Zadania do zajŚ˘ nr 15 1. Niech R b¦dzie przemiennym pier±cieniem

Zadania do zaj¦¢ nr
15
R b¦dzie przemiennym pier±cieniem z 1 i niech F(R) b¦dzie zbiorem
R do R z naturalnym dodawaniem i mno»eniem (tzn.
f, g ∈ F(R), f + g przeksztaªca r ∈ R na f (r) + g(r) itp.)
1. Niech
wszystkich funkcji z
dla
(a) Poka», »e
F(R)
jest przemiennym pier±cieniem z
(b) Poka», »e
F(R)
nie jest dziedzin¡.
1.
F(Z2 ) ma dokªadnie 4 elementy i f + f = 0 dla ka»dego
f ∈ F(Z2 ).
√
Czy R = {a + b 2 : a, b ∈ Z} jest dziedzin¡?
√
1
Czy R = { 2 (a + b 2) : a, b ∈ Z} jest dziedzin¡?
√
1
Korzystaj¡c z tego, »e α = 2 (1 + −19) jest pierwiastkiem wielomianu x2 − x + 5, `udowodnij »e R = {a + bα : a, b ∈ Z} jest dziedzin¡.
(c) Poka», »e
2.
(a)
(b)
(c)
3.
(a) Niech
R b¦dzie pier±cieniem przemiennym.
Okre±lamy operacj¦ kóªko
przez
a ◦ b = a + b − ab.
Poka», »e operacja
◦
jest ª¡czna i »e
(b) Udowodnij, »e pier±cie« przemienny
0◦a=a
R
dla ka»dego
a ∈ R.
jest ciaªem gddy zbiór
R# = {r ∈ R : r 6= 1}
jest grup¡ abelow¡ ze wzgl¦du na operacj¦ kóªko.
4. Udowodnij, »e ka»da dziedzina o sko«czonej liczbie elementów musi by¢
ciaªem.
5. Znajd¹ wszystkie jednostki w pier±cieniu
Z[i]
Gaussowskich liczb caªkow-
itych.
6. Poka», »e
7.
√
F = {a + b 2 : a, b ∈ Q}
jest ciaªem.
(a) Poka», »e
F = {a + bi : a, b ∈ Q}
(b) Poka», »e
F
jest ciaªem.
jest ciaªem uªamków liczb caªkowitych Gaussowskich.
1