6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
1
6.
PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
6.1. Podsumowanie równań opisujących płaskie stany
Przypomnienie najważniejszych zależności opisujących podstawy liniowej mechaniki ciała stałego dla
ogólnego przypadku przestrzennego zawarto w rozdziale 5. Ponieważ wiele technicznie ważnych zagadnień
ogranicza się do opisu dwuwymiarowego zestawimy poniżej znane z kursów wytrzymałości materiałów i
podstaw liniowej teorii sprężystości podstawowe formuły opisujące równowagę, związki geometryczne i
fizyczne, wykorzystywane w zadaniu dwuwymiarowym. Analizując stan naprężenia, posługiwać się będziemy składowymi tensora naprężenia, zapisanymi w postaci wektora:
σ = [σ x , σ y , τ xy ].
(6.1)
Rys. 6.1. Znakowanie składowych naprężeń
Za dodatnie składowe uznamy te, których zwrot jest zgodny ze zwrotem składowych zaznaczonych na
rysunku 6.1.
Wartości składowych naprężenia, odniesione do układu obróconego o kąt a, wyrażone są za pomocą
następujących wzorów transformacyjnych:
σ x ' = σ x ⋅ cos 2 α + σ y ⋅ sin 2 α + 2 ⋅ τ xy ⋅ cos α ⋅ sin α ,
σ y ' = σ x ⋅ sin 2 α + σ y ⋅ cos 2 α − 2 ⋅ τ xy ⋅ cos α ⋅ sin α ,
τ x ' y ' = −(σ x − σ y ) ⋅ sin α ⋅ cos α + τ xy ⋅ (cos α − sin α )
2
(6.2)
2
lub krócej w postaci macierzowej
σ ' = Tα ⋅ σ ,
(6.3)
gdzie wektory σ ' i σ opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych obróconych ( x'0 y ' ) i wyjściowych ( x0 y ) . Macierz transformacji T przyjmuje postać:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
 c2
s2 2 ⋅ s ⋅ c 


Tα =  s 2
c2 2 ⋅ s ⋅ c 
− s ⋅ c s ⋅ c c 2 − s 2 
2
(6.4)
Niekiedy wygodnie jest przedstawić te same zależności transformacyjne, wykorzystując wzory na kąty
podwójne. Otrzymujemy wówczas:
σ x +σ y σ x −σ y
+
⋅ cos(2α ) + τ xy ⋅ sin (2α ),
2
2
σ +σ y σ x −σ y
σ y' = x
−
⋅ cos(2α ) − τ xy ⋅ sin (2α ),
2
2
σ −σ y
τ x'y' = − x
⋅ sin (2α ) + τ xy ⋅ cos(2α )
2
σ x' =
(6.5)
Oczywiście muszą być spełnione znane warunki niezmienniczości:
σ x + σ y = σ x ' + σ y ' = const ,
σ x ⋅ σ y − τ xy 2 = σ x ' ⋅ σ y ' − τ x ' y ' 2 = const .
(6.6)
Kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne wartości naprężeń głównych otrzymamy, szukając ekstremum (6.5) względem a, co po prostym różniczkowaniu i porównaniu do zera prowadzi do
tg (2α gl ) =
2 ⋅ τ xy
σ x −σ y
.
(6.7)
2
σ I ,II
σ x −σ y
σ x −σ y 
 + τ xy 2 = σ max,min .
=
± 
2
2


(6.8)
Rys. 6.2. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3
Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych, obróconego o n/4 w stosunku do układu osi głównych i ich wartości wynoszą:
σ −σ y
τ ' max =  x
2

2

 + τ xy 2 .

(6.9)
Mówiąc o stanie odkształcenia, będziemy się posługiwać wektorem opisującym składowe odniesione
do układu ( x0 y ) w postaci:
ε = [ε x , ε y , γ xy ] .
(6.10)
Znane zależności geometryczne (związki Cauchy'ego) z zastosowaniem opisu przemieszczeń u i v ,
odpowiednio w kierunkach osi x i y , wyrażają się teraz w postaci:
εx =
∂u
,
∂x
εy =
∂v
,
∂y
γ xy =
∂u ∂v
+ .
∂y ∂x
(6.11)
Stosowne zależności między przemieszczeniami, a odkształceniami pokazano na rysunku 6.2. W zapisie macierzowym związki (6.10) można również przedstawić jako
ε = L⋅u,
gdzie wektor u = [u ,
(6.12)
v ] T , zaś operator różniczkowy L dla problemu dwuwymiarowego ma postać:
∂
 ∂x

