MES dla zginania belki

METODY KOMPUTEROWE
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
1
Michał PŁOTKOWIAK, Adam ŁODYGOWSKI
Konsultacje naukowe dr inz. Witold Kąkol
Poznań 2002/2003
METODY KOMPUTEROWE 14
Metoda elementów skończonych dla zginania belki
Zgodnie z prawem płaskich przekrojów Bernoulliego przekrój pozostaje płaski.
Ponadto mamy:
∫ ydA = 0
φ=
dv
= v'
dy
(14.1)
Tak więc dla belki można zapisać:
w = w0 − yφ = w0 − yv , ( z )
(14.2)
Wektor przemieszczeń ma zatem postać:
u  0

  

u = v  = v( z )

w  w ( z ) − yv' ( z )
   o

Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
(14.3)
METODY KOMPUTEROWE
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
2
Odkształcenia takiej belki można zapisać w postaci:
ε xx 
ε  0

 yy  0

ε zz  

ε =   =  w0 '− yv' '

ε xy  0

ε  

 xz  0
ε yz 
(14.4)
Zatem jedyne niezerowe odkształcenie wynosi:
ε zz = w , o − yv' '
σ zz = E ⋅ ε zz = (w0 '− yv' ')E
(14.5)
Korzystając z równania pracy wirtualnej i zależności (14.5) mamy:
l
∫ ∫
0
A
(
)
l
E ⋅ (w0 '− y ⋅ v' ') ⋅ w0 '− y v' ' dAdz = ∫ p ( z )vdz
(14.6)
0
Należy pamiętać zależności na moment bezwładności i wzór na całkowanie
przez części:
∫
∫
y 2 dA = I
udv = uv − ∫ vdu
(14.7)
Przekształcając odpowiednio wzór (14.6) otrzymamy:
∫ (E ⋅ A ⋅ w' ⋅w '+ EI ⋅ v' '⋅v' '− pv )dz = 0
(14.8)
∫ (EI ⋅ v' '⋅v' '− pv )dz = 0
(14.9)
l
0
0
0
l
0
(E ⋅ I ⋅ v' ')' ' = p( z )
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
(14.10)
METODY KOMPUTEROWE
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
3
Będziemy zakładać, że to równanie różniczkowe nie można rozwiązać
analitycznie. Zastosujemy metodę elementów skończonych.
Np. mamy następującą belkę i odpowiednie warunki brzegowe:
(14.11)
Przyjmujemy funkcje próbne w postaci:
N = [N 1
N2
N4 ]
N3
v( z ) = v(0 ) ⋅ N 1 (z ) + v' (0) ⋅ N 2 (z ) + v(l ) ⋅ N 3 (z ) + v' (l ) ⋅ N 4 (z )
l
4
l
N2 =
8
l
N3 =
4
l
N4 =
8
N1 =
(2 − 3 ⋅ ξ + ξ )
3
(1 − ξ − ξ
2
+ξ 3
)
(14.12)
(2 + 2 ⋅ ξ − ξ )
3
(− 1 − ξ + ξ
2
+ξ3
)
Gdzie:
R = (1 + ξ )
l
2
2z
ξ=
−1
l
v = N 1α 1 + N 2α 2 + N 3α 3 + N 4α 4 = Nα T
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
(14.13)
(14.14)
METODY KOMPUTEROWE
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
∫ (
l
0
)
8
EI ⋅ v' '⋅v' ' dz = 3
l
8 EI
κ= 3
l
1
∫ (N ' ')
T
+1
∫
d
T
4
(N ' ')T EI N ' ' d dξ = d T u d
−1
(14.15)
⋅ N ' ' dξ
−1
Otrzymaliśmy macierz sztywności:
3l
6
 3l 2l 2
2 EI
u= 3 
l − 6 − 3l

l2
 3l
3l 
l 2 
− 3l 

2l 2 
p vdz =
0
l
p (ξ )N ' d ⋅ dξ
2 −∫1
1
l
p = ∫ N p (ξ )dξ
2 −1
Politechnika Poznańska ®
(14.16)
1
l
∫
−6
− 3l
6
− 3l
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
(14.16)