Elastyczność funkcji

Mieczysław Wilk
Mielec, 2008
E
Elastyczność
funkcji jednej zmiennej
f
stwierdza o ile procent
( w przybliŜeniu ) wzrośnie lub zmaleje wartość tej funkcji, gdy jej zmienna
rzeczywista wzrośnie o 1%. A o to ilustracja graficzna elastyczności funkcji:
y
f(x)
E f ( xo ) = ? %
f ( 1, 01 xo )
f ( xo )
0
xo
wzrost o 1 %
1, 01 xo
x
Rysunek 1. Elastyczności funkcji jednej zmiennej
Zakładając, Ŝe funkcja f ma w punkcie x o pochodną, to elastyczność tej funkcji
określa wzór:
E f ( xo) =
Uwaga:
JeŜeli
będziemy
dokonywać
f '(x o )
f (x o )
analizy
⋅ xo
%
ekonomicznej
wynikającej
z wykresu przebiegu zmienności funkcji to bierzemy pod uwagę tylko
dodatnie poziomy ( dodatnie argumenty funkcji ) i zakładamy, Ŝe oś
odciętych 0X dotyczy np.: dochodów, a oś rzędnych 0Y wydatków
( moŜemy równieŜ przyjąć, Ŝe, np.: oś 0X dotyczy wydatków firmy na
produkcję, a oś 0Y dotyczy ewentualnych zysków lub strat firmy ).
2
Przy analizie ekonomicznej funkcji konieczne jest odpowiednie wnioskowanie
wynikające ze znaku elastyczności funkcji.
PoniŜszy rysunek przedstawia wszystkie moŜliwe przypadki dotyczące np.: zysków i
strat firmy w zaleŜności od otrzymanego znaku elastyczności funkcji:
y
f(x)
f(B)
f(A)
0
A
B
C
D
x
f(D)
f(C)
Rysunek 2. Analiza ekonomiczna elastyczności funkcji
Analiza ekonomiczna wynikająca z powyŜszego wykresu:
A.
Zysk liczony od poziomu A będzie rósł jeŜeli, wydatki wzrosną o 1 %
- elastyczność funkcji będzie miała wartość dodatnią.
B.
Zysk liczony od poziomu B będzie malał jeŜeli, wydatki wzrosną o 1 %
- elastyczność funkcji będzie miała wartość ujemną.
C.
Strata liczona od poziomu C będzie rosnąć jeŜeli, wydatki wzrosną o 1 %
-
elastyczność funkcji będzie miała wartość dodatnią.
D.
Strata liczona od poziomu D będzie maleć jeŜeli, wydatki wzrosną o 1 %
- elastyczność funkcji będzie miała wartość ujemną.
3
Przykład 1. Oblicz elastyczność funkcji: f ( x ) =
x
x
3
, w punkcie x o = 2 ,
− 9
2
oraz podaj interpretację uzyskanego wyniku.
-
f
obliczamy pochodną funkcji:
(x )
'

x3
= 
2
 x − 9
=
f
-
(
2
)
=
3 x 4 − 27 x 2 − 2 x 4
(x
2
− 9
)
(x
=
2
=
2 4 − 27 ⋅ 2 2
(2
23
=
22 − 9
2
−
)−
9 )
x3 ⋅ 2 x
2
=
x 4 − 27 x 2
(x
2
− 9
)
2
2
)
− 9
16 − 108
25
=
2
= −
92
25
= −
8
5
obliczamy elastyczność funkcji:
Ef ( 2 )=
-
3 x2 ⋅ x2 − 9
obliczamy wartość funkcji w punkcie: x o = 2
f (2 )
-
(
'
obliczamy wartość pochodnej funkcji w punkcie: x o = 2
'