L=0

∂

 ∂y

0

∂
.
∂y 
∂

∂x 
(6.13)
Interesujące są również wartości składowych odkształceń w układzie obróconym ( x'0 y ' ) . Aby je wyznaczyć, porównajmy wyrażenia na energię odkształcenia wyrażoną w układach osi wyjściowym i obróconym. Otrzymujemy następującą sekwencję wzorów:
(δ σ ')T ⋅ ε ' = (δ σ )T ⋅ ε ,
a ponieważ
z czego wynika, że:
δ σ ' = Tα ⋅ δ σ , więc
(δ σ )T ⋅ Tα T ⋅ ε ' = (δ σ )T ⋅ ε ,
Tα T ⋅ ε ' = ε oraz ε ' = Tα
−T
⋅ε ,
gdzie macierz transformacji ma postać:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
Tα
−T
 c2
s2
s⋅c 


2
2
= s
− s⋅c .
c
− 2 ⋅ s ⋅ c 2 ⋅ s ⋅ c c 2 − s 2 
4
(6.14)
Podobnie jak poprzednio dla stanu naprężenia można przedstawić wzory na kierunki i wartości głównych odkształceń.
Załóżmy teraz, że materiał jest izotropowy i wyprowadźmy stosowne wzory opisujące zależności
między wektorami stanu naprężenia σ i odkształcenia ε dla przypadków analizy płaskiego stanu
naprężenia i odkształcenia.
Płaski stan naprężenia, występujący w płaszczyźnie x0 y , charakteryzuje się tym, że następujące
składowe tego stanu są równe zeru: σ z = τ xy = τ yz = 0 , co pociąga za sobą, że również składowe odkształceń są równe zeru : γ xz = γ yz = 0 oraz ε z ≠ 0 . Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco:
1
1
⋅ (σ x − ν ⋅ σ y ), ε y = ⋅ (σ y − ν ⋅ σ x ),
E
E
1
2 ⋅ (1 + ν )
ν
= ⋅ τ xy =
⋅ τ xy oraz ε z = − ⋅ (σ x + σ y ),
G
E
E
εx =
γ xy
(6.15)
lub w postaci odwrotnych relacji:
E
E
⋅ (ε x − ν ⋅ ε y ),
εy =
⋅ (ε y − ν ⋅ ε x ),
2
1 −ν
1 −ν 2
E
E ⋅λ
τ xy =
⋅ γ xy =
⋅ γ xy
2 ⋅ (1 + ν )
1 −ν 2
1 −ν
gdzie stałą λ można wyrazić za pomocą liczby Poissona ν w postaci: λ =
2
σx =
(6.16)
Powyższe zależności można zapisać macierzowe w następujący sposób:
1
1 
ε = C ⋅ σ gdzie C = ⋅ − ν
E
 0
−ν
1
0


0

2 ⋅ (1 + ν )
(6.17)
1 ν 0 
E 
σ = D ⋅ ε gdzie D = C =
⋅ ν 1 0

1 −ν 2 
0 0 λ 
(6.18)
0
lub odwrotnie
−1
W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru: ε z = γ xy = γ yz = 0 , co powoduje, że odpowiednie składowe stanu naprężenia τ xz = τ yz = 0 oraz σ z ≠ 0 . Odpowiednie zależności fizyczne
przedstawiają się następująco:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
εx =
1
1
⋅ (σ x − ν ⋅ σ y − ν ⋅ σ z ), ε y = ⋅ (σ y − ν ⋅ σ x − ν ⋅ σ z ),
E
E
εz =
(6.19)
2 ⋅ (1 + ν )
⋅ τ xy
E
γ xy =
oraz
5
1
⋅ (− ν ⋅ σ x − ν ⋅ σ y + σ z ), skąd σ z = ν ⋅ (σ x + σ y ) .
E
(6.20)
Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (6.18), otrzymujemy ostatecznie :
εx =
1 +ν
⋅ (1 + ν ) ⋅ σ x − ν ⋅ σ y ,
E
[
]
γ xy =
εy =
1 +ν
⋅ (1 + ν ) ⋅ σ y − ν ⋅ σ x ,
E
[
]
(6.21)
2 ⋅ (1 + ν )
⋅ τ xy
E
lub odwracając zależności
σx =
[
]
E
⋅ (1 + ν ) ⋅ ε x − ν ⋅ ε y ,
(1 + ν ) ⋅ (1 − 2ν )
εy =
[
]
E
⋅ (1 + ν ) ⋅ ε y − ν ⋅ ε x ,
(1 + ν ) ⋅ (1 − 2ν )
(6.22)
τ xy =
E
⋅ γ xy .
2 ⋅ (1 + ν )
W zapisie macierzowym macierze analogiczne do tych, które występują we wzorach (6.16) i (6.17),
mają teraz następującą postać:
1 − ν − ν
1 +ν 
C=
⋅ −ν 1 −ν
E 
0
 0
0
0

