment performance. II. Statistical procedures for evaluating forecasting skills, “Journal of Business”, Vol. 54, No. 4, s. 513-533.
12. Jegadeesh N., Titman S. (1993), Returns to buying winners and selling losers: implications for stock market efficiency. “The Journal of Finance”, Vol.
48, No. 1, s. 65-91.
260
Joanna Olbryś
13. Jensen M. (1968), The performance of mutual funds in the period 19451964. “The Journal of Finance”, Vol. 23, s. 389-416.
14. Kennedy P. (2003), A Guide to Econometrics, Wyd. 5, MIT Press.
15. Kufel T. (2007), Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem programu Gretl. PWN, Warszawa.
16. Maddala G.S. (2008), Ekonometria, PWN, Warszawa.
17. Merton R. (1981), On market timing and investment performance. I. An
equilibrium theory of value for market forecasts, “Journal of Business”,
Vol. 54, No. 3, s. 363-406.
18. Olbryś J. (2011a), Wieloczynnikowe hybrydowe modele market-timing
polskich funduszy inwestycyjnych, „Studia Ekonomiczne –Zeszyty Naukowe”, Wydawnictwo UE w Katowicach, w druku.
19. Olbryś J. (2011b), Codzienne decyzje, miesięczna analiza efektów – problem oceny umiejętności stosowania strategii market-timing przez zarządzających portfelami funduszy inwestycyjnych, [w:] A.S. Barczak, S. Barczak (red.) „Metody matematyczne, ekonometryczne i komputerowe w finansach i ubezpieczeniach 2009”, Wydawnictwo UE w Katowicach, str.
173-183.
20. Olbryś J. (2010a), Three-factor market-timing models with Fama and
French’s spread variables. “Operations Research and Decisions”, No. 2, s.
91-106.
21. Olbryś J. (2010b), Orthogonalized factors in market-timing models of
Polish equity funds. “Metody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych”,
Vol. 11, No. 1, s. 128-138.
22. Olbryś J. (2010c), Czynniki Famy i Frencha w wieloczynnikowych modelach market-timing polskich funduszy inwestycyjnych. „Zeszyty Naukowe
Uniwersytetu Szczecińskiego. Finanse, Rynki Finansowe, Ubezpieczenia”,
nr 29, s. 33-48.
23. Olbryś J. (2010d), Ocena efektywności zarządzania portfelem funduszu
inwestycyjnego z wykorzystaniem wybranych wieloczynnikowych modeli
market-timing. „Optimum. Studia Ekonomiczne”, nr 4(48), str. 44-61.
24. Quandt R. E. (1992), The collected essays of Richard E. Quandt, Edward
Elgar Publishing Company.
25. Treynor J., Mazuy K. (1966), Can mutual funds outguess the market?,
“Harvard Business Review”, Vol. 44, s. 131-136.
Streszczenie
Wieloczynnikowe modele hybrydowe wspomagają ocenę umiejętności menadżerów funduszy inwestycyjnych w zakresie stosowania techniki market-timing. Zmiennymi niezależnymi w tych modelach są m.in. czynniki Famy i Frencha [1993] oraz
Carharta [1997], którzy zaproponowali nowe zmienne objaśniające SMB, HML oraz
WML, nazwane portfelami naśladującymi. Wymienione czynniki, jak również modele
hybrydowe zostały już skonstruowane na polskim rynku przez Autorkę pracy. Celem
utworzenia modeli hybrydowych jest zastąpienie zmodyfikowanych modeli Treynora-
Analiza stabilności parametrów hybrydowych modeli …
261
Mazuya oraz Henrikssona-Mertona jednym modelem poprzez zastosowanie nowej
zmiennej objaśniającej, tzw. wartości dodanej, będącej efektem perfekcyjnego stosowania techniki market-timing przez zarządzającego portfelem [Goetzmann, Ingersoll,
Ivkovič, 2000]. Obecnie celem badań jest analiza stabilności parametrów uzyskanych
modeli hybrydowych, w celu potwierdzenia wyników estymacji i weryfikacji. Badanie
obejmuje grupę 15 OFI akcji polskich w okresie styczeń 2003 – grudzień 2010.
Testing for the stability of the parameters in hybrid market-timing models
of Polish mutual funds (Summary)
Hybrid multifactor market-timing models support for the evaluation of funds’
managers abilities. Multifactor models with Fama and French’s [1993] spread variables
SMB and HML, the Carhart’s [1997] momentum factor WML and the additional factor
that proxies for the monthly payoffs of a successful market timer [Goetzmann, Ingersoll, Ivkovič, 2000] have been proposed in [Olbryś, 2011a]. The size (SMB) and bookto-market (HML) mimicking portfolios have been constructed in [Olbryś, 2010a]. The
main goal of this paper is to test for the stability of the parameters in hybrid markettiming models of Polish mutual funds for the period Jan 2003-Dec 2010.