Lista 4 z Logiki i Struktur Formalnych do wykładu dra Sz

Lista 4 z Logiki i Struktur Formalnych
do wykładu dra Sz. Żeberskiego
1. Niech R będzie relacją na X. Zapisz formuły
a) R nie jest relacją symetryczną,
b) R jest zwrotna na X, ale nie jest przechodnia,
c) R jest słabo antysymetryczna i symetryczna.
2. Podaj przykład relacji, która jest symetryczna, ale nie jest zwrotna ani przechodnia.
3. Pokaż, że relacja R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy R◦R ⊆ R. Czy wtedy R◦R = R?
4. Pokaż, że relacja R jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R−1 = R. Czy ostatni warunek
można zamienić na R−1 ⊆ R?
5. Niech R = {(n, n + 1) : n ∈ N}. Wyznacz najmniejszą relację przechodnią na zbiorze N
zawierającą relację R.
6. Niech f będzie funkcją różnowartościową. Pokaż, że wtedy dla dowolnych zbiorów A i B
mamy f [A \ B] = f [A] \ f [B]. Sformułuj i udowodnij twierdzenie odwrotne.
7. Niech f będzie funkcją. Pokaż, że następujące dwa zdania są równoważne:
1. (∀A, B)(f [A ∩ B] = f [A] ∩ f [B]),
2. f jest iniekcją.
8. Wyznacz zbiory ∅∅ , X ∅ oraz ∅X , gdzie X jest dowolnym zbiorem niepustym.
9. Niech R = {(x, y) ∈ R2 : |x| = |y|} oraz Q = {(x, y) ∈ R2 : y = sin (x)}. Narysuj wykres
relacji R ◦ Q oraz Q ◦ R.
10. Niech f będzie funkcją i A dowolnym zbiorem. Pokaż, że f A jest również funkcją i
dom(f A) = dom(f ) ∩ A.
11. Niech f i g będą funkcjami. Pokaż, że f ∪ g jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy
f (dom(f ) ∩ dom(g)) = g (dom(f ) ∩ dom(g)).
12. Znajdź bijekcje pomiędzy następującymi parami zbiorów:
a) N i Z,
b) (0, 1) i (3, 5),
c) (0, 1) i R,
d) (0, 1) i R+ ,
e) [0, 1] i [0, 1),
f) R \ Q i R.
13. Niech f : R2 → R2 będzie funkcją zadaną wzorem f ((x, y)) = (x + y, x − y).
a) Czy odwzorowanie f jest iniekcją?
b) Czy f jest suriekcją?
c) Znajdź f [R × {0}], f [L] oraz f −1 [L], gdzie L jest prostą zadaną równaniem y = x + 1.
14. Dla zadanych trójek: funkcja f , zbiór A, zbiór B znajdź f [A] oraz f −1 [B].
a) f : R → R, f (x) = 2x2 + 1, A = [−1, 2], B = [−1, 1].
b) f : N×N → N, f (x, y) = xy, A = {(x, y) : ¬(2|(x+y))}, B jest zbiorem liczb pierwszych.
x dla x ∈ y
c) f : N × P (N) → N, f (x, y) =
, A = N × {∅}, B = {0, 1, 2}.
x + 1 dla x ∈
/y
15. Niech {At }t∈T będzie rodziną zbiorów i niech f będzie funkcją. Pokaż, że
S
S
S
S
c) f −1 [ t∈T At ] = t∈T f −1 [At ],
a) f [ t∈T At ] = t∈T f [At ],
T
T
T
T
d) f −1 [ t∈T At ] = t∈T f −1 [At ].
b) f [ t∈T At] ⊆ t∈T f [At ],
16. Ustalmy zbiór Ω. Funkcją charakterystyczną zbioru A ⊆ Ω nazywamy χA = (Ac × {0}) ∪
(A × {1}). Pokaż, że dla podzbiorów A, B przestrzeni Ω zachodzą następujące wzory:
c) χA∪B = 1 − (1 − χA )(1 − χB ),
d) χA4B = χA + χB ( mod 2).
a) χA∩B = χA · χB ,
b) χAc = 1 − χA ,
17. Ile istnieje nierównoważnych zdań rachunku zdań utworzonych przy użyciu zmiennych p0 , p1 , . . . pn ?
18. Niech (Fn )n∈N będzie dowolnym ciągiem zbiorów.
a) Pokaż, że x ∈ lim inf n∈N Fn wtedy i tylko wtedy, gdy (∀∞ n)(x ∈ Fn ) oraz x ∈ lim supn∈N Fn
wtedy i tylko wtedy, gdy (∃∞ n)(x ∈ Fn ).
b) Udowodnij, korzystając z powyższych obserwacji, że
[
\
Fn ⊆ lim inf Fn ⊆ lim sup Fn ⊆
Fn .
n∈N
n∈N
n∈N
n∈N
19. Ustalmy zbiory A B i C. Niech A3n = A, A3n+1 = B oraz A3n+2 = C dla n ∈ N.
a) Wyznacz lim inf n∈N An , lim supn∈N An .
b) Kiedy ciąg (An )n∈N jest zbieżny?
20. Niech {A(i,j) : (i, j) ∈ I × J} będzie dowolną indeksowaną rodziną zbiorów. Pokaż, że
\[
i∈I j∈J
A(i,j) =
[ \
f ∈J I
A(i,f (i)) .
i∈I
21. Sformułuj i udowodnij uogólnienie Zadania 10 na dowolną rodzinę funkcji.
22. Załóżmy, że {An }n∈N jest rodziną zbiorów parami rozłącznych. Pokaż, że wtedy lim supn∈N An =
∅.
23.
T Załóżmy, że {An }n∈N jest malejącą
S rodziną zbiorów, czyli, że A0 ⊇ A1 ⊇ A2 ⊇ . . . oraz, że
A
=
∅.
Pokaż,
że
wtedy
A
=
0
n∈N n
n∈N (An \ An+1 ).
24. Funkcję logiczną f : {0, 1}n → {0, 1} nazywamy monotoniczną jeśli zamiana argumentu z 0
na 1 nie powoduje zmiany wartości funkcji z 1 na 0. Pokaż, że jeśli f jest monotoniczną funkcją
logiczną, to jest ona funkcją stałą lub może zostać przedstawiona jako formuła zbudowana
wyłącznie ze zmiennych oraz spójników ∨ i ∧.