2 
oraz
1 − ν
ν

E
−1
⋅ ν
D=C =
1 −ν
(1 + ν ) ⋅ (1 − 2 ⋅ν ) 
0
 0
0 
0 
1 − 2 ⋅ν 
2 
(6.23)
6.2. Elementy trójkątne płaskiego stanu naprężeń i odkształceń
6.2.1. Trójwęzłowy element o stałych odkształceniach
Jednym z pierwszych elementów służących do opisu dwuwymiarowego kontinuum jest element trójkątny o stałych odkształceniach, w literaturze znany pod skrótową nazwą CST (Constant Strain Triangle). W
elemencie tym wyróżnia się trzy węzły (wierzchołki trójkąta), które mają po dwa translacyjne stopnie swobody. Przemieszczenie dowolnego punktu elementu opisane jest w układzie x0 y za pomocą dwóch składTomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
6
owych u i v . Kolejne przemieszczenia węzłowe oznaczono przez d1 do d 6 , odpowiadają one stopniom
swobody oznaczonym na rysunku 6.3. Wektor przemieszczeń d , opisujący deformację elementu, składa się
zatem z następujących składowych:
d = [d1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 , d 6 ] T = [u1 , v1 , u 2 , v2 , u3 , v3 ] T .
y:
(6.24)
Przyjmijmy funkcje opisujące wielkości przemieszczeń u i v w postaci liniowo zależnej od x i
u = c1 + c2 ⋅ x + c3 ⋅ y, v = c4 + c5 ⋅ x + c6 ⋅ y .
(6.25)
W postaci macierzowej założoną aproksymację zmian wektora przemieszczeń u = [u , v ] można
wyrazić jako:
u = g ⋅c ,
(6.26)
T
gdzie c jest wektorem stałych ci , jak dotąd nieznanych, zaś tak zwana macierz geometryczna g ma postać:
1 x y 0 0 0 
g=
.
0
0
0
1
x
y


(6.27)
Rys. 6.3. Trójwęzłowy element trójkątny i definicja stopni swobody
Podstawiając warunki brzegowe, to znaczy przyrównując przemieszczenia u i v odpowiednio do
przemieszczeń węzłów w punktach i , j , k otrzymujemy macierz h :
 1 xi
0 0
g
 1 
1 x j
h =  g 2  = 
0 0
 g 3  
1 x k

0 0
yi
0
yj
0
yk
0
0 0
1 xi
0 0
1 xj
0 0
1 xk
0
yi 
0
,
yj
0

y k 
(6.28)
która spełnia następujące równanie macierzowe:
d = h⋅c .
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
(6.29)
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
7
Z równania tego wyznaczymy wartości stałych ci przez znalezienie macierzy odwrotnej h −1 :
 x j y k − xk y j
 −y
jk


x
1
jk
⋅
h −1 =
0
2 ⋅ Aikj 

0

0

0
0
0
x k y i − xi y k
− y kj
xkj
0
0
0
xi y j − x j y i
− yij
xij
x j y k − xk y j
− y jk
0
0
0
x k y i − xi y k
− y ki
0
0
0
x jk
xki





xi y j − x j yi  (6.30)
− yij 

xij

0
0
0
gdzie
1 xi
2 ⋅ Aijk =| podwojone pole pow. trój. |= det 1 x j
1 xk
xij = x j − xi ,
yi 
y j  = xij ⋅ yik − xik ⋅ yij ,
y k 
(6.31)
y ki = yi − y k .
Macierz funkcji kształtu N ma więc postać:
N
N = g ⋅ h −1 =  1
0
0
N1
N2
0
0
N2
N3
0
0
,
N 3 
(6.32)
gdzie odpowiednie funkcje wyrażają się następującymi wzorami:
N1 =
1
⋅ (x j y k − xk y j − y jk ⋅ x + x jk ⋅ y ),
2 ⋅ Aijk
N2 =
1
⋅ ( xk yi − xi y k − y ki ⋅ x + xki ⋅ y ),
2 ⋅ Aijk
N3 =
1
⋅ (xi y j − x j yi − yij ⋅ x + xij ⋅ y ).
2 ⋅ Aijk
(6.33)
Zależność między przemieszczeniami węzłów d a odkształceniami elementu otrzymamy przez zadziałanie znanym operatorem różniczkowym L na macierz funkcji kształtu N . Otrzymamy wówczas
∂
 ∂x

B = L⋅ N =  0

∂

 ∂ y

0

1
∂
⋅N =
∂x 
2 ⋅ Aijk

∂

∂x 
− y jk

 0
 x jk

0
x jk
− y jk
− y ki
0
xki
0
xki
− y ki
− yij
0
xij
ε = B⋅d
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
0 

