Ryszard HEJMANOWSKI*, Andrzej KWINTA** Dobór formy osnowy

WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie
____________________________________________________________________________
Mat. Symp. str. 289 – 298
Ryszard HEJMANOWSKI*, Andrzej KWINTA**
*Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków
**Akademia Rolnicza, Kraków
Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania odkształceń poziomych
na terenach górniczych
Streszczenie
Odkształcenia poziome na terenach górniczych wyznacza się zazwyczaj na podstawie
pomiarów geodezyjnych. Dla oceny zagrożenia obiektów należy wyznaczyć wartości
maksymalne odkształceń. Przy odpowiednio dobranym układzie punktów pomiarowych
możliwe jest wyznaczanie stanu odkształceń metodami geodezyjnymi. W artykule podano
najbardziej optymalne formy osnowy pomiarowej, uwzględniające dokładność wyznaczanych
odkształceń. Wykazano ponadto, że stosowanie klasycznych rozet, bądź linii pomiarowych jest
mniej korzystne niż konstrukcji zalecanych przez autorów.
1. Wstęp
Jednym z czynników uwzględnianych przy projektowaniu eksploatacji górniczej jest jej
niekorzystne oddziaływanie na powierzchnię terenu i obiekty na niej zlokalizowane.
Podstawowym wskaźnikiem deformacji są odkształcenia poziome, w oparciu o które określa
się kategorie terenu górniczego. Dla obiektów, w zależności od jego wymiarów i konstrukcji,
istotne znaczenie mają odkształcenia poziome osiowe (w kierunkach osi głównych obiektu)
oraz odkształcenia główne.
Pomiary geodezyjne prowadzone ponad eksploatacją górniczą pozwalają na określenie
oddziaływania tej eksploatacji na powierzchnię terenu i obiekty. Pomiary takie są praktycznie
jedynym źródłem informacji na temat wpływu eksploatacji na obiekty powierzchniowe.
Dla obiektów budowlanych zagrożonych wpływami eksploatacji górniczej zakłada się na
ścianach i w jego pobliżu zbiór punktów pomiarowych, pozwalających na śledzenie ich
ruchów w trakcie trwania eksploatacji. W przypadku punktów ściennych (repery), generalnie
obserwuje się ich ruchy w płaszczyźnie pionowej (przemieszczenia pionowe, nachylenia,
krzywizny). W oparciu o pomiary geodezyjne, wykonywane na punktach ziemnych
zastabilizowanych w otoczeniu obiektu (linie pomiarowe), wyznacza się wskaźniki deformacji
w płaszczyźnie poziomej i pionowej. Od pewnego czasu postuluje się wprowadzanie pomiarów
w płaszczyźnie poziomej, które pozwoliłyby na wyznaczenie tensora stanu odkształcenia
w rejonie tych obiektów. Należałoby tu również wspomnieć o nowoczesnych pomiarach
wychyleń wysokich obiektów specjalnymi metodami geodezyjnymi (Jóźwik i in. 2002).
Należy zdawać sobie sprawę z faktu, że tensor odkształcenia formalnie powinien być
wyznaczany metodami tensometrycznymi. W praktyce ochrony terenów górniczych
prowadzone są jednak pomiary geodezyjne, których wyniki służą do wyznaczania tensora
_______________________________________________________________
289
R. HEJMANOWSKI, A. KWINTA – Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania ...
____________________________________________________________________________
odkształcenia. Mówiąc o pomiarach geodezyjnych tego typu zakłada się stałość stanu
odkształcenia na całej powierzchni objętej pomiarami (boku odcinka linii pomiarowej, obszaru
rozety, gwiazdy). Stan odkształcenia jest w rzeczywistości zmienny zarówno w przestrzeni jak
i w czasie. Dlatego, zdaniem Autorów, niezbędne jest podjęcie dyskusji na temat określenia
zasad prowadzenia i opracowania odpowiednich pomiarów geodezyjnych, na podstawie
których wyznacza się stan odkształcenia. W niniejszej pracy analizie poddano zależność
pomiędzy układem punktów pomiarowych (rozeta, gwiazda), a wynikami pomiarów
geodezyjnych. Niniejszy artykuł jest jedną z cyklu publikacji dotyczących problematyki
pomiarów deformacji w aspekcie wyznaczania tensora odkształceń na terenach górniczych
z zastosowaniem nowoczesnych pomiarów geodezyjnych.
2. Klasyczny pomiar stanu odkształcenia poziomego metodami geodezyjnymi
Powierzchnia terenu poddana oddziaływaniu eksploatacji górniczej podlega
przemieszczeniom i odkształceniom. Przemieszczenie należy rozumieć jako translację
punktów powierzchni o pewien wektor. Odkształcenie ośrodka jest to zmiana położenia
względem siebie jego poszczególnych punktów. Odkształcenie to opisywane jest poprzez dwie
miary: odkształcenie liniowe i odkształcenie postaciowe. Miary odkształcenia można
zdefiniować następująco (Praca Zbiorowa 1980):
– miarą odkształcenia liniowego nazywamy granicę iloczynu zmiany długości odcinka do
jego pierwotnej długości,
– miarą odkształcenia postaciowego nazywamy zmianę wartości tangensa kąta pomiędzy
dwoma odcinkami spowodowaną przez odkształcenie.
Miary odkształcenia są wielkościami lokalnymi, przypisanymi do punktu zawartego
w nieskończenie małym elemencie (ifinityzymalnym). Stan odkształcenia w tym punkcie jest
określony, jeżeli można wyznaczyć miary odkształcenia w dowolnym kierunku. Miary
odkształcenia liniowego i postaciowego tworzą tensor stanu odkształcenia w danym punkcie.
Tensor płaskiego stanu odkształcenia można przedstawić jako macierz o czterech elementach
[2x2], następująco (1):
  x  xy 
T  

