Definicja 1. Aij = |i〉〈j

Piotr Suwara
Teoria grup II: 27 kwietnia 2012
1
sl(n, C) = {A ∈ gl(n, C) : Tr A = 0}
su(n, C) = {A ∈ gl(n, C) : Tr A = 0, A = −A∗ }
sl(n, C) = Csu(n)
Niech hX, Y i = Tr XY .
Denicja 1. Aij = |iihj|
Hij = Aii − Ajj
Uwaga
2.
hAij , Aji i = 1,
Denicja 3
(algebra Cartana)
algebra przemienna w
Uwaga
4.
hHij , Hij i = 2
sl(n, C),
. Hij
[Hkl , Aij ] = αij (Hkl )Aij ,
Denicja 5.
gdzie
W sytuacji jak wy»ej,
rem pierwiastkowym dla
rozpinaj¡ algebr¦ przemienn¡ i jest to maksymalna
zwana algebr¡ Cartana
h.
αij (Hkl ) = δki − δkj − δli + δlj .
αij ∈ h∗
nazywamy pierwiastkiem, za±
Aij ∈ g
operato-
αij .
h∗ ' h 3 αij , czyli b¦dziemy próbowali zlokalizowa¢ αij w h. Rzeczywi±cie,
αij (Hkl ) = hHij , Hkl i, czyli Hij to kopierwiastek, mo»na go uto»samia¢ z αij .
Uwaga 7. Podobne rozwa»ania dziaªaj¡ dla su(n), bowiem iHij , Aij − Aji , iAij + iAji tworz¡
baz¦ su(n).
Uwaga 8. Je±li mamy sl(2, C) (lub su(2)), to niech H = H12 , A+ = A12 , A− = A21 . Wiemy
ju», »e Spec H ⊂ Z, m ∈ Spec H =⇒ Spec H ⊂ m + 2Z, Spec H symetryczne wzgl¦dem 0,
Spec H sko«czone.
3
Uwaga 9. sl(3, C) reprezentacja fundamentalna w C , Hij ei = µi (Hij )Ei = hLi , Hij iei , dostajemy L1 = (H12 + H13 )/3.
Uwaga
6. Ale
Denicja 10 (krata wagowa i pierwiastkowa).
sl(3, C)
generowana przez
11. Rozpatrzmy
Uwaga
12.
Uwaga
13.
Np
C3 ,
Np 3
Nq 3
SC ⊗
SC
14.
za±
pierwiastkowa
przez
krata wagowa
dla
H12 , H23 , H31 .
N2
C3 , wtedy dostaniemy pierwiastki ei ⊗S ej i wagi Li + Lj .
Rozpatrzmy C ⊗ C̄3 , dostaniemy pierwiastki ei ⊗ ēj i wagi Li − Lj .
N
3
S C : Li + Lj + Lk
Uwaga
Uwaga
L1 , L2 , L3 ,
W powy»szym przykªadzie
S
Np
S
C̄3
S
3
o wymiarach
n+p−1
, nie s¡ ani równowa»ne, ani przywiedlne.
n−1
przywiedlne.
so(n, C) z hx, yi = xi yi na Cn .
Niech Lij = |iihj| − |jihi|. L12 , L34 , . . . , L2m−1,2m algebra Cartana, [L12 , L23 ± iL13 ] =
∓i(L23 + iL13 ).
Pm
Uwaga 16. Rozpatrzmy so(n). Niech hz, wi =
1 zi w−i + z−i wi (+z0 w0 dla 2 6 |m).
so(n) rozpi¦ta przez Bij = |iih−j| − |jih−i|.
Ni = Bi,−i generuj¡ algebr¦ Cartana. Bij , |i| < |j| operatory pierwiastkowe, [Nk , Bij ] =
βij (Nk )Bij , βij (Nk ) = sgn(i)δ|i|k + sgn(j)δ|j|k (hX, Y i = Tr XY ).
Uwaga 17. so(3) jest narysowane.
Uwaga 18. so(4) = so(3) ⊕ so(3) jest narysowane.
Uwaga
15. Rozwa»my
P