xij  ,
− yij 
(6.34)
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
8
Widać, że człony macierzy B nie zależą od położenia x i y i są stałe w obszarze całego elementu.
Temu właśnie faktowi element ten zawdzięcza swoją nazwę. Oznacza to, że składowe odkształceń są stałe
dla całego elementu, a tym samym na granicy między elementami nie jest zachowany warunek równości odkształceń. Odkształcenia zmieniają się skokowo, zbliżając się jednak do stanu "prawdziwego" w miarę
zagęszczania siatki podziału analizowanej przestrzeni dwuwymiarowej.
Zakładając, że mamy do czynienia z materiałem izotropowym, możemy zapisać równanie konstytutywne dla płaskiego stanu naprężeń i (lub) odkształceń, używając operatora D (σ = D ⋅ ε ) w następującej
postaci:
e1 ν
D=
⋅ ν e1
(1 + ν ) ⋅ e2
 0 0
E
0
0  ,
ee 
(6.35)
gdzie przyjęte stałe ei wynoszą odpowiednio:
- dla płaskiego stanu naprężeń
e1 = 1, e2 = 1 − ν ,
-
e3 =
e2
,
2
(6.36)
dla płaskiego stanu odkształceń
e1 = 1 − ν ,
e2 = 1 − 2ν ,
e3 =
e2
.
2
(6.37)
W końcu dokonując znanego już nam całkowania, otrzymujemy wyrazy macierzy sztywności elementu wyrażone w przyjętym układzie współrzędnych x0 y w następującej postaci:
K = ∫ B T ⋅ D ⋅ B ⋅ dV = B T ⋅ D ⋅ B ⋅ Aijk ⋅ t = K1 + K 2 ,
(6.38)
V
gdzie przez t oznaczono grubość elementu, zaś macierze K1 i K 2 zawierają wyrazy wywodzące się odpowiednio tylko z odkształceń normalnych i ścinających:
 e1 y jk 2

− ν x jk y jk
ey y
K1 = e4 ⋅  1 ki jk
 − ν xki y jk
 ey y
 1 ij jk
 − ν xij y jk
−ν x jk y jk
2
e1 x jk
−ν y ki x jk
e1 xki x jk
−ν yij x jk
e1 xij x jk
 x jk 2

− x jk y jk
 x x
K 2 = e4 ⋅  ki jk
 − x jk y ki
 x x
 ij jk
 − yij x jk
− x jk y jk
2
y jk
− xki y jk
y ki y jk
− xij y jk
yij y jk
e1 y ki y jk
− ν y ki x jk
2
e1 y ki
−ν y ki xki
e1 yij y ki
−ν xij y ki
xki x jk
− xki y jk
2
xki
− xki y ki
xij xki
− yij xki
−ν xki y jk
e1 xki x jk
− ν y ki xki
2
e1 xki
− ν yij xki
e1 xij xki
− x jk y ki
y ki y jk
− xki y ki
2
yi
− x j y ki
− y j y ki
e1 yij y jk
−ν yij x jk
e1 yij y ki
− ν yij xki
2
e1 yij
− ν xij yij
xij x jk
− xij y jk
xij xki
− x j y ki
2
xij
− xij yij
− ν xij y jk 

e1 xij x jk 
− ν xij y ki 
,
e1 xij xki 
− ν xij yij 

2
e1 xij 
− yij x jk 

yij y jk 
− yij xki 

− y j y ki 
− xij yij 

2
yij 
(6.39)
W powyższych wzorach przyjęto oznaczenia:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
e4 =
E ⋅t
4 ⋅ Aijk ⋅ (1 + ν ) ⋅ e2
oraz
e5 = e4 = e3 .
9
(6.40)
Zagadnienie wyznaczania odpowiednich sił węzłowych dla tego elementu pozostawiamy Czytelnikowi do samodzielnych rozważań.
6.2.2. Sześciowęzłowy element trójkątny o liniowej zmianie odkształceń
Kolejnym elementem służącym do analizy płaskich stanów naprężeń i odkształceń jest sześciowęzłowy element trójkątny zwany w literaturze skrótowo LST (Linear Strain Triangle) zaproponowany po raz
pierwszy przez de Vaubeke. Element ten przedstawiono w lokalnym układzie współrzędnych x0 y na rysunku 6.4. Węzły tego elementu umieszczone są w wierzchołkach trójkąta i środkach jego boków. Każdy z
węzłów ma, podobnie jak w elemencie CST, po dwa stopnie swobody. Wektor przemieszczeń węzłowych,
ma w następujący sposób uporządkowane składowe:
d = [u1 , u 2 , u3 , u 4 , u 5 , u 6 , v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 ] T .
(6.41)
Wektor przemieszczenia dowolnego punktu elementu określony jest za pomocą dwóch elementów: u = [u, v ] T , zaś aproksymacja każdej ze składowych przyjęta jest w postaci:
u = c1 + c2 ⋅ x + c3 ⋅ y + c4 ⋅ x 2 + c5 ⋅ x ⋅ y + c6 ⋅ y 2 ,
v = c7 + c8 ⋅ x + c9 ⋅ y + c10 ⋅ x 2 + c11 ⋅ x ⋅ y + c12 ⋅ y 2 .
(6.42)
W wielu przypadkach omówienie poszczególnych typów elementów ogranicza się do sformułowania
funkcji aproksymacyjnych, tj. do zdefiniowania postaci funkcji kształtu. Tylko dla nielicznej grupy elementów skończonych podaje się końcowe formuły na wartości współczynników macierzy sztywności elementów. Najczęściej omawiając poszczególne elementy skończone, rozważa się wyłącznie składowe występujące w całce typu (6.38), wyrażone w lokalnym układzie współrzędnych.
Rys. 6.4. Sześciowęzłowy element trójkątny
Zwłaszcza przy większej liczbie stopni swobody elementu uzasadnione jest w pełni numeryczne budowanie wyrazów macierzy sztywności, jak również ich transformacja do globalnego układu. Znając ogólne
zasady całkowania wyrażenia B T ⋅ D ⋅ B oraz zasady transformowania z układu lokalnego do globalnego,
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
10
ograniczymy się tylko do podania zasadniczych założeń i wyników częściowych. Wszystkich Czytelników
zachęcamy do prześledzenia toku rozumowania również przez samodzielne uzupełnienie brakujących ogniw.
Wracając do elementu LST i mówiąc o odkształceniach c będziemy wyróżniać ten stan w trzech punktach węzłowych. Wektor odkształceń c wyrazić można jako funkcję przemieszczeń węzłów w postaci:
 ε x   Bx
  