 yx  y 
(2.1)
gdzie :
T – tensor stanu odkształcenia,
x, y – odkształcenia liniowe w kierunkach osi x i y,
xy, yx – odkształcenia postaciowe, przy czym obie wielkości są sobie równe xy = yx.
Składowe tensora stanu odkształcenia zależą od wyboru układu współrzędnych, wraz z jego
zmianą podlegają odpowiednim transformacjom (podobnie jak współrzędne wektora). Tensor
odkształcenia charakteryzuje się trzema niezmiennikami (liniowym, kwadratowym,
sześciennym). Odkształcenia główne są to wartości ekstremalne liniowych odkształceń
w funkcji kierunku, natomiast ekstremalne odkształcenie postaciowe jest to maksymalna
wartość odkształcenia postaciowego.
_______________________________________________________________
290
WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie
____________________________________________________________________________
Wielkości te można zapisać następująco:
 max 
 min 
x  y
2
x  y
2
 max  
1
2

1
2
 x   y 2  4 xy2
(2.2)

1
2
 x   y 2  4 xy2
(2.3)
 x   y 2  4 xy2
tg 2 
2 xy
 y x
(2.4)
(2.5)
gdzie:
kąt mierzony od osi x, w kierunku którego występuje odkształcenie główne.
Odkształcenia poziome powinny być wyznaczane z pomiarów prowadzonych na bardzo
małych bazach pomiarowych. Tak więc odkształcenia zasadniczo powinno się wyznaczać z
pomiarów tensometrycznych. W praktyce, powszechnie odkształcenia poziome uzyskuje się na
podstawie pomiarów geodezyjnych, które prowadzone są na stosunkowo długich bazach
pomiarowych. Na podstawie analizy formalnej prowadzonej w oparciu o wzory teorii
Knothego można wykazać, że możliwe jest wyznaczanie odkształceń poziomych będących
skutkiem prowadzonej eksploatacji górniczej, na bazie pomiarów geodezyjnych (Kwinta
2005). Wykonując pomiary względnych zmian długości odcinków metodami geodezyjnymi,
można uzyskiwać rozbieżności z odkształceniami (pochodna przemieszczeń) poniżej 1%
maksymalnych odkształceń. Oczywiście wartość tego błędu zależy od długości odcinka oraz
od miejsca przypisania odkształcenia (minimum dla środka mierzonego odcinka). W
przypadku tradycyjnych metod pomiarowych (Kwinta 1998) odkształcenia poziome wyznacza
się z pomiarów zmian długości odcinków linii pomiarowej w poszczególnych seriach
pomiarowych (zgodnie z definicją odkształcenia liniowego). Korzystając z tej definicji, można
obliczyć odkształcenie na zadanym odcinku, jednak tylko w kierunku, jaki wyznacza ten
odcinek w przyjętym układzie współrzędnych. W wielu przypadkach obliczona wartość
odkształcenia nie będzie pokrywała się z jego wartością maksymalną. W celu określenia
odkształceń głównych można założyć specjalne konstrukcje (układy punktów pomiarowych).
Najczęściej stosowane są konstrukcje w postaci rozety (trójkąt) lub gwiazdy (rys. 2.1), to
znaczy :
– rozeta prostokątna – jest to trójkąt prostokątny, równoramienny,
– rozeta delta – jest to trójkąt równoboczny,
– gwiazda – jest to zbiór odcinków o jednym punkcie wspólnym (co najmniej trzech).
W konstrukcjach przedstawionych na rysunku 2.1 mierzone są zmiany długości odcinków,
natomiast w wyniku obliczeń tensor odkształcenia można przypisać dowolnemu punktowi w
obrębie konstrukcji (na ogół przypisuje się do punktu środkowego S). W przypadku pomiarów
tensometrycznych prowadzonych na krótkich bokach (bezpośrednie otoczenie punktu), takie
_______________________________________________________________
291
R. HEJMANOWSKI, A. KWINTA – Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania ...
____________________________________________________________________________
postępowanie jest uzasadnione. Dla pomiarów geodezyjnych przy kilkudziesięciometrowej
długości boków można popełnić istotne błędy w interpretacji tensora odkształceń.
d3
d2
d3
S
d2
d3
S
d1
S
d2
d1
d1
Rys. 2.1. Typowe konstrukcje geodezyjne do wyznaczania stanu odkształceń
Fig. 2.1. Typical surveying constructions to determine strains
W celu określenia rozbieżności pomiędzy odkształceniem liniowym wyznaczonym w punkcie
końcowym odcinka pomiarowego, a obliczonym jako względna zmiana długości odcinka
pomiarowego i przypisanym do tego punktu, wprowadźmy miarę:
M x  b / 2, b  
dux  b / 2 ux  b / 2  ux  b / 2

