konfiguracja odniesienia

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
10
II. PODSTAWOWE RÓWNANIA MECHANIKI W UJĘCIU
NIELINIOWYM
W rozdziale zamieszczone są podstawowe równania nieliniowej mechaniki ciała odkształcalnego
bez wyprowadzeń oraz komentarzy. Zakłada się, że czytelnik zaliczył kurs mechaniki ośrodków
ciągłych a przytoczone wzory są przypomnieniem oraz określają konwencję zapisu, która będzie
stosowana w konspekcie.
1. Opis ruchu ciała materialnego
Na rysunku pokazane są konfiguracje ciała materialnego: konfiguracja odniesienia C0, konfiguracja aktualna w chwili t Ct oraz w chwili t+Δt Ct+Δt.
Rys. 2.1. Wyróżnione konfiguracje ciała materialnego
Podstawowe oznaczenia:
1) Układy współrzednych
{z1 , z 2 , z3 } - współrzędne materialne,
{x1 , x2 , x3 }- współrzędne przestrzenne,
jako tożsame układy kartezjańskie.
z − wybrana cząstka ciała B, „identyfikator” punktu materialnego,
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
11
2) Funkcja ruchu
jest to funkcja położenia cząstki z w chwili t
x t = x = {xi } = x(z, t ) ,
3) Funkcja przemieszczenia
u(z, t ) = x(z, t ) − z ,
xk = x k (z i , t ) .
u k = xk − z k .
(2.1)
(2.2)
4) Przyrost przemieszczenie pomiędzy chwilami t i t + Δt
Δu(z, t ) = x(z, t + Δt ) − x(z, t ),
Δu k = xk ( z i , t + Δt ) − xk ( z i , t ).
(2.3)
5) Prędkość
v (z , t ) = x& (z , t ) =
∂x
∂t
&
z = const =u
(z, t ) .
6) Przyśpieszenie
&&(z, t ) ,
a = v& = u
(2.4)
(2.5)
Δa(z, t ) ≡ a(z, t + Δt ) − a(z, t ) .
(2.6)
2. Opis stanu deformacji i odkształcenia
W celu określenia stanu deformacji (odkształcenia) musi być zdefiniowana konfiguracja odniesienia. Zwykle jako konfiguracje odniesienia przyjmuje się konfigurację początkową C0 lub konfigurację aktualną Ct. W przypadku stosowania konfiguracji aktualnej jako konfiguracji odniesienia miara odkształcenia będzie miała znacznik: t (•) po lewej stronie litery rdzeniowej.
Poniżej podano definicje podstawowych miar deformacji i odkształcenia stosowane w MOC:
1) Gradient deformacji
∂x (z, t )
∂x(z, t )
, Fkl = k
.
(2.7)
F (z, t ) =
∂z
∂z l
2) Tensor deformacji Greena
C = FTF ,
C ij = Fki Fkj .
(2.8)
3) Tensor deformacji Cauchy’ego
−1 −1
T
tB = F F.
4) Tensor odkształcenia Greena
– wyraża całkowite odkształcenie względem konfiguracji początkowej
1
ε = (C − I ) ,
2
ε ij =
1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎞⎟
.
+
+
∂z i ∂z j ⎟⎠
2 ⎜⎝ ∂z j ∂z i
5) Tensor odkształcenia Almasiego-Hamela
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
tε
1
(I − B ) ,
2
=
t ε ij
=
1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎞⎟
.
+
−
2 ⎜⎝ ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j ⎟⎠
12
(2.12a)
(2.12b)
Interpretacja geometryczna tensorów odkształcenia
Rys. 2.2. Porównanie odcinków materialnych w konfiguracjach: odniesienia i aktualnej
d s 0 = dz T d z ,
d s = dx T d x ,
(
(2.13)
)
1 2
ds − ds 02 = ε ij dz i dz j = t ε ij dxi dx j .