ε = ε y  =  0
ε xy   B y
  
0
 u 
By  ⋅   = B ⋅ d ,
v
Bx   
(6.43)
gdzie poszczególne wektory przedstawiają się następująco:
ε x1 
ε x = ε x 2 ,
ε x 3 
 ε y1 
 
ε y = ε y 2 ,
ε y 3 
 
γ xy
γ xy1 


= γ xy 2  .
γ xy 3 


(6.44)
Stosowne macierze Bi wyrazić można teraz jako
3 ⋅ y32
1 
Bx =
⋅ − y32
2⋅ A 
 − y32
− y13 − y 21
3 ⋅ y31 − y 21
− y13 3 ⋅ y 21
4 ⋅ y13
4 ⋅ y32
0
0
4 ⋅ y 21
4 ⋅ y13
4 ⋅ y 21 
0  ,
4 ⋅ y32 
3 ⋅ x23
1 
By =
⋅ − x23
2⋅ A 
 − x23
− x31 − x12
3 ⋅ x31 − x12
− x31 3 ⋅ x12
4 ⋅ x31
4 ⋅ x23
0
0
4 ⋅ x12
4 ⋅ x31
4 ⋅ x12 
0  ,
4 ⋅ x23 
(6.45)
gdzie przyjęto podobne oznaczenia jak poprzednio: xij = xi − x j oraz yij = yi − y j . W tym przypadku,
mimo że macierz sztywności elementu K ma wymiary (12x12) można by zadać sobie trud wyprowadzenia
jawnych postaci składowych tej macierzy. Nie uczynimy tego jednak i dalsze możliwe przekształcenia zostawimy zainteresowanym.
6.3. Elementy czworokątne płaskiego stanu naprężeń i odkształceń
6.3.1. Element czworokątny biliniowy
Do rozważania zagadnień dwuwymiarowych o regularnych prostopadłych brzegach wygodne może
się okazać stosowanie elementów czworokątnych. Najprostszym elementem tego typu jest zaproponowany
przez Melosha biliniowy prostokąt. W tym przypadku łatwiej jest posługiwać się specjalnie wprowadzonym
układem współrzędnych bezwymiarowych ξ i η , zdefiniowanym w taki sposób, by współrzędne wierzchołków były równe zawsze ± 1 . Element ten wraz z przyjętym układem współrzędnych jest przedstawiony
na rysunku 6.5. W omawianym elemencie przyjęto cztery węzły w wierzchołkach prostokąta a wektor przemieszczeń węzłowych w postaci:
[
]
d = d1, d 2 ,..., d 8 T = [u1 , v1 , u 2 , v2 , u3 , v3 , u 4 , v4 ] T .
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
(6.46)
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
11
Aproksymacja funkcji przemieszczeń ma postać:
u = c1 + c2 ⋅ ξ + c3 ⋅η + c4 ⋅ ξ ⋅η ,
v = c5 + c6 ⋅ ξ + c7 ⋅η + c8 ⋅ ξ ⋅η.
(6.47)
Macierz geometryczna g wyrażona jest tym razem w postaci:
0 
1 ξ η ξ ⋅ η 0 0 0
.
g=
0 1 ξ η ξ ⋅η 
0 0 0
(6.48)
Rys. 6.5 Czworokątny element biliniowy
Podstawiając współrzędne punktów węzłowych do równań (6.47), otrzymujemy układ ośmiu równań,
z których wyznaczymy stale, a tym samym - postaci funkcji kształtu. Macierz h po podstawieniu
współrzędnych węzłów elementu jest wyrażona jako
1 − 1 − 1 1
0 0 0 0

