Szurek - skrypt PM2009

Transkrypt

(wersja z dnia 25 lutego 2009 )
Zadania z Podstaw Matematyki dla studentów Wy·
zszej Szko÷
y
Informatyki Stosowanej i Zarzadzania
¾
w Warszawie.
Materia÷y uzupe÷niajace
¾ do wyk÷adu Micha÷a Szurka z podstaw matematyki,
do nastepuj
¾ acego
¾
programu:
Wyk÷
ad 1. Podstawowe pojecia
¾ logiki.
Wyk÷
ad 2. Indukcja matematyczna. Rekursja.
Wyk÷
ad 3. Podstawowe operacje na zbiorach.
Wyk÷
ad 4. Zliczanie (najprostsze sytuacje kombinatoryczne).
Wyk÷
ad 5. Relacje.
Wyk÷
ad 6. Funkcje. Obraz, przeciwobraz zbioru.
Wyk÷
ad 7. Permutacje.
Wyk÷
ad 8. Zbiór potegowy.
¾
Wyk÷
ad 9. Iloczyn kartezjański i ciagi.
¾
Wyk÷
ad 10. Relacje równowaz·ności. Zasada abstrakcji.
Wyk÷
ad 11. Relacje porzadkuj
¾
ace.
¾
Wyk÷
ad 12. Róz·ne rodzaje relacji porzadkuj
¾
acych.
¾
Wyk÷
ad 13. Przeliczalność i nieprzeliczalność. Moc zbioru.
Wyk÷
ad 14. Paradoksy logiczne i antynomie teorii mnogości.
Wyk÷
ad 15. Przejścia graniczne w matematyce.
(stan na 25 lutego 2009: wyk÷ady 12-15 sa¾ jeszcze nieopracowane)
1
Wyk÷
ad 1. Logika
Zadanie 1.1. Które z poniz·szych zdań sa¾ prawdziwe, a które fa÷szywe:
a) 2 2 = 4 ;
b) 2 2 6= 5 ;
c) 2100 = 1267 650 600 228 229 401 496 703 205 3767 ;
d) Nieprawda, z·e liczba rozwiazań
¾ równania x2 4x+3 = 0 jest parzysta
;
e) Nieprawda, z·e liczba rozwiazań
¾
równania x2 4x + 3 = 0 nie jest
nieparzysta ;
f) Jez·eli x1 = 0, to x2 x = 2008 ;
g) Jez·eli x2 = y 2 ; to x3 = y 3 ; (x; y oznaczaja¾ tu liczby rzeczywiste) ;
h) Jez·eli x3 = y 3 ; to x2 = y 2 ; (x; y oznaczaja¾ tu liczby rzeczywiste);
i) Jez·eli x2 = y 2 ; to x3 = y 3 ; (x; y oznaczaja¾ tu liczby zespolone) ;
j) Jez·eli x3 = y 3 ; to x2 = y 2 ; (x; y oznaczaja¾ tu liczby zespolone);
k) Jez·eli A3 = B 3 ; to A2 = B 2 ; (A; B oznaczaja¾ tu macierze kwadratowe);
Przypominam, z·e jez·eli prawdziwa jest implikacja ) , to
jest warunkiem wystarczajacym
¾
(albo: warunkiem dostatecznym) na
to, by zachodzi÷
o ;
natomiast jest warunkiem koniecznym na to, by .
Oczywiście, jez·eli prawdziwa jest równowaz·ność , , to jest warunkiem
koniecznym i dostatecznym na to, by . Mówimy tez·, z·e zachodzi wtedy i tylko
wtedy, gdy .
Określeń „warunek dostateczny”i „warunek wystarczajacy”u
¾
z·ywamy wymiennie.
Zadanie 1.2. Które z poniz·szych zdań jest prawdziwe:
a) Warunkiem koniecznym na to, by trójkat
¾ by÷równoboczny jest, by
by÷równoramienny;
b) Warunkiem dostatecznym na to, by trójkat
¾ by÷równoboczny jest, by
by÷równoramienny;
c) Warunkiem koniecznym na to, by trójkat
¾ by÷równoramienny jest, by
by÷równoboczny;
d) Warunkiem dostatecznym na to, by trójkat
¾ by÷równoramienny jest,
by by÷równoboczny;
e) Warunkiem dostatecznym na to, by liczba naturalna by÷a podzielna
przez 2 jest, by by÷
a podzielna przez 4;
f) Warunkiem dostatecznym na to, by liczba naturalna by÷
a podzielna
g) Warunkiem koniecznym na to, by liczba naturalna by÷
a podzielna
h) Warunkiem koniecznym na to, by liczba naturalna by÷a podzielna przez
4 jest, by by÷
i) Warunkiem wystarczajacym
¾
do prawdziwości zdania 9x2R x2 a+1
jest a 0;
2
a
0;
j) Warunkiem koniecznym prawdziwości zdania 9x2R
x2
a + 1 jest
k) Warunkiem wystarczajacym
¾
do prawdziwości zdania 9x2R x2 a + 1
jest a
1;
l) Warunkiem koniecznym prawdziwości zdania 9x2R x2 a + 1 jest
a
1;
m) Warunkiem koniecznym prawdziwości zdania 9x2R x2 a + 1 jest
jaj
1;
n) Warunkiem wystarczajacym
¾
do prawdziwości zdania 9x2R x2 a+1
jest j a j
1;
o) Warunkiem koniecznym na to, by ciag
¾ by÷a zbiez·ny jest, by spe÷
nia÷
warunek Cauchy’ego;
p) Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by macierz kwadratowa mia÷
a nacierz odwrotna¾ jest, by jej wyznacznik by÷róźny od zera; P
q) Warunkiem wystarczajacym
¾
do zbiez·ności szeregu liczbowego an jest
zbiez·ność ciagu
¾ (an );
P
r) Warunkiem koniecznym do zbiez·ności szeregu liczbowego
an jest
zbiez·ność ciagu
¾ (an );
s) Warunkiem
¾
do zbiez·ności ciagu
¾ (an ) jest zbiez·ność
P wystarczajacym
szeregu liczbowego
an ;
t) Warunkiem
¾ (an ) jest zbiez·ność szP koniecznym do zbiez·ności ciagu
eregu liczbowego
an ;
u) Warunkiem koniecznym do zdobycia mistrzostwa świata w rzucie
dyskiem jest, by umieć nim rzucać;
v) Warunkiem wystarczajacym
¾
do zdobycia mistrzostwa świata w rzucie
dyskiem jest, by umieć nim rzucać;
w) Warunkiem wystarczajacym
¾
do tego, by zostać prezydentem Polski
jest wygranie wyborów prezydenckich,
x) Warunkiem koniecznym do tego, by zostać prezydentem Polski jest
wygranie wyborów prezydenckich,
y) Warunkiem wystarczajacym
¾
do tego, by umieć rozwiazać
¾
wszystkie
zadania z tego skryptu jest, by umieć czytać;
z) Warunkiem koniecznym i dostatecznym do tego, by zostać królem
Togo jest, by być Eskimosem.
Zadanie 1.3. Które z podanych niz·ej zdań sa¾ warunkami dostatecznymi, a
które wystarczajacymi
¾
a) a 0
b) a = 1
c) a < 0
d) a
1
e) j a j
1
Odpowiedź: Konieczne sa¾ a; c; d; e
Dostateczne sa:
¾ b; d:
Jak to rozwiazać?
¾
Wystarczy sie¾ zastanowić, co to znaczy „konieczny” i
"dostateczny" (=„wystarczajacy”
¾ ). Jez·eli z alf a wynika beta, to alf a jest
wystarczajacy
¾ dla beta: Bo przeciez· wystarczy, z·eby zasz÷o alf a; z·eby beta tez·
sie¾ zdarzy÷
o. Z tego, z·e deszcz pada, wynika, z·e ulice sa mokre. A wiec
¾ wystarczy, z·eby troche¾ popada÷
o i juz· jest mokro. Przeciwnie, beta jest konieczny dla
alf a:Na przyk÷
ad, z tego, z·e pada deszcz, wynika, ze ulice sa¾ mokre. Jez·eli
3
zobaczymy, sucha¾ ulice,
¾ to znaczy, z·e deszcz nie pada. Ulice musza¾ być mokre
po deszczu.
Nstepnie,
¾
trzeba oswoić podany warunek z kwanty…katorem. Co znaczy podany warunek: istnieje iks o tej w÷asności, z·e liczba przeciwna do jego kwadratu
spe÷
nia coś tam? Otóz· przeciez· „liczba¾ przeciwna¾ do kwadratu”moz·e być kaz·da
liczba ujemna (i zero) i odwrotnie, kaz·da liczba ujemna (takz·e i zero) jest liczba¾
przeciwna¾ do pewnego
kwadratu. Na przyk÷
ad -2009 jest liczba¾ przeciwna¾ do
p
¾
kwadratu liczby 2009: A zatem zdanie zamieszczone znaczy ni mniej ni wiecej
tylko: a + 1 jest liczba¾ ujemna¾ (badź
¾ zerem). Co wystarcza, by a + 1
0?
Oczywiście jest to to samo, co a
1. Zatem ten warunek jest i konieczny
0, ale nie jest
i dostateczny. Warunek a) jest oczywiście za s÷aby, bo 21
1:Podobnie z c) . Warunek b) wystarcza, ale nie jest konieczny. Wreszcie,
jez·eli liczba jest mniejsza od 1, to jej modu÷(wartość bezwzgledna)
¾
jest wiek¾
szy od 1, ale nie na odwrót.
Zadanie 1.4. Sformu÷
ować zdanie odwrotne do
a) twierdzenia Pitagorasa,
b) twierdzenia Talesa,
c) twierdzenia Bezouta,
d) twierdzenia mówiacego,
¾
z·e środki boków czworokata
¾ wpisanego w okrag
¾
tworza¾ równoleg÷
obok,
e) twierdzenia mówiacego,
¾
z·e kaz·da liczba pierwsza wieksza
¾
od 2 jest nieparzysta.
Zadanie 1.5. Na p÷
aszczyźnie zaznacz zbiór punktów spe÷niajacych
¾
alternatyw¾
e podanych warunków:
a) x = 0 ; y = 0;
b) y = 0 ; x < 0;
c) x = 0 ; y 6= 0;
d) y = 0 ; x 6= 0;
e) x 6= 0 ; y = 0;
f) y 6= 0 ; x = 0;
g) x 6= 0 ; y 6= 0;
h) x 6= 0; y 6= 0 , xy 6= 0;
i) x = 0 ; y > 0;
j) y = 0 ; x > 0
j) x < 0 ; y > 0;
k) y < 0 ; x > 0
k) x 2 [1; 2] ; y 2 [1; 2] ;
i) x 2
= [1; 2] ; y 2 [1; 2]:
Zadanie 1.6. Na p÷
aszczyźnie zaznacz zbiór punktów spe÷niajacych
¾
koniukcje¾
podanych warunków:
a) x = 0 ; y = 0;
b) y = 0 ; x < 0;
c) x = 0 ; y 6= 0;
d) y = 0 ; x 6= 0;
4
e) x 6= 0 ; y = 0;
f) y 6= 0 ; x = 0;
g) x 6= 0 ; y 6= 0;
h) x 6= 0; y 6= 0 , xy 6= 0;
i) x = 0 ; y > 0;
j) y = 0 ; x > 0
j) x < 0 ; y > 0;
k) y < 0 ; x > 0
k) x 2 [1; 2] ; y 2 [1; 2] ;
i) x 2
= [1; 2] ; y 2 [1; 2]:
Zadanie 1.7. Na p÷
aszczyźnie zaznacz zbiór tych punktów (x; y), których
wspó÷
rzedne
¾
spe÷niaja¾ podany warunek
a) x = 0 ) y = 0;
b) y = 0 ) x = 0;
c) x = 0 ) y 6= 0;
d) y = 0 ) x 6= 0;
e) x 6= 0 ) y = 0;
f) y 6= 0 ) x = 0;
g) x 6= 0 ) y 6= 0;
h) xy 6= 0;
i) x = 0 ) y > 0;
j) y = 0 ) x > 0
j) x < 0 ) y > 0;
k) y < 0 ) x > 0
k) x 2 [1; 2] ) y 2 [1; 2] ;
i) y 2 [1; 2] ) x 2 [1; 2]:
Zadanie 1.8. Na p÷
aszczyźnie zaznacz zbiór tych punktów (x; y), których
wspó÷
rzedne
¾
nie spe÷niaja¾ podanego warunku
a) x = 0 ) y = 0;
b) y = 0 ) x = 0;
c) x = 0 ) y 6= 0;
d) y = 0 ) x 6= 0;
e) x 6= 0 ) y = 0;
f) y 6= 0 ) x = 0;
g) x 6= 0 ) y 6= 0;
h) xy 6= 0;
i) x = 0 ) y > 0;
j) y = 0 ) x > 0
j) x < 0 ) y > 0;
k) y < 0 ) x > 0
k) x 2 [1; 2] ) y 2 [1; 2] ;
i) y 2 [1; 2] ) x 2 [1; 2]:
Zadanie 1.9. Na p÷
aszczyźnie zespolonej C zaznacz zbiór liczb spe÷niajacych
¾
koniukcje¾ podanych warunków:
5
a) j z j = 1 ; arg z
0;
b) z 12 = 1, arg z
0;
c) z 12 =
1; z 16 = 1;
p
2
d) z + 2z + 5 = 0 ; j z j = 5 ;
e) z 2 + 2z + 5 = 0 ; z = z ,
f) z = z , z =
z ,
g) z 2 = z , j z j =
6 1:
Zadanie 1.10. Jakich trójkatów
¾
dotyczy nastepuj
¾ ace
¾ twierdzenie:
Je·zeli trójkat
¾ jest prostokatny,
¾
to kwadrat przeciwprostokatnej
¾
jest równy
sumie kwadratów przyprostokatnych.
¾
Zadanie 1.11.
Dla jakich liczb m i n jest prawda,
¾ z·e nastepuj
¾ ace
¾ dwa zdania sa¾równowaz·ne?
Liczba k jest podzielna przez mn :
Liczba k jest podzielna przez m i jest podzielna przez n .
Zadanie 1.12. Uzupe÷
nij
Kat
¾ wpisany w okrag
¾ jest . . . . . , kat
¾ jest oparty na średnicy.
Zadanie 1.13. Uzupe÷
nij nastepuj
¾ ace
¾ twierdzenia, wstawiajac
¾ w miejsce
kropek s÷
owa konieczny, dostateczny, albo konieczny i dostateczny:
a)
Warunkiem ... ... na to, by trójkat
¾ by÷równoramienny, jest, aby dwa
jego katy
¾ mia÷
y te same miary;
b)
Podzielność liczby ca÷kowitej przez 2 i przez 3 jest warunkiem ... ...
jej podzielności przez 6 ;
c)
Warunkiem ... ... na to, by trójkat
¾ by÷równoramienny, jest przystawanie dwóch jego katów.
¾
Zadanie 1.14.
a) O co chodzi w tej wypowiedzi: Nie ma powodu, ·zebym nie ca÷kowicie sie¾
z toba¾ nie zgadza÷. Wypowiedz te¾ myśl prościej.
b) Czy to jest podstawa do dyskwali…kacji: Zwyciezca
¾ Tour de France nie
zaprzeczy÷doniesieniom o niestosowaniu przez niego niedozwolonych ´srodków.
c) Czy to dobrze, czy źle, z·e w pewnej instytucji nikt nigdy niczego niepotrzebnego nie robi ?
d) Przet÷umacz na strawna¾ polszczyzne:
¾ Nie sadz
¾ e,
¾ abym nie mog÷
a Ci nie
powiedzieć o tym, z·e nie przemyśla÷am decyzji o powtórnej zmianie decyzji, z·e
nie wyjde¾ za ciebie za ma¾z·.
e) Wyt÷
umacz, co mia÷na myśli prezydent Rurytanii, gdy powiedzia÷: "Nie
podpisze¾ ustawy o zniesieniu obowiazuj
¾ acego
¾
w naszym kraju prawa nierównego
traktowania osób chudych i grubych". Czy gdyby parlament Rurytanii odrzuci÷
prezydenckie weto, grubi i chudzi byli by równi wobec prawa, czy nie?
f) W pracowni informatycznej Wydzia÷u Matematyki, Mechaniki i Informatyki Uniwersytetu Warszawskiego wisi napis: "Zakaz jedzenia lub picia".
Czy z tego wynika, z·e w pracowni tej moz·na jeść hamburgera, byle nie popijać?
6
W logice klasycznej odróz·nia sie¾ starannie terminy „znaczy” i „oznacza”.
Dwie nazwy moga¾ znaczyć to samo, a oznaczać co innego. Oznaczenie odnosi
sie¾ do zakresu, znaczenie do treści. „Stolica Wielkopolski”i „najwieksze
¾
miasto
nad Warta”
¾ oznaczaja¾ to samo, ale znacza¾ co innego. Treścia¾ pojecia
¾ „stolicy”
jest to, z·e urzeduj
¾ a¾ tam w÷
adze (wojewódzkie, państwowe). Gdy us÷
yszymy zaś
„najwieksze
¾
miasto nad Warta”
¾ , być moz·e najpierw wyobrazimy sobie duz·e
miasto nad malownicza¾ rzeka,
¾ a dopiero po chwili dotrze do nas, z·e to Poznań.
Zakresem obu pojeć
¾ jest zbiór, którego jedynym elementem jest miasto z ratuszem z trykajacym
¾
sie¾ w po÷udnie kozio÷kami na Starym Rynku, nieopodal
ulicy Świety
¾ Marcin.
Zawieranie sie¾ zakresów pojeć
¾ (inkluzja zbiorów) nazywa÷o sie¾ w dawniejszej
logice stosunkiem podporzadkowania
¾
i nadrzedności,
¾
na zbiory o niepustym
przecieciu
¾
mówi „pojecia
¾ krzyz·ujace
¾ sie”
¾ , pojecia
¾ reprezentowane przez zbiory
roz÷
aczne
¾
nazywano „wykluczajacymi
¾
sie”
¾ , a roz÷aczne
¾
i dope÷
niajace
¾ do ca÷ej
przestrzeni „przeciwnymi”(zatem ‘zielony’i ‘czerwony’to pojecia
¾ wykluczajace
¾
sie¾ i sprzeczne, a przeciwnym do ‘zielonego’jest ‘niezielony’).
Zadanie 1.21.
Określić, w jakim stosunku pozostaja¾ do siebie zakresy
nastepuj
¾ acych
¾
pojeć:
¾ trójkat
¾ równoboczny, trójkat
¾ równokatny,
¾
papiez·, biskup
rzymski, pierwszy cesarz Francji, zwyciezca
¾ spod Austerlitz, sole, cia÷a chemiczne
z÷
oz·one, dzie÷
a S÷
owackiego, Kordian, wieloboki, utwory geometryczne p÷
askie,
…gury majace
¾ przekatne,
¾
ksia¾z·ki naukowe, ksia¾z·ki zajmujace,
¾ mahometanie,
mieszkańcy Europy, ciecze, cia÷a lz·ejsze od wody, niziny, miejsca bagniste, prostokat,
¾ czworobok majacy
¾ ko÷o wpisane, przez·uwacz, zwierze¾ mieso
¾ z·erne, wulkan,
góra w Polsce.
Zadanie 1.22.
Podać pojecia
¾ a) równowaz·ne, b) nadrzedne,
¾
c) krzyz·ujace
¾
sie,
¾ d) podrzedne,
¾
e) przeciwne, f) sprzeczne wzgledem
¾
kaz·dego z nastepuj
¾ acych
¾
pojeć:
¾ woda, sześcian, ptak, pierwszy po÷
udnik, wszystko, nic.
Zadanie 1.23. Czy prawdziwe jest zdanie:
Jeśli na świetego
¾
Prota jest pogoda albo s÷ota, na świetego
¾
Hieronima jest
deszcz, albo go nie ma.
Zadanie 1.24. Wyraź w inny sposób zaprzeczenie zdań:
a) nieprawda, z·e niebo jest niebieskie,
b) nie jestem madry,
¾
c) 8">0 9 j x1 x2 j < ) j f (x1 ) f (x2 ) j < " = 0
d) w niedziele nikt tu nigdy niczego niepotrzebnego nie robi.
Zadanie 1.25. Skonstruuj, wskaz· albo opisz, jak moga¾ wygladać
¾
kontrprzyk÷
ady do nastepujacych
¾
fa÷szywych stwierdzeń:
a) kaz·da liczba podzielna przez 2 jest podzielna przez 4;
b) w kaz·dym trójkacie
¾ środek okregu
¾ opisanego pokrywa sie¾ ze środkiem
okregu
¾ wpisanego;
c) na kaz·dym czworokacie
¾ da sie¾ opisać okrag;
¾
d) W kaz·dy czworokat
¾ moz·na wpisać ko÷o.
e) W z·aden czworokat
¾ nie moz·na wpisać ko÷a.
f) Na kaz·dym czworokacie
¾ moz·na opisać ko÷o.
g) Na z·adnym czworokacie
¾ nie moz·na opisać ko÷a.
7
h) jez·eli funkcja jest rosnaca
¾ dla x < 0 i jest rosnaca
¾ dla x > 0 , to jest
rosnaca
¾ dla wszystkich x;
i) kaz·dy me¾z·czyzna jest wyz·szy od kaz·dej kobiety;
j) z·aden student nie umie algebry;
k) kaz·dy student zna dobrze algebre;
¾
l) wszyscy studenci chodza¾ zawsze na zajecia;
¾
m) gdy tylko wychodze¾ z domu, z·ona pyta, dokad
¾ ide;
¾
n) Kaz·da liczba podzielna przez 3 jest podzielna przez 7.
o) Jez·eli dwie liczby maja¾ równe kwadraty, to sa¾ równe.
p) Jez·eli sin a = sin b , to a = b.
q) Kaz·da liczba pierwsza jest nieparzysta.
r) Nie ma dwóch liczb pierwszych róz·niacych
¾
sie¾ tylko o 3 .
s) Nie istnieja¾ rozwiazania
¾
równania xn + y n = z n w liczbach ca÷kowitych.
t) Jez·eli a; b; c sa¾ d÷
ugościami boków trójkata
¾ prostokatnego,
¾
to a2 + b2 = c2 ;
u) Jez·eli wczoraj by÷dzień 28 lutego, to dziś jest 1 marca.
v) Jez·eli wczoraj by÷dzień 28 lutego, to dziś jest 29 lutego.
x) Prezydent państwa musi być kobieta.
¾
y) Kaz·dy Polak uwielbia chipsy czekoladowe.
z) Jak przygoda, to tylko we Lwowie.
Zadanie 1.26. Skonstruuj, wskaz· albo opisz, jak moga¾ wygladać
¾
kontrprzyk÷
ady do nastepuj
¾ acych
¾
fa÷szywych stwierdzeń:
a) Jeśli Barbara po lodzie, to Boz·e Narodzenie po wodzie.
b) Jeśli na świetego
¾
Jana pada wieczór albo z rana, na świetego
¾
Izydora pada
rano lub z wieczora.
c) Dzieckiem w kolebce kto ÷eb urwa÷hydrze, ten m÷
ody zdusi centaury.
d) Pi÷
ka noz·na jest takim sportem, gdzie dwie druz·yny graja¾ 90 minut, a
wygrywaja¾ Niemcy.
e) Z punktu widzenia kobiety me¾z·czyzna jest jak telefon. Albo jej nie
odpowiada, albo jest zajety.
¾
f) Kaz·de zwierze,co
¾ ma pierze, fruwa.
g) Matematyka? Nikt jej nie lubi i nikt jej nie umie.
Zadanie 1.27.
1. Zdanie p brzmi: Bitwa pod Grunwaldem odby÷a sie¾ przed rokiem 1500 lub
bitwa pod Grunwaldem odby÷a sie¾ po roku 1450.
Zdanie q brzmi: Je·zeli 1 = 2, to 2 = 10. Wtedy (wybierz prawid÷owa¾
odpowiedź):
a) obydwa zdania p i q sa¾ prawdziwe,
b) p jest prawdziwe, q fa÷szywe,
c) p jest fa÷
szywe, q prawdziwe,
d) obydwa zdania sa¾ fa÷
szywe.
Zadanie 1.28.
Zdanie p ) ( p ) q) jest fa÷szywe, gdy (wybierz prawid÷owa¾ odpowiedź)
8
a) obydwa zdania p i q sa¾ prawdziwe,
b) p jest prawdziwe, q fa÷szywe,
c) p jest fa÷
szywe, q prawdziwe,
d) obydwa zdania sa¾ fa÷
szywe.
Rozwiazanie.
¾
Trudnościa¾ w zadaniu tym moz·e być samo zrozumienie treści.
Poprawnej odpowiedzi moz·na najlepiej udzielić, podstawiajac
¾ za p , q wartości
logiczne 0, 1. W a) mamy 1 ) ( 1 ) 1) ; jest to zdanie prawdziwe. W b) mamy
1 ) ( 1 ) 0) , jest to zdanie fa÷szywe. W c) mamy 0 ) ( 0 ) 1) ; jest to
zdanie prawdziwe. W d) mamy 0 ) ( 0 ) 0) ; jest to zdanie prawdziwe.
Zadanie 1.29. Kulturalny doping. W czasie meczu pi÷
karskiego rzucono na
muraw¾
e stadionu butelk¾
e, która tra…÷a bramkarza druz·yny gości. Oskarz·ono o
to czterech kibiców: Antoniego, Mariana, Witolda i Bogdana. Kaz·dy da÷jedna¾
odpowiedź fa÷
szywa¾ i dwie prawdziwe:
Antoni: To nie ja. Witold nie wie, kto rzuci÷butelk¾
e. Wie to Marian.
Bogdan: To nie ja. Pierwszy raz widze¾ Mariana. Butelk¾
e rzuci÷Witold.
Marian: To nie ja. To zrobi÷Antoni. Przez ca÷y mecz pi÷em piwo z Bogdanem.
Witold: To nie ja. To zrobi÷Marian. Bogdan k÷
amie, z·e to ja.
Kto rzuci÷butelk¾
e?
Rozwiazanie.