2
3. Stacjonarny i uaktualniony opis Lagrange’a
Stacjonarny opis Lagrange’a: tensor odkształcenia Greena i wektor przemieszczenia są funkcją
współrzędnych materialnych i czasu u(z,t)
ε ij =
1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎞⎟
.
+
+
2 ⎜⎝ ∂z j ∂z i
∂z i ∂z j ⎟⎠
(2.14)
Uaktualniony opis Lagrange’a: tensor Almasiego, wektor przemieszczenia są funkcją współrzędnych przestrzennych i czasu u(x,t)
t ε ij
=
1 ⎛⎜ ∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎞⎟
.
+
−
2 ⎜⎝ ∂xi ∂x j ∂xi ∂x j ⎟⎠
(2.15)
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
13
4. Przyrosty tensora odkształcenia
Opis stacjonarny
Δε(z, t ) = ε(z, t + Δt ) − ε(z, t ),
Δε ij =
1 ⎛⎜ ∂Δu i ∂Δu j ∂u k ∂Δu k ∂Δu k ∂u k ∂Δu k ∂Δu k
+
+
+
+
2 ⎜⎝ ∂z j
∂z i ∂z j
∂z i ∂z j
∂z i ∂z j
∂z i
⎞
⎟.
⎟
⎠
(2.16)
Opis uaktualniony
Δ t ε(x, t ) = t ε(x, t + Δt )− t ε(x, t ),
Δ t ε ij =
1 ⎛⎜ ∂Δui ∂Δu j ∂Δu k ∂Δu k
+
+
∂xi
∂xi ∂x j
2 ⎜⎝ ∂x j
⎞
⎟.
⎟
⎠
Przykład
Jednorodne rozciąganie pręta, zagadnienie jednowymiarowe
Rys. 2.3
Bezpośrednio z rysunku mamy
[
]
⎛l 2
⎞
l 2 −l 2
1
(ds )2 − (ds0 )2 = 1 ⎜⎜ t 2 dz12 − dz12 ⎟⎟ = 1 t 2 0 dz1dz1 = ε ij dz i dz j
2
2 ⎝ l0
⎠ 2 l0
ε ij dz i dz j = ε11dz1dz1 + ε12 dz1dz 2 + ... = ε11dz1dz1
14
4244
3
=0
stąd
(2.17)
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
2
1 l −l
ε11 ( z1 , t ) = t 2 0
2 l0
14
2
.
Analogicznie odkształcenie dla czasu t+Δt:
[
]
⎛ (l + Δl ) 2
⎞
(l + Δlt ) 2 − l 0 2
1
(ds + Δlt )2 − (ds0 )2 = 1 ⎜⎜ t 2 t dz12 − dz12 ⎟⎟ = 1 t
dz1dz1
2
2
2⎝
2
l0
l
0
⎠
oraz
2
1 (lt + Δlt ) 2 − l 0
.
2
2
l0
ε11 ( z1 , t + Δt ) =
W takim razie przyrost odkształcenia w opisie stacjonarnym
Δε11 =
2
2
2
2
1 (l t + Δlt ) − l 0
1 lt − l 0
1
2
−
=
2lt Δlt + Δlt
2
2
2
2
2 l0
l0
2l 0
[
]
Z kolei odkształcenie w opisie uaktualnionym (tensor odkształcenia Almasiego)
1
(ds )2 − (ds0 )2 = 1 [dx1dx1 − dz1dz1 ] =
2
2
⎤ 1 l 2 −l 2
l 2
1⎡
= ⎢dx1dx1 − 02 dx1dx1 ⎥ = t 2 0 dx1dx1 = t ε11dx1dx1 ,
2 ⎢⎣
lt
⎥⎦ 2 lt
[
]
2
gdzie
t ε11 ( x1 , t ) =
2
1 lt − l0
.
