streszczenie pl

Piotr Andrzej Mironowicz
Podsumowanie pracy doktorskiej Zastosowania optymalizacji w zagadnieniach
dodatnio półokreślonych w protokołach kwantowo informatycznych
Praca dotyczy kwestii zastosowań programowania półokreślonego w dziedzinie informatyki
kwantowej. W szczególności wyniki obejmują analizę nowych protokołów przy użyciu tej techniki
optymalizacji. Kluczowym narzędziem używanym jest metoda NPA zaproponowana przez M.
Navascues'a, S. Pironio i A. Acin'a.
Praca stawia przed sobą dwa cele. Stosujemy w niej półokreślone relaksacje pewnego zbioru
rozkładów prawdopodobieństwa do zbadania wybranych kwantowych generatorów liczb losowych
i kwantowych protokołów kryptograficznych. Ponadto opracowujemy odpowiednie narzędzia
numeryczne do tego zadania. Mówiąc bardziej precyzyjnie, cele pracy są następujące:
• Sformułowanie modeli opartych na programowaniu półokreślonym dla zagadnień
certyfikacji generatorów liczb losowych oraz kwantowej dystrybucji klucza
kryptograficznego.
• Implementacja wariantów metody punktu wewnętrznego dla programowania
półokreślonego oraz porównanie ich efektywności przy badaniu rozkładów
prawdopodobieństwa obserwabli.
W pierwszym rozdziale rozpoczynamy od krótkiego przeglądu metod matematycznych, które będą
przydatne w dalszej części tej pracy. Następnie wprowadzamy pewne podstawowe pojęcia
dotyczące programowania półokreślonego i technik optymalizacji numerycznej. W szczególności
przedstawiamy sformułowanie problemów primal i dual, pokazujemy niektóre właściwości
programów półokreślonych i podajemy przykłady wykraczające poza główny temat, celem
wykazania, że ta technika optymalizacji znajduje szeroki zakres zastosowań.
W drugim i trzecim rozdziale przedstawiamy wprowadzenie do informatyki kwantowej w zakresie
potrzebnym do zrozumienia naszych wyników. Pierwszy z tych rozdziałów dotyczy ogólnych
metod tej dyscypliny, drugi zaś koncentruje się na powstałym niedawno podejściu do analizy
protokołów nazywanym device-independent.
W rozdziale czwartym opisujemy nasze wyniki w zakresie opracowywania i analizy protokołów
kwantowych uzyskane metodami programowania półokreślonego. Zaczynamy od omówienia
nowego typu protokołu kwantowej dystrybucji kluczy, który wykorzystuje tzw. paradoks Hardy'ego
w celu zapewnienia bezpieczeństwa komunikacji. Następnie przechodzimy do zagadnienia
certyfikacji wiarygodności kwantowych protokołów generacji liczb losowych. Ta analiza jest
przeprowadzona przy minimalnych założeniach dotyczących wiedzy na temat konstrukcji urządzeń
generujących liczby losowe. Proponujemy szereg protokołów certyfikujących wiarygodność
urządzeń. Rozdział kończymy omówieniem protokołu kwantowej amplifikacji losowości, czyli
pewnej metody poprawy jakości źródła losowości. Pokażemy, jak te protokoły mogą być badane
przy użyciu programowania półokreślonego.
Piąty rozdział zawiera ogólne wprowadzenie do metod punktu wewnętrznego.
W rozdziale szóstym omawiamy zagadnienia związane z implementacją metod punktu
wewnętrznego dostosowanych do postaci problemów występujących w rozdziale czwartym.
Badamy wydajność dwóch popularnych implementacji solverów programowania półokreślonego,
SDPT3 i SeDuMi, zastosowanych dla tych problemów. Następnie wprowadzamy nową metodę
obliczania tzw. dopełnienia Schura, wykorzystywaną w każdej iteracji metody punktu
wewnętrznego. Następnie omawiamy strategie gorącego startu (warm-start), czyli sposoby na
znalezienie początkowego rozwiązania dla metody punktu wewnętrznego. Następnie analizujemy
szereg strategii perturbacji rozwiązań w celu zapobieżenia blokady solwera. Przedstawiamy
propozycję solwera programowania półokreślonego dedykowanego do problemów występujących
w rozdziale czwartym i porównujemy jego wydajność z pozostałymi solwerami.
Tezy tej pracy są następujące:
• Relaksacje półokreślone mogą być stosowanie do szacowania poziomu losowość
uzyskiwanej w kwantowych generatorach typu semi-device-independent oraz przy
konstrukcji nowej klasy protokołów dystrybucji klucza.
• Wykorzystanie specyficznej formy zagadnień półokreślonych występujących w kwantowej
teorii informacji pozwala na poprawę wydajności solwerów takich zagadnień
optymalizacyjnych.
Praca nie zajmuje się w fizycznymi aspektami rozpatrywanych protokołów. W szczególności nie
dotyczy spraw związanych z fizycznymi konstrukcjami urządzeń.