¾
Butelk¾
e rzuci÷Antoni. Przypuśćmy bowiem, z·e to Bogdan.
Jego pierwsza wypowiedź jest zatem fa÷szywa, wiec
¾ dwie pozosta÷e prawdziwe.
W szczególności prawdziwa by÷aby wypowiedź o winie Witolda. A zatem z
przypuszczenia, z·e to Bogdan, wynika, z·e to nie Bogdan. Regu÷
a Claviusa mówi,
z·e to nie Bogdan. Przypuśćmy, z·e to Marian. Zatem jego pierwsza wypowiedź
o w÷
asnej niewinności jest fa÷szywa. Musi być zatem prawda,
¾ z·e butelk¾
e rzuci÷
Antoni. Mamy te¾ sama¾ sytuacje:
¾
z za÷
oz·enia, z·e to Marian wynika, z·e to nie on. A zatem (regu÷a Claviusa) to
nie Marian. Tak samo przekonujemy sie¾ o niewinności Witolda. Zostaje Antoni.
Zadanie 1.30. Po maturze. Na spotkaniu z okazji dziesieciolecia
¾
matury
ktoś powiedzia÷
: „Kaz·dy absolwent naszego liceum ukończy÷potem studia wyz·sze”.
Czy z tego wynika, z·e ci, co nie ukończyli studiów wyz·szych, byli absolwentami
innych liceów? Czy te zdania sa¾ równowaz·ne?
Odpowiedź. Sa¾ ludzie dorośli, którzy nie skończyli liceów. Kaz·dy z nich
stanowi kontrprzyk÷
ad na stwierdzenie, z·e podane zdania sa¾ równowaz·ne.
Zadanie 1.31. Student rozwiazywa÷
¾
test. Mia÷udzielić odpowiedzi „tak”
lub „nie”na pieć
¾ pytań. Wiedzia÷, z·e w teście by÷o wiecej
¾ odpowiedzi twierdza¾
cych niz· przeczacych
¾
i z·e nie by÷o tej samej odpowiedzi na trzy kolejne pytania.
Domyśli÷sie,
¾ z·e pytanie pierwsze i ostatnie maja¾ przeciwne odpowiedzi. Zna÷
tylko odpowiedź na pytanie drugie i siedzia÷bezradnie, dopóki nauczyciel nie
podpowiedzia÷mu: „skoro znasz odpowiedź na drugie, to tak, jak byś zna÷na
wszystkie”. Jakie by÷
y odpowiedzi na test?
Zadanie 1.32. Matematycy na balu. Czterej ma÷
z·eństwa wybra÷
y sie¾ na
bal sylwestrowy. Z poczatku
¾
kaz·dy tańczy÷z w÷asna¾ z·ona,
¾ ale wkrótce pary
9
sie¾ przemiesza÷
y. Basia tańczy÷
a z Edwardem, Ola z me¾z·em Karoliny, Dorota
z me¾z·em Oli, Franciszek z z·ona¾ Janka i Janek z z·ona¾ Edwarda. W przerwie
Hubert opowiada÷dowcipy. Podaj imiona wspó÷ma÷
z·onków i kto z kim tańczy÷
.
Rozwiazanie.
¾
Ponumerujmy informacje.
1. Basia tańczy÷
a z Edwardem, 2. Ola tańczy÷
a z me¾z·em Karoliny, 3. Dorota
tańczy÷
a z me¾z·em Oli, 4. Franciszek tańczy÷z z·ona¾ Janka, 5. Janek tańczy÷z
z·ona¾ Edwarda, 6. Jeden z me¾z·ów (ten dowcipny) ma na imie¾ Hubert.
Z przes÷
anki 1 wiemy, z·e Basia nie jest z·ona¾ Edwarda. Jak ma na imie¾
tancerz Oli? Kto jest z·ona¾ Edwarda? Nie Ola, bo z me¾z·em Oli tańczy÷
a Dorota
(przes÷
anka nr 3), a z Edwardem Basia. Nie Karolina, bo z me¾z·em Karoliny
tańczy÷
a Ola (przes÷
anka nr 2), a z Edwardem Basia (przes÷anka nr 1). Zatem
Edward i Dorota to ma÷
z·eństwo. Zatem Janek tańczy÷z Dorota¾ (przes÷
anka nr
5). Z przes÷
anki nr 3 wynika zatem, z·e Janek jest me¾z·em Oli. Przes÷anka nr 4
powiada, z·e Franciszek tańczy÷z Ola,
¾ a wiec
¾ (nr 2) ma¾z· Karoliny to Franciszek.
Basi przypada zatem dowcipny Hubert. A zatem:
Tańczyli: Basia - Edward, Dorota - Janek, Ola - Franciszek, Karolina Hubert.
Ma÷
z·eństwa: Dorota - Edward, Ola - Janek, Karolina - Franciszek, Basia Hubert.
Zadanie 1.33. Trapez nie istnieje. Wykaz·emy, z·e …gura zwana trapezem nie
istnieje. Przypuśćmy, z·e jest coś takiego, jak trapez. Przed÷
uz·my podstawy
w sposób pokazany na rysunku tak, z·eby utworzy÷sie¾ równoleg÷
obok. Jego
przekatne
¾
dziela¾ druga¾ z przekatnych
¾
trapezu na odcinki, których d÷ugości oznaczymy przez x; y; z, jak na rysunku. Z podobieństwa odpowiednich trójkatów
¾
y+z
b
bx
mamy proporcje: x + y = bz
oraz
=
;
sk
ad
¾
wyznaczamy
y
+
z
=
.
a
x
a
a
bx
b
Zatem x z = (x + y) (y + z) = bz
z), czyli ab = 1
a
a =
a (x
Ale liczby a; b to d÷
ugości podstaw trapezu. Jez·eli ich suma wynosi zero, to
one same sa¾ zerami. To znaczy, z·e nie moz·e istnieć …gura taka jak trapez.
Znajdź b÷
ad
¾ w tym rozumowaniu.
Zadanie 1.34. Oceń wartość logiczna¾podanych zdań. Wypowiedz je prościej,
w formie twierdzacej.
¾
10
a) Nieprawda, z·e niebo czasem jest niebieskie.
b) Nieprawda, z·e nie ma dymu bez ognia.
c) Nie kaz·dy Polak jest lekarzem.
d) Nieprawda, z·e istnieje ÷abedź, który nie jest bia÷
y.
Zadanie 1.35. Ucz sie¾ logiki! Sedzia
¾
na rozprawie:
–Jeśli oskarz·ony pope÷
ni÷to przestepstwo,
¾
to mia÷wspólnika.
Obrońca:
–To nieprawda!
Dlaczego jest to najgorsza rzecz, jaka¾ móg÷powiedzieć? Wskazówka: przypomnij sobie prawo zaprzeczenia implikacji!
Zadanie 1.36. Ktoś naby÷jakiś artyku÷za 100 z÷, sprzeda÷za 200 z÷,
odkupi÷znów za 300 z÷i sprzeda÷za 400 z÷. Ile na tym zyska÷?
Zadanie 1.37. Ktoś poprosi÷w restauracji o piwo . Kelner przyniós÷
,
ale gość w tym czasie sie¾ rozmyśli÷i poprosi÷o coca-cole¾ w tej samej cenie.
Po wypiciu wsta÷i skierowa÷sie¾ do wyjścia. Kelner dogoni÷go przy wyjściu
i upomnia÷sie¾ o zap÷
ate.
¾ „Za co?” zdumia÷sie¾ gość? „Jak to za co? Za
lemoniade!”
¾ . „Przeciez· za cole¾ da÷
em panu piwo, które pan zabra÷
!”. „W takim
razie prosze¾ zap÷
acić za piwo!”. „Zap÷acić za piwo? Przeciez· ja piwa nie pi÷
em!”.
Gdzie jest b÷
ad
¾ w tym rozumowaniu?
Zadanie 1.38. Dwie monety daja¾ ÷acznie
¾
3 z÷ote, choć jedna z nich nie
jest z÷
otówka.
¾ Jak to moz·liwe?
Zadanie 1.39. Pan A mia÷fa÷
szywa¾ stuz÷otówk¾
e. Zap÷aci÷nia¾ dentyście
za plombe.
¾ Dentysta wraca÷taksówka¾ do domu i zap÷aci÷tym banknotem za
kurs. Taksówkarz wyda÷banknot na benzyne.
¾ W÷
aściciel stacji benzynowej
podarowa÷banknot swojemu synowi, który kupi÷za niego kalkulator w sklepie
obok. Akurat zaraz potem do tego samego sklepu przyszed÷pan A. Za swój
zakup wartości 100 z÷
otych da÷200 z÷otych i jako reszte¾ otrzyma÷owa¾ fa÷szywa¾
stuz÷
otówk¾
e. Kto na tych transakcjach straci÷i ile? Czy ktoś zarobi÷?
Zadanie 1.40. Które z nastepujach
¾ zdań sa¾prawdziwe dla liczb rzeczywistych
x:
a) 9x x + 1 = 0;
b) 9x x + 1 6= 0;
c) 8x x2 > 0 ;
d) 8x x2 0 :
¾ zdań sa¾prawdziwe dla liczb rzeczywistych
x; y :
a) 9x 9y x + y = 0;
b) 9x 8y x + y = 0;
c) 8x 9y x + y = 0;
d) 8x 8y x + y = 0 :
¾ zdań sa¾ prawdziwe dla liczb zespolonych
x; y :
11
a) 9x 9y x y = 0;
b) 9x 8y x y = 1;
c) 8x 9y x y = i;
d) 8x 8y x y = i:
Zadanie 1.43. Które z nastepujacych
¾
zdań sa¾ prawdziwe dla liczb rzeczywistych a; b; c:
9a 9b 9c a + b + c = 0
9a 9b 8c a + b + c = 0
9a 8b 8c a + b + c = 0
8a 9b 9c a + b + c = 0
8a 8b 9c a + b + c = 0
8a 8b 8c a + b + c = 0:
Zadanie 1.44. Które z podanych niz·ej zdań sa¾ warunkami dostatecznymi, a
które wystarczajacymi
¾
a) a
2009
b) a = 1
c) a
1
d) a 2009
e)
jaj
1
Rozwiazanie.
¾
Przepiszmy zdanie 9x2R x2 a + 1 tak 9x2R x2
a 1.
A zatem kwadrat pewnej liczby rzeczywistej jest mniejszy (badź
¾ równy) a 1:
Takie stwierdzenie jest równowaz·ne z tym, z·e liczba a 1 jest dodatnia badź
¾
równa zero, a 1
0, stad
¾ a
1. Zatem warunkiem równowaz·nym (=
koniecznym i dostatecznym) stwierdzeniu, jest a
1: Warunek a
2 jest
wystarczajacy,
¾ ale nie konieczny. Wystarczy bowiem, by liczba a by÷a mniejsza
od 2009, by a + 1 by÷
a liczba ujemna,
a wtedy znajdziemy odpowiednie x; na
p
a 1. Ale liczba a nie musi wcale być „az·
przyk÷
ad kaz·de x nie wieksze
¾
niz·
tak ma÷
a” , moz·e być np. równa 2006. Podobnie z warunkiem a = 1. Jez·eli
a = 1, to x = 0: Ale liczba a nie musi być dok÷adnie równa 1: Wystarczy ,
by nie przekracza÷
a 1:Warunek d) jest oczywiście konieczny. Aby liczba mog÷
a
być mniejsza od 1, musi „najpierw” być mniejsza od 2009. Warunek ten jest
zatem konieczny, ale oczywiście nie jest wystarczajacy.
¾ Podobnie z warunkiem
jaj
1:
Zadanie 1.45. Które z podanych w zadaniu poprzednim zdań sa¾ warunkami
dostatecznymi, a które wystarczajacymi
¾
do prawdziwości zdania 9x2C x2
a + 1 (róznica w warunku polega na tym, z·e x jest teraz liczba¾ zespolona).
¾
Zadanie 1.46. W reklamach telewizyjnych czesto
¾
powtarza sie¾ zwrot "aby
wygrać samochód, wystarczy wys÷ać kupon". Oceń prawdziwość tego zdania z
punktu widzenia logiki matematycznej.
Zadanie 1.47. Które z poniz·szych zdań sa¾ prawdziwe:
a) warunkiem wystarczajacym
¾
na to, by druz·yna polska wygra÷a Euro
2012 jest, by wygra÷
a wszystkie mecze;
b) warunkiem koniecznym na to, by druz·yna polska wygra÷a Euro 2012
jest, by wygra÷
a wszystkie mecze;
c) warunkiem koniecznym do wygrania Euro 2012 jest, by nie przegrać
z·adnego meczu;
d) warunkiem wystarczajacym
¾
do wygrania Euro 2012 jest, by nie przegrać z·adnego meczu;
12
Zadanie 1.48. (zadanie trudne, Hugo Steinhaus, "100 zadań").
Uczniów klasy A nazwiemy akami, uczniów klasy B bekami. Aki chwala¾
sie,
¾ z·e sa¾ wyz·szego wzrostu niz· beki, a beki uchodza¾ za lepszych matematyków.
Gdy raz jeden z aków popattrzy÷z góry na beka, ten zapyta÷: Co to w÷aściwie
znaczy, z·e jesteście wyz·si od nas. Czy to znaczy, z·e:
1) kaz·dy ak jest wyz·szy od kaz·dego beka?
2) najwiekszy
¾
ak jest wyz·szy od najwiekszego
¾
beka?
3) kaz·dy ak ma beka, od którego jest wyz·szy?
4) kaz·dy bek ma aka, od którego jest niz·szy?
5) kaz·dy ak ma beka, i to kaz·dy innego, od którego jest wyz·szy?
6) kaz·dy bek ma aka, i to kaz·dy innego, od którego jest niz·szy?
7) najmniejszy bek jest niz·szy od najmniejszego aka?
8) suma wzrostu aków jest wieksza
¾
od sumy wzrostu beków?
9) najmniejszy ak przewyz·sza wiecej
¾ beków niz· najwiekszy
¾
bek aków?
10) wiecej
¾
jest takich aków, które przewyz·szaja¾ jakiegoś beka niz· beków,
którzy przewyz·szaja¾ jakiegoś aka?
11) średnia arytmetyczna wzrostu aków jest wieksza
¾
od średniej arytmetycznej wzrostu beków?
12) wiecej jest aków wzrostu wyz·szego od średniej wzrostu beków niz beków
wyz·szego wzrostu od średniej aków?
13) mediana wzrostu aków jest wieksza
¾
od mediany wzrostu beków?
Jak pisze Hugo Steinhaus, oblany potokiem pytań ak zmala÷. A pytanie
w zadaniu jest nastepuj
¾ ace:
¾
czy i które z podanych 13 kwestii sa¾ zalez·ne od
siebie? Inaczej mówiac,
¾ trzeba znaleźć takie pary pytań, z·e odpowiedź "tak" na
pierwsze zmusza do odpowiedzi "tak" na drugie. Czy sa pytania równowaz·ne,
to znaczy, czy sa pary, z·e odpowiedzi na obydwa pytania musza być jednakowe.
Czy sa¾ pary zalez·ne, ale nierównowaz·ne.
Odpowiedzi uzasadnić, podajac
¾ ewentualne kontrprzyk÷ady.
Poczatek
¾ rozwiazania.
¾
Jest zupe÷
nie jasne, z·e odpowiedź "tak" na pierwsze
wymusza taka odpowiedź na wszystkie inne pytania. Zagadnienie drugie jest
niezalez·ne od pozosta÷
ych. Porównanie wzrostu najwyz·szych cz÷
onków grupy
nie mówi nic o ca÷
ej grupie. Pytanie 3 rozpatrzmy na przyk÷adzie: wzrost w
klasie A to 160, 159, 155,154, 152, natomiast w B to 180, 179, 175, 174 i 151.
Wtedy kaz·dy ak ma beka, od którego jest niz·szy, mianowicie tego ostatniego,
natomiast w kaz·dym innym sensie aki sa niz·sze.
Zadanie 1.49. Zasieganie
¾
informacji na wycieczce. W dolinie w górach
mieszka dwóch gospodarzy. Jeden z nich jest przyjaźnie nastawiony do turystów:
zaprasza do siebie, czestuje
¾
kawa,
¾ a pytany o droge,
¾ zawsze udziela poprawnej
odpowiedzi. Drugi nie lubi turystów i z÷ośliwie udziela fa÷
szywych informacji. Obaj maja¾ tylko jedna¾ wspólna¾ ceche.
¾ Sa¾ mianowicie bardzo ma÷omówni
i w szczególności odpowiadaja¾ tylko na jedno zadane pytanie. Jak zadajac
¾
13
tylko jedno pytanie, dowiedzieć sie,
¾ który ze szlaków (czerwony czy niebieski)
prowadzi na szczyt? Nie wiemy, z którym z nich rozmawiamy.
Zadanie 1.50. Jak nauczyć sie¾ lokalnego jezyka?
¾
Na pewnej wyspie z·yja¾
dwa niechetne
¾
sobie wzajemnie plemiona: Fitumitu i Bajtata. Kaz·dy Bajtata
k÷
amie, kaz·dy Fitumitu mówi prawde.
¾ Rozumieja¾ po polsku, ale odpowiadaja¾
w swoim jezyku:
¾
huhu lub uhuhu. Nie wiemy, które z tych s÷ów znaczy „tak”,
a które „nie”. Jak dowiedzieć sie¾ o to za pomoca¾ tylko jednego pytania?
Zadanie 1.51. Z kim mamy do czynienia? Jak, równiez· za pomoca¾
jednego pytania, dowiedzieć sie,
¾ do którego plemienia nalez·y tubylec, z którym
rozmawiamy? Jeśli zapytamy go, czy jest Bajtata,
¾ kaz·dy odpowie, z·e nie. Jeśli
zapytamy, czy jest Fitumitu, w odpowiedzi us÷
yszymy zawsze „tak”.
Wyk÷
ad 2. Indukcja i rekursja.
Zadanie 2.1. Udowodnić przez indukcje¾ nastepujace
¾ wzory:
13 + 23 + ::: + n3 = (1 + 2 + 3 + ::: + n)2 ;
;
14 + 24 + ::: + n4 = n(n+1)(2n+1)(3n2+3n+1)
30
(n+1)(2n+1)(2n+3)
2
2
2
2
2
;
1 + 3 + 5 + 7 + ::: + (2n + 1) =
3
13 + 33 + 53 + 73 + ::: + (2n + 1)3 = (n + 1)2 (2n2 + 4n + 1) ;
1 2 + 2 3 + 3 4 + ::: + (n 1)n = n(n 1)(n+1)
;
3
Xn
(4k 3) = n(2n 1) ;
Xnk=1
2
(4k 3)2 = n(16n 3 12n 1) ;
k=1
X2n
( 1)k+1 (2k 1) = 2n;
Xk=1
2n
( 1)k+1 (2k 1)2 = 8n2 ;
k=1
Zadanie 2.2. Udowodnić indukcyjnie nierowności
a) Jez·eli n 4, to n! > 2n:
b) Jez·eli n > 4, to 2n > n2 :
Zadanie 2.3. Ciag
¾ Fibonacciego określamy w ten sposób. a1 = 1; a2 = 1,
an+2 = an + an+1 : Poczatkowymi
¾
wyrazami tego ciagu
¾ sa¾ zatem 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... Wykazać indukcyjnie, z·e
a) liczby a3n sa¾ parzyste;
b) liczby a4n sa¾ podzielne przez 3;
c) co piata
¾ liczba, poczawszy
¾
od 5 h, jest podzielna przez 5;
i
d) zachodzi ogólny wzór: an =
p
1+ 5
2
p1
5
n
1
p
2
5
n
.
Komentarz. Na przyk÷
adzie ciagu
¾ Fibonacciego moz·na zobaczyć olbrzymia¾
róz·nice¾ w informatyce miedzy
¾
programami, w których uz·ywamy indukcji, a
tymi, w których rekursji. Programy, procedury i funkcje, które wywo÷
uja¾ same
siebie (tylko ze zmienionymi parametrami) sa¾ prostsze do napisania, ale wolniej dzia÷
aja.
¾ Na ogó÷bowiem „nie widza”
¾ , z·e moga¾ skorzystać z niedawno
przeprowadzonych obliczeń. Na przyk÷
ad, jez·eli bed
¾ e¾ chcia÷obliczyć n-ty wyraz
14
ciagu
¾ Fibonacciego, to najbardziej naturalny wydaje sie¾ program wed÷ug takiego
schematu:
Jez·eli n = 1, to tym wyrazem jest 0. Jez·eli n = 2, to tym wyrazem jest 1.
W przeciwnym razie do obliczenia tego wyrazu musisz obliczyć najpierw wyraz
o numerze n 1 , potem wyraz o numerze n 2 i wyniki dodać.
Taki program bedzie
¾
dzia÷a÷nies÷ychanie powoli, a procesor naszego kom·
putera bedzie
¾
pracowa÷w pocie czo÷a. Dlaczego? Pomyślmy. Zeby
obliczyć
siódmy wyraz, program musi wyliczyć wyraz szósty i piaty.
¾ Program zabiera sie¾
do wyrazu szóstego. My´sli sobie przy tym tak (kto myśli? No, ten program...)
–Aha, musze¾ w tym celu obliczyć piaty
¾ i czwarty. Wezme¾ sie¾ za piaty.
¾
Jak mam obliczyć ten wyraz? Zobaczmy, co kaz·e programista. Tak, w porzadku:
¾
mam obliczyć wyraz czwarty i trzeci. Juz· sie¾ robi. Juz· biegne¾ do czwartego...
Juz· czytam instrukcje:
¾ z·eby obliczyć wyraz czwarty, oblicz najpierw trzeci,
potem drugi, a wyniki dodaj. To proste. A jak sie¾ oblicza trzeci? S÷ucham
rozkazów: Trzeci to drugi plus pierwszy. No, wreszcie jakieś konkrety. Drugi
wyraz to ... ojej, gdziez· on jest... , a tu. Równy jest 1. Pierwszy wyraz? Zero.
Mam to dodać? No, to proste. O co tyle krzyku. Dodaje,
¾ Wynik jest równy
jeden. Mam trzeci wyraz ciagu.
¾
Co to ja teraz mam robić? Aha, obliczać wyraz
czwarty.....
Przerwijmy mu ten monolog wewnetrzny.
¾
Za kaz·dym razem program
powtarza wszystkie obliczenia od nowa –bo tak mu kaz·e rekursja.
Napisz program indukcyjny na obliczanie kolejnych wyrazów ciagu
¾ Fibonacciego.
Zadanie 2.4. Udowodnić indukcyjnie, z·e jez·eli poz·yczamy z banku kapita÷K
na p procent na n lat (okresów) i chcemy sp÷
acać po tyle samo, to wielkość sta÷
ej
n
1)
,
a
po
a
po
k-tym
roku
(okresie)
zostaje
kapita÷
u
do
raty jest równa K r r(r
n 1
k
sp÷
aty Krk Krn rrn 11 .
Zadanie 2.5. Wykazać, z·e średnia arytmetyczna 2n liczb dodatnich jest
wieksza
¾
lub równa od średniej geometrycznej tych liczb.
Zadanie 2.6. W pudle by÷o 5 kapeluszy, dwa czarne i dwa bia÷e. Ustawiono trzech panów w rzedzie,
¾
jednego za drugim i kaz·demu w÷oz·ono kapelusz
na g÷
ow¾
e. Nikt nie widzia÷ani w÷asnego kapelusza, ani kapeluszy panów stojacych
¾
za nim. Zapytano pana stojacego
¾
z ty÷u, czy wie, jakiego koloru jest
jego kapelusz. Odpowiedzia÷, z·e nie wie. Zapytano o to samo pana stojacego
¾
w
środku. Odpowiedzia÷
, z·e tez· nie wie. Na to pan trzeci oświadczy÷
, z·e wobec
takich odpowiedzi poprzedników on juz· wie, jaki ma kapelusz.
Jaki by÷kolor kapelusza trzeciego pana?
Rozwiazanie.
¾
Jeśli pan stojacy
¾ z ty÷u nie móg÷określić koloru swojego
kapelusza, to znaczy, z·e nie widzia÷przed soba¾ dwóch bia÷ych. Gdyby pierwszy z panów mia÷bia÷
y kapelusz, to środkowy rozumowa÷by tak: on ma bia÷
y,
a ja i on razem nie mamy dwóch bia÷ych, zatem ja mam czarny. Pan stojacy
¾
z przodu rozumowa÷tak: skoro mój poprzednik nie móg÷zastosować takiego
rozumowania, to ja mam czarny kapelusz!
15
Bardzo efektowne jest zastosowanie indukcji do zadania logicznego, stanowiacego
¾
rozszerzenie zadania o panach w kapeluszach na g÷owie. Podajemy treść
zadania i wskazówk¾
e, jakiego twierdzenia dowodzić indukcyjnie. Z niego juz·
wyniknie od razu teza.
By÷
o n panów, n kapeluszy czarnych i n–1 bia÷ych. Ustawiono n panów
w rzedzie,
¾
jednego za drugim i kaz·demu w÷oz·ono kapelusz na g÷
ow¾
e. Nikt
nie widzia÷ani w÷
asnego kapelusza, ani kapeluszy panów stojacych
¾
za nim.
Zapytano pana stojacego
¾
z ty÷u, czy wie, jakiego koloru jest jego kapelusz.
Odpowiedzia÷