 g 1  1 1 − 1 − 1
 g  0 0 0 0
h =  2 = 
 g 3  1 1 1 1
  
 g 4  0 0 0 0
1 − 1 1 − 1

0 0 0 0
0 0 0 0
1 − 1 − 1 1 
0 0 0 0

1 1 − 1 − 1
.
0 0 0 0

1 1 1 1
0 0 0 0

1 − 1 1 − 1
(6.49)
Po określeniu macierzy h −1 , co może być osiągnięte w różny sposób, z łatwością wyznaczymy postaci macierzy funkcji kształtu;
N = g ⋅ h −1 =
1
⋅ [N1 N 2 N 3 N 4 ] .
4
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
(6.50)
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
12
gdzie poszczególne macierze N i składają się z następujących funkcji:
N
Ni =  i
0
0
dla i = 1, 2, 3, 4.
N i 
(6.51)
1
⋅ (1 − ξ ) ⋅ (1 − η ),
4
1
N 2 = ⋅ (1 + ξ ) ⋅ (1 − η ),
4
1
N 3 = ⋅ (1 + ξ ) ⋅ (1 + η ),
4
1
N 4 = ⋅ (1 − ξ ) ⋅ (1 + η ).
4
N1 =
(6.52)
Aby wyznaczyć odkształcenia, musimy zróżniczkować funkcje kształtu N i względem zmiennych x i
y . Ponieważ funkcje te są wyrażone w postaci zależnej od zmiennych bezwymiarowych ξ i η więc zastosujemy w tym miejscu reguły różniczkowania funkcji złożonej:
∂
∂ ∂ξ ∂ ∂η 1 ∂
=
⋅
+
⋅
= ⋅ ,
∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x a ∂ξ
∂
∂ ∂ξ ∂ ∂η 1 ∂
=
⋅
+
⋅
= ⋅ .
∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y b ∂η
(6.53)
Operator różniczkowy L wyraża się więc w postaci:
∂
∂
 x
L= 0

∂

 ∂ y
 1 ∂
0 
  a ∂ξ
∂ 
= 0
∂x  
∂  1 ∂
 
∂x   b ∂η

0 

1 ∂ 
.
b ∂η 
1 ∂

a ∂ξ 
(6.54)
Możemy już teraz wyznaczyć postać macierzy B = L ⋅ N , która po wykonaniu przepisanych działań
wynosi:
b(1 − η )
b(1 + η )
0
0
0
0
− b(1 + η )
 − b(1 − η )


B=
a(1 + ξ )
a(1 − ξ ) 
0
0
0
0
− a(1 − ξ )
− a(1 + ξ )
− a(1 − ξ ) − b(1 − η ) − a(1 + ξ ) b(1 − η ) a(1 + ξ ) b(1 + η ) a(1 − ξ ) − b(1 + η )
(6.55)
lub też krócej :
B = [B1 , B2 , B3 , B4 ] ,
(6.56)
gdzie poszczególne macierze Bi przedstawimy w postaci:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
 N i,x

Bi =  0
 N i, y

13
0 

N i , y  , dla i = 1, 2, 3, 4.
N i , x 
(6.57)
∂N i 1 ∂N i 1
= ⋅
= ⋅ N i ,ξ ,
∂ x a ∂ξ a
∂N i 1 ∂N i 1
=
= ⋅
= ⋅ N i ,η .
∂ y b ∂η b
N i,x =
N i, y
(6.58)
Pamiętając, że macierz konstytutywna D może być symbolicznie przedstawiona jako
 D11
D =  D12
 0
D21
D22
0
0 
0  ,
D33 
(6.59)
można już bez trudu obliczyć postać macierzy sztywności elementu.
Zastanówmy się jeszcze nad sposobem sprowadzenia do węzłów obciążeń występujących na krawędzi
elementu, tak jak to przedstawiono na rysunku 6.5. Wektor składowych obciążenia, zmieniający się liniowo
wzdłuż krawędzi, wyrażony jest w następującej postaci (obciążenie działa w kierunku lokalnej osi η ):
0


b
b
+
b =  y1 y 2 (b y 2 − b y1 )  .
+
⋅ξ 
 2
2

(6.60)
W wyniku całkowania wzdłuż brzegu η = −1 otrzymujemy:
b y 2 − b y1
b y 2 − b y1 

pbc = ∫ g T ⋅ b ⋅ a ⋅ dξ = a ⋅ 0, 0, 0, 0, b y1 + b y 2 ,
, − (b y1 + b y 2 ), −
.
3
3 

