Zmiana baz

Zmiana baz
Jacek Jędrzejewski
2014
Spis treści
1 Macierz przejścia od bazy do bazy
2
2 Wektory a zmiana baz
2.1 Współrzędne wektora względem różnych baz . . . . . . . . . .
2.2 Wektory o tych samych współrzędnych względem różnych baz
2
2
3
3 Przekształcenia liniowe a zmiana baz
3.1 Macierze tego samego przekształcenia . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Przekształcenia odpowiadające tej samej macierzy . . . . . . .
3
3
5
1
1
Macierz przejścia od bazy do bazy
Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K.
Przez B i B 0 oznaczmy dwie bazy (uporządkowane) tej przestrzeni. Niech
B = (b1 , . . . , bn ) i B 0 = (b01 , . . . , b0n )
Zgodnie z twierdzeniem o określaniu przekształcenia liniowego wiemy, że istnieje (i to jedyne) przekształcenie liniowe A takie, że
A(bi ) = b0i
dla każdej liczby naturalnej i spośród {1, . . . , n}.
Niech A, gdzie A = [αij ], będzie macierzą przekształcenia A względem bazy B. Macierz tę nazywamy macierzą przejścia od bazy B do bazy B 0 .
2
2.1
Wektory a zmiana baz
Współrzędne wektora względem różnych baz
Ustalmy dwie bazy przestrzeni V . Niech to będą B i B 0 , gdzie
B = (b1 , . . . , bn ) i B 0 = (b01 , . . . , b0n )
Załóżmy najpierw, że wektor x ma dwa rozwinięcia względem obu baz tej
przestrzeni:
x=
n
X
ξi ·bi i x =
i=1
n
X
ξi0 ·b0i .
i=1
Interesuje nas teraz związek między współrzędnymi tego wektora względem
baz B i B 0 .
Jeśli A : V −→ V jest automorfizmem przestrzeni V takim, że A(bi ) = b0i
i A, gdzie A = [αij ], jest macierzą przejścia od bazy B do bazy B 0 , to
x=
n X
n
X
αij ·ξj ·bi =
j=1 i=1
n
X
n
X

i=1
2

j=1

ξ ·αij  ·bi
Oznacza to równości
ξi0
=
n
X
αij ·ξj .
j=1
Zatem, jeśli [x]B oznacza ciąg współrzędnych wektora x względem bazy B,
natomiast [x]B0 — ciąg współrzędnych wektora x względem bazy B 0 , to
[x]TB = A • [x]TB0
lub
[x]B0 = [x]B • AT
2.2
Wektory o tych samych współrzędnych względem
różnych baz
Teraz odwrócimy to zagadnienie.
Załóżmy teraz, że ustalony ciąg współrzędnych [ξ1 , . . . , ξn ] tworzy dwa wektory x i x0 jako rozwinięcia tych wektorów względem obu baz tej przestrzeni:
x=
n
X
0
ξi bi i x =
i=1
n
X
ξi b0i
i=1
Jeśli A : V −→ V jest automorfizmem przestrzeni V takim, że A(bi ) = b0i ,
to
!
n
n
n
X
X
X
0
0 0
x =
ξi ·bi =
ξ ·A(bi ) = A
ξ ·A(bi = A(x).
i=1
i=1
i=1
Udowodniliśmy, że w takim przypadku x0 = A(x).
3
3.1
Przekształcenia liniowe a zmiana baz
Macierze tego samego przekształcenia
Niech V i W będą dwiema skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K.
3
Przez A i A0 oznaczmy bazy przestrzeni V , a przez B i B 0 — dwie bazy
przestrzeni W .
Niech A : V −→ V będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej V na siebie,
przekształcającym bazę A na bazę A0 . Niech A będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy A przy czym
A = [αij ]i,j¬n .
Niech B : W −→ W będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej W na siebie,
przekształcającym bazę B na bazę B 0 . Niech B będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy B, przy czym
B = [βij ]i,j¬n .
Niech F : V −→ W będzie przekształceniem liniowym. Jeśli F, gdzie
h
F = φij
i
A,B
jest macierzą przekształcenia F względem baz A i B oraz F0 , gdzie
h
F0 = φ0ij
i
A0 ,B0
jest macierzą przekształcenia F względem baz A0 i B 0 , to
F0 = B−1 • F • A.
D o w ó d. Obliczmy F (a0j ):
F (a0j ) =
m
X
φ0ij b0i =
i=1
=
m
X
φ0ij
i=1
m
X
m
X
φ0ij B (bi ) =
i=1
βki bk =
k=1
m
X
m
X
k=1
i=1
!
βki φ0ij
bk .
Obliczmy inaczej F (a0j ):
F (a0j ) = F A(aj ) = F
n
X
i=1
4
!
αij ai =
n
X
i=1
αij F (ai ) =
=
n
X
i=1
αij
n
X
φki bk =
k=1
m
X
n
X
k=1
i=1
!
φki αij bk .
Obliczone wartości są rozwinięciami wektora F (a0j ), są więc równe. Zatem
m
X
βki φ0ij =
i=1
m
X
φki αij ,
i=1
a to oznacza, że odpowiednie macierze są równe, czyli
B • F0 = F • A,
skąd wynika teza twierdzenia.
3.2
Przekształcenia odpowiadające tej samej macierzy
Niech V i W będą dwiema skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Załóżmy, że
dim V = n i
dim W = m.
Przez A i A0 oznaczmy bazy przestrzeni V , a przez B i B 0 — dwie bazy
przestrzeni W .
Niech A : V −→ V będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej V na siebie,
przekształcającym bazę A na bazę A0 . Niech A będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy A przy czym
A = [αij ]i,j¬n .
Niech B : W −→ W będzie izomorfizmem przestrzeni liniowej W na siebie,
przekształcającym bazę B na bazę B 0 . Niech B będzie macierzą tego przekształcenia względem bazy B, przy czym
B = [βij ]i,j¬n .
Niech F, gdzie
F = [φij ]i¬m,j¬n ,
5
będzie ustaloną macierzą o podanych wymiarach.
Niech F : V −→ W będzie przekształceniem liniowym, którego macierzą względem baz A i B jest macierz F, natomiast funkcja F 0 : V −→ W będzie przekształceniem liniowym, którego macierzą względem baz A0 i B 0 jest też macierz F.
Wtedy
F 0 = B ◦ F ◦ A−1 .
D o w ó d. Z założeń wynika, że
F (aj ) =
m
X
φij bi i F 0 (a0j ) =
i=1
m
X
φij b0i .
i=1
Zatem
F 0 ◦ A(aj ) = F 0 A(aj ) = F 0 (a0j )
oraz

B ◦ F (aj ) = B F (aj ) = B 
m
X

φij bi  =
m
X
φij B(bi ) =
i=1
ij
m
X
φij b0i = F 0 (a0j ).
i=1
Wynika stąd, że F 0 ◦ A(aj ) = B ◦ F (aj ). Ponieważ dla wektorów bazy przekształcenia liniowe B ◦ F i F 0 ◦ A są równe, więc są one równe w całej
przestrzeni V . Wnioskujemy stąd, że
F 0 = B ◦ F ◦ A−1 .
6