, z·e nie wie. Zapytano o to samo nastepnego
¾
pana. Odpowiedzia÷,
z·e tez· nie wie ... i tak dalej az· do przedostatniego: „nie wiem”. Ostatni z
panów (ten, który nie widzia÷z·adnego kapelusza) oświadczy÷
, z·e wobec takich
odpowiedzi poprzedników on juz· wie, jaki ma kapelusz.
Jaki by÷kolor kapelusza tego pana?
Wskazówka: Udowodnić przez indukcje¾ nastepuj
¾ ace
¾
Twierdzenie. Jez·eli k -ty pan nie widzi przed soba¾ czarnych kapeluszy, a
poprzednik nie móg÷rozstrzygnać
¾ zagadnienia, to k -ty pan wie, z·e ma na g÷owie
czarny kapelusz.
Zadanie 2.7. Komputer podpowiada ciekawe rozk÷
ady:
25 = 1 25
252525 = 91 2775
2525252525 = 9091 277775
25252525252525 = 909091 27777775
252525252525252525 = 90909091 2777777775
2525252525252525252525 = 9090909091 277777777775
...
Jaka jest regu÷
a budowy tej piramidki? Sformu÷ować odpowiednie twierdzenie i udowodnić je –oczywiście przez indukcje.
¾
Zadanie 2.8.rUdowodnij, z·e jez·eli dn oznacza d÷
ugość boku n kata
¾ foremq
nego, to d2k =
2
2 1
(dk )2
4 :
Zadanie 2.9. W pewnym wierzcho÷ku czworościanu siedzi pajak,
¾ w innym
mucha. Mucha zaczyna spacerować po kraw¾
edziach czworościanu. Przejście
kaz·dej (od wierzcho÷
ka do wierzcho÷ka) zajmuje jej minute.
¾ W kaz·dym naroz·niku
(wierzcho÷
ku) czworościanu wybiera losowo kraw¾
edź do dalszej w¾
edrówki. Oczywiście wszystko kończy sie,
¾ gdy wskutek z÷ego wyboru wpadnie na pajaka,
¾ który
ma na to oczywiście inny punkt widzenia: oto nadszed÷obiad!
Wykazać, z·e prawdopodobieństwo, z·e pajak
¾ doczeka sie¾ obiadu nie
n
później niz· po n minutach wynosi pn = 23 .
Zadanie 2.10. Mucha i pajak
¾ siedza¾ w przeciwleg÷
ych wierzcho÷kach sześcianu. Mucha w¾
edruje po kraw¾
edziach sześcianu, wybierajac
¾ za kaz·dym razem
(to znaczy w kaz·dym wierzcho÷ku) losowo jedna¾ z nich. Na przejście kaz·dej z
16
nich potrzebuje minuty. Wykazać, z·e prawdopodobieństwo, z·e pajak
¾ doczeka
7 k
sie¾ obiadu nie później niz· po n minutach wynosi p2k+1 = p2k+2 = 9 .
17
Wyk÷
ad 3. Zbiory
Zadanie 3.1. Wyznacz (i naszkicuj na osi liczbowej lub w uk÷adzie wspó÷rzed¾
nych) zbiory A [ B, A \ B, A n B, B n A, jez·eli zbiory A ; B sa¾ określone
nastepuj
¾ aco:
¾
a) A = fx 2 R : x2 > 9g, B = fx 2 R : x > 1g:
b) A = fx 2 R : x2 > 1g, B = fx 2 R : x < 9g:
c) A = f(x; y) 2 R2 : y x > 0g, B = f(x; y) 2 R2 : x + y < 3g:
d) A = f(x; y) 2 R2 : y = j x jg, B = f(x; y) 2 R2 : x = j y jg:
e) A = f (x; y) 2 R2 : j x j < 1 g , B = f (x; yg 2 R2 : x2 + y 2 6x g:
Zadanie 3.2 (a - e) . Opisz i naszkicuj uzupe÷nienie zbioru C na p÷aszczyźnie,
wiedzac,
¾ z·e C jest suma¾ uzupe÷
nień zbiorów A i B z poprzedniego zadania.
Funkcja charakterystyczna zbioru.
Rozpatrujemy podzbiory ustalonego zbioru X: Niech A bedzie
¾
takim zbiorem,
tj. A
X. Określamy funkcje¾ charakterystyczna¾ zbioru A w nastepuj
¾ acy
¾
sposób:
1, jez·eli x 2 A
chA (x) =
. Jest to funkcja, której dziedzina¾ jest zbiór
0, jez·eli x 2
=A
X, a wartościami - liczby 0 i 1. Jez·eli interpretujemy te liczby jako „fa÷sz" i
„prawde",
¾ to funkcja ch „stwierdza jak jest" dla przynalez·ności elementu do
zbioru. Zauwaz·my, z·e liczby 0 i 1 maja¾ wiele charakterystycznych, unikatowych
w÷
asności, z których najcześciej
¾
bedziemy
¾
wykorzystywać to, z·e sa¾ one równe
swoim kwadratom. Istotnie: 02 = 0, 12 = 1: Sa¾ to jedyne liczby o tej w÷asności.
Wynika to stad,
¾ z·e równanie x2 = x ma tylko dwa pierwiastki (jako równanie
kwadratowe).
Funkcje charakterystyczne pozwalaja¾ na sprowadzenie niektórych dzia÷ań na
zbiorach do prostych rachunków algebraicznych. Pomys÷ten zrealizowa÷matematyk angielski George Boole (w po÷owie XIX wieku). Wyprowadzimy funkcje
charakterystyczne dla podstwowych dzia÷ań na zbiorach.
1. Funkcja charakterystyczna iloczynu (przeciecia,
¾
cześci
¾ wspólnej) zbiorów:
chA\B = chA chB
Wzór ten nalez·y rozumieć nastepuj
¾ aco:
¾
jez·eli wartościa¾ funkcji chA w
pewnympunkcie x jest a , a wartościa¾ funkcji chB w tym punkcie jest b, to
wartościa¾ funkcji chA\B w tym punkcie jest iloczyn ab.
Dowód. Rozpatrzymy poszczególne przypadki i w kaz·dym z nich porównamy
wartości funkcji. Jez·eli x 2 A a takz·e x 2 B, to funkcja charakterystyczna
chA\B przybiera w tym punkcie wartość 1, chA\B (x) = 1: Mamy takz·e chA (x) =
1; chB (x) = 1, zatem chA chB (x) = 1:Wartości obu funkcji sa równe.
Jez·eli x 2 A ale x 2
= B, to funkcja charakterystyczna chA\B przybiera w
tym punkcie wartość 0, chA\B (x) = 0: Mamy chA (x) = 1; chB (x) = 0, zatem
chA chB (x) = 0:Wartości obu funkcji sa równe.
18
Jez·eli x 2
= A i x 2 B, to funkcja charakterystyczna chA\B tez· przybiera
w tym punkcie wartość 0, chA\B (x) = 0: W tym przypadku mamy chA (x) =
Jez·eli x 2
= A i x 2
= B, to funkcja charakterystyczna chA\B przybiera w
tym punkcie wartość 0, chA\B (x) = 0: W tym przypadku mamy chA (x) =
Rozumowanie to moz·na przeprowadzić inaczej, znacznie prościej. Rozpatrzmy iloczyn ab: Czynniki a ; b sa równe 0 albo 1. W tym przypadku iloczyn
jest równy 1 wtedy i tylko wtedy, gdy obydwa czynniki sa równe 1. A to jest
równowaz·ne przynalez·ności x do obydwu zbiorów A; B:
2. Funkcja charakterystyczna sumy zbiorów. Mamy
chA[B = chA + chB chA chB
¾ aco:
¾
wartość funkcji chA[B w tym punkcie jest równa a + b ab.
Dowód. Rozpatrzymy poszczególne przypadki i w kaz·dym z nich porównamy wartości funkcji. Jez·eli punkt x nalez·y do choć jednego ze zbiorów A ,
B , to funkcja charakterystyczna chA[B przybiera w tym punkcie wartość 1,
chA[B (x) = 1: Przynajmniej jedna z liczb a = chA (x); b = chB (x) jest równa
1. Wtedy a + b ab = 1: Wartości obu funkcji sa równe.
Jez·eli x 2
= A i x 2
= B, to funkcja charakterystyczna chA[B przybiera w
tym punkcie wartość 0, chA[B (x) = 0: W tym przypadku mamy chA (x) =
0; chB (x) = 0, zatem chA + chB (x) chA chB = 0:Wartości obu funkcji sa
równe.
3. Funkcja charakterystyczna róz·nicy zbiorów. Mamy
chA n B = chA (1 n chB ):
¾ aco:
¾
wartość funkcji chA n B w tym punkcie jest równa a(1 b):
Dowód. Aby iloczyn a(1 b) by÷równy 1, potrzeba i wystarcza, by obydwa
czynniki by÷
y równe 1. A to jest równowaz·ne stwierdzeniu, z·e x 2 A n B:
4. Funkcja charakterystyczna róz·nicy symetrycznej zbiorów.
Mamy
chA B = chA + chB 2 chA chB
¾ aco:
¾
wartość funkcji chA B w tym punkcie jest równa a + b 2ab.
Dowód. Wartość funkcji chA B (x) jest równa 1 wtedy i tylko wtedy, gdy
x nalez·y do jednego ze zbiorów A; B , lecz nie nalez·y do drugiego. Wartość
wyraz·enia a + b 2ab (gdzie liczby a oraz b sa¾ zerami albo jedynkami) moz·e być
równa 1 wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z tych liczb jest równa 0, a druga 1,
a zatem gdy jedna z wartości funkcji charakterystycznych chA (x) , chB (x) jest
19
rowna zero, a ta druga 1. To znaczy, z·e x nalez·y do jednego ze zbiorów A; B ,
lecz nie nalez·y do drugiego
Funkcje charakterystyczne iloczynu (produktu), sumy, róz·nicy i róz·nicy symetrycznej zbiorów A; B bedziemy
¾
oznaczać odpowiednio przez P (A; B), S(A; B); R(A; B) ;
X(A; B): Ma÷
e litery beda
¾ oznaczać odpowiednie funkcje liczbowe:
p(a; b) = ab ; s(a; b) = a + b ab ; r(a; b) = a(1 b) ; x(a; b) = a + b 2ab
Zadanie 3.3. Za pomoca¾ funkcji charakterystycznych udowodnij nastepuj
¾ ace
¾
wzory:
a) rozdzielność mnoz·enia zbiorów wzgledem
¾
dodawania : A \ (B [
C) = (A \ B) [ (A \ C);
b) rozdzielność dodawania zbiorów wzgledem
¾
mnoz·enia : A [ (B \
C) = (A [ B) \ (A [ C);
c) pierwsze prawo DeMorgana: A n (B [ C) = (A n B) \ (A n C);
d) drugie prawo DeMorgana: A n (B \ C) = (A n B) [ (A n C);
e) An(BnC) = (AnB) [ (A \ C);
f) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C):
Rozwiazanie.
¾
a) Przyjmijmy, z·e wartościa¾funkcji chA w pewnympunkcie x jest a , wartościa¾ funkcji chB w tym punkcie jest b; zaś wartościa¾ funkcji chC w tym punkcie
jest c:Wtedy funkcja charakterystyczna zbioru A \ (B [ C) przybiera w tym
punkcie wartość
p(a; s(b; c)) = a s(b; c) = a (b + c bc) = ab + ac abc:
Przy obliczeniu wartości prawej strony skorzystamy z tego, z·e a2 = a:Prawa
strona przybiera zatem wartość
s(p(a; b); p(a; c)) = s(ab; ac) = ab + ac abac = ab + ac abc:
Obie strony sa¾ zatem równe.
b) Przyjmijmy, z·e wartościa¾funkcji chA w pewnympunkcie x jest a , wartościa¾ funkcji chB w tym punkcie jest b; zaś wartościa¾ funkcji chC w tym punkcie
jest c:Wtedy funkcja charakterystyczna zbioru stojacego
¾
po lewej stronie rowności,
tj. A [ (B \ C) przybiera w tym punkcie wartość
s(a; p(b; c)) = s(a; bc) = a + bc abc:
Natomiast funkcja charakterystyczna zbioru stojacego
¾
po prawej stronie
równości, tj. zbioru (A [ B) \ (A [ C) ; ma w tym punkcie wartość
p(s(a; b); s(a; c)) = p(a + b ab ; a + c ac) = (a + b ab) (a + c ac) =
= a2 + ac a2 c + ab + bc abc a2 b abc + a2 bc = a + ac ac + ab + bc
abc ab abc = a + bc abc:
Przy obliczeniu wartości prawej strony skorzystaliśmy z tego, z·e a2 = a:
c) Przyjmijmy, z·e wartościa¾funkcji chA w pewnympunkcie x jest a , wartościa¾ funkcji chB w tym punkcie jest b; zaś wartościa¾ funkcji chC w tym punkcie
jest c:Wartość funkcji charakterystycznej zbioru A n (B[C) jest równa r(a; s(b; c)) =
a(1 s(b; c)) = a(1 b c + bc) ; zaś wartość funkcji charakterystycznej
zbioru po prawej stronie równości , to jest zbioru (A n B) \ (A n C) , wynosi
20
p(r(a; b); r(a; c)) = r(a; b) r(a; c) = a(1 b) a(1 c) = (a ab)(a ac) =
a2 a2 c a2 b + a2 bc = a ac ab + abc
A zatem obydwie strony sa równe.
Zadanie 3.4. Zilustruj dzia÷
ania wystepuj
¾ ace
¾ w poprzednim zadaniu na diagramach Venna.
Zadanie 3.5. Wykaz· za pomoca¾ funkcji charakterystycznych, z·e dzia÷anie
„róz·nica symetryczna” jest ÷aczne,
¾
to znaczy, z·e zawsze jest A (B C) =
(A B) C:
Rozwiazanie.
¾
Przyjmijmy, z·e wartościa¾ funkcji chA w pewnympunkcie x
jest a , wartościa¾ funkcji chB w tym punkcie jest b; zaś wartościa¾ funkcji chC w
tym punkcie jest c:Funkcja charakterystyczna zbioru A (B C) ma w tym
punkcie wartość
x(a; x(b; c)) = a + x(b; c) 2 a x(b; c) = a + b + c 2bc 2 a (b + c 2bc) =
= a + b + c 2bc 2ab 2ac + 4abc:
Dla zbioru (A B) C otrzymujemy
x(x(a; b); c) = x(a + b 2ab; c) = a + b 2ab + c 2(a + b 2ab)c = a +
b + c 2bc 2ab 2ac + 4abc:
Zadanie 3.6. Zilustruj ÷
aczność
¾
róz·nicy symetrycznej na diagramie Venna.
Zadanie 3.7. Wykazać, z·e zbiór (A [ B) (A [ C) zawsze zawiera sie¾ w
zbiorze A B C:
Rozwiazanie.
¾
Wyznaczamy funkcje¾ charakterystyczna¾ zbioru (A [ B) (A [
C). Jej wartościa¾ w punkcie x jest b + c ab 2bc ac + 2abc: W poprzednim
zadaniu wyznaczyliśmy wartość funkcji charakterystycznej zbioru A B C.
Mamy wykazać, z·e
b + c ab 2bc ac + 2abc
a + b + c 2bc 2ab 2ac + 4abc:
Upraszczamy nierówność (dodajemy do obu stron ab+ac+2bc b c 2abc)
0
a ab ac + 2abc:
0
a(1 b c + 2bc):
Nierowność ta jest równowaz·na z wyjściowa.
¾ Nietrudno zauwazyć, z·e jest
spe÷
niona dla wszystkich liczb a; b; c bed
¾ acych
¾
zerami lub jedynkami.
Moz·emy wyraz·enie a(1 b c + 2bc) przekszta÷cić tak:
a(1 b c + 2bc) = a(1 b2 c2 + 2bc) = a(1 (b c)2 ):
I to, z·e jest to zawsze nieujemne, jest teraz zrozumia÷e.
Zadanie 3.8. W oznaczeniach poprzedniego zadania, znaleźć przyk÷ad, z·e
(A [ B) (A [ C) A B C:
Rozwiazanie.
¾
Za pomoca¾ funkcji charakterystycznych moz·na taki przyk÷ad
znaleźć nastepuj
¾ aco.
¾
Szukamy takich liczb a; b; c (równych 0 lub 1), by
b + c ab 2bc ac + 2abc
a + b + c 2bc 2ab 2ac + 4abc:
Widzieliśmy, z·e sprowadza sie¾ to do podania takich wartości, by
0 < a(1
(b
c)2 ):
21
Jest to moz·liwe w dwóch przypadkach: a = 1; b = c = 0 oraz a = 1; b =
c = 1. W pierwszym przypadku znaczy to, z·e zbiory A; B; C sa¾ takie, z·e istnieje
punkt x 2 A, który nie nalez·y ani do B, ani do C: Przypadek drugi zachodzi
wtedy, gdy zbiory A; B; C maja¾ pewien punkt wspólny x:
Zadanie 3.9. Wykaz·, za pomoca¾ funkcji charakterystycznych, z·e
a) (A [ B) n B = A wtedy i tylko wtedy, gdy A \ B = ?:
b) (A n B) [ B = A wtedy i tylko wtedy, gdy B A:
22
Wyk÷
ad 4. Ile tego jest?
Zadanie 4.1. Przyjmijmy, z·e zbiór K ma k elementów, zbiór M ma m
elementów i z·e zbiór N ma n elementów. Przyjmijmy, z·e 0 < k m n.
a) Ile najmniej a ile najwiecej
¾ elementów moga¾ mieć nastepuj
¾ ace
¾ zbiory: a)
A [ B , b) A \ B , c) A [ B(\C) ; d) A \ (B [ C) , e) A n B; f) A n(B nC)
, g) (A n B) n C , h) A n (B [ C) , i) A B; j) (A B) C ; k) (A
B) n C ; l) (A \ B) C ; m) (A B) n (A n C);
b) Zaznaczyć zbiory wynienione powyz·ej na diagramie Venn’a,
c) wyliczyć funkcje charakterystyczne tych zbiorów.
Zadanie 4.2. Ile elementów ma iloczyn kartezjański zbioru m-elementowego
i zbioru n-elementowego?
Odpowiedź. mn: W matematyce szkolnej nazywa sie¾ to twierdzeniem o
mnoz·eniu.
Zadanie 4.3. W tylnej piaście roweru jest 7 trybów; w przedniej sa¾3 prze÷
oz·enia. Ile jest moz·liwości tryb-prze÷oz·enie?
Odp. Ustawienie przód-ty÷moz·e być interpretowane jako element iloczynu
kartezjańskiego f1; 2; 3g f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g: Jest zatem 3 7 = 21 moz·liwości.
Zadanie 4.4. Z Kuźnic na Hale¾ Gasienicow
¾
a¾ sa¾ 2 szlaki turystyczne, z
Hali Gasienicowej
¾
do doliny Pieciu
¾
Stawów cztery, z doliny Pieciu
¾
Stawów do
Morskiego Oka dwa. Ile jest moz·liwości wycieczek Kuźnice-Hala Gasienicowa¾
Dolina Pieciu
¾ Stawów-Morskie Oko?
Odp. 2 4 2 = 16.
Zadanie 4.5.
a) Mam do wykonania 2 czynności. Kaz·da¾ moge¾ wykonać na 3 sposoby. Na
ile sposobów moge¾ wykonać ten zestaw czynności?
Odp. 32 = 9.
b) Mam do wykonania 3 czynności. Kaz·da¾ moge¾ wykonać na 2 sposoby.
Na ile sposobów moge¾ wykonać ten zestaw?
Odp. 23 = 8.
c) Mam do wykonania 2 czynności. Kaz·da¾ moge¾ wykonać na 10 sposobów.
Na ile sposobów moge¾ wykonać ten zestaw czynności?
Odp. 102 = 100.
d) Mam do wykonania 10 czynności. Kaz·da¾ moge¾ wykonać na 2 sposoby.
Na ile sposobów moge¾ wykonać ten zestaw?
Odp. 210 = 1024.
Zadanie 4.6. Ile dzielników ma liczba naturalna n , której rozk÷adem na
czynniki piewsze jest n = p1n1 pn1 1 :::: pnk k ?
Odpowiedź: (n1 + 1)(n2 + 1)::::(nk + 1):Na przyk÷ad dla liczby 24 = 23 3
mamy 4 2 = 8 dzielników. Sa¾ nimi 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24:
Zadanie 4.7. Ile dzielników ma liczba 360?
23
Rozwiazanie.
¾
Mamy 36 = 23 32 51 . Liczba d jest dodatnim dzielnikiem
liczby 360, gdy d jest postaci 2n 3k 5l , gdzie wyk÷
adnik n jest niewiekszy
¾
niz
3, wyk÷
adnik k jest niewiekszy
¾
niz· 2, a wyk÷
adnik l jest niewiekszy
¾
niz· 1. Zatem
(n; k; l) 2 f0; 1; 2; 3g f0; 1; 2g f0; 1g: Sa¾ zatem 4 3 2 = 24 róz·ne dodatnie
dzielniki liczby 360. Oto one: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36,
40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.
Zadanie 4.8. Ile jest dodatnich dzielników liczby 3118500?
Odpowiedź. Poniewaz· 3118500 = 22 34 53 7 11;wiec
¾ liczba ta ma 3 5 4 2 2 =
240 czynników.
Zadanie 4.9. Ile dodatnich dzielników maja¾ liczby 111, 1111, 10000, 1234,
999999, 1000000 ?
Zadanie 4.10. Ile dodatnich dzielników ma liczba 2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37 = 7420 738 134 810 ?
Zadanie 4.11. Ile dodatnich czynników ma liczba 264 = 18 446 744 073
709 551 616 ?
Zadanie 4.12. Ile dodatnich czynników ma liczba 210 311 512 713 =
4290 899 381 642 207 250 000 000 000 ?
Zadanie 4.13. Numer dowodu osobistego sk÷ada sie¾ z trzech liter (na poczatku)
¾
i sześciu cyfr (potem). W gre¾ wchodzi 26 liter. Ile jest teoretycznie moz·liwych
róznych numerów dowodów osobistych?
Rozwiazanie.
¾
Uk÷
ad trzy litery - sześć cyfr moz·e być interpretowany jako
element iloczynu kartezjańskiego A B C P Q R S T U , gdzie
zbiory A; B; C maja¾ po 26 elementów, a pozosta÷e po 10. Razem jest zatem do
dyspozycji 263 106 = 17 576 000 000 moz·liwych numerów; oko÷
o dwa i pó÷raza
wiecej
¾ niz· wynosi liczba ludności ca÷
ego świata.
Zadanie 4.14. Has÷
o dostepu
¾ sk÷ada sie¾ z dziewieciu
¾ symboli, wśród których
sa¾ trzy litery i sześć cyfr. Ile jest moz·liwych hase÷
?
9
Odpowiedź.
263 106 = 1476 384 000 000.
3
Zadanie 4.15. Has÷
o dostepu
¾ sk÷ada sie¾ z dziewieciu
¾
symboli, wybranych
spośród 26 liter i 10 cyfr. Ile jest moz·liwych hase÷?
Odpowiedź. 369 = 101 559 956 668 416.
Zadanie 4.16. Ile jest podzbiorów o k elementach w zbiorze o n elementach?
Odpowiedź: Oczywiście zak÷
adamy, z·e k n. Jest tych zbiorów
n
n
n(n 1)(n 1):::(n k+1)
n(n k)!
=
. Wspó÷czynniki
nazywaja
=
k!
1
2
3
:::
k
k
k
sie¾ wspó÷
czynnikami dwumianowymi albo wspó÷czynnikami Newtona. Tworza¾
one trójkat
¾ Pascala. W tym trójkacie
¾ liczbowym kaz·dy wyraz (z wyjatkiem
¾
skrajnych jedynek) jest suma¾ dwóch stojacych
¾
bezpośrednio nad nim.
24
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
28
45
11
55
n
k
=
20
56
120
240
35
126
56
252
84
240
1
n 1
+
:
1
k
Zbiór n elementowy ma 2n podzbiorów.
Podamy dowód,
który da od razu algorytm ustawiania owych podzbiorów w pewnym porzadku.
¾
Porzadek
¾
ten nazwiemy indukcyjnym. Zak÷adamy, z·e X = f1; 2; :::; ng: Przyjmujac
¾ tak, zak÷
adamy zatem, z·e elementy zbioru sa¾ustawione w jakimś porzadku.
¾
Jest to zatem zbiór uporzadkowany
¾
