Algebry nilpotentne i nil

Algebry nilpotentne i nil-algebry
Witold Tomaszewski
W wykªadzie tym prezentujemy wyniki E.S. Goªoda dotycz¡ce nienilpotentnych nilalgebr oraz ich konsekwencje w teorii grup.
Denicje
(i) Niech K b¦dzie ciaªem. Pier±cie« (A, +, ·) nazywamy K -algebr¡ (lub algebr¡ nad ciaªem K ) je±li (A, +) stanowi przestrze« liniow¡ nad ciaªem K i
speªniony jest warunek:
α(ab) = (αa)b = a(αb),
dla ka»dych α ∈ K oraz a, b ∈ A (symbol αa oznacza mno»enie skalara
α ∈ K przez wektor a ∈ A). Wymiarem K -algebry A nazywamy wymiar A
jako przestrzeni liniowej nad K .
(ii) Mówimy, »e element a K -algebry A jest nilpotentny je±li istnieje liczba
naturalna n taka, »e an = 0 (gdzie 0 jest elementem neutralnym dodawania
pier±cienia A). Je±li ka»dy element algebry A jest nilpotentny to algebr¦ t¡
nazywamy nilagebr¡.
(iii) Algebr¦ A nazywamy nilpotentn¡ stopnia n je±li dla ka»dych elementów
x1 , x2 , . . . , xn ∈ A mamy:
x1 x2 . . . x n = 0
(iv) Mówimy, »e K -algebra A jest n-generowana je±li istnieje n elementowy
zbiór, który generuje A jako pier±cie«.
(v) Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡. Grup¦ G nazywamy p-grup¡ je±li ilo±¢ jej
elementów jest pot¦ga liczby p.
Przykªadami K -algebr s¡ pier±cienie wielomianów i pier±cienie macierzy o
wspóªczynnikach z ciaªa K . Przykªadem
K -algebry stopnia 2
· nilpotentnej
¸
0 x
(a tak»e nilagebry) jest zbiór macierzy
, gdzie x ∈ K . Jasne jest,
0 0
»e ka»da nilpotentna algebra jest równie» nilalgebr¡. Czy jest równie» odwrotnie? Okazuje si¦, »e nie. Wiadomo jednak»e, »e je±li A jest sko«czenie
wymiarow¡ nilalgebr¡ nad ciaªem K to A jest nilpotentna. Podstawowym
1
wynikiem E.S. Goªoda jest podanie konstrukcji nilalgebry A która nie jest
nilpotentna. Pokazaª on nawet wi¦cej:
Twierdzenie 1 (E.S. Goªod) Dla ka»dej liczby naturalnej n ≥ 2 istnieje
n-generowana, nienilpotentna K -algebra A, taka, »e ka»da jej n−1-generowana
podalgebra jest nilpotentna.
Algebra S skonstruowana przez Goªoda jest podalgebr¡ pewnej algebry
z jedynk¡ A. Wtedy zbiór 1 + S = {1 + s; s ∈ S} z dziaªaniem mno»enia
stanowi grup¦. Grupa ta ma interesuj¡ce wªasno±ci.
Twierdzenie 2 (E.S. Goªod) Dla ka»dej liczby naturalnej n > 2 i dla ka»-
dej liczby pierwszej p istnieje niesko«czona (nienilpotentna) n-generowana
grupa taka, »e ka»da jej n − 1-generowana podgrupa jest sko«czon¡ p-grup¡
(a wi¦c jest nilpotentna).
W wykªadzie tym zaprezentowany zostanie zarys konstrukcji algebry, o
której mowa jest w Twierdzeniu 1.
Bibliograa
[1] E.S. Goªod, O nil-algiebrach i nitno-approksimirujemych p-gruppach
(w j¦zyku rosyjskim), Izw. A.N. SSSR 28, nr 2 (1964), str. 273-276.
2