2 lt 2
Powyższa miara odkształcenia w chwili czasu t+Δt jest równa
2
1 (lt + Δlt ) 2 − l 0
(
,
)
ε
x
t
+
Δ
t
=
.
t 11 1
2
2
lt
Należy zauważyć, że nie jest to już składowa tensora Almasiego dla chwili t+Δt ponieważ konfiguracją odniesienia jest C t a nie C t + Δt .
Przyrost odkształcenia dla opisu uaktualnionego
2
2
1 (l t + Δlt ) − l 0
1 lt − l 0
−
=
2
2 lt 2
lt 2
2
Δ t ε11 ( x1 , t ) = t ε11 ( x1 , t + Δt ) − t ε11 ( x1 , t ) =
=
1
2lt 2
[2l Δl + Δl ]
2
.
2
t
t
t
Powyższe związki można również otrzymać korzystając z reprezentacji miary odkształcenia jako
funkcji przemieszczenia:
⎞
⎛l
u1 ( z1 , t ) = ⎜⎜ t − 1⎟⎟ z1
⎠
⎝ l0
⎛ l
oraz u1 ( x1 , t ) = ⎜⎜1 − 0
⎝ lt
⎞
⎟⎟ x1 .
⎠
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
15
5. Opis stanu naprężenia
Ciało B dowolnie obciążone myślowo przecinamy powierzchnią i analizujemy stan napięcia na
tej powierzchni w konfiguracji odniesienia i aktualnej:
– dP - siła na powierzchni dω
~ ∂z
– dP =
dP - siła dP w układzie współrzędnych materialnych {z i }
∂x
Definiujemy miary naprężenia:
1) Tensor naprężenia Cauchy’ego
dP
t=
= σ n,
t i = σij n j . ,
dω
2) Tensory naprężenia Pioli-Kirchhoffa
dP
t=
= σn 0 ,
t i = σ ij n0 j ,
dω 0
~
~ dP ~
~ =σ
t =
= σn 0 ,
ti ~ ij n0 j ,
dω 0
(2.18)
I rodzaju niesymetryczny,
(2.19)
II rodzaju symetryczny.
(2.20)
Rys. 2.4
Przyrosty naprężeń w opisie stacjonarnym:
Konfiguracją odniesienia jest konfiguracja początkowa
Δσ(z, t ) = σ(z, t + Δt ) − σ(z, t ) ,
~ (z, t ) = σ
~ (z, t + Δt ) − σ
~ (z, t ) .
Δσ
(2.21)
(2.22)
~ mamy jasną interpretację fizyczną:
Istotne jest, że dla tensorów Poli-Kirchhoffa Δσ i Δσ
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
16
siła/powierzchnię, która jest ustalona.
Nie ma tej własności tensor Couchy’ego, który jest ilorazem siły do aktualnej powierzchni.
Uwaga: Zwykle konfiguracją odniesienia przy definiowaniu tensorów Poli-Kirchhoffa jest
konfiguracja początkowa C0. Nie jest to regułą, można jako konfigurację odniesienia przyjmować C t .
Przyrosty naprężenia z opisie uaktualnionym
Konfiguracją odniesienia jest konfiguracja aktualna
Δ t σ(z, t ) = t σ(z, t + Δt ) − t σ(z, t ) ,
~ (z, t ) = σ
~
~
Δt σ
t (z, t + Δt ) − t σ (z, t ) .
(2.23)
(2.24)
6. Równanie ruchu - zasada zachowania pędu
Zapisujemy dynamicznie równanie ruchu - jest to statyczne równanie równowagi z dodatkiem
siły d’Alemberta.
Równania zapisujemy dla chwil t i t + Δt .
Obciążenie:
tˆ t = tˆ(z, t ) − gęstość sił powierzchniowych,
(2.25)
fˆ t = fˆ (z , t ) − gęstość sił masowych.