w sensie de…nicji podanej niz·ej.
Zbiór jednoelementowy f1g ma dwa podzbiory: zbiór pusty ? i pe÷ny zbiór
f1g:Ustawmy je w tej w÷
aśnie kolejności. Poniewaz· 21 = 2, zatem dla n = 1
wzór o liczbie elementów zbioru jest prawdziwy. Za÷
óz·my, z·e jest prawdziwy
dla pewnej liczby naturalnej n 1. To znaczy, z·e wszystkie podzbiory zbioru
X = f1; 2; :::; ng sa ustawione w pewnym porzadku.
¾
Z kaz·dego z tych zbiorów
tworzymy nowy zbiór przez dodanie liczby n + 1: Zatem liczba zbiorów zwieksza
¾
sie¾ dwukrotnie. Poniewaz· 2 2n = 2n+1 , wiec
¾ dowód jest zakończony.
Zbiór podzbiorów zbioru X nazywamy zbiorem potegowym
¾
i oznaczamy
jednym z symboli 2X lub P (X): Z przedstawionego dowodu wynika algorytm
ustawiania zbioru potegowego
¾
w pewnej kolejności. Dla kolejnych n jest to:
? , f1g ;
? , f1g , f2g , f1; 2g ;
? , f1g , f2g , f1; 2g , f3g , f1; 3g , f2; 3g , f1; 2; 3g ;
? , f1g , f2g , f1; 2g , f3g , f1; 3g , f2; 3g , f1; 2; 3g , f4g , f1; 4g , f2; 4g ,
f1; 2; 4g , f3; 4g , f1; 3; 4g , f2; 3; 4g , f1; 2; 3; 4g ;
? , f1g , f2g , f1; 2g , f3g , f1; 3g , f2; 3g , f1; 2; 3g , f4g , f1; 4g , f2; 4g ,
f1; 2; 4g , f3; 4g , f1; 3; 4g , f2; 3; 4g , f1; 2; 3; 4g; f5g , f1; 5g , f2; 5g , f1; 2; 5g ,
25
1
8
36
120
Zadanie 4.17. Ile jest
a) wszystkich podzbiorów danego zbioru n elementowego X ?
b) tych podzbiorów danego zbioru n elementowego X, które zawieraja¾
ustalony element?
c) tych podzbiorów danego zbioru n elementowego X, które zawieraja¾
dwa ustalone elementy?
Odpowiedź.
1
7
28
120
462
1
6
21
126
462
1
5
15
70
210
1
4
10
35
84
165
n
k
10
21
1
3
6
15
36
10
Mamy zatem
6
8
1
5
7
1
3
4
1
1
2
1
9
45
165
1
10
55
11
f3; 5g , f1; 3; 5g , f2; 3; 5g , f1; 2; 3; 5g , f4; 5g , f1; 4; 5g , f2; 4; 5g , f1; 2; 4; 5g ,
f3; 4; 5g , f1; 3; 4; 5g , f2; 3; 4; 5g , f1; 2; 3; 4; 5g .
b) podzbiorów danego zbioru n elementowego X, które zawieraja¾ ustalony
element, a, jest 2n 1 : Moz·emy bowiem te zbiory utworzyć tak: rozwwazmy
¾
zbiór X z usunietym
¾
elementem a, czyli X nfag: Ma on 2n 1 podzbiorów.
Do kaz·dego z nich do÷
aczamy
¾
element a: W ten sposób otrzymamy wszystkie
podzbiory zbioru X , które zawieraja¾ ustalony element.
c) dla n
2 liczba podzbiorów danego zbioru n elementowego X, które
zawieraja¾ dwa ustalone elementy, jest równa 2n 2 .
Zadanie 4.18. Dany jest zbiór X o m elementach i jego podzbiór Y
elementach. Ile jest podzbiorów, które sa¾
a) roz÷
aczne
¾
zY ,
b) maja¾ niepuste przeciecie
¾ ze zbiorem Y ,
c) maja¾ k elementów i zawieraja¾ jeden element ze zbioru Y;
d) maja¾ k elementów i niepuste przeciecie
¾ ze zbiorem Y:
o n
Rozwiazanie.
¾
a) Jest m n elementów, które nalez·a¾ do X, ale nie nalez·a¾ do
Y: Zatem jest 2m n takich zbiorów.
m
b) do kaz·dego niepustego podzbioru zbioru Y moz·na do÷aczyć
¾
dowolny zestaw
n elementów nie nalez·acych
¾
do Y: ×¾
acznie jest zatem (2n 1) 2m n =
2m 2m n takich zbiorów. Na przyk÷ad gdy X = f1; 2; 3; 4; 5g, Y = f1; 2; 3g;
otrzymujemy nastepuj
¾ ace
¾ zbiory (jest ich cztery razy siedem):
f1g; f2g; f3g; f1; 2g; f1; 3g; f2; 3g; f1; 2; 3g;
f1; 4g; f2; 4g; f3; 4g; f1; 2; 4g; f1; 3; 4g; f2; 3; 4g; f1; 2; 3; 4g;
f1; 5g; f2; 5g; f3; 5g; f1; 2; 5g; f1; 3; 5g; f2; 3; 5g; f1; 2; 3; 5g;
f1; 4; 5g; f2; 4; 5g; f3; 4; 5g; f1; 2; 4; 5g; f1; 3; 4; 5g; f2; 3; 4; 5g; f1; 2; 3; 4; 5g:
Zgadza sie¾ ze wzorem, który daje 25 25 3 = 28 zbiorów.
c) (wskazówka) nalez·y oczywiście przyjać
¾ za÷oz·enie, z·e n
k
kaz·dego elementu zbioru Y moz·na dobrać n k elementów spoza Y:
m. Do
Zadanie 4.19. Dany jest zbiór m elementach i jego dwa roz÷
aczne
¾
podzbiory:
jeden o k elementach, drugi o n elementach.
a) ile jest podzbiorów zbioru X, które maja¾ z kaz·dym z tych zbiorów po
jednym wspólnym elemencie?
b) ile jest podzbiorów zbioru X, które maja¾niepusta¾cześć
¾ wspólna¾z kaz·dym
z tych zbiorów?
Rozwiazanie,
¾
(a). Oznaczmy "duz·y" zbiór m-elementowy przez X ; ten zbiór
k-elementowy przez A, a zbiór n-elementowy przez B:Oczywiście musi być k +
n m: Wybieramy wszystkie pary elementów: pierwszy ze zbioru A, drugi ze
zbioru B:Tych par jest k n. Zbiór X n (A [ B) ma m (k + n) elementów.
Moz·eny z nich utworzyć 2m (k+n) podzbiorów, a do kaz·dego z nich do÷aczyć
¾
26
kaz·da¾ z wybranych par. ×¾
acznie otrzymujemy k n 2m (k+n) podzbiorów. Na
przyk÷
ad, gdy m = 7; k = 2; n = 3; wzór podaje liczbe¾ 2 3 27 (2+3) = 24:
Istotnie, dla X = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g ; A = f1; 2g ; B = f3; 4; 5g otrzymujemy
takie podzbiory:
f1; 3g;
f1; 4g;
f1; 5g;
f2; 3g;
f2; 4g;
f2; 5g;
f1; 3; 6g; f1; 4; 6g; f1; 5; 6g; f2; 3; 6g; f2; 4; 6g; f2; 5; 6g;
f1; 3; 7g; f1; 4; 7g; f1; 5; 7g; f2; 3; 7g; f2; 4; 7g; f2; 5; 7g;
f1; 3; 6; 7g; f1; 4; 6; 7g; f1; 5; 6; 7g; f2; 3; 6; 7g; f2; 4; 6; 7g; f2; 5; 6; 7g:
Zadanie 4.20. Danych jest n roz÷
acznych
¾
podzbiorów A1 ; A2 ; A3 ; ::: ; Ak
zbioru m-elementowego X: Kolejne te podzbiory maja¾ 1; 2; 3; :::; k elementów.
Ile jest
a) podzbiorów n elementowych zbioru X, które maja¾ z kaz·dym zbiorem Aj
po jednym wspólnym elemencie?,
b) wszystkich podzbiorów zbioru X, które maja¾ z kaz·dym zbiorem Aj po
jednym wspólnym elemencie ?
c) wszystkich podzbiorów n elementowych zbioru X, które maja¾ niepuste
przeciecie
¾ z kaz·dym zbiorem Aj ?
d) wszystkich podzbiorów zbioru X, które maja¾niepuste przeciecie
¾ z kaz·dym
zbiorem Aj ?
Rozwiazanie
¾
(punkt a). Najpierw przeprowadzimy krótka¾dyskusje¾ warunków
m oraz
zadania. Oczywiście musi być 1 + 2 + 3 + ::: + k = k(k+1)
2
k
n
m. Spe÷
niaja¾ to na przyk÷
ad liczby k = 3 , m = 10 ; n = 5:
Oznaczmy liczbe¾ m k(k+1)
przez K :Wybierzmy z kaz·dego ze zbiorów
2
A1 ; A2 ; A3 ; ::: ; Ak po jednym elemencie. Moz·emy to zrobić na 1 2 3
::: k = k! sposobów. Do kaz·dego z tych zbiorów k-elementowych dobieramy
m K
po n k elementów. Moz·emy to zrobić na
sposobów. Otrzymujemy
n k
m K
k!
zbiorów.
n k
Gdy k = 3 , m = 10 ; n = 5, przyjmijmy A1 = f1g; A2 = f2; 3g ; A2 =
f4; 5; 6g . Naszym zadaniem jest wybrać zbiory o 5 elementach spośród liczb
f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g majacych
¾
po jednym elemencie z f1g; f2; 3g ; f4; 5; 6g: Wybieramy
najpierw po jednym elemencie z tych zbiorów, ortrzymujac
¾ sześć zbiorów:
f1; 2; 4g; f1; 2; 5g ; f1; 2; 6g , f1; 3; 4g; f1; 3; 5g ; f1; 3; 6g .
Do kaz·dego z tych zbiorów moz·emy dodać dowolnie dwie liczby spośród
7; 8; 9; 10:Takich par jest sześć. Zatem szukanych zbiorów jest 36. Zgadza sie¾ to
ze wzorem, bo 3!
10 6
5 3
= 36:
27
R
Rozwiazanie
¾
(punkt b). Poczatek
¾
rozumowania jest tak sam, jak w a).
Wybieramy z kaz·dego ze zbiorów A1 ; A2 ; A3 ; ::: ; Ak po jednym elemencie.
Moz·emy to zrobić na 1 2 3 ::: k = k ! sposobów. Zostaje m K =
elementów. Moz·emy z nich utworzyć 2m K podzbiorów. ×¾
aczymy
m k(k+1)
2
je z wybranymi wcześniej k! zbiorami. Otrzymujemy razem k! 2m K . Gdy
k = 3 , m = 10 ; n = 5, otrzymamy 3! 210 6 = 96 zbiorów.
Zadanie 4.21. Ile jest permutacji zbioru o n elementach?
Odpowiedź (szkic dowodu). Permutacji zbioru n-elementowego jest n!. Podamy dowód, z którego wynika tez· algorytm ustawiajacy
¾ te permutacje w ciag.
¾
Dla n = 1 jest tylko jedna permutacja. Za÷oz·ymy, z·e wszystkie permutacje
zbioru o n sa¾ ustawione w ciag
¾ o n! elementach:Do kaz·dej permutacji dostawiamy liczbe¾ n + 1 na kaz·dym moz·liwym miejscu. Tych miejsc jest n + 1: Zatem
przy przejściu od liczby n do n + 1 liczba permutacji zwieksza
¾
sie¾ n + 1 razy.
To kończy dowód.
Oto ustawienie wszystkich permutacji liczb 1; 2; 3 oraz permutacji liczb
1; 2; 3; 4 w ciag:
¾
123; 132; 312; 213 ; 231 ; 321
oraz
1234; 1243 ; 1423; 4123 ;
1324 ; 1342 ; 1432 ; 1432 ;
3124; 3142; 3412; 4312;
2134 ; 2143 ; 2413 ; 4213 ;
2314 ; 2341 ; 2431 ; 4231 ;
3214 ; 3241 ; 3421 ; 4321
Zadanie 4.22. Ile jest permutacji zbioru f1; 2; 3; :::; ng , które zachowuja¾
liczby 1; 2; 3; :::; k w ich naturalnym porzadku?
¾
Zak÷adamy, z·e k n:
Zadanie 4.23. Podać interpretacje¾ geometryczna¾ wszystkich 6 permutacji
zbioru o 3 elementach (jako izometrii trójkata
¾ równobocznego).
Zadanie 4.24. Podać interpretacje¾ geometryczna¾ wszystkich 24 permutacji
zbioru o 4 elementach (jako izometrii czworościanu foremnego).
Zadanie 4.25. Ile jest permutacji n elementów, które nie maja¾ punktu
sta÷
ego?
28
Wyk÷
ad 5. Relacje
Ogólnie o relacjach. W jezyku
¾
potocznym s÷
owo relacja znaczy mniej wiecej
¾
tyle co „zwiazek,
¾
powiazanie,
¾
wspó÷zalez·ność”. Mamy relacje pokrewieństwa,
zalez·ności s÷
uz·bowej i znajomości. W matematyce szkolnej mówimy o relacji
podzielności. Relacja¾jest kaz·da zalez·ność funkcyjna. Precyzyjna matematyczna
de…nicja relacji jest dość skomplikowana.
De…nicja. Niech A i B bed
¾ a¾ dwoma dowolnymi zbiorami. Relacja¾ miedzy
¾
elementami zbioru A i elementami zbioru B nazywamy dowolny podzbiór R
iloczynu kartezjańskiego A B . Mówimy, z·e elementy a 2 A i b 2 B sa¾ ze soba¾
w relacji R , gdy (a; b) 2 R .
Jest to czesto
¾
spotykane w matematyce zjawisko: chcac
¾ coś wyrazić precyzyjnie, musimy uciec sie¾ do skomplikowanych sformu÷owań. Taka¾cene¾ p÷acimy
za precyzje.
¾ Poniz·ej wyjaśniamy, jak te¾ de…nicje¾ prze÷oz·yć na codzienna¾ praktyk¾
e matematyczna.
¾
Wykresy relacji.
Przyk÷
ad 5.1. Przyjrzyjmy sie¾ najpierw relacji podzielności dla liczb ca÷
kowitych:
m jest dzielnikiem przez n .
Wypiszmy wszystkie pary liczb nie wiekszych
¾
niz· 15, dla których ta relacja
zachodzi. Sa¾ to: wszystkie pary (1; n) oraz pary (2; k), gdzie k jest liczba¾
parzysta,
¾
nastepnie
¾
pary (3,3), (3,6), (3,9), (3,12) i (3,15) , potem (4,4), (4,8), (4,12),
(5,5), (5,10), (5,15), (6,6), (6,12), (7,7), (7,14), (8,8), (9,9), (10,10), (11,11),
(12,12) (13,13) (14,14) i (15,15).
Zaznaczajac
¾ je na p÷
aszczyźnie, otrzymamy wykres relacji.
Na oznaczenie ogólnej relacji uz·ywamy czesto
¾ litery R albo stosownego symbolu. Tu zrobimy wyjatek
¾ i oznaczymy relacje¾ przez P, bo litera P jest bardziej
naturalna (od s÷
owa podzielno´s´c). Piszemy:
mP n , m jest dzielnikiem n
Przyk÷
ad 5.2. Postapmy
¾
podobnie (to jest narysujmy wykres) dla relacji R
określonej wzorem
xRy,y=x+1.
Tu sprawa jest prosta: punkty (x,y) spe÷niajace
¾ te relacje¾ to punkty na
wykresie funkcji y = x + 1 :
Postapmy
¾
teraz przeciwnie. Zaznaczmy na p÷
aszczyźnie jakiś zbiór R i
postarajmy sie¾ odczytać, jaka¾ relacje¾ on opisuje. Jeśli zbiorem R bedzie
¾
ko÷o o
środku w (0,0) i promieniu 1, to relacja¾ bedzie
¾
oczywiście
xR y , x2 + y 2 = 1 .
Niech teraz zbiorem R bedzie
¾
obszar, po÷oz·ony na p÷aszczyźnie „pod”prosta¾
x = y. Obszar ten sk÷
ada sie¾ z punktów (x; y), dla których x > y . Mamy zatem
w tym przyk÷
adzie:
xRy ,x>y .
Relacje¾ moz·emy utoz·samić z jej wykresem !
29
Kaz·dy zbiór na p÷
aszczyźnie (ogólniej: w iloczynie kartezjańskim) wyznacza
pewien zwiazek
¾
miedzy
¾
x i y, a wiec
¾ pewna¾ relacje.
¾ Kaz·da funkcja F: X ! Y
jest rodzajem relacji. Nie kaz·da relacja jest funkcja.
¾
Widzimy zatem, z·e podanie zbioru punktów, których wspó÷rzedne
¾
spe÷niaja¾
dany zwiazek
¾
wystarcza do pe÷nego opisania tego zwiazku,
¾
tej zalez·ności.
Ćwiczenie 5.1. Narysować wykres relacji równości (liczb).
Ćwiczenie 5.2. Narysować wykres relacji mniejszości: x < y gdzie x, y 2 R.
Ćwiczenie 5.3. Narysować wykres relacji wiekszości:
¾
xRy wtedy i tylko
wtedy, gdy x > y .
Ćwiczenie 5.4. Przedstawić gra…cznie relacje¾ zachodzac
¾ a¾ miedzy
¾
liczbami
rzeczywistymi:
x R y , x y2 > 2 .
Ćwiczenie 5.5. Poniewaz· relacje sa¾ podzbiorami iloczynu kartezjańskiego,
moz·na mówić o ich sumach, iloczynach itp. Rozpatrzmy dwie relacje zachodzace
¾
miedzy
¾
liczbami naturalnymi. Sa¾one wiec
¾ podzbiorami iloczynu kartezjańskiego
N N:
a)
relacja przystawania dwóch liczb modulo 2,
b)
relacja przystawania liczb modulo 3.
Jaka¾ relacja¾ jest ich cześć
¾ wspólna ?
Ćwiczenie 5.6. Jaka¾ relacje¾ opisuje pusty podzbiór iloczynu kartezjańskiego?
Opisać ja¾ wzorem lub s÷
ownie.
Ćwiczenie 5.7. Jaka¾ relacje¾ miedzy
¾
liczbami opisuje pe÷
ny podzbiór iloczynu
kartezjańskiego X
X, to znaczy ca÷y zbiór X
X ? Opisać ja¾ wzorem lub
s÷
ownie.
Ćwiczenie 5.8. Jaka¾relacje¾ miedzy
¾
liczbami opisuje jednopunktowy podzbiór
iloczynu kartezjańskiego R
R, na przyk÷ad A = f(1; 2)g? Opisać te¾ relacje¾
wzorem lub s÷
ownie.
Ćwiczenie 5.9. Jaki podzbiór p÷aszczyzny odpowiada relacji określonej jak
nastepuje:
¾
x R y wtedy i tylko wtedy, gdy x i y maja¾ ta¾ sama¾ cześć
¾ ca÷
kowita¾ ?
Ćwiczenie 5.10. Jaki podzbiór p÷aszczyzny odpowiada relacji określonej jak
nastepuje:
¾
x R y wtedy i tylko wtedy, gdy x i y maja¾ taka¾ sama¾ cześć
¾ u÷amkowa?
¾
30
Wyk÷
ad 6. Funkcje.
Zadanie 6.1. Niech f (x) = x2 5 j x j + 6. Wyznaczyć obrazy przedzia÷ów
[0; 1]; [2; 3]; [ 1; 6]. Wyznaczyć przeciwobrazy zbiorów [0; 2], [ 14 ; 0]:
Zadanie 6.2. Niech f (x) = x2 2 j x j +1. Wyznaczyć obrazy przedzia÷ów
[ 1; 1]; [ 2; 2]; [ 1; 0]. Wyznaczyć przeciwobraz zbiorów [0; 1]:
Zadanie 6.3. Dla podanej funkcji f : R ! R i podanego przedzia÷u I
wyznaczyć jego obraz f (I):
a) f (x) = x2 5x + 6 , I = [0; 4] ,
b) f (x) = x2 5x + 6 , I = [2; 3] ,
c) f (x) = j x j, I = [ 1; 1) ,
d) f (x) = sin x , I = [0; 2 ] ,
e) f (x) = x2 + x + 1 , I = [ 1; 10] .
Zadanie 6.4. Dla podanej funkcji f : R ! R i podanego przedzia÷
u J
wyznaczyć jego przeciwobraz f 1 (J):
a) f (x) = x2 5x + 6 , J = [0; 14 ] ,
b) f (x) = x2 5x + 6 , J = [0; 6] ,
c) f (x) = j x j, J = [1; 1) ,
d) f (x) = sin x , J = [0; 1] ,
e) f (x) = x2 + x + 1 , J = [111; 133].
Zadanie 6.5. Niech m; n bed
¾ a¾dwiema liczbami ca÷kowitymi dodatnimi i niech
xm dla x 0
f : R ! R bedzie
¾
funkcja¾ określona¾ tak: f (x) =
:Dla
xn dla x 0
jakich par m; n
a) funkcja ta jest róznowartościowa,
b) funkcja ta jest surjekcja,
¾
c) obrazem przedzia÷
u [-1,1] jest ten sam przedzia÷,
d) obrazem przedzia÷
u [-1;1] jest przedzia÷[0; 1] ?
Zadanie 6.6. Niech f bedzie
¾
funkcja¾ przyporzadkowuj
¾
ac
¾ a¾ kaz·demu niepustemu zbiorowi z÷
oz·onemu z liczb naturalnych, najmniejsza¾liczbe¾ tego zbioru.
Czy ta funkcja jest róznowartościowa? Określić jej dziedzine¾ i wyznaczyć jej
obraz. Opisać przeciwobraz liczby 2008.
Zadanie 6.7. Niech f bedzie
¾
funkcja¾ przyporzadkowuj
¾
ac
¾ a¾ kaz·demu skończonemu i niepustemu zbiorowi z÷oz·onemu z liczb naturalnych, najwieksz
¾ a¾ liczbe¾
tego zbioru. Czy ta funkcja jest róznowartościowa? Określić jej dziedzine¾ i
wyznaczyć jej obraz. Opisać przeciwobraz liczby 2008.
Zadanie 6.8. Podać wzór funkcji wzajemnie jednoznacznej, przeprowadzajacej
¾
a) przedzia÷domkniety
¾ [0;1] na przedzia÷domkniety
¾ [0;2] ,
b) przedzia÷domkniety
¾ [-3;2] ,
c) przedzia÷domkniety
¾ [-100;100],
31
d) przedzia÷domkniety
¾ [4;8] tak, by obrazem
punktu 4 by÷punkt 6;
e) przedzia÷domkniety
¾ [-3,3] na przedzia÷domkniety
¾ [-3,3] tak, by obrazem
punktu -2 by÷punkt -1, obrazem -1 by÷o 0, obrazem 0 by÷punkt 1, a obrazem
1 punkt 2.
Zadanie 6.9. Zrobić wykresy funkcji z zadania 6.8.
1 dla x < 3
x2 gdy -3 x < 3 :
:
3 dla x 3
a) Wyznaczyć obraz przedzia÷u otwartego (1; 6). Odpowiedź: (-8;0) [ f3g
Zadanie 6.10. Funkcja f : R ! R jest dana wzorem f (x) =
;
8
<
1
b) wyznaczyć przeciwobraz przedzia÷u domknietego
¾
[ 3; 2] . Odp. ( 1; 3)[
[ 2; 2] ;
c) wyznaczyć zbiór wartości funkcji f : Odpowiedź: [ 8; 1] [ f3g:
y
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-2
-4
-6
-8
Zadanie 6.11. Niech A = f x 2 R : x2 > 9 ^ x < 4 g. Niech f; g
bed
¾ a¾ funkcjami R ! R określonymi jak niz·ej: g(x) = 2x + 1 , zaś f (x) =
x2 + 1 dla x 2
=A
: Zaznaczyć zbiór A na osi. Wyznaczyć obraz przedzia÷u
1 dla x 2 A
domknietego
¾
[ 5; 5] przy funkcji f . Wyznaczyć przeciwobraz zbioru A przy
funkcji g. Obliczyć f (g(1)). Obliczyć g(f (4)):
Odpowiedź. Funkcje¾ f warto przedstawić nieco innym wzorem. Określona
jest ona tak:
32
f (x) =
-5
8
>
>
<
>
>
:
-4
1
1 dla x < 3
x2 dla
3<x<3
1 dla 3 < x < 4
1 x2 dla x > 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-5
-10
-15
-20
Po naszkicowaniu wykresu funkcji f widzimy, z·e obrazem przedzia÷u [ 5; 5]
jest suma przedzia÷
ów, których końcami sa¾ 24 i 15 oraz 8 i 1. Do pe÷nego
rozwiazania
¾
zadania nalez·y rozstrzygnać,
¾ czy sa¾ to przedzia÷
y domkniete,
¾ czy
otwarte, czy domkniete.
¾
Poniewaz· g(1) = 3; a liczba 3 nalez·y do zbioru A, wiec
¾ f (g (1)) = f (2 1+1) =
1. Poniewaz· liczba 4 nie nalez·y do zbioru A, wiec
¾ f (4) = 42 + 1 = 15, zatem
g(f (4)) = g(15) = 29:
Wyznaczamy przeciwobraz zbioru A przy funkcji g: Jest to suma przeciwobrazu przedzia÷
u ( 1;
3) i przeciwobrazu przedzia÷u [3; 4): Jest to zatem
suma ( 1;
2) [ [1; 32 ):
8
< 1 dla x 2 ( 1; 3]
1 x2 dla x 2 ( 3; 3] :
Zadanie 6.12. Funkcja g : R ! R jest dana wzorem g(x) =
:
3 dla x 2 (3; +1)
a) Wyznaczyć obraz przedzia÷
u otwartego ( 3; 5).
b) wyznaczyć przeciwobraz przedzia÷u domknietego
¾
[1; 6] .
c) podać argument, uzasadniajacy,
¾ z·e h nie jest funkcja¾ ró8
z·nowartościowa¾ :
< 2 dla x 2 ( 1; 2)
x2 + 2 dla x 2 [ 2; 2) :
Zadanie 6.13. Funkcja h : R ! R jest dana wzorem h(x) =
:
2 dla x 2 [2; +1)