−1
+1
(6.61)
Mnożąc pbc , przez macierz h −T otrzymujemy końcowe wyrażenia na wielkości sił węzłowych, wyni-
kające z obciążenia brzegu elementu prostokątnego na krawędzi η = −1 obciążeniem rozłożonym liniowo w
następującej postaci:
pb = h −T ⋅ pbc =
[
]
a
⋅ 0, 2 ⋅ b y1 + b y 2 , 0, b y1 + b y 2 , 0, 0, 0, 0 .
3
(6.62)
Spróbujmy wyrazić, w jaki sposób w węzłach uwidoczni się efekt działania sił grawitacyjnych w kierunku ujemnego zwrotu osi y . W tym przypadku siły masowe wynoszą:
[
]
b = 0, − g g ,
(6.63)
Całkowanie po objętości (przez t oznaczono grubość elementu) prowadzi do następującej relacji:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
+1+1
[
pbc = a ⋅ b ⋅ t ⋅ ∫ ∫ g T ⋅ b ⋅ dξ dη = a ⋅ b ⋅ t ⋅ 0, 0, 0, 0, − 4 ⋅ bg , 0, 0, 0
14
]
(6.64)
−1 −1
oraz
pb = h −1 ⋅ pbc = − a ⋅ b ⋅ t ⋅ bg ⋅ [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] .
(6.65)
Efekt działania stałej temperatury ∆T może być opisany za pomocą wektora początkowych odkształceń:
ε T = [α1 , α 2 , 0]⋅ ∆T ,
(6.66)
gdzie przez α i oznaczono odpowiednio współczynniki rozszerzalności cieplnej w kierunkach osi x i y .
Całkowanie po objętości według poprzednio prezentowanych zasad daje:
+1+1
pTc = a ⋅ b ⋅ t ⋅ ∫ ∫ Bc ⋅ D ⋅ ε T dξ dη = 4 ⋅ t ⋅ ∆T ⋅ [0, d1 , 0, 0, 0, 0, d 2 , 0] .
T
(6.67)
−1 −1
Wprowadzono tu następujące oznaczenia:
d1 = b ⋅ (D11 ⋅α1 + D12 ⋅α 2 ),
d 2 = b ⋅ (D12 ⋅α1 + D22 ⋅ α 2 ).
końcowym otrzymujemy:
pT = h −1 ⋅ pTc = t ⋅ ∆T ⋅ [− d1 , − d 2 , d1 , − d 2 , d1 , d 2 , − d1 , d 2 ] .
(6.68)
Zauważmy na koniec, że wektor ten opisuje wyłącznie sytuację płaskiego stanu naprężenia. Stosowne
wyprowadzenie podobnych formuł dla płaskiego stanu odkształceń pozostawiamy dociekliwemu Czytelnikowi.
Na koniec uwag o tym elemencie prześledźmy jeszcze siły węzłowe, wywołane wstępnym
równomiernie rozłożonym odkształceniem ścinającym γ 0 . Wektor opisujący odkształcenia jest wówczas
sformułowany następująco:
ε 0 = [0, 0, γ 0 ] ,
(6.69)
a odpowiednie siły węzłowe całkowite i rozłożone na węzły wynoszą:
+1+1
p0c = a ⋅ b ⋅ t ⋅ ∫ ∫ Bc ⋅ D ⋅ ε 0 dξ dη = 4 ⋅ t ⋅ D33 ⋅ γ 0 ⋅ [0, 0, a, 0, 0, b, 0, 0],
T
−1 −1
(6.70)
p0 = h −1 ⋅ p0c = t ⋅ D33 ⋅ γ 0 ⋅ [− a, − b, − a, b, a, b, a, − b].
6.3.2. Elementy czworokątne składane z elementów trójkątnych
Istnieją różne możliwości generowania macierzy sztywności elementów czworokątnych przez ich
składanie z elementów prostszych, na przykład trójkątnych CST. Elementy takie są powszechnie stosowane
w programach analizy MES w zagadnieniach dwuwymiarowych. Chcemy w tym miejscu wspomnieć tylko o
dwóch możliwościach budowania macierzy sztywności z dwóch bądź czterech elementów trójkątnych.
Zasadę tworzenia elementów ilustruje schematycznie rysunek 6.6.
Obszar czworokąta ABCD może być podzielony na dwa trójkąty T 1 i T 2 w dwojaki sposób, co pokazano na rysunku 6.6. Każdemu z tych podziałów odpowiada możliwość określenia macierzy sztywności
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
15
K Q . Oczywiście każda z tych macierzy jest inna. Koncepcja budowania macierzy sztywności zakłada pewne
uśrednienie. Proces ten ilustrują następujące wzory:
K Qi = K T 1 + K T 2 dla i = 1, 2.
(6.71)
gdzie i oznacza numer podziału czworokąta na trójkąty, i dalej
K0 =
[
]
1
⋅ K Q1 + K Q 2 .
2
(6.72)
Rys. 6.6. Elementy czworokątne tworzone z elementów trójkątnych
Zadanie:
Proszę wyprowadzić wyrażenie na postać macierzy sztywności dla pojedynczego prostokąta o bokach
a i b , otrzymane ze złożenia z dwóch trójkątów CST. Wynik proszę porównać z wynikiem elementu
czworokątnego biliniowego.