dx
b
(2.6)
gdzie:
u(x) – przemieszczenie punktu końcowego odcinka,
x – położenie punktu pomiarowego względem pola eksploatacyjnego,
b – długość odcinka pomiarowego.
Dla uproszczenia dalszych rozważań analizowany będzie przypadek eksploatacji dużego pola,
wywołującego płaski stan przemieszczeń. Graficznie zależność (2.6) przedstawiono na rysunku
2.2. Dla danego odcinka pomiarowego przyjęto w sposób następujący miarę maksymalną
rozbieżności:
M max x, b  maxM x  b / 2, b, M x  b / 2, b
(2.7)
Ponieważ w praktyce powszechne zastosowanie do opisu procesu deformacji ma teoria
prognozowania Knothego, do obliczeń przemieszczeń oraz odkształceń poziomych
występujących w zależnościach (2.6) i (2.7) skorzystano z wzorów tej teorii (Knothe 1984).
_______________________________________________________________
292
WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie
____________________________________________________________________________

b
M(x+b/2,b)
M(x-b/2,b)
du(x)
dx
u(x,b)
b
x
x
Rys. 2.2. Miara rozbieżności pomiędzy odkształceniem w punkcie i względnym wydłużeniem
Fig. 2.2. Discrepancy rule between strain at a point and relative elongation of a measured section
Po wstawieniu wzorów teorii Knothego, przekształceniach i uwzględnieniu zależności Budryka
(Budryk 1953) uzyskano:
M   d ,2d  





2
exp     d 2  exp     d 2
 max  2 exp     d 2 
3
2d

(2.8)
gdzie:
x
  – standaryzowana współrzędna x,
r
b
d
2r
– standaryzowana długość odcinka,
r – promień zasięgu wpływów głównych teorii Knothego,
 max – maksymalne odkształcenie poziome.
Na rysunku 2.3 przedstawiono graficznie wynik obliczeń błędu przyjęcia odkształcenia z
pomiarów na odcinku (jako względna zmiana długości) w odniesieniu do odkształcenia
wyznaczonego w jego punkcie początkowym. Wyniki przedstawiono w procentach
maksymalnego odkształcenia poziomego, jakie w danych warunkach może wystąpić.
Jak widać z rysunku 2.3 uzyskane błędy są znaczące i dla długości odcinka pomiarowego
rzędu 10% promienia zasięgu wpływów głównych osiągają lokalnie ponad 10% maksymalnego odkształcenia. Przykładowo dla przeciętnych warunków eksploatacji węgla
w Górnośląskim Zagłębiu Węglowym przy długości odcinka pomiarowego około 20 m
popełnia się błąd względny odkształcenia około 8,4%. Uzyskane wyniki wskazują, że ten
sposób wyznaczania tensora odkształcenia jest błędny.
_______________________________________________________________
293
R. HEJMANOWSKI, A. KWINTA – Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania ...
____________________________________________________________________________
1.5
1.0
0.5