a) Wyznaczyć obraz przedzia÷
u otwartego ( 1; 3). Odpowiedź: ( 7; 2]
33
p
¾
[ 2; 0] . Odp.( 1; 2)[
p b) wyznaczyć przeciwobraz przedzia÷u domknietego
( 2; 1)
c) wyznaczyć zbiór wartości funkcji h : Odpowiedź: [ 2; 2]
Zadanie 6.14. Wyznaczyć funkcje odwrotne do funkcji:
x+1
1
7 6x
; c) f (x) = 2x
a) f (x) = x1 ; b) f (x) = x+2
x 2 ; d) f (x) = 7x 8 ;
Zadanie 6.15. Wyznaczyć wspó÷
czynniki a; b; c; d tak, by funkcja¾ odwrotna¾
do f (x) = ax+b
by÷
a
ta
sama
funkcja.
cx+d
34
Wyk÷
ad 7. Permutacje
Zadanie 7.1. Permutacja
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
1
, czyli cykl (123456):
1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 1 . Jest to permutacja nieparzysta, ma pieć
¾
inwersji: pary (2,1), (3,1), (4,1), (5,1) i (6,1). Permutacja do niej odwrotna
1 2 3 4 5 6
to
: Ma tez· 5 inwersji. Rysunek permutacji odwrotnej
6 1 2 3 4 5
powstaje z rysunku danej przez odwrócenie strza÷ek. Narysować (przedstawić
gra…cznie) taka¾ permutacje.
¾
Odpowiedź: To cykl 1 ! 6 ! 5 ! 4 ! 3 ! 2 ! 1:
1 2 3 4 5 6
: Jest to cykl (126354).
2 6 5 1 4 3
Inwersje tworza¾ pary (6,3), (6,5), (6,4), (5,4), (5,3), (5,1), (4,3). Jest to zatem
permutacja nieparzysta.
1 2 3 4 5
Ile inwersji ma permutacja odwrotna? Zapisać ja¾w postaci
1 2 3 4 5 6
: Jest ona iloczynem
4 2 3 6 5 1
cykli (164)(2)(3)(5); cykle jednoelementowe (czyli punkty sta÷e) moz·emy opuścić. Zatem = (164): Ile inwersji ma ta permutacja? Napisać permutacje¾
odwrotna.
¾
1 2 3 4 5
Zadanie 7.4. Dane sa¾permutacje s = (145)(23) oraz t =
5 4 3 2 1
. Obliczyć liczbe¾ inwersji w tych permutacjach. Obliczyć ts3 oraz t 3 : Wyniki
przedstawić w postaci funkcji oraz w postaci roz÷acznych
¾
cykli.
Rozwiazanie.
¾
Zapis s = (145)(23) oznacza, z·e jest to permutacja, w której
1 ! 4 ; 4 ! 5 ; 5 ! 1 ; oraz 2 ! 3, 3 ! 2: Moz·na to zapisać s =
1 2 3 4 5
: Nastepuj
¾ ace
¾ pary tworza¾ inwersje: (4,3), (4,2), (4,1),
4 3 2 5 1
(3,2), (3,1), (2,1), (5,1). Jest zatem 7 inwersji. Permutacja jest nieparzysta.
Permutacja t odwraca naturalny porzadek
¾
liczb. Kaz·da para tworzy inwersje.
¾
Jest zatem 10 inwersji.
Obliczymy teraz s3 : Po trzykrotnym z÷oz·eniu tej permutacji otrzymamy s3 =
1 2 3 4 5
.
1 3 2 4 5
Z÷
oz·enie ts3 oznacza, z·e wykonujemy najpierw s3 , potem t: A zatem ts3 =
1 2 3 4 5
:Rozk÷
adem na cykle tej permutacji jest (1; 5)(2; 3; 4). Aby
5 3 4 2 1
obliczyć t 3 , przypomnijmy sobie, z·e permutacja t odwraca naturalny porzadek
¾
liczb. Zatem t 1 = t, a stad
¾ wynika, z·e t 1 = t3 = t: Rozk÷
adem na cykle
permutacji t jest (1; 5)(2; 4) = (1; 5)(2; 4)(3).
=
Zadanie 7.5. Dane sa¾permutacje g =
35
1
3
2
5
3
1
4
6
5
2
6
4
7
9
8
8
9
7
,
6
:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
:
2 4 5 3 6 9 1 7 8
a) Obliczyć g 1 :
Rozwiazanie.
¾
Obliczajac
¾ permutacje¾ odwrotna,
¾ zamieniamy wiersze i porzad¾
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
kujemy wzgledem
¾
górnego (po zamianie) : g =
3 5 1 6 2 4 9 8 7
b) przedstawić h jako z÷
oz·enie roz÷acznych
¾
cykli. Odpowiedź: h jest cyklem
(124356987):
c) obliczyć g h 2 : Rozwiazanie:
¾
h2 to cykl (145972368);czyli permu1 2 3 4 5 6 7 8 9
tacja h2 =
:Odwrotna do niej to h 2 =
4 3 6 5 9 8 2 1 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8
; z÷oz·enie g h 2 =
8 7 2 1 4 3 9 6 5
8 9 5 3 6 1 7 4
d) określić znak permutacji h: Ma ona 8 inwersji; tworza¾ je pary: (2,1),
(4.3), (4,1), (5,3), (5,1), (6,1), (9,7), (9,8). Jest to permutacja parzysta.
h=
9
2
Zadanie 7.6. Napisać wszystkie permutacje liczb 1,2,3 w porzadku
¾
indukcyjnym. Narysować wszystkie te permutacje w tym porzadku.
¾
Jakim izometriom
trójkata równobocznego odpowiadaja¾ kolejno te permutacje?
Odpowiedź. W skróconym zapisie: [1,2,3], [1,3,2], [3,1,2], [2,1,3], [2,3,1],
[3,1,2], czyli
1
1
2
2
3
3
;
1
1
2
3
3
2
;
1
3
2
1
3
2
;
1
2
2
1
3
3
;
1
2
2
3
3
1
1
3
;
2
1
3
2
:
Permutacje te odpowiadaja¾kolejno nastepujacym
¾
izometriom trójkata
¾ równobocznego:
identyczność, symetria osiowa wzgledem
¾
wysokości wyprowadzonej z wierzcho÷ka
1 prostopadle do boku 12, obrót o 120 stopni, symetria wzgledem
¾
wysokości
wyprowadzonej z wierzcho÷
ka 3 prostopadle do boku 12, obrót o 240 stopni,
symetria wzgledem
¾
wysokości wyprowadzonej z wierzcho÷
ka 2 prostopadle do
boku 13.
Zadanie 7.7. Wypisać wszystkie permutacje liczb 1,2,3 w porzadku
¾
leksykogra…cznym. Zilustrować rysunkiem.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Odpowiedź.
;
;
;
;
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
Zadanie 7.8. Zmiana porzadku
¾
permutacji zbioru o trzech elementach z
porzadku
¾
indukcyjnego na porzadek
¾
leksykogra…czny generuje pewna permutacje¾ zbioru sześcioelementowego. Wyznaczyć te¾ permutacje.
¾
1 2 3 4 5 6
Rozwiazanie.
¾
Z zadań 1 i 2 wynika, z·e jest to permutacja
1 2 5 3 4 6
czyli cykl (354).
36
1
3
,
2
1
3
2
;
1
3
2
2
Zadanie 7.9. Napisać wszystkie permutacje zbioru (1,2,3,4} w porzadku
¾
indukcyjnym. Pierwszych 5 z nich zilustrować rysunkiem.
Zadanie 7.10. Napisać wszystkie permutacje zbioru (1,2,3,4} w porzadku
¾
indukcyjnym. Pierwszych 5 z nich zilustrować rysunkiem.
Zadanie 7.11. Wyjaśnić, jakim izometriom czworościanu foremnego odpowiadaja¾
poszczególne permutacje zbioru {1,2,3,4}.
Szkic odpowiedzi.
Obrót czworościanu foremnego o 180 stopni wokó÷osi przechodzacej
¾ przez
a b c d
środki przeciwleg÷
ych boków. Jest to permutacja parzysta
;
c d a b
1 2 3 4
jest iloczynem transpozycji (ac)(bd), na liczbach (13)(24) =
.
3 4 1 3
Czworościan ma trzy pary przeciwleg÷
ych kraw¾
edzi, zatem sa trzy takie obroty.
1 2 3 4
1 2 3 4
Dwa pozosta÷
e to (14)(23) =
i (12)(34) =
:
4 3 2 1
2 1 4 3
Zadanie 7.12. Jaka permutacja znajduje sie¾ na miejscu 37 w grupie permutacji 5 elementów w porzadku
¾
leksykogra…cznym, w porzadku
¾
indukcyjnym?
12345
:
Odp. W porzadku
¾
leksykogra…cznym
24135
Dla porzadku
¾
indukcyjnego mamy tak. Wypiszmy najpierw porzadek
¾
indukcyjny permutacji dwóch elementów: to [1,2], potem [2,1]. Porzadek
¾
indukcyjny
dla trzech to [1,2,3], [1,3,2], [3,1,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2]. Dla czterech otrzymujemy:
[1,2,3,4], [1,2,4,3], [1,4,2,3], [4,1,2,3],
[1,3,2,4], [1,3,4,2], [1,4,3,2], [4,1,3,2],
.... potem cztery permutacje powstajace
¾ z [3,1,2] przez dopisywanie czwórki,
..... potem [2,1,3,4], [2,1,4,3], [2,4,1,3] i [4,2,1,3]. Permutacja [2,4,1,3] czyli
1234
znajduje sie¾ na 15 miejscu w S4 . Z kaz·dej poprzedzajacej
¾ ja¾ pow2413
staje 5 nowych permutacji liczb 1,2,3,4,5. Permutacja, o która¾ chodzi, jest na
miejscu 71.
Zadanie 7.13. Na którym miejscu w kaz·dym z tych porzadków
¾
znajduje sie¾
12345
permutacja
?
52134
Rozwiazanie.
¾
W porzadku
¾
leksykogra…cznym grupy S5 pierwszych 24 per12345
12345
mutacji to te, które sa¾ postaci
; nastepnych
¾
24 to
,
1
2
12345
12345
potem ida¾
;
:×¾
acznie 96 permutacji. Nastepuje
¾
teraz 6
3
4
12345
12345
permutacji postaci
;razem 102. Potem dopiero
. Znaj51
52134
duje sie¾ zatem ona na 103 miejscu.
Zadanie 7.14. Wyznaczyć setna¾ od końca permutacje¾ w porzadku
¾
leksykogra…cznym w S9 :
37
123456789
.
987615324
Zadanie 7.15. Wyznaczyć permutacje,
¾ która jest na miejscu 2007 w S9 .
123456789
Odp.
:
125876439
Odp.
Wyk÷
ad 8. Zbiór potegowy.
¾
Rodzine¾ podzbiorów zbioru {1,2,3,...,n} moz·na na przyk÷ad uporzadkować
¾
leksykogra…cznie: najpierw zbiór pusty ?, potem zbiory zawierajace
¾ 1 , potem
zbiory, których najmniejszym elementem jest 2 itd. Dla n = 3 daje to porzadek
¾
?, {1}, {1,2}, {1,2,3}, {1,3}, {2}, {2,3}, {3}.
Porzadek
¾
leksykogra…czny z gradacja¾polega na ustawieniu najpierw zbiorów
jednoelementowych, potem dwuelementowych itd. Z tym, z·e na poczatku
¾
stawiamy zbiór pusty. Dla n = 3 jest to porzadek
¾
?; f1g; f2g; f3g; f1; 2g; f1; 3g; f2; 3g; f1; 2; 3g
Ale porzadek
¾
indukcyjny daje lepszy algorytm. Zaczynamy od zbioru pustego.
Zak÷
adajac,
¾ z·e podzbiory o n elementach juz· sa¾ustawione, dopisujemy nowoprzyby÷
y element do kaz·dego kolejnego wyrazu ciagu.
¾
Daje to nastepujacy
¾ porzadek
¾
(gdy n = 3):
?; f1g; f2g; f1; 2g; f3g; f1; 3g; f2; 3g; f1; 2; 3g:
Twierdzenie. W porzadku
¾
indukcyjnym zbioru potegowego
¾
2f1;2;3;:::;ng , to
jest w rodzinie podzbiorów zbioru (1,2,3,...,n}, zbiór z÷oz·ony z liczb fa1 ; a2 ; :::; ak g
, gdzie a1 < a2 < ::: ak , znajduje sie¾ na miejscu o numerze 1+2a1 1 + 2a2 1 + ::: +
2ak 1 :
Przyk÷
ad-sprawdzenie. W zbiorze podzbiorów {1,2,3} mamy:
dla zbioru {1} miejsce 1 + 20 = 2;
dla zbioru {1,2} miejsce 1 + 20 + 21 = 4;
dla zbioru {1,2,3} miejsce 1 + 20 + 21 + 22 = 8:
Przyk÷
ad. W rodzinie podzbiorów liczb ca÷kowitych dodatnich niewiekszych
¾
niz· 10 zbiór z÷
oz·ony ze wszystkich liczb nieparzystych znajduje sie¾ na miejscu
1 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 = 342 .
Dowód twierdzenia. Zastosujemy indukcje¾ wzgledem
¾
n: Twierdzenie jest
prawdziwe dla n = 2. Powyz·ej zosta÷o tez· sprawdzone dla n = 3. Za÷
óz·my,
z·e jest ono prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n i rozpatrzmy rodzine¾
podzbiorów zbioru f1; 2; 3; :::; n + 1g. Widzieliśmy, z·e przy porzadku
¾
indukcyjnym pierwszych 2n wyrazów to podzbiory, w których nie ma n + 1: Jeśli
zatem a1 < a2 < ::: < ak sa¾ róz·nymi liczbami mniejszymi od n, to zbiór
z÷
oz·ony z tych liczb jest na miejscu 1 + 2a1 1 + 2a2 1 + ::: + 2ak 1 :Ze
sposobu ustawiania zbiorów w ciag
¾ wynika, z·e A = f a1 ; a2 ; :::; ak ; n + 1g
38
znajduje sie¾ 2n miejsc za f a1 ; a2 ; :::; ak g: Jest to zatem miejsce o numerze
1 + 2a1 1 + 2a2 1 + ::: + 2ak 1 + 2n . To jest zgodne z wyprowadzanym
wzorem. Na mocy zasady indukcji twierdzenie jest udowodnione.
Z twierdzenia tego wynika tez· algorytm ustalenia, który zbiór jest na danym
miejscu m w porzadku
¾
indukcyjnym. Przedstawiamy liczbe¾ m 1 w uk÷
adzie
dwójkowym:
m 1 = 2ak + 2ak 1 + ::: + 2a1 . Na danym miejscu znajduje sie¾ zbiór
fa1 + 1; a2 + 1; :::; ak + 1g
Przyk÷
ad-sprawdzenie. Jaki zbiór znajduje sie¾ na miejscu 342 w rodzinie
podzbiorów zbioru liczb naturalnych nie wiekszych
¾
niz· 10?
Przedstawiamy liczbe¾ 341 w uk÷adzie dwójkowym:
341 = 28 + 26 + 24 + 22 + 20 : Widzimy, z·e na miejscu 342 znajduje sie¾ zbiór
{1,3,5,7,9}.
Zadanie 8.1. Wypisać wszystkie 32 podzbiory zbioru potegowego
¾
2f1;2;3;4;5g
w porzadku
¾
leksykogra…cznym.
Odp.
{?}, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4},
{ 1, 2, 4, 5}, {1, 2, 5}, {1, 3}, {1, 3, 4}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 5}, {1, 4}, {1, 4,
5}, {1, 5}, {2}, {2, 3}, {2, 3, 4},
{2, 3, 4, 5}, { 2, 3, 5}, {2, 4}, {2, 4, 5}, {2, 5}, {3}, {3, 4}, {3, 4, 5}, {3, 5},
{4}, {4, 5}, {5}
¾
2f1;2;3;4;5g
w porzadku
¾
leksykogra…cznym z gradacja.
¾
Odp. {?}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2,
4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {1, 2, 3},
{1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, { 2, 3, 5}, {2, 4,
5}, {3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4},
{1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}
¾
2f1;2;3;4;5g
w porzadku
¾
indukcyjnym.
Odp. {?}, {1}, {2}, {1, 2}, {3}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {4}, {1, 4}, {2,
4}, {1, 2, 4}, {3, 4},
{1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {5}, {1, 5}, {2, 5}, {1, 2, 5}, {3, 5}, {1, 3,
5}, {2, 3, 5}, {1, 2, 3, 5},
{4, 5}, {1, 4, 5}, {2, 4, 5}, {1, 2, 4, 5}, {3, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5},
{1, 2, 3, 4, 5} .
Zadanie 8.4. Który zbiór jest na miejscu 2007 w rodzinie podzbiorów X =
f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11g w kaz·dym z tych trzech porzadków?
¾
Odp. Poniewaz· 2006 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 24 + 22 + 21 ;wiec
¾ w porzadku
¾
indukcyjnym jest to {2,3,5,7,8,9,10,11}.
W porzadku
¾
leksykogra…cznym jest to {6,8,9,10,11}.
39
W porzadku
¾
leksykogra…cznym z gradacja¾ jest tak. Najpierw stoi zbiór
11
pusty, potem 11 zbiorów jednoelementowych, potem
= 55 zbiorów
2
11
11
dwuelementowych, potem kolejno
= 165 trójelementowych,
=
3
4
11
11
330 czteroelementowych,
= 462 piecioelementowych,
¾
= 462
5
6
11
11
sześcioelementowych,
= 330 siedmioelementowych i
= 165 ośmioelementowych:
7
8
Poniewaz· 1 + 11 + 55 + 165 + 330 + 462 + 462 + 330 + 165 = 1981; zaś 1981 +
11
= 2036 > 2007, wiec
¾ interesujacy
¾ nas zbiór ma 9 elementów i znajduje
9
sie¾ na miejscu 2007 1981 = 26 wśród dziewiecioelementowych.
¾
Pierwszych
7
= 21 z nich to f1; 2; 3; 4; x; y; z; t; ug - ostatnim jest f1; 2; 3; 4; 8; 9; 10; 11g.
5
Po nim nastepuj
¾ a¾ te, których najmniejsze liczby to 1; 2; 3; 5:Sa¾ to po kolei
f1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10g; f1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 11g; f1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 10; 11g; :f1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11g.
Bezpośrednio za tym zbiorem znajduje sie¾ {1,2,3,5,6,8,9,10,11}.
Zadanie 8.5. Znaleźć miejsce zbioru {3,6,7} w rodzinie 2X , gdy X =
f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11g:
Odp. W porzadku
¾
indukcyjnym to miejsce nr 101, w porzadku
¾
leksykogra…cznym to 1732. W porzadku
¾
leksykogra…cznym z gradacja¾ to 162.
Zadanie 8.6. Napisać trzy zbiory poprzedzajace
¾ {3,6,7} i trzy zbiory nastepujace
¾ po {3,6,7} w kaz·dym z tych trzech porzadków.
¾
Zadanie 8.7. Ile jest zbiorów miedzy
¾
{3,6,7} a {4,5,6} w kaz·dym z tych
porzadków?
¾
Zadanie 8.8. Wyznaczyć pieć
¾ końcowych zbiorów w rodzinie podzbiorów
zbioru stuelementowego w porzadku leksykogra…cznym, leksykogra…cznym z
gradacja¾ i indukcyjnym.
Zadanie 8.9. Zbiór P (f1; :::101g); czyli rodzine¾ wszystkich podzbiorów zbioru
liczb naturalnych 1, 2, 3, ..., 99,100,101 porzadkujemy
¾
indukcyjnie.
a) podać najbliz·szy zbiór dwuelementowy, który wystepuje
¾
po {1,8,13}.
b) ile podzbiorów o trzech elementach znajduje sie¾ przed {1,3,12,14}?
Rozwiazanie.
¾
Porzadek
¾
indukcyjny zaczyna sie¾ od ? ; f1g; f2g; f1; 2g, potem
dostawiamy liczbe¾ 3, otrzymujac
¾ dalszy ciag:
¾ {3}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}. W
rozpatrywanym przyk÷
adzie przed {1,8,13} znajduja¾ sie¾ wszystkie zbiory zawierajace
¾ liczby od 1 do 12. Ostatni z nich, majacy
¾ numer 212 = 4096 to
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Najwcześniejszy jednoelementowy to, jak widzieliśmy,
zbiór f1g:Najpóźniejszy to {12}. Dostawiamy teraz do kaz·dego z nich 13. {12,
13} jest zbiorem o dwóch elementach najbliz·szym {1,8,13}.
Wszystkie z÷
oz·one z trójek (a; b; c), gdzie a; b; c sa¾ liczbami
14: Jest to
14
14 13 12
równe
= 1 2 3 = 14 13 2 = 14 26 = 364:
3
Pierwszych osiem zbiorów to ? ; f1g; f2g; f1; 2g; f3g; f1; 3g; f2; 3g; f1; 2; 3g:
Zadanie 8.10. Zbiór P (f1; :::100g); czyli rodzine¾ wszystkich podzbiorów
zbioru liczb naturalnych 1, 2, 3, ..., 99,100 porzadkujemy
¾
indukcyjnie.
40
a) podać najbliz·szy zbiór dwuelementowy, który wystepuje
¾
po {1,12,13}.
b) ile podzbiorów o trzech elementach znajduje sie¾ przed {1,5,18,12}?
Zadanie 8.11. W zbiorze P (f1; :::10g); czyli w rodzinie wszystkich podzbiorów
zbioru liczb naturalnych 1, 2, 3, ..., 10 rozpatrujemy porzadek
¾
nastepuj
¾ acy:
¾
A poprzedza B , jez·eli ma mniej elementów, a jez·eli obydwa zbiory maja¾ tyle
samo elementów, to wcześniejszy jest ten, który jest wcześniejszy w porzadku
¾
leksykogra…cznym.
a) Wyznaczyć zbiór, znajdujacy
¾ sie¾ na miejscu 99.
b) wyznaczyć numer miejsca, na którym znajduje sie¾ zbiór {3,9,10}.
Zadanie 8.12. W zbiorze P (f1; :::11g); czyli w rodzinie wszystkich podzbiorów
zbioru liczb naturalnych 1, 2, 3, ..., 11 rozpatrujemy porzadek
¾
nastepuj
¾ acy:
¾
A poprzedza B , jez·eli ma mniej elementów, a jez·eli obydwa zbiory maja¾ tyle
samo elementów, to wcześniejszy jest ten, który jest wcześniejszy w porzadku
¾
leksykogra…cznym.
a) Wyznaczyć zbiór, znajdujacy
¾ sie¾ na miejscu 66.
Rozwiazanie.
¾
Jest to zbiór {9,11}. Moz·na to obliczyć ,liczac
¾ "od końca".
W tym porzadku
¾
na pierwzym miejscu stoi zbiór pusty, potem 11 zbiorów jed11
noelementowych i
= 55 zbiorów o dwóch elementach. Daje to 1+11+55
2
= 67 zbiorów. Ostatni z nich to {10,11} a przedostatni to {9,11}.
b) wyznaczyć numer miejsca, na którym znajduje sie¾ zbiór {4,7,10}.
Rozwiazanie.
¾
Jest to zbiór o trzech elementach, zatem przed nim stoi zbiór
11
pusty, 11 zbiorów jednoelementowych i
= 55 zbiorów o dwóch elemen2
tach. Przed nim znajduja¾ sie¾ tez· zbiory f1; ; g; f2; ; g ; f3; ; g
jest ich
10
9
8
odpowiednio
= 45 ;
= 36 ;
= 28: Mamy 1 + 11 + 55 + 45 +
2
2
2
36 + 28 = 176: Przed zbiorem {4,7,10} znajduje sie¾ jeszcze 6 zbiorów f4; 5; g , 5
zbiorów f4; 6; g oraz 2 zbiory {4,7,8}, {4,7,9}. To daje ÷
acznie
¾
176 + 6 + 5 + 2 =
189:Zbiór {4,7,10} jest na 190 miejscu.
Wyk÷
ad 9. Ciagi.
¾ Iloczyn kartezjański f1; 2; 3; :::; mg f1; 2; 3; :::ng
lub fa; b; c; :::; mg fa; b; c; :::ng
Zadanie 9.1. Wypisać wszystkie elementy zbioru f1; 2; 3g f1; 2; 3g w porzadku
¾