Obszar czworokąta B1 B2 B3 B4 podzielony jest na cztery trójkąty, przy czym dodatkowo wprowadzono węzeł środkowy A . Z łatwością zbudujemy macierz sztywności czworokąta pięciowęzłowego
opierając się na macierzach trójkątów. Chcemy jednak posługiwać się wyłącznie stopniami swobody
związanymi z zewnętrznymi węzłami. Dokonujemy procesu tzw. kondensacji statycznej w taki sposób,
by wyeliminować stopnie swobody związane z węzłem wewnętrznym A . Zapiszmy macierz sztywności
tego elementu, dokonując jej podziału na podmacierze związane tylko z węzłami zewnętrznymi ( Bi ) i z
węzłem wewnętrznym ( A) w postaci:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
K AB  d A   p A 
,
=
⋅
K BB  d B   p B 
 K AA
K
 BA
16
(6.73)
T
gdzie macierze K AA i K BB są oczywiście symetryczne, zaś K AB = K BA , co zapewnia symetrię macierzy
sztywności elementu. Zapisane równanie macierzowe możemy teraz rozbić na dwa równania macierzowe
w postaci:
K AA ⋅ d A + K AB ⋅ d B = p A ,
(6.74)
K BA ⋅ d A + K BB ⋅ d B = p B .
Mnożąc lewostronnie pierwsze z równań (6.74) przez K AA
równania otrzymujemy:
−1
i obliczając d A po podstawieniu do drugiego
−1
K BA ⋅ K AA ⋅ ( p A − K AB ⋅ d B ) + K BB ⋅ d B = p B
i dalej
(K
)
−1
BB
−1
− K BA ⋅ K AA ⋅ K AB ⋅ d B = p B − K BA ⋅ K AA ⋅ p A
(6.75)
(6.76)
lub krócej
*
*
K BB ⋅ d B = p B .
(6.77)
W ten sposób otrzymaliśmy macierz sztywności elementu czworokątnego, która zależy tylko od
stopni swobody związanych z jego wierzchołkami.
6.4. Wyjaśnienia końcowe i podsumowanie
Na koniec tego rozdziału podsumujmy w zwarty sposób tok postępowania przyjęty przy definiowaniu
macierzy sztywności, uogólnionych sil odpowiadających uogólnionym przemieszczeniom oraz uogólnionych
sztywności elementów skończonych dla zagadnień dwuwymiarowych. Najważniejsze kroki proponowanego
algorytmu to:
1. założenie funkcji aproksymujących przemieszczenia
u = g ⋅c ,
2. podstawienie warunków brzegowych i wyznaczenie stałych
d = h ⋅ c , gdzie h = [g i ] dla i = 1,..., ne oraz det h ≠ 0
c = h −1 ⋅ d ,
3. określenie funkcji kształtu
u = g ⋅ h −1 ⋅ d = N ⋅ d ,
4. zdefiniowanie odkształceń
ε = L ⋅u = L ⋅ N ⋅ d = B ⋅ d ,
5. wyznaczenie składowych macierzy sztywności K i wektora p
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
6. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
17
K = ∫ B T ⋅ D ⋅ B ⋅ dV oraz K ⋅ d = ∫ B T ⋅ D ⋅ B ⋅ dV ⋅ d = p .
V
V
Niekiedy przy założonych funkcjach g i ustalonych stałych c pomocne jest przy definiowaniu sił p
i macierzy sztywności K sformułowanie opierające się na pojęciach uogólnionych sił, przemieszczeń i
sztywności. Przytoczmy na tę okoliczność kilka prostych przekształceń:
(
)
(
)
(
T
)
K ⋅ d = ∫ L ⋅ g ⋅ h −1 ⋅ D ⋅ L ⋅ g ⋅ h −1 ⋅ dV ⋅ d = p,
V
(
T
)
K ⋅ d = ∫ Bc ⋅ h −1 ⋅ D ⋅ Bc ⋅ h −1 ⋅ dV ⋅ d = p,
V
gdzie
Bc = L ⋅ g
i dalej
K ⋅ d = h −T ∫ Bc ⋅ D ⋅ Bc ⋅ dV ⋅ h −1 ⋅ d = p,
T
V
h −T ⋅ K c ⋅ c = p.
Mnożąc obie strony przez h T , otrzymujemy:
K c ⋅ c = pc , gdzie pc = h T ⋅ p ;
przez p oznaczyliśmy uogólnione siły odpowiadające uogólnionym przemieszczeniom c (stałe ze wzorów
aproksymacyjnych), zaś przez K - macierz uogólnionej sztywności.
Zadania
1. Wyprowadź wzory na postacie macierzy sztywności czterowęzłowego elementu kwadratowego
korzystając z podziału na elementy trójkątne typu CST. W koniecznym przypadku zastosuj
kondensację statyczną. Otrzymane wyniki porównaj ze sobą i macierzą sztywności elementu
czworokątnego o liniowych funkcjach kształtu.
2. Ułóż program MES na analizę płaskich stanów, stosując elementy CST. Jawna postać macierzy sztywności tych elementów w lokalnym układzie współrzędnych jest podana w skrypcie.
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater