Rozwi¡zanie: Mamy 2x +1

√
√
Zadanie 1. Rozwi¡za¢ równanie (x − 2)(x + 2 2) = x2 + 1.
√
√
√
Rozwi¡zanie: Mamy x2 −√ 2x+2 2x−4 = x2 +1, zatem x2 + 2x−x2 = 5.
St¡d
√
2x = 5, czyli x =
5 2
2
Zadanie 2. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ 4(x − 1)(x + 1) − (2x − 1)2 > 3.
Rozwi¡zanie: Stosuj¡c wzory skróconego mno»enia otrzymujemy 4(x2 −
−1) − (4x2 − 4x + 1) > 3. Zatem 4x2 − 4 − 4x2 + 4x − 1 > 3. St¡d 4x − 5 > 3,
czyli 4x > 8. St¡d wynika, »e x > 2, czyli x ∈ (2; +∞)
√
Zadanie 3. Rozwi¡za¢ równanie |2x + 1| = 3.
√
√
Rozwi¡zanie: Mamy 2x + 1 =√ 3 lub 2x + 1√= − 3. St¡d 2x =
√
lub 2x = − 3 − 1. Zatem x =
3−1
2
lub x =
√
3−1
− 3−1
.
2
Zadanie 4. Sprawdzian testowy z matematyki skªadaª si¦ z 50 pyta«. Za
ka»d¡ prawidªow¡ odpowied¹ ucze« otrzymaª 3 punkt, za± za ka»d¡ odpowied¹
bª¦dn¡ traciª 1 punkt. Na ile pyta« ucze« odpowiedziaª poprawnie, skoro uzyskaª 78 punktów?
Rozwi¡zanie: Przyjmijmy: x liczba poprawnie udzielonych odpowiedzi,
y liczba bª¦dnie udzielonych odpowiedzi. Na podstawie danych zadania
wynika, »e
½
x + y = 50
3x − y = 78
½
x = 50 − y
3(50 − y) − y = 78
½
x = 50 − y
150 − 3y − y = 78
½
x − 50 − y
−4y = −72
½
x = 50 − y
y = 18
czyli
½
x = 32
y = 18
Odpowied¹: Ucze« odpowiedziaª poprawnie na 32 pytania.
Zadanie 5. W stopie miedzi z cynkiem stosunek wagowy miedzi do cynku
jest równy 13:8. Jaki procent wagi caªego stopu stanowi waga miedzi, a jaki
waga cynku? Ile wa»y ten stop, je»eli miedzi jest o 2,5 kg wi¦cej ni» cynku?.
Rozwi¡zanie: Obliczamy jakim procentem liczby 21 jest liczba 13. B¦dzie
to stanowi¢ procentow¡ zawarto±¢ miedzi w stopie.
13
· 100% ≈ 61, 9%
21
Odpowied¹: Mied¹ stanowi okoªo 61,9% zawarto±ci stopu. Cynk stanowi
okoªo 39,1% stopu.
Niech teraz x ozancza mas¦ cynku (w kg), wówczas masa miedzi wynosi
x + 2, 5kg. Mamy zatem
x + 2, 5
13
=
x
8
St¡d 13x = 8(2, 5 + x, czyli 13x = 20 + 8x. Otrzymujemy, »e 5x = 20, zatem
x = 4. St¡d wynika, »e masa cynku wynosi 4kg a masa miedzi wynosi 6,5kg.
Odpowied¹: Š¡czna masa stopu to 10,5kg.
Zadanie 6. W sklepie s¡ wae waniliowe po 4 zª za kilogram i czekoladowe
po 6 zª za kilogram. Sprzedawca chce zrobi¢ mieszank¦ tych wai w cenie 5,50
zª za kilogram. Ile wai ka»dego rodzaju powinien zmiesza¢, aby otrzyma¢ 20
kilogramów mieszanki?.
Rozwi¡zanie: Oznaczmy: x masa wai waniliowych (w kg), y masa
wai czekoladowych (w kg). Na podstawie danych zadania wynika, »e
½
x + y = 20/ · (−4)
4x + 6y = 110
Mamy
½
−4x − 4y = −80
4x + 6y = 110
Dodaj¡c obustronnie otrzymujemy: 2y = 30, czyli y = 15, a st¡d x = 5.
Odpowied¹: Sprzedawca powinien zmiesza¢ 15kg wai czekoladowych i 5 kg
wai waniliowych.
Zadanie 7. Znajd¹ uªamek maj¡cy nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: je±li do licznika
tego uªamka dodamy 3, a do mianownika dodamy 1, to otrzymamy liczb¦
równ¡ 12 ; je±li natomiast od licznika odejmiemy 5, a od mianownika 3, to
otrzymamy liczb¦ równ¡ 13 .
Rozwi¡zanie: Wprowad¹my oznaczenia: xlicznik , y mianownik. Z danych wynika, »e:
½
St¡d,
½
x+3
y+1
x−5
y−3
=
=
1
2
1
3
2(x + 3) = y + 1
3(x − 5) = y − 3
Odejmuj¡c stronami powy»sze otrzymujemy 2(x + 3) − 3(x − 5) = 1 − (−3).
Zatem 2x + 6 − 3x + 15 = 4. St¡d −x + 21 = 4, czyli x = 17. Podstawiaj¡c
do pierwszzego mamy y = 39. Szukany uªamek, to 17
.
39
Zadanie 8. Zespóª pracowników ma wykona¢ pewn¡ prac¦ w ci¡gu okre±lonej liczby godzin. Gdyby pracowników byªo o 4 wi¦cej, to wykonaliby t¦ sam¡
prac¦ o 2 godziny wcze±niej. Gdyby byªo ich o 3 mniej, to pracowaliby o 5
godzin dªu»ej. Ilu byªo pracowników i ile godzin przepracowali?
Rozwi¡zanie: Niech x liczba pracowników, y liczba przepracowanych
godzin. Z tre±ci wynika, »e
½
Zatem
St¡d otrzymujemy
½
(x + 4)(y − 2) = xy
(x − 3)(y + 5) = xy
xy − 2x + 4y − 8 = xy
xy + 5x − 3y − 15 = xy
½
−2x + 4y = 8/· 3
5x − 3y = 15/· 4
mamy
½
−6x + 12y = 24
20x − 12y = 60
dodaj¡c obustronnie otrzymujemy: 14x = 84, czyli x = 6, zatem
−2 · 6 + 4y = 8. St¡d wynika, »e 4y = 20, czyli y = 5.
Odpowied¹: 6 pracowników pracowaªo przez 5 godzin.