leksykogra…cznym, antyleksykogra…cznym, odwrotnym leksykogra…cznym, odwrotnym antyleksykogra…cznym i leksykogra…cznym z gradacja¾ (=przekatniowym).
¾
Odp.: W porzadku
¾
leksykogra…cznym: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3),
(3,1), (3,2), (3,3). Porzadek
¾
odwrotny do danego to wypisanie elementów
od końca, zatem: (3,3), (3,2), (3,1), (2,3), (2,2), (2,1), (1,3), (1,2), (1,1).
Porzadek
¾
antyleksykogra…czny to taki, w którym najpierw patrzymy na druga¾
wspó÷
rzedn
¾ a,
¾ a potem na pierwsza:
¾ zatem (1,1), (2,1), (3,1), (1,2), (2,2), (3,2),
(1,3), (2,3), (3,3). Odwrotny antyleksykogra…czny to napisanie powyz·szego ciagu
¾
od końca. Leksykogra…czny z gradacja¾ to (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1),
(2,3), (3,2), (3,3).
41
Zadanie 9.2. Niech A bedzie
¾
zbiorem liczb naturalnych od 1 do 17, zaś B
zbiorem liczb naturalnych od 1 do 37. Na którym miejscu w kaz·dym z tych
porzadków
¾
znajduje sie¾ (10,20)? Który element znajduje sie¾ na miejscu 100?
Rozwiazanie.
¾
Ten iloczyn kartezjański moz·emy wyobrazić sobie jako prostokatn
¾ a¾ tablice¾ o podstawie 17 kropek, wysokości 37. Musimy sprawnie je
policzyć. W porzadku
¾
leksykogra…cznym liczymy w kolumnach z do÷
u do góry a
kolumny z lewa na prawo. Para (10, 20) jest w dziesiatej
¾ kolumnie na 20 miejscu;
·
jest to zatem miejsce numer 9 37 + 20 = 353. Zeby
wyznaczyć, który element
jest na miejscu setnym, obliczamy: w pierwszych dwóch kolumnach jest 2 37 =
74 miejsc, zatem szukana para jest w trzeciej kolumnie na miejscu 100 74 = 26.
Jest to wiec
¾ para (3,26). Z tego przyk÷adu widać, z·e aby wyznaczyć, jaka para
jest na miejscu s w iloczynie kartezjańskim f1; 2; :::mg f1; 2; :::ng (w porzadku
¾
leksykogra…cznym) nalez·y podzielić s przez m tak, by reszta by÷a niewieksza
¾
niz·
n:
W porzadku
¾
odwrotnym leksykogra…cznym para (10,20) jest na 353 miejscu
"od końca", to jest na miejscu 17 37 353 = 276. W porzadku
¾
antyleksykogra…cznym liczymy w warstwach poziomych z lewa na prawo a warstwy z do÷
u
do góry. Element (10, 20) jest w dwudziestej warstwie (wierszu) na dziesiatym
¾
miejscu. Ogó÷
em jest to zatem miejsce numer 19 17 + 10 = 333: W porzadku
¾
odwrotnym antyleksykogra…cznym jest to 333 od końca, czyli 17 37 333 =
296:Przyjrzyjmy sie¾ porzadkowi
¾
z gradacja.
¾ W nim najpierw "ida"
¾ rzedy
¾ ukośne
16 17
=
136
=
elementów).
Nastepuje
¾
z÷
oz·one z 1, 2, 3, ..., 16 elementów (÷
acznie
¾
2
21 rzedów
¾
po 17 elementów, a potem znowu 16 rzedów,
¾
w których jest kolejno
16, 15, 13, ...,3, 2, 1 elementów. Para (10,20) znajduje sie¾ w ukośnym rzedzie
¾
numer 29, jest zatem na miejscu 1 + 2 + ::: + 16 + 12 17 + 10 = 350.
Zadanie 9.3. W danych z poprzedniego zadania wyznacz poprzednik i nastep¾
nik pary (10, 20) wzgledem
¾
kaz·dego z porzadków
¾
wspomnianych na wstepie.
¾
W porzadku
¾
leksykogra…cznym mamy: (10; 19)
(10; 20)
(10; 21): W
odwrotnym leksykogra…cznym na odwrót. W antyleksykogra…cznym: (9; 20)
(10:20) (11; 20).
Zadanie 9.4. W danych z zadania 2 wyznacz element setny od końca (w
kaz·dym z porzadków).
¾
Zadanie 9.5. W danych z zadania 2 wyznacz pare,
¾ która stoi 17 miejsc za
(7,7).
Zadanie 9.6. Jez·eli m i n sa¾liczbami naturalnymi, to w iloczynie f1; 2; :::2m+
1g f1; 2; :::2n+1g jest nieparzysta liczba elementów. W kaz·dym z tych porzad¾
ków, podanych wyz·ej, wyznaczyć element środkowy.
Rowiazanie.
¾
Element środkowy zajmie miejsce (2m+1)(2n+1)+1
= m+n+
2
2mn+1: W porzadku
¾
leksykogra…cznym, odwrotnym leksykogra…cznym, antyleksykogra…cznym i odwrotnym antylekykogra…cznym jest to zawsze element (m+1; n+
1).
Zadanie 9.7. Przez N oznaczamy zbiór liczb ca÷kowitych dodatnich. Zbiór
N N porzadkujemy
¾
wed÷
ug porzadku
¾
leksykogra…cznego z gradacja.
¾ Wyznaczyć
element na miejscu 2007.
42
Rozwiazanie.
¾
Porzadek
¾
leksykogra…czny z gradacja¾ polega na tym, z·e najpierw wypisujemy pary o sumie wspó÷rzednych
¾
2, potem 3, potem 4 itd. A
zatem w kolejnych pietrach
¾
gradacji mamy 1,2,3,4,..., n elementów. Korzys:Szukamy najwiekszego
¾
n takiego,
tamy ze wzoru 1 + 2 + 3 + ::: + n = n(n+1)
2
n(n+1)
2
z·e
jest mniejsze od 2007. Rozwiazujemy
¾
nierówność n + n 4014 < 0 .
2
Mamy = 1 + 4 4014 = 16 057 , zatem
dodatnim
pierwiastkiem rzeczywistym
p
równania n2 + n 4014 = 0 jest 1+ 216057 = 62: 858: Poszukiwane n jest zatem
równe 62. Istotnie 1+ 2+ ...+62 = 62263 = 1953: Element stojacy
¾ na miejscu
2007 ma sume¾ wspó÷
rzednych
¾
64 i stoi na 2007 1953 = 54 miejscu w rzedzie
¾
ukośnym. Jest to zatem (54,10).
Zadanie 9.8. Jaki element jest na miejscu 145? Odp.: (9,9).
Zadanie 9.9. Na którym miejscu znajduje sie¾ (7,13) ? Odpowiedź: na 178.
Zadanie 9.10. Na którym miejscu w tym samym porzadku
¾
znajduje sie¾
(11,111)?
Rozwiazanie.
¾
Suma wspó÷rzednych
¾
wynosi 122. Element ten znajduje sie¾
zatem na 11 miejscu w ukośnym rzedzie,
¾
w którym suma wspó÷
rzednych
¾
jest
122. Przed nim stoi:
jeden element o sumie wspó÷rzednych
¾
2 , to jest (1,1),
dwa elementy o sumie wspó÷
rzednych
¾
3, to jest (1,2) i (2,1),
.....,
wreszcie 110 elementów o sumie wspó÷
rzednych
¾
111. Razem 1102111 = 6105
elementów. Nasza para (11,111) znajduje sie¾ 11 miejsc dalej, zatem na miejscu
6116.
Zadanie 9.11. Niech A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g: W iloczynie kartezjańskim A A
wprowadzamy relacje¾ R wzorem (a; b) R (c; d) , max fa; bg = maxfc; dg.
a) Wyznaczyć klase¾ abstrakcji (=klase¾ równowaz·ności) pary (3,4).
b) Ile elementów ma zbiór ilorazowy A A /R ?
c) Ile elementów ma najliczniejsza klasa równowaz·ności?
Rozwiazanie.
¾
Jak moz·na opisać te¾ relacje,
¾ przyswoić ja¾sobie? Dwie pary uznajemy za równowaz·ne, jez·eli wieksze
¾
elementy tych par sa¾takie same. Przyjmijmy, z·e liczby to numery butów me¾z·a i z·ony - no, numeracja damska jest inna,
wiec
¾ moz·e sie¾ zdarzyć, z·e ma¾z· ma jedynk¾
e a z·ona szóstk¾
e, a w ogóle to przeciez· tylko dla wyobraz·enia sobie. Jest zatem sześć klas równowaz·ności , zbiór
ilorazowy ma siedem elementów - odpowiadajacych
¾
numerom butów.
Jakie ma÷z·eństwa sa¾ równowaz·ne Kowalskim, gdzie z·ona ma trójk¾
e, a ma¾z·
czwórk¾
e? Sa¾ to: Jankowscy (z·ona jedynk¾
e, ma¾z· czwórk¾
e), Nowakowie (z·ona 2,
ma¾z· 4), Stefańscy (z· 3, m 4), Wiśniewscy (4,4), Zielińscy (z·ona czwórk¾
e, ma¾z·
trójk¾
e), Pietrzakowie (4,2) i Zabkowscy
¾
(z·ona czwórk¾
e, ma¾z· jedyneczk¾
e). A wiec
¾
w klasie równowaz·ności (3,4) jest ÷acznie
¾
7 par: (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (4,3),
(4,2), (4,1). Najliczniejsza klasa to oczywiście (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6),
(6,6), (6,5), (6,4), (6,3), (6,2), (6,1).
43
Wyk÷
ad 10. Relacje równowa·
zności
Najwaz·niejsze relacje to relacje równowaz·ności i wszelkiego typu relacje
porzadkuj
¾
ace.
¾
De…nicja. Mówimy, z·e pewna relacja (która¾ oznaczymy symbolem t )
określona w pewnym niepustym zbiorze X jest relacja¾ równowaz·ności, gdy
jest
a) zwrotna: 8x2X x t x ,
b) symetryczna: x t y ) y t x ,
c) przechodnia: x t y ^ y t z ) x t z.
Podstawowa¾ w÷
asność relacji równowaz·ności ujmuje
Twierdzenie o podziale (=zasada abstrakcji). Kaz·da relacja rownowaźności,
określona w niepustym zbiorze X wyznacza podzia÷tego zbioru na roz÷aczne
¾
podzbiory, zwane klasami równowaz·ności (albo: klasami abstrakcji) w ten sposób,
z·e do jednej klasy zaliczamy wszystkie te elementy, które sa¾ wzajemnie ze soba¾
w relacji. Odwrotnie, podzia÷zbioru na roz÷
aczne
¾
podzbiory wyznacza pewna¾
relacje¾ równowaz·ności.
Przyk÷
ad. Ustalmy liczbe¾ ca÷kowita¾ p: Relacja zachodzaca
¾ miedzy
¾
liczbami
ca÷
kowitymi, określona wzorem
m t n wtedy, gdy m n jest liczba¾ podzielna¾ przez p
jest relacja¾ równowaz·ności. Klasy równowaz·ności to zbiory
fk pg; fk p + 1g; fk p + 2g; :::; fk p + p 1g, ,gdzie k 2 Z.
Innymi s÷
owy, sa¾ to zbiory z÷oz·one z liczb, które z dzielenia przez p daja¾
reszty 0, 1,...,p-1.
Zadanie 10.1. Niech R bedzie
¾
taka¾ relacja¾ w zbiorze P (N) = 2N wszystkich podzbiorów zbioru liczb ca÷
kowitych N , z·e dla A ; B
N jest A R
B () A = B lub 5 2
= A [ B . Opisać klasy równowaz·ności: zbioru pustego,
zbioru {1,2,3} , zbioru {1,2,3,4,5} , zbioru, którego jedynym elementem jest
liczba 5 oraz zbioru 2N z÷
oz·onego ze wszystkich liczb parzystych.
Rozwiazanie.
¾
Przypomne,
¾ z·e P (N) = 2N to rodzina podzbiorów zbioru liczb
naturalnych. Oznaczenie P (X) = 2X dla określenia rodziny podzbiorów danego
zbioru pochodzi stad,
¾ z·e gdy X jest zbiorem skończonym o n elementach, to ma
on 2n elementów. Przypominam tez·, z·e klasa równowaz·ności danego elementu
to zbiór wszystkich elementów z nim równowaz·nych (tak, jak w.powyz·szym
przyk÷
adzie).
W zadaniu tym klasa równowaz·ności zbioru pustego ? sk÷ada sie¾ tych zbiorów
B; dla których 5 2
= ? [ B. Ale ? [ B = B. Zatem klasa¾ równowaz·ności zbioru
pustego jest rodzina tych zbiorów, które nie zawieraja¾ liczby 5. W szczególności {1,2,3} oraz zbiór z÷
oz·ony z liczb parzystych nalez·a¾ do tej rodziny. Zbiór
{1,2,3,4,5} jest w relacji tylko sam ze soba,
¾ gdyz· suma f1; 2; 3; 4; 5g [B zawsze
zawiera liczbe¾ 5. Podobnie jest dla zbioru jednoelementowego {5}. Reasumujac,
¾
moz·na powiedzieć, z·e rodzina tych podzbiorow rozpada sie¾ na klasy jednoelementowe (to sa¾ wszystkie zbiory zawierajace
¾ 5) oraz jedna¾ "duz·a"
¾ klase¾ do
44
której nalez·a¾ wszystkie zbiory nie zawierajace
¾ 5. Obrazowo, moz·na powiedzieć,
z·e interesuje nas tylko to, czy zbiór zawiera 5, czy nie.
Zadanie 10.2. Niech R bedzie
¾
taka¾ relacja¾ w zbiorze P (N) = 2N wszystkich
podzbiorów zbioru liczb ca÷kowitych nieujemnych N , z·e dla A ; B
N
jest A R B () A = B lub A [ B nie zawiera z·adnej liczby pierwszej.
Opisać klasy równowaz·ności: zbioru pustego, zbioru {1,2,3} , zbioru {1,2,3,4,5}
, zbioru, którego jedynym elementem jest liczba 5 oraz zbioru 2N z÷oz·onego ze
wszystkich liczb parzystych.
Rozwiazanie
¾
jest analogiczne do 10.1. Odpowiedź: Klasa zbioru pustego to
wszystkie zbiory nie zawierajace
¾ z·adnej liczby pierwszej. Poniewaz· pozosta÷e
podane zbiory zawieraja¾ liczbe¾ pierwsza,
¾ klasy równowaz·ności tych zbiorów
sk÷
adaja¾ sie¾ z nich samych.
Zadanie 10.3. W zbiorze kó÷na p÷aszczyźnie określamy relacje¾ w , przyjmujac,
¾ z·e K1 w K2 wtedy i tylko wtedy, gdy K1 i K2 maja¾ ten sam
środek. Sprawdzić, z·e jest to relacja równowaz·ności. Wykazać, z·e zbiór klas
równowaz·ności moz·e być utoz·samiony z p÷
aszczyzna.
¾
Rozwiazanie.
¾
Kaz·de ko÷
o ma ten sam środek, co ono samo. Jez·eli jedno ko÷o
ma ten sam środek, co drugie, to drugie ma ten sam środek, co pierwsze. Jez·eli
jedno ko÷
o ma ten sam środek, co drugie, a drugie ten sam środek, co trzecie, to
pierwsze ma ten sam środek, co trzecie. Jest to zatem relacja równowaz·ności.
Klasa równowaz·ności (klasa abstrakcji) sk÷ada sie¾ z kó÷o wspólnym środku.
Kaz·dej takiej klasie moz·na wiec
¾ przypisać punkt na p÷aszczyźnie - wspólny
środek kó÷z tej klasy. Daje to wzajemnie jednoznaczna¾ odpowiedniość miedzy
¾
zbiorem punktów p÷
aszczyzny a klasami równowaz·ności podanej relacji.
Zadanie 10.4. W zbiorze kó÷na p÷aszczyźnie określamy relacje¾ , przyjmujac,
¾ z·e K1
K2 wtedy i tylko wtedy, gdy K1 i K2 maja¾ ten sam
promień. Wykazać, z·e jest to relacja równowaz·ności. Wykazać, z·e zbiór klas
równowaz·ności moz·e być utoz·samiony ze zbiorem liczb rzeczywistych dodatnich.
Rozwiazanie.
¾
Wystarczy w rozwiazaniu
¾
zadania 2 zamienić s÷owo "środek"
na "promień". A zatem: kaz·de ko÷o ma ten sam promień, co ono samo. Jez·eli
jedno ko÷
o ma ten sam promień, co drugie, to drugie ma ten sam promień, co
pierwsze. Jez·eli jedno ko÷
o ma ten sam promień, co drugie, a drugie ten sam
promień, co trzecie, to pierwsze ma ten sam promień, co trzecie. Jest to zatem
relacja równowaz·ności. Klasa równowaz·ności (klasa abstrakcji) sk÷ada sie¾ z kó÷
o takim samym promieniu. Promień jest liczba¾ dodatnia.
¾ Kaz·dej takiej klasie
moz·na wiec
¾ przypisać liczbe¾ dodatnia:
¾ wspólny promień kó÷z tej klasy. Daje to
wzajemnie jednoznaczna¾ odpowiedniość miedzy
¾
liczbami dodatnimi a klasami
równowaz·ności podanej relacji.
Zadanie 10.5 . W zbiorze wszystkich kwadratów po÷oz·onych na p÷aszczyźnie
wprowadzamy relacje¾ l w ten sposób, z·e K1 l K2 wtedy i tylko wtedy, gdy
kwadraty te maja¾ równe środki i równe pola.
Rozwiazanie.
¾
Sprawdzenie, z·e podana relacja jest zwrotna, symetryczna i
przechodnia, wykonujemy podobnie jak w zadaniach 10.3 i 10.4.
45
Zadanie 10.10. W zbiorze liczb rzeczywistych R określamy relacje¾ wzorem
a
b () 9 m 2 Z : m a < m + 1 ; m b < m + 1 .
Wykazać, z·e jest to relacja równowaz·ności. Wykazać, z·e zbior ilorazowy
R=
moz·e być utoz·samiony ze zbiorem liczb rzeczywistych R . Opisać klase¾
równowaz·ności liczby :
Rozwiazanie.
¾
Aby przekonać sie, z·e jest to relacja równowaz·ności, moz·na
zauwaz·yć, z·e podana¾ zalez·ność moz·na opisać tak: dwie liczby sa¾ w relacji, jez·eli
nalez·a¾ do tego samego przedzia÷
u [m; m + 1) gdzie m jest liczba ca÷kowita.
¾ Z
tej samej uwagi wynika równiez·, z·e klasa¾ równowaz·ności liczby jest przedzia÷
[3; 4).
Zadanie 10.7. Rozpatrujemy relacje o polu Z. Które z poniz·szych relacji sa¾
relacjami równowaz·ności? Opisać klasy równowaz·ności tych relacji.
a) m R n () 7 j m n ,
b) m S n () m = n lub 7 j m + n ,
c) m T n () m = n lub m2 + n2 = 1 ,
d) m U n () (m n)2 = 1 ,
e) m V n () (m n)2 < 1 ,
f) m W n , gdy albo obie liczby m; n sa¾ równe zero, albo m n > 0 ,
g) m X n () 2mn > 1 (w tym przyk÷
adzie polem relacji jest zbiór
ca÷
kowitych róz·nych od zera.)
g) m Y n () m = n lub (m 2008 i n 2008),
h) m Z n () m2 + n > 0.
Rozwiazania,
¾
uwagi.
R jest relacja¾ równowaz·ności, poniewaz· jest zwrotna ( bo 0 jest podzielne
przez 7), symetryczna (liczba jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy
liczba do niej przeciwna jest podzielna przez 7) i przechodnia (bo jez·eli m n
dzieli sie¾ przez 7 oraz n k dzieli sie przez 7, to m k = (m n)+(n k) dzieli sie¾
przez 7). Klasy równowaz·ności tej relacji to zbiory liczb dajace
¾ z dzielenia przez
7 te¾ sama¾ reszte.
¾ Jest zatem siedem klas równowaz·ności, kaz·da reprezentowana
przez pewna¾ liczbe¾ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i kaz·da zawiera nieskończenie wiele liczb.
Moz·na to ujać
¾ inaczej: Relacja R zachodzi miedzy
¾
dwiema liczbami wtedy
i tylko wtedy, gdy daja¾ one z dzielenia przez 7 te¾ sama¾ reszte.
¾ Z tego natychmiast wynika, z·e jest to relacja równowaz·ności, a zbiór liczb ca÷kowitych jest
podzielony na klasy równowaz·ności [0], [1], [2], [3], [4], [5], [6].
S nie jest to relacja¾ równowaz·ności. Jest wprawdzie zwrotna i symetryczna,
ale nie jest przechodnia, bo na przyk÷
ad 1 S 6 oraz 6 S 15 , ale nieprawda, z·e
1 S 15 .Do klasy [j] zaliczamy te liczby, które z dzielenia przez 7 daja¾ reszte¾ j
. . Relacja T nie jest zwrotna ani przechodnia, na przyk÷ad 0 T 1 oraz 1 T 0 ,
ale nieprawda, z·e 0 T 0. Relacja U nie jest zwrotna, relacja V nie jest przechodnia. Relacje¾ W moz·na opisać tak: zachodzi ona miedzy
¾
dwiema liczbami
wtedy i tylko wtedy, gdy maja¾ one ten sam znak , przy czym rozumiemy, z·e
znakiem liczby dodatniej jest plus, ujemnej minus, a znakiem liczby zero jest
zero. Jest to wiec
¾ relacja równowaz·ności i dzieli zbiór wszystkich liczb na trzy
klasy: liczby ujemne, liczba zero i liczby dodatnie. Warunek w de…nicji relacji X
46
jest równowaz·ny temu, by mn > 0. A zatem relacje¾ te¾ moz·na opisać podobnie,
jak relacje¾ W: zachodzi ona miedzy
¾
dwiema liczbami róz·nymi od zera wtedy
i tylko wtedy, gdy maja¾ one ten sam znak. W tym przypadku sa¾ zatem tylko
dwie klasy równowaz·ności: zbiór liczb ujemnych oraz zbiór liczb dodatnich.
Aby przekonać sie,
¾ z·e Y jest relacja¾ równowaz·ności, opiszmy ja¾ nieco inaczej:
róz·ne liczby sa¾ w relacji Y , gdy obydwie sa¾ wieksze
¾
lub równe 2008. Klasami
równowaz·ności sa¾ tu: zbiory jednoelementowe z÷oz·one z liczb mniejszych od
2008, oraz "duz·y" zbiór z÷
oz·ony ze wszystkich liczb 2008: Relacja Z nie jest
oczywiście symetryczna.
Zadanie 10.8. W zbiorze wielomianów drugiego stopnia postaci x2 + px + q
, spe÷
niajacych
¾
warunek p2 4q > 0 określamy relacje,
¾ uznajac
¾ za równowaz·ne te
wielomiany, które maja¾te¾ sama¾sume¾ pierwiastków. Opisać klase¾ równowaz·ności
wielomianów x2 1 , x2 5x + 6. Wykazać, z·e zbiór klas równowaz·ności moz·na
utoz·samić ze zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych R.
Szkic rozwiazania.
¾
Ze wzorów Viete’a wynika, z·e wielomiany równowaz·ne
wzgledem
¾
tej relacji maja¾ ten sam wspó÷czynnik p przy x:Przyporzadkowanie
¾
wielomianowi tego wspó÷
czynnika wyznacza utoz·samienie zbioru wielomianów z
e zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych R :
Zadanie 10.9. Wykazać, z·e klasy równowaz·ności relacji określonej dla liczb
ca÷
kowitych róz·nych od zera wzorem
m
n () m n > 0 i m2 = n2
sa¾ jednoelementowe.