x
r
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0.00
0.05
0.10
2d=
0.15
0.20
b
r
Rys. 2.3. Rozkład błędu względnego odkształceń na brzegu odcinka pomiarowego
Fig. 2.3. Relative strain error propagation on the edge of a measured section
3. Zmodyfikowany pomiar geodezyjny stanu odkształcenia poziomego
Na podstawie analizy przeprowadzonej w poprzednim rozdziale stwierdzono konieczność
zmiany metodyki geodezyjnego pomiaru odkształceń, dla potrzeb wyznaczania tensora
odkształceń. Ponieważ w przypadku pomiarów odkształceń na odcinku i przypisaniu wartości
do jego środka popełnia się stosunkowo mały błąd, dlatego proponuje się stosowanie układu
odcinków pomiarowych w postaci gwiazdy, gdzie wszystkie odcinki przecinają się w punkcie
środkowym S (rys. 3.1)
d2
S
d1
d3
Rys. 3.1. Układ trzech odcinków pomiarowych z punktem środkowym S
Fig. 3.1. Set of three measured sections with a middle point S
_______________________________________________________________
294
WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie
____________________________________________________________________________
W takim przypadku błąd wyznaczenia odkształcenia liniowego dla odcinków o długości
poniżej 26% promienia zasięgu wpływów głównych teorii Knothego, nie powinien przekraczać
1% wartości maksymalnego odkształcenia poziomego dla danej eksploatacji.
Innym możliwym rozwiązaniem jest zastosowanie układu punktów w postaci gwiazdy
z dwoma odcinkami pomiarowymi na każdym boku (rys. 3.2).
d32
d31
S
d12
d11
d21
d22
Rys. 3.2. Gwiazda pomiarowa z trzema liniami po dwa odcinki
Fig. 3.2. Measured star with three lines, two sections each
W przypadku jak na rysunku 3.2 wyznaczenie odkształcenia liniowego, w zadanym kierunku
będzie się opierało na aproksymacji przemieszczeń poziomych równaniem paraboli.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 3.3. Dla uproszczenia przyjęto, że długości odcinków
są w przybliżeniu równe i wynoszą b. Zgodnie z tym równanie paraboli ma postać:
fu x   mx 2  nx  p
(3.1)
gdzie:
x – odległość od punktu S,
p  uS ,
n
m
4u1  3u S  u 2
,
2b
u 2  u S  2u1
2b 2
.
Pochodna z funkcji przemieszczeń (3.1) po zmiennej x (funkcja odkształcenia) dana jest
wzorem:
 f x  
df u x  u2  uS  2u1
4u  3uS  u2

x 1
2
dx
2b
b
(3.2)
Dla punktu S wartość odkształcenia wyniesie:
 f xS  0 
4u1  3u S  u2
2b
(3.3)
_______________________________________________________________
295
R. HEJMANOWSKI, A. KWINTA – Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania ...
____________________________________________________________________________
u(x)
pkt S
uS
pkt 1
b
pkt 2
b
x1=b
xS=0
x2=2b
x
fu(x)=mx2+nx+p
u1
u2
Rys. 3.3. Aproksymacja przemieszczeń trzech punktów pomiarowych
Fig. 3.3. Approximation of three measured points displacement
biorąc pod uwagę, że odkształcenia wyznaczane geodezyjnie na poszczególnych odcinkach
można zapisać następująco:
1 
u1  u S
b
, 2 
u 2  u1
b
(3.4)
to po przekształceniach uzyskujemy:
 S  1 
1   2
(3.5)
2
Dla rozwiązania danego równaniem (3.5) przyjmując, że odkształcenia na poszczególnych
odcinkach wyznaczane są metodami geodezyjnymi, wyznaczono błąd MS(x,b) odkształcenia w
punkcie S (rys. 3.4).
Na bazie zależności (3.3) oraz wzorów teorii Knothego wyznaczany błąd odkształcenia
można zapisać następująco:
M  , d 
 max