f '( 2 )
f( 2 )
⋅2 = −
92
5 

⋅  −
 ⋅ 2 = 4,6 %
25
8


interpretacja uzyskanego wyniku:
JeŜeli argument funkcji:
f (x) =
x
x
2
3
− 9
, wzrośnie o 1% licząc od punktu:
x o = 2 , to wartość funkcji f ( x ) zmniejszy się o 4,6 % , bo wartości funkcji są
ujemne w pobliŜu punktu x o = 2 .
4
JeŜeli chcielibyśmy obliczyć o ile zmieni się procentowa wartość funkcji:
f (x) =
x
x
3
− 9
2
, licząc od innego poziomu, np.: od punktu x o = 5 , to naleŜy
wykonać obliczenia:
f
'
(5 )
5 4 − 27 ⋅ 5 2
=
(5
53
= 2
5 − 9
f (5 )
f '( 5 )
Ef ( 5)=
2
− 9
=
125
16
)
⋅5 = −
f(5)
=
2
625 − 675
256
= −
50
256
50
16
⋅
⋅ 5 = − 0,125 %
256
125
co prowadzi do stwierdzenia, Ŝe wartość tej funkcji zmniejszy się o 0,125 %
licząc od poziomu x o = 5 , bo wartości funkcji są dodatnie w pobliŜu punktu
x o = 5.
JeŜeli chcielibyśmy obliczyć o ile zmieni się procentowa wartość funkcji:
f (x) =
x
x
2
3
− 9
, licząc od jeszcze innego poziomu, np.: od punktu x o = 10 , to
naleŜy wykonać obliczenia:
f
'
( 10 )
f ( 10
)
=
=
10
10
E f ( 10 ) =
2
10
4
( 10
3
− 9
f ' ( 10 )
f ( 10 )
− 27 ⋅ 10
2
=
− 9
)
2
2
=
10000
− 2700
8281
=
7300
8281
1000
91
⋅ 10 =
7300
91
⋅
⋅ 10 ≈ 0,8 % co
8281
1000
prowadzi do stwierdzenia, Ŝe wartość tej funkcji wzrośnie o około 0,8 % licząc od
poziomu x o = 10 , bo wartości funkcji są dodatnie w pobliŜu punktu x o = 10 .
5
JeŜeli chcielibyśmy obliczyć o ile zmieni się procentowa wartość funkcji:
f (x) =
x
x
2
3
− 9
, licząc od jeszcze innego poziomu, np.: od punktu x o = − 10 ,
to naleŜy wykonać obliczenia:
f
f
'
(−
(−
10
)
10
)
= −
E f ( 10 ) =
7300
8281
=
1000
91
f ' ( − 10 )
f ( − 10 )
⋅ (− 10 ) ≈ − 0,8 %
co prowadzi do stwierdzenia, Ŝe wartość tej funkcji wzrośnie o około 0,8 %
licząc od poziomu
x o = − 10 ,
bo wartości funkcji są ujemne w pobliŜu
punktu x o = − 10 .
Wniosek: Aby określić czy wartość funkcji: czy wzrośnie czy zmaleje, naleŜy zawsze
brać pod uwagę wartość funkcji w punkcie ( czy dodatnia, czy ujemna )
oraz znak obliczonej elastyczności funkcji.
Wskazówka: Przy obliczaniu elastyczności funkcji, od kilku róŜnych poziomów,
moŜna obliczenia sobie uprościć poprzez następujące obliczenia: wiemy, Ŝe:
x = x o oraz w naszym wzorcowym przykładzie:
i
f
'
(x )
E f ( xo) =

x3
= 
2
 x − 9
f ' (x o )
f (x o )
⋅ xo =
'