Zadanie 10.10. Opisać klasy równowaz·ności relacji określonej dla liczb zespolonych wzorem
z1
z2 () z12 = z22 :
Zadanie 10.11. Dana jest liczba naturalna n > 1:Opisać klasy równowaz·ności
relacji określonej dla liczb zespolonych wzorem
z1
z2 () z1n = z2n :
Zadanie 10.12. Opisać klasy równowaz·ności relacji ` określonej dla liczb
rzeczywistych przez
x ` y () sin x = sin y i cos x = cos y:
Zadanie 10.13. Niech f : X ! N bedzie
¾
funkcja¾ przekszta÷
cajac
¾ a¾ zbiór
X w zbiór liczb naturalnych N . Określamy relacje¾ w zbiorze X wzorem
x1 + x2 wtedy i tylko wtedy, gdy f (x1 ) = f (x2 ). Wykazać, z·e jest to relacja
równowaz·ności.
a) Opisać klasy równowaz·ności relacji określonej tak dla liczb rzeczywistych
za pomoca¾ funkcji f (x) = x2 + x :
b) Opisać klasy równowaz·ności relacji określonej tak dla liczb rzeczywistych
za pomoca¾ funkcji f (x) = x2
3x:
c) Opisać klasy równowaz·ności relacji określonej tak dla liczb ca÷kowitych za
pomoca¾ funkcji f (m) = m + j m j :
d) Opisać klasy równowaz·ności relacji określonej tak dla liczb ca÷kowitych
za pomoca¾ funkcji f (n) = n2 ( 1)n :
Rozwiazanie.
¾
Jest dość oczywiste, z·e z podanych warunków wynika, z·e
relacja jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Istotnie, f (a) = f (a), a to
47
znaczy, z·e relacja jest zwrotna. Podobnie: jez·eli f (a) = f (b) , to bez watpi¾
enia f (b) = f (a); relacja jest wiec
¾ symetryczna. Wreszcie, jez·eli f (a) = f (b) i
f (b) = f (c), to oczywiście f (a) = f (c).
a) W tym przyk÷
adzie klasa równowaz·ności danej liczby rzeczywistej y zawiera te liczby x , dla których x2 +x (y 2 +y) = 0:Rozwaz·amy to jako równanie ze
2
wzgledu
¾ na x . Wyróz·nikiem tego równania jest = 1 + 4(y 2 + y) = (2y + 1) ;
zatem pierwiastkami sa¾
= 1 y ; x2 = 1+(2y+1)
= y: Sa¾ to liczby symetrycznie
x1 = 1 (2y+1)
2
2
1
po÷
oz·one wzgledem
¾
2 :
c) Zauwaz·my, z·e dla liczb nieujemnych x mamy x + j x j = 2x. Dla liczb
ujemnych mamy x + j x j = x
x = 0 = 0 + j 0 j . Oczywiście z tego, z·e
2m = 2n wynika, z·e m = n: Zatem dla liczb dodatnich relacja jest toz·samościa¾
a poza tym jest jedna "duz·a" klasa równowaz·ności, z÷
oz·ona z liczb ujemnych i
zera.
d) Rozwaz·my liczbe¾ ca÷
kowita¾ n. Zauwaz·my, z·e f (n) = f ( n) . Zatem
klasa równowazności kaz·dej liczby zawiera liczbe¾ do niej przeciwna.
¾ Wystarczy
zatem ograniczyć sie¾ do liczb nieujemnych. Mamy f (0) = 02 ( 1)0 = 1 oraz
f (1) = 12 ( 1)1 = 2 ; f (2) = 22 ( 1)2 = 3 ; f (4) = 42 ( 1)2 = 15.
Dla dodatnich wartości argumentu funkcja ta jest funkcja¾ rosnac
¾ a.
¾ Zatem klasy
równowaz·ności sa¾ dwuelementowe (liczba i liczba do niej przeciwna) z jednym
wyjatkiem:
¾
klasa liczby 0.
Zadanie 10.14. Wykazać, z·e relacja s , określona dla macierzy kwadratowych
nieosobliwych ustalonego rozmiaru wzorem
M s N , istnieje taka macierz nieosobliwa A, z·e M = A 1 N A;
jest relacja¾ równowaz·ności. Wyznaczyć macierz, której klasa równowaz·ności
jest jednoelementowa.
1 0
1 0
Rozstrzygnać,
¾ czy macierze
i
sa¾równowaz·ne. Rozstrzygnać,
¾
0 2
0 3
1 2
4 2
czy macierze
i
sa¾ równowaz·ne.
3 4
3 1
Rozwiazanie.
¾
Jez·eli pamietamy,
¾
z·e relacja ta zachodzi miedzy
¾
macierzami
wtedy i tylko wtedy, gdy sa¾ one macierzami tego samego przekszta÷cenia liniowego, tylko byc moz·e w róz·nych bazach, to zadanie jest oczywiste. Macierze
1 0
1 0
i
nie sa¾ równowaz·ne, na przyka÷
¾ d dlatego, z·e maja¾ róz·ne
0 2
0 3
wartości w÷
asne. Moz·emy rozwiazać
¾
zadanie inaczej, bez odwo÷
ywania sie¾ do
znajomości algebry liniowej. Relacja s jest oczywiście zwrotna (wystarczy wziać
¾
za A macierz jednostkowa).
¾ Dalej, jez·eli M = A 1 N A , to N = AM A 1 :Relacja
jest wiec
¾ symetryczna. Wreszcie, jez·eli M = A 1 N A oraz N = B 1 KB, to
M = A 1 B 1 KBA = (BA) 1 K (BA): Relacja jest wiec
¾ przechodnia:
1 0
1 0
Aby przekonać sie,
¾ z·e macierze
i
nie sa¾ równowaz·ne,
0 2
0 3
moz·emy zauwaz·yć, z·e maja¾ róz·ne wyznaczniki, albo obliczyć to wprost. Niech
a b
a b
1 0
a 2b
1 0
A =
. Wtedy
=
oraz
c d
c d
0 2
c 2d
0 3
48
a b
a b
=
. Z równości macierzy wynika, z·e b = c = d = 0. Taka
c d
3c 3d
macierz A jest osobliwa.
1 2
4 2
Aby rozstrzygnać,
¾ czy macierze
i
sa¾równowaz·ne, moz·emy
3 4
3 1
a b
poszukać, jak wyz·ej, macierzy A =
: Mamy wtedy
c d
a b
1 2
a + 3b 2a + 4b
1 3
a b
=
oraz
=
c d
3 4
c + 3d 2c + 4d
2 4
c d
a + 3c
b + 3d
.
2a + 4c 2b + 4d
Z uk÷
adu równań a + 3b = a + 3c ; 2a + 4b = b + 3d ; c + 3d =
2a+4c ; 2c+4d = 2b+4d wyznaczamy wiele moz·liwości otrzymania nieosobliwej
3 1
macierzy A: Na przyk÷
ad moz·na wziać
¾ A=
:
1
1
3 1
1 2
0
2
1 3
3 1
0
2
=
=
1
1
3 4
2
2
2 4
1
1
2
2
1 2
4 2
Macierze
i
sa¾ zatem równowaz·ne.
3 4
3 1
Zadanie 10.15. Wykazać, z·e relacja, zachodzaca
¾ miedzy
¾
macierzami kwadratowymi nieosobliwymi, gdy istnieje taka macierz nieosobliwa A, z·e M = AT N A;
1 0
1 0
jest relacja¾ równowaz·ności. Rozstrzygnać,
¾ czy macierze
i
0 1
0
1
sa¾ równowaz·ne.
Szkic rozwiazania.
¾
Jez·eli wiemy, z·e relacja podana opisuje macierze, które sa
macierzami formy kwadratowej w róznych bazach, to zadanie jest banalne. Jez·eli
tego wiemy, moz·emy ÷
atwo rozwiazać
¾
zadanie, naśladujac
¾ rozwiazanie
¾
zadania
poprzedniego. Relacja jest oczywiście zwrotna (wystarczy wziać
¾ za A macierz
jednostkowa).
¾ Dalej, jez·eli M = AT N A , to N = AM AT :Relacja jest wiec
¾ symetryczna. Wreszcie, jez·eli M = AT N A oraz N = B T KB, to M = AT B T KBA
= (BA)T K (BA): Relacja jest wiec
¾ przechodnia: Aby przekonać sie,
¾ z·e
1 0
1 0
macierze
i
nie sa¾ równowaz·ne, poszukajmy macierzy A:
0 1
0
1
a b
Niech bedzie
¾
ona równa A =
.
c d
a b
1 0
a c
a2 + b2 ac + bd
Wtedy
=
. To nie
c d
0 1
b d
ac + bd c2 + d2
1 0
moz·e być równe
, bo w prawym dolnym naroz·niku sa¾ liczby róznych
0
1
znaków.
Zadanie 10.16. Dana jest macierz A =
kwadratowych 2 2 rozpatrujemy relacje:
¾ M
49
1
1
. W zbiorze macierzy
0 0
N , AM = AN: Rozstrzygnać,
¾
czy jest to relacja równowaz·ności. Opisać klase¾ równowaz·ności macierzy
1
2
2
1
:Czy
wszystkie klasy równowaz·ności sa równoliczne?
Zadanie 10.17. W zbiorze macierzy kwadratowych n n wprowadzamy
relacje¾ v określona¾ wzorem
A v B wtedy i tylko wtedy, gdy AB = BA: Rozstrzygnać,
¾ czy jest to relacja
zwrotna, symetryczna i czy jest przechodnia.
Rozwiazanie.
¾
Jest to relacja zwrotna, bo A A = A A. Jest symetryczna, bo
jez·eli AB = BA, to BA = AB. Nie jest to relacja przechodnia. Kaz·da macierz
kwadratowa jest bowiem przemienna z nacierza¾ jednostkowa,
¾ A:I = I:A. A zatem gdyby określona tu relacja by÷a przechodnia, to kaz·de dwie macierze by÷yby
przemienne, to znaczy dla kaz·dych dwóch macierzy ich iloczyn nie zalez·a÷by od
kolejności. Wiemy jednak, z·e tak nie jest.
Zadanie 10.18. Podać przyk÷ad zbioru nieskończonego X i takiej relacji
równowaz·ności o polu X , która ma dok÷adnie 2007 klas równowaz·ności.
Rozwiazanie.
¾
Wystarczy podać rozbicie zbioru X na 2007 roz÷
acznych
¾
podzbiorów.
Zadanie 10.19. Sprawdzić, czy relacja R zachodzaca
¾ miedzy
¾
liczbami zespolonymi, a określona wzorem:
z1 R z2 wtedy i tylko wtedy, gdy j z1 j + j z2 j
3
jest zwrotna, czy jest symetryczna i czy jest przechodnia.
Odpowiedź: Nie jest zwrotna, jest symetryczna, nie jest przechodnia.
Zadanie 10.20. Sprawdzić, czy relacja T zachodzaca
¾ miedzy
¾
z1 T z2 wtedy i tylko wtedy, gdy z1 z2 2 R
Rozwiazanie.
¾
Relacja jest zwrotna, bo zawsze gdy od pewnej liczby odejmiemy liczbe¾ równa,
¾ to otrzymamy zero. Relacja jest symetryczna, bo jez·eli
z1 z2 jest liczba¾ rzeczywista,
¾ to z2 z1 tez·. Jest to tez· relacja przechodnia. Istotnie, jez·eli z1 z2 2 R oraz z2 z3 2 R, to z1 z3 = (z1 z2 )+(z2 z3 ) 2 R:
Klasy równowaz·ności [z] sa¾ jednoelementowe, gdy z 2 R i dwuelementowe
(z÷
oz·one z danej liczby i liczby do niej sprze¾z·onej), gdy z 2
= R.
Zadanie 10.21. Sprawdzić, czy relacja U zachodzaca
¾ miedzy
¾
z1 U z2 wtedy i tylko wtedy, gdy z1 z2 2 R
Rozwiazanie.
¾
Relacja nie jest zwrotna, bo kwadrat liczby zespolonej nie musi
być liczba¾ rzeczywista.
¾ Jest oczywiście symetryczna. Nie jest relacja¾ przechodnia.
¾ Na przyk÷
ad (1 + i) (1 + i)3 = 4 jest liczba¾ rzeczywista,
¾ podobnie jak
(1 + i)3 (1 + i). Natomiast (1 + i) (1 + i) = 2i 2
= R.
Zadanie 10.22. Określić pole relacji tak, z·eby mia÷
a ona sens i rozstrzygnać,
¾
czy jest ona relacja¾ równowaz·ności: prostopad÷
ość, równoleg÷
ość, równoliczność,
podobieństwo, przystawanie, posiadanie wspólnego czynnika > 1.
Zadanie 10.23. W zbiorze ciagów
¾
spe÷
niajacych
¾
warunek Cauchy’ego wprowadzamy
relacje¾ wzorem:
ciag
¾ (an ) jest w relacji z ciagiem
¾
(bn ), jez·eli ciag
¾ a1 ; b1 ; a2 ; b2 ; a3 ; b3 ; ::: tez·
jest ciagiem
¾
Cauchy’ego. Wykazać, z·e jest to relacja równowaz·ności i z·e zbiór
50
ilorazowy moz·na utoz·samić ze zbiorem liczb rzeczywistych R .
Zadanie 10.24. W zbiorze ciagów
¾
o wyrazach rzeczywistych wprowadzamy
relacje¾ wzorem:
ciag
¾ (an ) jest w relacji z ciagiem
¾
(bn ), jez·eli ciagi
¾ te roz·nia¾ sie¾ na conajwyz·ej
skończonej liczbie miejsc. Wykazać, z·e jest to relacja równowaz·ności.
Zadanie 10.25. W zbiorze funkcji ciag÷
¾ ych na odcinku [0; 1] wprowadzamy
relacje¾ uznajac
¾ za równowaz·ne te funkcje, których wartości w punkcie x = 21 sa¾
równe. Wykazać, z·e jest to istotnie relacja równowaz·ności i z·e zbiór ilorazowy
moz·na utoz·samić ze zbiorem liczb rzeczywistych R .
Zadanie 10.26. Podać przyk÷ad takiej relacji równowaz·ności, niebed
¾ acej
¾
relacja¾ przystawania modulo 2, która rozbija zbiór liczb ca÷kowitych na klasy
dwuelementowe.Opisać te¾ relacje¾ s÷ownie i wzorem.
Zadanie 10.27. Niech A = f1; 2; 3; 4; 5; 7g: W iloczynie kartezjańskim A A
wprowadzamy relacje¾ R wzorem (a; b) R (c; d) , min fa; bg = minfc; dg.
b) Ile elementów ma zbiór ilorazowy A A /R ?
c) Ile elementów ma najliczniejsza klasa równowaz·ności?
Rozwiazanie.
¾
Co znaczy określona tu relacja? Jak moz·na ja¾ opisać bez
wzoru? Bardzo prosto. W kaz·dej parze liczbowej zwracamy uwage¾ tylko na
mniejsza.
¾ A zatem pary równowaz·ne z (4,6) to wszystkie te, w których mniejsza
z liczb jest równa 4: (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (5,4), (6,4), (7,4).
Zbiór ilorazowy to zbiór wszystkich klas równowaz·ności. Jest zatem siedem
klas: Najliczniejsza z nich to ta, gdzie mniejsza z liczb jest 1: (1,1), (1,2), (1,3),
(1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (7,1), (6,1), ..., (2,1).
Maja¾ one kolejno 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1 elementów. Najmniejsza jest klasa
jednoelementowa, z÷
ozona z pary (7,7). Sprawdzamy: 13+11+9+7+5+3+1 =
49 = 72 :
Zadanie 10.28. Niech A = f 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4g: W iloczynie kartezjańskim A A wprowadzamy relacje¾ wzorem (a; b) (c; d) , j max fa; bg j =
j maxfc; dg j.
b) Ile elementów ma zbiór ilorazowy A A / ?
c) Wskazać najmniej liczna¾ klase¾ równowaz·ności.
Rozwiazanie.
¾
Klasa równowaz·ności pary (3,4) sk÷
ada sie¾ z tych par, gdzie
najwiekszym elementem jest 4 albo -4, a zatem z nastepuj
¾ acych
¾
par: (-4,-4),
(*,4) oraz (4,*), gdzie * oznacza kolejne liczby -4, ..., 4. Zbiór ilorazowy ma
5 elementów, bo tylko 0, 1,2,3,4 moga¾ być najwiekszymi
¾
wartościami funkcji
"modu÷maksimum". Jest jedna jednoelementowa klasa: z÷oz·ona z pary (0,0).
51
Wyk÷
ad 11. Relacje porzadkujace.
¾
Trzecim najwaz·niejszym typem relacji –po relacjach równowaz·ności i funkcjach –
sa¾ rozmaite relacje porzadkuj
¾
ace.
¾ Ogólnie rzecz biorac,
¾ w relacji porzadku¾
jacej
¾ musimy umieć
elementy porównywać: który jest mniejszy (wcześniejszy), a który wiekszy
¾
(późniejszy). Ale nawet ta prosta relacja
ma inne w÷asności, gdy rozpatrywana jest na zbiorze liczb naturalnych, liczb ca÷kowitych lub liczb rzeczywistych.
Na przyk÷
ad w zbiorze liczb naturalnych kaz·dy niepusty podzbiór ma element
najmniejszy, co nie jest prawda¾ dla relacji mniejszości w zbiorze Z liczb ca÷kowitych, ani w zbiorze R wszystkich liczb rzeczywistych. Z kolei liczby rzeczywiste
uporzadkowane
¾
sa¾w sposób gesty:
¾
miedzy
¾
dwie liczby rzeczywiste zawsze moz·na
wstawić trzecia.
¾ Przyk÷
ady te pokazuja,
¾ z·e relacja porzadkuj
¾
aca
¾ moz·e być "lepsza" lub "gorsza", a w kaz·dym razie mieć wiele specy…cznych w÷asności.
Dla informatyka relacje porzadkuj
¾
ace
¾ maja¾ z oczywistych wzgledów
¾
duz·e
znaczenie. Na przyk÷
ad, dobre uporzadkowanie
¾
zbioru (w sensie de…nicji podanej niz·ej) umoz·liwia konstruowanie programów rekurencyjnych i indukcyjnych.
Przypominam, z·e relacja w zbiorze X to pewien podzbiór R iloczynu kartezjańskiego X X i z·e zamiast pisać (x; y) 2 R, piszemy xRy i mówimy, z·e
x jest w relacji z elementem y. Zbiór X
nazywamy polem relacji. Omówimy systematycznie róz·ne typy relacji porzad¾
kujacych.
¾
Poniewaz· porzadek
¾
przypomina nierówność, bedziemy
¾
uz·ywać symbolu a
b na zaznaczenie, z·e elementy a oraz b sa¾ zwiazane
¾
ogólna¾ relacja¾
porzadkuj
¾
ac
¾ a.
¾ Jest to zapis bardziej przejrzysty niz· aRb:
Pierwszym warunkiem, który nak÷adamy na relacje porzadkuj
¾
ace,
¾ jest zwrotność: kaz·dy element jest sam ze soba¾ w relacji:
8 a 2 X zachodzi a a:
Na przyk÷
ad relacja
spe÷
nia ten warunek w kaz·dym zbiorze liczbowym.
Drugim wspólnym warunkiem dla wszystkich relacji porzadkuj
¾
acych
¾
jest jej
przechodniość. Znaczy to, z·e dla wszystkich a; b; c nalez·acych
¾
do pola tej relacji
ma być spe÷
niony warunek:
jez·eli a b i takz·e b c, to a c
Ten warunek jest równiez· spe÷niony przez zwyk÷
a¾relacje¾ w kaz·dym zbiorze
liczbowym.
De…nicja. Mówimy, z·e pewna relacja polu X jest w tym zbiorze X relacja¾
cześciowego
¾
porzadku
¾
wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwrotna, przechodnia oraz
dla kaz·dych a2 X, b2 X jest prawda,
¾ z·e
a b oraz b a , to a = b
to znaczy, z·e jez·eli z kaz·dych dwóch elementów pierwszy jest mniejszy (wcze´sniejszy)
od drugiego, a drugi mniejszy (wcze´sniejszy) od pierwszego (w sensie rozpatrywanej relacji) , to jest to moz·liwe tylko wtedy, gdy elementy te sa¾ identyczne.
Jez·eli relacja spe÷
nia powyz·szy trzeci warunek, to mówimy, z·e jest
na wpó÷przeciwsymetryczna. Nie jest to specjalnie szcześliwy
¾
termin, ale
utar÷sie¾ i jest uz·ywany. Oznacze¾ go skrótem NWP. Nazywa sie¾ go tez· s÷aba¾
antysymetria.
¾
52
Spójrzmy na relacje z przyk÷
adu 10.6 (poniz·ej). Widzimy, z·e liczby wieksze
¾
od 2 sa¾ w tej relacji uporzadkowane
¾
"normalnie", wed÷
ug "starszeństwa". Zero
jest mniejsze niz· dwa,
liczba 1 tez· jest mniejsza niz· dwa, ale 0 i 1 sa¾ nieporównywalne:
nie jest prawda,
¾ z·e 0 1, ale tez· nie jest prawda,
¾ z·e 1 0.
Mimo to warunek NWP jest spe÷
niony.
Cwiczenie. Chcemy określić w zbiorze wszystkich liczb ca÷kowitych relacje¾
porzadkuj
¾
ac
¾ a¾ tak, by otrzymać porzadek
¾
cześciowy
¾
i by
liczba 0 by÷
a mniejsza od wszystkich innych (poprzedza÷a wszystkie inne),
a poza tym porzadek
¾
by÷by "normalny" : dla liczb róz·nych od zera m
n
gdy m n:
Teorie¾ bedziemy
¾
ilustrować na kilku przyk÷adach, do których bedziemy
¾
sie¾
najczesciej
¾
odwo÷
ywać.
Przyk÷
ad 10.1 . Relacja mniejszości
w zbiorze liczb naturalnych; na te¾
relacje¾ mówimy zwyczajowo relacja mniejszości, ale powinno sie¾ nazywać sie¾ ja¾
relacja niewiekszości,
¾
bo nierówność jest nieostra.
Przyk÷
ad 11.2. Relacja mniejszości w zbiorze liczb ca÷kowitych.
Przyk÷
ad 11.3. Relacja mniejszości w zbiorze liczb wymiernych.
Przyk÷
ad 11.4. Relacja zawierania (inkluzji) zbiorów: A
B, bed
¾ acych
¾
podzbiorami pewnego ustalonego zbioru X. Polem tej relacji jest zbiór potegowy
¾
2X = P (X) –zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X.
Przyk÷
ad 11.5. Relacja
zachodzaca
¾ miedzy
¾
wielomianami zmiennej x o
wspó÷
czynnikach rzeczywistych:
jez·eli stopień f jest mniejszy niz· stopień g, to f g;
–jez·eli stopnie f i g sa¾ róz·ne, to f g gdy st f < st g ,
- jez·eli stopnie f i g sa¾ róz·ne i równe n, to f
g , gdy wspó÷czynnik
przy xn w wielomianie f jest mniejszy od wspó÷czynnika przy xn w
wielomianie g
–jez·eli stopnie sa¾ równe i równe sa¾ wspó÷czynniki przy
najwyz·szej potedze
¾
x, to porównujemy wspó÷
czynniki przy kolejnej
potedze
¾
xn 1 jeśli i te sa¾ równe, to patrzymy na wspó÷czynnik
przy xn 2 i tak dalej.
Przyk÷
ad 11.6. W zbiorze liczb naturalnych z zerem w÷acznie
¾
N= { 0; 1; 2; 3; 4; 5,
....}
rozpatrujemy relacje¾ określona¾ wzorem x y gdy x < y + 2 .
Przyk÷
ad 11.7. Uk÷
ad katalogów na twardym dysku komputera wyznacza
pewien porzadek.
¾
Nie ma w nim cykli. Zbiór uporzadkowany
¾
o tych w÷asnościach (tzn. niemajacy
¾ cykli) nazywamy drzewem.
Przyk÷
ad 11.8. Inna relacja¾ porzadkujac
¾ a¾ liczb naturalnych moz·e być
m n wtedy i tylko wtedy, gdy m 2 lub m n:
Przyk÷
ad 11. 9. W zbiorze liczb ca÷
kowitych określamy relacje¾
m n wtedy i tylko wtedy, gdy m n i jednocześnie mn > 0
Przyk÷
ad 11.10. W zbiorze liczb ca÷kowitych dodatnich rozpatrujemy
relacje¾ podzielności:
m n wtedy i tylko wtedy, gdy mjn (to znaczy, gdy m jest dzielnikiem n):
53
Zadanie 11.1. W przyk÷