(2.26)
Rys. 2.5
Zasada zachowania pędu:
t
t
t
t
t
∫ ρfˆ dΩ + ∫ tˆ d(∂Ω 0 ) − ∫ ρ 0 &x& dΩ = 0 oraz &x& = u&& ,
Ω0
dla chwili t + Δt
∂Ω 0
Ω0
(2.27)
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
∫ ρfˆ
t + Δt
dΩ +
Ω0
∫ tˆ
t + Δt
∂Ω 0
d(∂Ω 0 ) − ∫ ρ 0 &x& t + Δt dΩ = 0 .
17
(2.28)
gdzie (..)t oznacza wartość funkcji w chwili t.
Korzystając z tw. Gaussa-Ostrogradskiego równanie (27) można przedstawić w zapisie lokalnym
σ t + ρ fˆ t = ρ u&&t ,
(2.29)
kl ,l
0 k
0 k
Po odjęciu stronami równań (27) i (28) mamy:
– dla zapisu stacjonarnego
Δσ kl ,l
d 2 Δu k
ˆ
+ ρ 0 Δf k = ρ 0
dla t ≤ τ ≤ t + Δt ,
d 2τ
(2.30)
– lub dla zapisu uaktualnionego
Δ t σ kl ,l
d 2 Δu k
ˆ
+ ρΔf k = ρ 2
dla t ≤ τ ≤ t + Δt
d τ
(2.31)
gdzie ρ = ρ(t ) .
7. Równanie konstytutywne
Należy przyjąć odpowiednią klasę materiałów. Niech będzie to materiał hiposprężysty, którego
równanie konstytutywne jest podobne jak dla materiału hipersprężystego.
Postulujemy istnienie potencjału prędkości naprężenia jako funkcji prędkości odkształcenia:
W = W (ε& ) ,
(2.32)
oraz
~& = ∂W ,
σ
∂ε&
(2.33)
gdzie
ε − tensor odkształcenia Greena,
~ − tensor Pioli Kirchhoffa II rodzaju,
σ
1 ~
ε σ − energia sprężysta.
2
Zakładamy, że potencjał W ma postać
1
W = Cijkl ε& ij ε& kl ,
2
(2.34)
oraz
~& = ∂W = C ε& .
σ
ij
ijkl kl
∂ε& ij
Pochodne odkształcenia i naprężenia definiujemy:
(2.35)
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
εt + Δt − εt
,
Δt → 0
Δt
~ t + Δt − σ
~t
~& (z, t ) ≡ lim σ
σ
.
Δt → 0
Δt
ε& (z, t ) ≡ lim
18
(2.36)
(2.37)
Postać przyrostowa równania konstytutywnego
~ =σ
~ t + Δt − σ
~t =
Δσ
ij
ij
ij
t + Δt
∫ Cijkl ε& kl dτ ≅ Cijkl Δεkl .
t
t
t
(2.38)
t
8. Sformułowanie zadania nieliniowej mechaniki
– równanie ruchu:
Δσkl ,l + ρ0 Δfˆk = ρ0u&&k
na Ω,
– związki geometryczne:
1
Δεij = Δui , j + Δu j ,i + uk ,i Δuk , j + Δuk ,iuk , j + Δuk ,i Δuk , j
2
– związki konstytutywne:
[
~ =
Δσ
ij
t + Δt
∫ Cijkl ε& kl dτ
t
na Ω,
(2.39)
]
na Ω,
(2.40)
(2.41)
t
– warunki brzegowe kinetyczne (naprężeniowe, II-go rodzaju)
Δσ kl nl = Δtˆk na ∂Ω σ ,
(2.42)
– warunki brzegowe kinetyczne (I-go rodzaju)
Δuk = Δuˆk na ∂Ω u ,
(2.43)
– warunki początkowe
uk = uˆk0 ,
u& = u&ˆ 0
k
dla x ∈ Ω i
t = t0 ,
(2.44)
k
– związek pomiędzy tensorami Pioli-Kirchhoffa
~ + F Δσ
~ + Δu Δσ
~ .