 =

x 4 − 27 x 2
(
(x
x o2 x o2 − 27
(x
2
o
−9
)
2
2
−9
)⋅
)
2
f
=
x
2
3
− 9
, czyli:
x o2 − 9
x o3
(x )
x
⋅ xo =
x o2 − 27
x 2o − 9
%
Do powyŜszego wzoru moŜemy podstawiać za x o zadane w treści zadania
wartości poziomów, co znacznie ułatwi obliczenia.
6
Elastyczność E funkcji dwóch zmiennej f ( x ; y ) stwierdza o ile procent
( w przybliŜeniu ) wzrośnie lub zmaleje wartość tej funkcji, gdy jedna zmienna
niezaleŜna ( x lub y ) wzrośnie o 1%.
Elastyczności cząstkowe funkcji dwóch zmiennych definiujemy:
E x f ( x; y ) =
E y f ( x; y ) =
f x' ( x ; y )
f ( x; y )
f y' ( x ; y )
f ( x; y )
Przykład 2. Oblicz elastyczności cząstkowe funkcji: f
⋅x
⋅y
( x; y )
= 4⋅ x 2 y 3
w punkcie x o = 5 i y o = 3 oraz podaj jej interpretację.
Rysunek 3. Funkcja dwóch zmiennych – paraboloida f ( x ; y ) = x 2 + y 2
7
f x' ( x ; y )
E x f ( x; y ) =
f
'
x
( x; y ) =
f ( x; y )
(x
2
+ y2
)
'
x
⋅x
= 2x
E x f ( x; y )
2x
2x2
= 2
⋅x = 2
x + y2
x + y2
E x f ( xo ; yo
)
2
2x o
50
= f ( 5; 3 ) = 2
=
≈ 1,47 %
x o + y2
25 + 9
Wniosek: JeŜeli zmienna niezaleŜna x wzrośnie o 1 % licząc od poziomu
x o = 5 w punkcie: x o = 5 i y o = 3 to wartość funkcji
f ( x ; y ) = x 2 + y 2 wzrośnie o 1,47 %.
f
E y f ( x; y ) =
f
'
y
( x; y ) =
f
(x
2
'
y
( x; y )
⋅y
( x; y )
+ y2
)
'
y
= 2y
E y f ( x; y )
2y
2y2
= 2
⋅y = 2
x + y2
x + y2
E y f ( xo ; yo
)
2
2yo
18
= f ( 5; 3 ) = 2
=
≈ 0, 53 %
x o + y2
25 + 9
Wniosek: JeŜeli zmienna niezaleŜna y wzrośnie o 1 % licząc od poziomu
y o = 3 w punkcie: x o = 5 i y o = 3 to wartość funkcji
f ( x ; y ) = x 2 + y 2 wzrośnie o 0,53 %.
8
Przykład 3. Oblicz elastyczności cząstkowe funkcji: f
( x; y )
= 4⋅ x 2 y 3
w punkcie x o = 2 i y o = 6 oraz podaj jej interpretację.
Rysunek 4. Funkcja dwóch zmiennych – funkcja potęgowa f ( x ; y ) = 4 x 2 ⋅ y 3
E x f ( x; y ) =
f
'
x
( x; y ) =
f x' ( x ; y )
f ( x; y )
(4x
2
⋅ y3
)
'
x
⋅x
= 8y3 ⋅ x
E x f ( x; y )
8 y3 ⋅ x
=
⋅x = 2
2
3
4x ⋅ y
E x f ( xo ; yo
) = f ( 2; 6 ) = 2 %
Wniosek: JeŜeli zmienna niezaleŜna x wzrośnie o 1 % licząc od poziomu
x o = 2 w punkcie: x o = 2 i y o = 6 to wartość funkcji
f ( x ; y ) = 4 x 2 ⋅ y 3 wzrośnie o 2 %.
9
E y f ( x; y ) =
f
'
y
( x; y ) =
f
f
(4x
'
y
( x; y )
⋅y
( x; y )
2
⋅ y3
)
'
y
= 12 x 2 ⋅ y 2
E y f ( x; y )
12 x 2 ⋅ y 2
=
⋅y = 3
4x2 ⋅ y3
E y f ( xo ; yo
) = f ( 2; 6 ) =
3%
Wniosek: JeŜeli zmienna niezaleŜna y wzrośnie o 1 % licząc od poziomu
y o = 6 w punkcie: x o = 2 i y o = 6 to wartość funkcji
f ( x ; y ) = 4 x 2 ⋅ y 3 wzrośnie o 3 %.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania:
1. Oblicz elastyczność funkcji: f ( x ) = 2 ⋅
x
x+3
w punkcie: x o = 4 oraz
x−2
x+3
w punkcie: x o = 2 oraz
podaj jej interpretacje.
2. Oblicz elastyczność funkcji: f ( x ) = 5 ⋅
podaj jej interpretacje.
4. Oblicz elastyczność funkcji: f ( x ) = 3 x ⋅
x−2
x +1
w punkcie: x o = 3 oraz
podaj jej interpretacje.
5. Oblicz elastyczności cząstkowe funkcji: f
( x; y )
= x 2 + y 3 w punkcie
x o = 2 i y o = 6 oraz podaj jej interpretację.
6. Oblicz elastyczności cząstkowe funkcji: f ( x ; y ) = e x
x o = 1 i y o = 3 oraz podaj jej interpretację.
10
2
+ y2
w punkcie