adach 11.1 - 11.10 wyznaczyć elementy minimalne i
maksymalne, najmniejsze i najwieksze.
¾
Zadanie 11.2. W przyk÷adzie 11.5 uporzadkować
¾
w kolejności (od najmniejszego
do najwiekszego)
¾
wielomiany x; 2x2 +5x+6; 2x2 +x+7; 2x2 +5x+6; x3 +1
Zadanie 11.3 W których z przyk÷
adów 11.1-11.10 moz·e sie¾ zdarzyć, z·e
dla pewnych elementów a; b nie zachodzi ani a b;ani b a ?
Porzadek
¾
leksykogra…czny w iloczynie kartezjańskim zbiorów
uporzadkowanych
¾
Wszyscy znamy zasade¾ wed÷ug której tworzone sa¾ wszelkiego rodzaju listy
alfabetyczne. W szkole podstawowej poznajemy uporzadkowanie
¾
liter alfabetu.
Obecnie jest ono takie:
AABC
¾ ĆDEEFGHIJKL×
¾
MNŃOÓPQRSŚTUVWXYZŹZ·
ale za czasów szkolnych autora tego skryptu kolejność Z· i Ź by÷
a przestawiona i nie mówi÷
o sie¾ o Q, V ani X. Tak czy owak, jeśli ustalimy kolejność liter
alfabetu, to nazwy porzadkujemy wed÷
ug oczywistej zasady: decyduje pierwsza
litera, potem druga, trzecia i tak dalej. Zauwaz·my, z·e z dwóch nazwisk takich Kot i Kotański postawimy to pierwsze wcześniej, tak jakby na końcu sta÷o
nieskończenie wiele liter wcześniejszych niz· a. Te zasady porzadkowania
¾
sa¾ nam
dobrze znane. Matematycy nazywaja¾ to porzadkiem
¾
leksykogra…cznym.
De…nicja. Niech bed
¾ a¾ dane dwa zbiory: zbiór X z relacja¾ porzadkuj
¾
ac
¾ a,
¾
która¾ oznaczymy symbolem J i zbiór Y z relacja¾ porzadkuj
¾
ac
¾ a,
¾ która¾ oznaczymy
symbolem v. Porzadkiem
¾
leksykogra…cznym w iloczynie kartezjańskim X
Y nazywamy relacje¾
określona¾ tak
(x1 ; y1 ) (x2 ; y2 ) gdy albo x1 J x2 oraz x1 6= x2 ;albo x1 = x2 oraz y1 v y2 :
Zadanie 11.4. Przekonać sie,
¾ z·e powyz·sza de…nicja oddaje intuicje¾
pojecia
¾ porzadku
¾
leksykogra…cznego (s÷ownikowego): decyduje porzadek
¾
na
pierwszej wspó÷
rzednej,
¾
a w nastepnej
¾
kolejności na drugiej wspó÷rzednej.
¾
Zadanie 11.5. Napisać elementy iloczynu kartezjańskiego
{ 1,2,3,4,5} { 1,2,3 } w porzadku
¾
leksykogra…cznym.
Zadanie 11.6. W zbiorze jednomianów xm y n dwóch zmiennych x i y
wprowadzamy porzadek
¾
leksykogra…czny. Opisać go dok÷adniej.
Wypisać kilkanaście poczatkowych
¾
elementów ciagu
¾
tych jednomianów uporzadkowanego
¾
leksykogra…cznie.
Zadanie 11.7. W zbiorze liczb zespolonych wprowadzamy porzadek
¾
uznajac
¾
z1
z2 , gdy zarówno modu÷z1 , jak i argument (g÷
ówny) z1 jest niewiekszy
¾
niz· modu÷i argument z2 : Naszkicować diagram Hassego dla tego porzadku
¾
w
zbiorze zespolonych ca÷
kowitych, to jest postaci m + ni, gdzie m; n sa liczbami
ca÷
kowitymi.
Szkic rozwiazania.
¾
Podane określenie nie wyjaśnia, czy 0 jest mniejsza od
innych liczb. Liczba 0 nie ma bowiem argumentu. Przyjmijmy, z·e jest ona
mniejsza od wszystkich innych. Nastepuj
¾ a¾p
cztery liczby o module 1, w kolejności
1, i;
i; 1: Nastepne
¾
sa¾ liczby module 2; sa¾ to 1 + i; 1 + i; 1 i; 1 i
54
. Mamy
1+i
::: !
2 !
1
#
1 i
.
&
:::
2i
"
i
1+i
"
"
0
!
1
! 2
#
#
i ! 1 i
#
2i
:::
! :::
Zadanie 11.8. W zbiorze macierzy 2 na 2 o wyrazach bed
¾ acych
¾
liczbami
ca÷
kowitymi 0 i 1 wprowadzamy porzadek
¾
nastepuj
¾ acy:
¾
M
N , gdy det
M
det N:Gdy zaś wyznaczniki sa równe, macierz M uznajemy za mniejsza¾
(wcześniejsza)
¾ niz· N , gdy jest od niej wcześniejsza w porzadku
¾
leksykogra…cznym.
Wypisać wszystkie te macierze w porzadku
¾
tak określonym.
Rozwiazanie.
¾
Jest 24 = 16 takich macierzy. Z liczb 0, 1 ustawionych w
macierz kwadratowa¾ 2 na 2 moz·na uzyskać tylko wyznaczniki -1, 0 +1. Zatem
najpierw wypiszemy macierze o wyznaczniku -1.
0 1
0 1
1 1
,
;
, potem te o wyznaczniku 0 :
1 0
1 1
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
0 1
,
;
,
;
,
;
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 0
1 1
1 1
1 0
,
;
;
, wreszcie o wyznaczniku 1
0 0
1 0
0 0
1 1
0 1
1 1
:
0 1
¾ acych
¾
liczbami
ca÷
¾
nastepuj
¾ acy:
¾
M
N , gdy det
M
det N:Gdy zaś wyznaczniki sa¾ równe, macierz M uznajemy za mniejsza¾
(wcześniejsza)
¾
leksykogra…cznym.
Napisać trzy pierwsze i trzy ostatnie macierze. Na którym miejscu jest macierz
jednostkowa?
¾ acych
¾
liczbami
ca÷
¾
nastepuj
¾ acy:
¾
M
N , gdy jdet
Mj
j det N j:Gdy zaś wyznaczniki sa¾ równe, to macierz M uznajemy za
mniejsza¾(wcześniejsza)
¾
leksykogra…cznym. Napisać pierwszych sto macierzy wzgledem
¾
tego porzadku.
¾
¾ acych
¾
liczbami
ca÷
¾
nastepuj
¾ acy:
¾
M
N , gdy jdet
55
;
1
1
0
1
,
Mj
j det N j:Gdy zaś modu÷
y wyznaczników sa¾ równe, to macierz M uznajemy za mniejsza¾(wcześniejsza)
¾
leksykogra…cznym z gradacja¾ na ciagach
¾
czteroelementowych. Napisać wszystkie te macierze w opisanym porzadku.
¾
¾ acych
¾
liczbami
ca÷
¾
nastepuj
¾ acy:
¾
M
N , gdy albo
macierze sa¾ równe, albo det M < det N:Opisać ten porzadek.
¾
¾ acych
¾
liczbami
ca÷
¾
nastepuj
¾ acy:
¾ M
N , gdy
jez·eli wyznacznik macierzy M jest równy zero, a wyznacznik macierzy N
nie, to M
N,
jez·eli wyznaczniki macierzy M i N sa¾ równe i niezerowe, to M
N ,
gdy M jest wcześniejsza w porzadku
¾
leksykogra…cznym z gradacja¾ na ciagach
czteroelementowych,
jez·eli wyznaczniki macierzy M i N sa¾ róz·ne i niezerowe, to M
N gdy
wyznacznik M jest wiekszy
¾
niz· wyznacznik N:
Zadanie 11.14. W zbiorze iloczynie kartezjańskim (1; 2; 3; 4; 5; ::mg (1; 2; 3; ::::; ng
_
¾
C wzorem (a; b) C (c; d) gdy a c i b d:Wyznaczyć
elementy minimalne i maksymalne. Podać przyk÷ady ÷
ańcuchów. Niech teraz
m = n = 5. Wyznaczyc kresy, jez·eli istnieja,
¾ par (1; 2) i (2; 1) oraz (2,3) i
(4,2).
Rozwiazanie
¾
wynika z nastepuj
¾ acej
¾ interpretacji tego porzadku:
¾
para (a; b) poprzedza (c; d);
jez·eli na obu wspó÷
rzednych
¾
jest spe÷
niona zwyk÷a nierówność
. A zatem (1; 2) C (2; 3) C (2; 4) C (5; 5):Ale pary (1; 2) i (2; 1) sa¾ nieporównywalne. Geometrycznie, punkt A poprzedza B, jez·eli lez·y od niego "niz·ej lub
nie wyz·ej" i "na lewo lub chociaz· nie na prawo". Na diagramie poniz·ej mamy
A C B ; A C D ; B C C ; C C D, ale miedzy
¾
punktami B; D nie jest prawda,
¾
z·e B C D, ani D C B:
¾ acych
¾
0 lub 1
¾
w nastepuj
¾ acy
¾ sposób. Kaz·dej macierzy przyporzad¾
kujemy dwie liczby: jej wyznacznik W (M ) i jej ślad S(M ). ´Sladem macierzy
nazywamy sume¾ elementów na przekatnej.
¾
Porzadek
¾
określamy tak:
M N gdy albo M = N albo para (W (M ); S(M )) poprzedza (W (N ); S(N ))
w porzadku
¾
leksykogra…cznym. Narysować diagram Hassego tego porzadku.
¾
Wskazać elementy minimalne i maksymalne, najwiekszy
¾
i najmniejszy (jeśli
sa).
¾ Czy istnieje kres górny zbioru z÷oz·onego z macierzy zerowej i macierzy
jednostkowej?
Rozwiazanie.
¾
Wypiszmy wszystkie macierze 2 na 2 o wyrazach 0,1 wraz z
ich wyznacznikami i śladami (ślad oznaczamy przez tr, od angielskiego trace ):
0 0
1 0
A=
, det A = 0, tr A = 0;
B =
, det B = 0, tr
0 0
0 0
B = 1;
56
C =
0
0
1
0
, det C = 0, tr C = 0;
0
0
0
1
, det E = 0, tr E = 1;
D =
0
1
0
0
, det D = 0, tr
F =
1
0
1
0
, det F = 0, tr
D = 0;
E =
F = 1;
G=
J =
1 0
1 0
0 1
1 0
, det G = 0, tr G = 1;
, det J =
1
0
I=
1, tr J = 0;
0
1
, det I = 1, tr I = 2;
0
0
K =
1
1
, det K = 0, tr
K = 1;
L=
0
1
0
1
, det L = 0, tr L = 1;
1
0
1
1
, det N = 1, tr N = 2;
P =
1
1
0
1
, det P = 1, tr
0
1
1
1
, det R =
S =
1
1
1
1
, det S = 0, tr
M =
1
1
1
0
, det M =
1, tr
M = 1;
N =
P = 2;
R =
1, tr R = 1;
S = 2:
Inaczej mówiac,
¾ poszczególne macierze odpowiadaja¾ nastepuj
¾ acym
¾
parom
(det; tr) :
( 1; 0) ! J ; (0; 0) ! A; C ; D ; ( 1; 1) ! M; R ; (0; 1) ! B; E; F; G; K ; L; ;
(0; 2) ! S ; (1; 2) ! I; N; P ;
W porzadku
¾
leksykogra…cznym sa¾ one uporzadkowane
¾
liniowo w ten sposób:
J; (M; R); (A; C; D); (B; E; F; G; K ; L) ; S; (I; N; P ). Miedzy
¾
macierzami
z tej samej grupy (wzietej
¾ w nawias) nie zachodzi relacja. Zatem elementem
minimalnym jest J i jest to tez· element najmniejszy. Elementami maksymalnymi sa¾ I; N; P . Poniewaz· zarówno macierz zerowa A , jak i macierze C; D sa¾
macierzami mniejszymi od macierzy jednostkowej I, zatem inf (A; I) nie istnieje.
Podobnie nie istnieje sup (A; I):
Zadanie 11.16. Przy oznaczeniach z poprzedniego zadania wprowadzamy
ma macierzach porzadek
¾
nastepujacy
¾
M
N , gdy para (det M ; trM ) jest
mniejsza od (det M; tr N ) w sensie porzadku
¾
opisanego w zadaniu 11.14.
Narysować diagram Hassego tego porzadku.
¾
Wskazać elementy minimalne i
maksymalne, najwiekszy
¾
i najmniejszy (jeśli sa).
¾ Czy istnieje kres górny zbioru
z÷
oz·onego z macierzy zerowej i macierzy jednostkowej?
Rozwiazanie.
¾
Wszystko ÷atwo wynika z diagramu Hassego:
Zadanie 11.17. Niech dla macierzy M symbol k(M ) oznacza sume¾ elementów pierwszej kolumny macierzy. W oznaczeniach zadania 11.15 wprowadzamy
porzadek
¾
n, uznajac,
¾ z·e M n N gdy albo M = N albo (det M; k(M ))
57
poprzedza (det M; k(M )) w porzadku
¾
opisanym w zadaniu 11.14. Powtórzyć
zadanie 11.15 dla tego porzadku
¾
n.
Rozwiazanie.
¾
W oznaczeniach z rozwiazania
¾
zadania 11.15 mamy
0 0
1 0
A =
, det A = 0, k (A) = 0;
B =
, det B = 0,
0 0
0 0
k (B) = 1;
0 1
0 0
C =
, det C = 0, k(C) = 0;
D =
, det D = 0,
0 0
1 0
k(D) = 1;
0 0
1 1
E =
, det E = 0, k(E) = 0;
F =
, det F = 0,
0 1
0 0
k(F ) = 1;
1 0
1 0
G=
, det G = 0, k(G) = 2; I =
, det I = 1, k(I) = 1;
1 0
0 1
0 1
0 1
J =
, det J = 1, k(J) = 1;
K =
, det K = 0,
1 0
0 1
k(K) = 0;
0 0
1 1
L =
, det L = 0, k(L) = 1;
M =
, det M = 1,
1 1
1 0
k(M ) = 2;
1 1
1 0
N =
, det N = 1, k(N ) = 1;
P =
, det P = 1,
0 1
1 1
k(P ) = 2;
0 1
1 1
R =
, det R = 1, k(R) = 1;
S =
, det S = 0,
1 1
1 1
k(S) = 2:
Stad
¾ otrzymujemy diagram Hassego:
Zadanie 11.18. W zbiorze liczb naturalnych {1,2,3,.....1024} wprowadzamy
porzadek
¾
w nastepuj
¾ acy
¾ sposób. Przedstawiamy liczbe¾ n w postaci n = 2k + l,
k
gdzie l < 2 . Liczbe¾ m uznajemy za wcześniejsza¾ niz· n; gdy m = 2p + q, q < 2p
i para (k; l) jest wcześniejsza od (p; q) w porzadku
¾
opisanym w zadaniu 11.14,
to znaczy, gdy k p i l q. Wyznaczyć elementy minimalne i maksymalne, najwiekszy
¾
i najmniejszy (jez·eli istnieja).
¾ Podać przyk÷
ad najd÷uz·szego ÷ańcucha.
Wyznaczyć (jez·eli istnieja)
¾ kresy par (1,2), (10,13), (100, 128), (256,512).
Rozwiazanie.
¾
Wynika z diagramu Hassego tego porzadku.
¾
Porzadku
¾
tego
58
"
128
"
64
"
32
"
16
uz·ywamy przy dowodzie
"
8
"
4
"
2
"
1
!
129
!
130
!
131
! 132
!
133
!
134
! 135
!
65
!
66
!
67
!
68
!
69
!
70
!
71
!
33
!
34
!
35
!
36
!
37
!
38
!
39
!
17
!
18
!
19
!
20
!
21
!
22
!
23
!
9
!
10
!
11
!
12
!
13
!
14
!
15
!
5
!
6
!
7
!
3
nierówności miedzy
¾
średnia¾ arytmetyczna¾ a średnia¾ geometryczna.
¾
Zadanie 11.19. W zbiorze liczb naturalnych {1,2,3,.....120} wprowadzamy
porzadek
¾
w nastepuj
¾ acy
¾ sposób. Przedstawiamy liczbe¾ n w postaci n = k! + l,
gdzie k!
n < (k + 1)!. Liczbe¾ m uznajemy za wcześniejsza¾ niz· n; gdy m =
p! + q; gdzie p!
m < (p + 1)! i para (k; l) jest wcześniejsza od (p; q) w
porzadku
¾
opisanym w zadaniu 11.14, to znaczy, gdy k p i l q. Wyznaczyć
elementy minimalne i maksymalne, najwiekszy
¾
i najmniejszy (jez·eli istnieja).
¾
Podać przyk÷
ad najd÷
uz·szego ÷
ańcucha. Wyznaczyć (jez·eli istnieja)
¾ kresy par
(1,2), (5, 7),(10,13) (100, 120).
Rozwiazanie
¾
(szkic). Mamy kolejno 1 = 1! + 0; 2 = 2! + 0, 3 = 2! + 1; 4 =
2! + 2; 5 = 2! + 3; 6 = 3! + 0 ;
7 = 3! + 1; 8 = 3! + 2, 9 = 3! + 3; ::::Porzadek
¾
wyglada
¾ tak, jak w diagramie
poniz·ej. Liczba 120 nie jest najwieksza,
¾
bo np. nie zachodzi ani 119 120 ,
ani 120
119. Jest elementem maksymalnym.Inne elementy maksymalne to
5, 23 i 119. Liczba 1 jest najmniejsza. Najd÷uz·szy ÷ańcuch to 1 ! 2 ! 6 ! 24
! 25 ! 26 ! ::: ! 119: Mamy : inff1; 2g = 1; supf1; 2g = 2; inff5; 7g =
2; supf5; 7g nie istnieje ; inff10; 13g = 10; supf10; 13g = 13; ,
inff100; 120g = 24; supf100; 120g nie istnieje.
59
120
"
24 ! 25 ! 26 ! 27 ! 28 ! 29 ! 30 ! 31 ! 32 ! ::: !
"
6 ! 7 ! 8 ! 9 ! 10 ! 11 ! 12 ! 13 ! 14 ! ::: !
"
2 ! 3 ! 4 ! 5
"
1
60
119
23
Wyk÷
ad 12. Elementy maksymalne i minimalne. Kresy. Porzadek
¾
liniowy, dobry, spójny i inne.
Określenie porzadku
¾
liniowego jest bardzo proste. Zbiór X cześciowo
¾
uporzad¾
kowany przez relacje¾ nazywamy liniowo uporzadkowanym,
¾
jez·eli dla kaz·dych
dwóch elementów a 2 X, b 2 X, jest spe÷niony jeden z dwóch warunków:
a b ; b a: Innymi s÷
owy: kaz·de dwa elementy tego zbioru dadza¾ sie¾ porównać.
Zadanie 12.1. Które ze zbiorów z przyk÷adu 11.1-11.12 sa¾ liniowo uporzad¾
kowane
przez opisane tam relacje?
Zadanie 12.2. Czy zbiór podzbiorów ustalonego zbioru moz·e być liniowo
uporzadkowany
¾
przez relacje¾ inkluzji?
Zadanie 12.4. Podać sposób liniowego uporzadkowania
¾
zbioru wszystkich
punktów kratowych p÷
aszczyzny, to jest punktów postaci (m; n), gdzie n oraz
m sa¾ liczbami ca÷
kowitymi.
W zbiorze liczb naturalnych {1,2,3,4, 6,7....29,35} , z÷oz·onym z liczb niepodzielnych przez 5 i mniejszych od 30 oraz dodatkowo z liczby 35 określamy relacje¾
C wzorem x C y , x = y _ x + 3 y:
a) Wyznaczyć elementy minimalne.
b) Wyznaczyć elementy maksymalne.
c) Wyznaczyć element najwiekszy.
¾
d) Wyznaczyć element najmniejszy.
e) Wyznaczyć kresy zbioru {4,6,7},
f) Podać przyk÷
ad najd÷
uz·szego ciagu
¾ x1 C x2 C ::: C xn ;w którym wszystkie liczby sa róz·ne.
Odpowiedź. Elementy minimalne to 1,2,3. Najmniejszych nie ma. Liczba
35 jest najwieksza,
¾
zatem i maksymalna. Innych maksymalnych nie ma. Kresem dolnym podanego zbioru jest 1. Kresu górnego nie ma. Sa¾ dwa ciagi
¾
o w÷
asności podanej w zadaniu: 1 C 4 C 7 C 10 C :::: C 28 C 35 oraz 2
C 5 C 8 C 11 C :::: C 29 C 35: Obydwa maja¾ po 11 liczb.
Zadanie 12.5. W zbiorze liczb naturalnych {1,2,3,4,5,6,8, ....27,33} , z÷oz·onym
z liczb niepodzielnych przez 7 i mniejszych od 28 oraz dodatkowo z liczby 33
określamy relacje¾ R wzorem x R y , x = y _ x y 5:
a) Wyznaczyć elementy minimalne.
b) Wyznaczyć elementy maksymalne.
c) Podać argument, rozstrzygajacy,
¾ z·e porzadek
¾
nie jest liniowy.
d) Wskazać najd÷
uz·szy ciag
¾ rosnacy
¾ (wzgledem
¾
tego porzadku).
¾
e) Wyznaczyć kresy zbioru {6,16,26}.
Porzadek
¾
gesty
¾
Intuicja odpowiada nam, z·e liczby ca÷kowite lez·a¾ rzadko na linii prostej (osi
liczbowej), a wymierne i rzeczywiste gesto.
¾
Ujmuje to nastepuj
¾ ace
¾ określenie.
Porzadek
¾
nazywamy gestym,
¾
jez·eli miedzy
¾
dwa dowolne elementy zbioru
moz·emy stawić trzeci. Formalny zapis tego warunku wyglada
¾ tak:
8a 2 X 8b 2 X , a 6= b 9 c 2 X; c 6= a, c 6= b ; a c b
A wiec
¾ istotnie, w sposób gesty
¾ uporzadkowane
¾
sa¾ liczby wymierne, a
takz·e liczby liczby rzeczywiste na prostej. Nieoczekiwanie okazuje sie,
¾ z·e
61
zbiór liczb naturalnych tez· da sie¾ uporzadkować
¾
w sposób gesty.
¾
Przyk÷
ad. Niech f : N ! Q bedzie
¾
funkcja¾ ustalajac
¾ a¾ równoliczność
zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb wymiernych. A zatem f jest funkcja¾
wzajemnie jednoznaczna.
¾ Określmy porzadek
¾
w zbiorze N tak:
m n jez·eli dla odpowiadajacych
¾
im liczb wymiernych mamy f (m) < f (n)
w zbiorze Q.
Jest to porzadek
¾
gesty,
¾
bowiem jez·eli m; n sa¾dwiema róz·nymi liczbami naturalnymi, to moz·emy wskazać liczbe¾ lez·ac
¾ a¾miedzy
¾
nimi (w sensie wprowadzonego
1 f (m)+f (n)
.
porzadku),
¾
na przyk÷
ad f
2
Porzadek
¾
dobry.
Moz·liwość dobrego uporzadkowania
¾
zbioru jest bardzo waz·na dla zastosowań.
Mówimy, z·e relacja porzadkuje
¾
zbiór X w sposób dobry, jez·eli w kaz·dym niepustym podzbiorze Y
X istnieje element najmniejszy. Najprostszym przyk÷adem zbioru dobrze uporzadkowanego
¾
jest zbiór liczb wszystkich liczb naturalnych N:
12.10. Które z poniz·szych relacji sa¾relacjami cześciowego
¾
porzadku,
¾
dobrego
porzadku,
¾
porzadku
¾
liniowego? Które opisuja¾ porzadek
¾
gesty?
¾
Opisać elementy
maksymalne, minimalne, majwieksze,
¾
najmniejsze. Wskazać ÷ańcuchy i drzewa.
a) relacja w zbiorze potegowym
¾
2X ;
b) relacja w zbiorze liczb naturalnych;
c) relacja
w zbiorze liczb rzeczywistych;
d) relacja określona dla liczb zespolonych wzorem z1 z2 gdy j z1 j
j z2 j
,
e) relacja okreslona dla macierzy wzorem M1 M2 gdy detM1
det M2 ,
f) prostopad÷
ość prostych na p÷aszczyźnie,
g) równoleg÷
ość prostych na p÷aszczyźnie,
h) relacja podzielności wśród liczb ca÷kowitych dodatnich: m n gdy m j n
,
i) relacja równoliczności zbiorów,
j) relacja zachodzaca
¾ miedzy
¾
liczbami ca÷kowitymi róz·nymi od zera ,a określona
tak: m n gdy
m j n oraz m n;
k) relacja miedzy
¾
liczbami naturalnymi (z zerem w÷acznie)
¾
określona wzorem:
m n gdy m + 10 < n;
l) relacja zachodzaca
¾ miedzy
¾
liczbami rzeczywistymi a określona tak: a b
gdy a = 0 lub a = b,
m) relacja zachodzaca
¾ miedzy
¾
liczbami rzeczywistymi a określona tak: a b
gdy a = 0 lub a b,
62

Szurek - skrypt PM2009

Transkrypt

Podobne dokumenty

Graficzna prezentacja wyników

Test numer xXx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA

REGULAMIN sprawdzianów pisemnych z matematyki

Indukcja matematyczna i zagadnienia pokrewne

zbiór strategii czystych gracza i

Funkcje wielu zmiennych

Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych

VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W Swiecie Matematyki” im

Niemal każda kobieta malowała sobie przynajmniej

zestaw 7 1/2