4 exp     d   3 exp   2  exp     2d 
2
 2 exp   2 
3
2d


2
2

(3.6)
oznaczenia przyjęto tak jak we wzorze (2.8). Na rysunku 3.5 podobnie jak na rys. 2.3
przedstawiono graficzny rozkład obliczonych błędów.
Na podstawie uzyskanych wyników należy stwierdzić istotne zmniejszenie się błędu
odkształcenia liniowego dla punktu S, w którym wyznaczany będzie tensor odkształcenia.
W przeciętnych warunkach Górnośląskiego Zagłębia Węglowego dla odcinków pomiarowych
_______________________________________________________________
296
WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie
____________________________________________________________________________
rzędu 10% promienia zasięgu wpływów głównych teorii Knothego, uzyskuje się błąd rzędu
1,4% maksymalnego odkształcenia poziomego.
MS(x,b)

du(x)
dx
f(x)
x
x+2b
x+b
x
Rys. 3.4. Błąd odkształcenia w punkcie S
Fig. 3.4. Error of strain at the point S
1.5
1.0
0.5

x
r
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
b
d= r
Rys. 3.5. Rozkład względnego błędu odkształcenia w punkcie S
Fig. 3.5. A relative strain error propagation at the point S
Zatem konstrukcja w postaci układu trzech linii złożonych z dwóch odcinków pomiarowych
każda, pozwala na wyznaczanie tensora odkształcenia na podstawie pomiarów geodezyjnych.
Tego typu konstrukcję Autorzy zastosowali w praktyce do oceny stanu odkształceń w rejonie
zabytkowego obiektu sakralnego. Stwierdzone uszkodzenia obiektu były w korelacji do stanu
_______________________________________________________________
297
R. HEJMANOWSKI, A. KWINTA – Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania ...
____________________________________________________________________________
odkształceń wyznaczonego z układu trzech linii pomiarowych, co w pełni potwierdziło praktyczną przydatność omawianych tutaj rozwiązań teoretycznych (Hejmanowski i Kwinta 2001).
4. Podsumowanie
Wyniki przeprowadzonych analiz wskazują, że na podstawie wyników pomiarów
geodezyjnych zmian długości odcinków pomiarowych, można wyznaczać tensor odkształcenia.
W takim przypadku, aby zapewnić dostateczną dokładność wyznaczanych w punkcie
odkształceń głównych, należy zrezygnować z konstrukcji w postaci rozet (trójkątów) na rzecz
gwiazd pomiarowych. Możliwe jest zastosowanie dwóch typów konstrukcji pomiarowych,
a mianowicie:
– gwiazda złożona z odcinków pomiarowych przecinających się w punkcie, w otoczeniu
którego wyznaczany jest tensor odkształcenia,
– gwiazda złożona z linii pomiarowych (dwa odcinki na każdej linii) o jednym punkcie
wspólnym, w otoczeniu którego wyznaczany jest tensor odkształcenia.
Niniejsza praca została zrealizowana w ramach programu badawczego nr 5T12E04124
finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Informatyzacji.
Literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
Budryk W. 1953: Wyznaczanie wielkości poziomych odkształceń terenu. Archiwum Górnictwa i
Hutnictwa, t.1, z.1, Warszawa.
Hejmanowski R., Kwinta A. 2001: Monitoring of horizontal displacements in European coalfields.
10th International Symposium on Deformation measurements : Orange, California, USA 19 – 22
March 2001.
Jóźwik M., Jaśkowski W., Korbiel T., Lipecki T. 2002: Wyniki ciągłej rejestracji przemieszczeń
i wychyleń budynku w czasie wstrząsów górniczych. Materiały sympozjum Warsztaty 2002, Ustroń
Śl. 27 – 29.05.2002.
Knothe S. 1984: Prognozowanie wpływów eksploatacji górniczej. Wyd. „Śląsk”, Katowice.
Kwinta A. 1998: Próba porównania dokładności wyznaczania pogórniczych odkształceń poziomych
terenu z wykorzystaniem metod geodezyjnych. Zeszyty Naukowe AGH, s. Geodezja, t.4, z.2,
Kraków.
Kwinta A. 2005: Geodezyjne pomiary odkształceń poziomych nad eksploatacją górniczą. (nie
publikowane).
Praca Zbiorowa 1980: Ochrona powierzchni przed szkodami górniczymi. Wyd. „Śląsk”, Katowice.
Geodetic benchmark selection to estimate horizontal deformation tensor in
mining areas
The horizontal deformations are usually determined on the basis of surveying
measurements. To estimate a menace of buildings is indispensable for solving maximal
deformation values. Appropriate coupled geodetic points enable evaluation of a deformation
tensor on the surveying measurements. Optimal forms of geodetic benchmark, allowing for an
accurate assessment of horizontal deformations, are presented in the paper. The surveying
construction given by the authors proved to be more advantageous than some classic rosettes
(triangles) or measurements lines.
Przekazano: 30 marca 2005 r.
_______________________________________________________________
298