WMiI - Algebra - Ćwiczenia Arkusz 3

WMiI - Algebra - Ćwiczenia
Arkusz 3 - WARSTWY, DZIELNIKI NORMALNE, GRUPY ILORAZOWE
Zadanie 1. Wyznacz wszystkie warstwy grupy G względem podgrupy H oraz określ indH (G):
a) G = Z20 i H =< 5 >,
f) G = Z8 i H =< 2 >,
b) G = Z20 i H =< 2 >,
g) G = Φ(11) i H =< 10 >,
c) G = Φ(16) i H =< 5 >,
h) G = (R, +) i H = R,
d) G = Φ(10) i H =< 3 >,
i) G = (R∗ , ·) i H = {−1, 1},
e) G = R∗ i H = R+ ,
j) G = (Z, +) i H = 3Z.
Przeanalizuj na tych przykładach twierdzenie Lagrange’a.
Zadanie 2. Wyznacz wszystkie warstwy lewostronne i prawostronne grupy Z12 względem poniższej podgrupy H:
a) {0}
c) {0, 4, 8}
e) {0, 2, 4, 6, 8, 10}
b) {0, 6}
d) {0, 3, 6, 9}
f) Z12
Zadanie 3. Wyznacz wszystkie warstwy lewostronne i prawostronne grupy Φ(13) względem poniższej podgrupy H:
a) {1}
c) {1, 3, 9}
e) {1, 3, 4, 9, 10, 12}
b) {1, 12}
d) {1, 5, 8, 12}
f) Φ(13)
Zadanie 4. Sprawdź, czy elementy x i y należą do tej samej warstwy grupy G względem podgrupy H:
a) G = R∗ ; H = {−1, 1}, x = −3, y = 3,
b) G = R∗ ; H = R+ , x = −3, y = 3,
√
√
c) G = C∗ ; H = {z ∈ C∗ : |z| = 1}, x = −3 + 2i, y = 2 2 + i 5,
d) G = C; H = {z ∈ C : 2Rez = 5Imz}, x = 3 − 4i, y = 6 − 2i, 

 2 4 
 −1 2 


, y = 
e) G = GL(2, R); H = {A ∈ G : detA > 0}, x = 
 −1 1 ,
3 0 




 −1 2 
 2 4 



.
f) G = GL(2, R); H = {A ∈ G : |detA| = 1}, x = 
, y = 

3 0 
−1 1 
Zadanie 5. Wyznacz i opisz wszystkie warstwy grupy G względem podgrupy H. Który ze zbiorów H jest
dzielnikiem normalnym grupy G? Tam, gdzie to możliwe wyznacz elementy odpowiedniej grupy ilorazowej
oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.
a) G = C∗ ; H = {z ∈ C∗ : |z| = 1},
d) G = GL(2, R); H = {A ∈ G : |detA| = 1},
b) G = C; H = {z ∈ C : 2Rez = 5Imz},
e) G = C; H = R,
c) G = GL(2, R); H = {A ∈ G : detA > 0},
f) G = Z; H = 5Z.
Zadanie 6. Niech









 a b 


 a 0 





 1







∗
∗
 : a ∈ R 
 : a ∈ R , b ∈ R

,F=
G=
,H =











 0
 0 1

 0 1
1




b 
 : b ∈ R
Sprawdź, czy:




1
WMiI - Algebra - Ćwiczenia
a) H jest podgrupą grupy G
c) F jest podgrupą grupy G
b) H jest dzielnikiem normalnym grupy G
d) F jest dzielnikiem normalnym grupy G
Zadanie 7. Niech H = {f ∈ S(N) : f (n) = n dla prawie wszystkichn ∈ N}. Sprawdź, czy H jest dzielnikiem
normalnym grupy S(N).
Zadanie 8. Sprawdź, że jeśli S jest niżej podanym podzbiorem zbioru R∗ i H = {λI ∈ GL(n, R) : λ ∈ S}, to H
jest dzielnikiem normalnym grupy GL(n, R).
b) R+ ,
a) R∗ ,
d) Q+ .
c) Q∗ ,
Zadanie 9. Udowodnij, że zbiór L wszystkich funkcji f : R → R, które są postaci f (x) = ax + b, gdzie a ∈ R∗ ,
b ∈ R tworzy grupę przekształceń zbioru R. Wykaż, że:
a) podzbiór H grupy L utworzony przez wszystkie funkcje postaci f (x) = ax, gdzie a ∈ R∗ jest podgrupą
lecz nie jest dzielnikiem normalnym grupy L,
b) podzbiór F grupy L utworzony przez wszystkie funkcje postaci f (x) = x + b, gdzie b ∈ R jest dzielnikiem
normalnym grupy L.
Zadanie 10. Niech G będzie grupą i niech H będzie podgrupą grupy G oraz F będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Wykaż, że zbiór
HF := {hf : h ∈ H, f ∈ F}
jest podgrupą grupy G.
Zadanie 11. Wskaż elementy grupy ilorazowej Φ(n)/H oraz utwórz tabelkę działania w tej grupie jeśli
a) n = 7
b) n = 27
H = {1, 2, 4}
c) n = 15
H = {1, 11}
H = {1, 8, 10, 17, 19, 26}
Zadanie 12. Wykaż, że zbiór funkcji ciągłych określonych na < 0, 1 > takich, że f (x0 ) = 0, dla pewnego
x0 ∈< 0, 1 > jest dzialnikiem normalnym w grupie wszystkich funkcji ciągłych określonych na < 0, 1 > z
działaniem dodawania funkcji. Znajdź odpowiednią grupę ilorazową.
2