Δσ kl = Δuk , m σ
ml
km
ml
k ,m
ml
(2.45)
9. Sformułowanie zadania liniowego dynamiki
∧
Dla t ∈ [0, t ] mamy:
– równanie ruchu (równowagi)
σ + ρfˆ = ρu&&
x∈Ω,
kl ,l
k
k
– związek geometryczny
1
εij = (ui , j + u j ,i )
2
– związek konstytutywny
x∈Ω ,
(2.46)
(2.47)
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
σij = Cijkl ε kl
x∈Ω ,
(2.48)
– warunki brzegowe
σ ij n j = tˆi x ∈ ∂Ω σ ,
ui = uˆi
19
(2.49)
x ∈ ∂Ω u .
(2.50)
Dla t = 0 mamy:
– warunki początkowe
ui = uˆi0 ,
,
u& = uˆ& 0
i
x∈Ω.
(2.51)
i
Uwaga:
~ nie wyróżnia się C i C ;
σ=σ=σ
0
t
ruch ciała określa wektor przemieszczenia i nie wyróżnia się dwóch układów współrzędnych
{xi} i {zi}.
10. Zapis macierzowy równań liniowej teorii sprężystości
Algorytmy MES są na ogół zapisywane z szerokim wykorzystaniem zapisu macierzowego, w
związku z tym korzystnie jest zapisanie modelu fizycznego również w zapisie macierzowym.
Równania teorii sprężystości podane w p. 9 sformułowane w zapisie macierzowym:
1) Wektor przemieszczeń
⎧ u1 ⎫
⎪ ⎪
u3 x1 = ⎨u2 ⎬ .
⎪u ⎪
⎩ 3⎭
(2.52)
2) Wektor odkształceń
ε 6 x1 = {ε11 ε 22
ε 33
γ 23
γ13
γ12 }T .
(2.53)
3) Wektor naprężenia
σ 6 x1 = {σ11 σ22 σ33 σ23 σ13 σ12 }T .
(2.54)
4) Związki geometryczne dla zagadnienia liniowego
ε 6 x1 = D 6 x3u 3 x1 ,
(2.55)
gdzie
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
⎡ ∂
⎢ ∂x
⎢ 1
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
D=⎢
⎢
⎢ 0
⎢
⎢ ∂
⎢ ∂x3
⎢ ∂
⎢
⎢⎣ ∂x2
⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
∂ ⎥
⎥
∂x3 ⎥
.
∂ ⎥
∂x2 ⎥
⎥
∂ ⎥
∂x1 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥⎦
0
∂
∂x2
0
∂
∂x3
0
∂
∂x1
20
(2.56)
5) Równanie konstytutywne
σ 6 x1 = C 6 x 3ε 3 x1 ,
(2.57)
gdzie
ν
ν
0
⎡1 − ν
⎢ ν 1− ν
ν
0
⎢
⎢ ν
ν 1− ν
0
⎢
1
−
2ν
E
0
0
C=
⎢ 0
2
(1 + ν )(1 − 2ν ) ⎢
⎢ 0
0
0
0
⎢
⎢ 0
0
0
0
⎢⎣
6) Warunki równowagi
D T σ + ρfˆ = 0
3 x 6 6 x1
3 x1
3 x1 .
0
0
0
0
1 − 2ν
2
0
⎤
0 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥.
⎥
0 ⎥
⎥
1 − 2ν ⎥
2 ⎥⎦
0
(2.58)
(2.59)
7) Kinematyczne warunki brzegowe
u3 x1 = uˆ 3 x1 .
(2.60)
8) Kinetyczne warunki brzegowe
N 3 x 6σ6 x1 = tˆ 3 x1 ,
(2.61)
⎡n1 0
N = ⎢⎢ 0 n2
⎣⎢ 0 0
0
0
n3
0
n3
0
n3
n2
n1
n2 ⎤
n1 ⎥⎥ .
0 ⎦⎥
(2.62)